math01 我們在地球上所做的一切運動都是內在的（除非利用了能源，用了太空船），一般的跑步，運動都是內在的行為。所謂的不是內在的，就是利用太空船或其他力量離開地球表面的活動。所以，只要一直在地球表面活動而不離開地球表面，我們都稱為內在。協變微分更好玩。微分就是研究變化率的一個方法，所謂的協變微分，講的就是內在的微分。也就是說，研究一切在地球表面上的變化，就可稱為協變微分。如果脫離了地球，就不是協變微分

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幾何與拓樸簡介

十月 7, 2011

學數學很多人都會迷失於符號與定理中。一開始數學在發展的時候，都是以相當容易理解的想法去做定義。大家或許會被這些專有名詞給嚇到了，千萬別害怕，我舉幾個例子，大家就會知道，數學其實有他簡單的概念在。幾個例子來說，何謂黎曼面？如果要以很好聽的數學術語來講，其定義為:一維的複流形。單從字面上來看，你大概不太能夠體會黎曼面是甚麼。而學數學的過程裡，你依然會遇到許多奇奇怪怪的術語。數學要用例子去看。
舉個高中生也能懂得例子，球面二維球面就是最簡單的黎曼面。它是緊致可定向的幾何空間。但如果以高中生能懂得話來說呢？很簡單，所謂的緊致就是一個封閉的有界集合。所謂的有界，就是他是有範圍的。所謂的封閉，就是取球面上的點，不管怎麼跑，都還是會落在這個球面上（除非有外力）。所謂的曲面，請各位回想一下地球，是不是在地球的表面上，你會覺得自己是在平面，不是在彎曲的球上呢？（除了你搭外太空船，或者是到101大樓上去，才發現原來地球是彎曲的）。所以我們定義了(二維)曲面:假想人是活在這個世界上，會覺得自己是在平坦的空間中，但實際上 並不是，他是很多個平坦的平面黏貼起來的。這樣的空間會有座標的概念。舉例來說，我們有經度跟緯度。經度跟緯度就是一種座標呀！就可以用經度跟緯度去描述的。
如果大家被數學名詞嚇到了，肯定看不出他好玩的地方在哪。在相對論中，協變微分這個名字很嚇人呀！但是，各位，千萬別害怕。我用很簡單的方式跟各位介紹。我們還是回到地球的例子。我們在地球上所做的一切運動都是內在的（除非利用了能源，用了太空船），一般的跑步，運動都是內在的行為。所謂的不是內在的，就是利用太空船或其他力量離開地球表面的活動。所以，只要一直在地球表面活動而不離開地球表面，我們都稱為內在。協變微分更好玩。微分就是研究變化率的一個方法，所謂的協變微分，講的就是內在的微分。也就是說，研究一切在地球表面上的變化，就可稱為協變微分。如果脫離了地球，就不是協變微分。
在打個比方，代數拓樸中的同調群，其實可以用高中生就能懂得方法可以解釋。因為發明同調群的人，想法是相當簡單的。記得以前高中還有所謂的補充教材。裡面有提了。是頂點，是邊，是面的數量。這是著名的由拉公式(Euler formula)。
同調群，便是去計算一些多邊形或多面體的"點，線，面"的一些數量所產生的東西。進而去計算更一般的集合（或所謂的拓樸空間）。我們可以把球面用三角形的方式填出來。（當然這三角形並不一定是直線構成的，是曲線。）這是所謂的三角剖分(Triangulation)。同調群就是透過三角剖分所定義出來的量。
打個比方，三角形是由點, , 與邊所構成。考慮任意的整數我們會考慮 的組合(稱為一個鏈chain)。我們可以定義邊長的邊界映射，檢而言之，任意向量，其邊界映射為

其實就是把向量送到他的邊界，邊界就是頂點。（這是高二數學對吧)所以任意一個鍊的邊界會長怎樣呢？

如果把邊界送到原點（各位同學可以想一下三個點連線出來剛好是原點是有意義的吧！），我們發現 k=m=n。其實就是所謂的循環(cycle)。循環就長這樣：或者是，其中是整數。所以三角形的同調群是整數。

取，在平面上為一個圓。在此圓上任取三個點我們有弧,弧弧。一樣可以定義。去計算一些數。我們發現，圓的同調群一樣也是正整數。所以我們會去思考，圓跟三角形是不是有某種關係呢？講個數學的術語：圓與三角形同胚。（其實是由同胚得到同調群相等。）所謂的拓樸就是在研究集合之間的關係。看似不同的兩個東西，在某種"結構"上是相同的。所以拓樸主要是在分類不同的空間關係。

今天的幾何與拓樸課程暫時上到這裡，有機會再繼續介紹吧！