math01 洪萬生 碎形維度怎麼算

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｜科學發展　2011年3月，459期

專

題

報

導

一般來說，維度（

dimension）是一個非常直觀的數學概念。譬如說，我們生活

在「三維」空間之中，直線是「一維」的幾何圖形，平面則是「二維」的。此外，我

們也知道圓盤（

disk）（圓所包圍的平面區域）是二維的幾何圖形，它的周界是一維

的圓，卻能把圓盤全部包在裡面。換句話說，一維的圓形圍住了二維的圓盤。

不過，這種例子卻無法適用於一維對三維。譬如我們無法利用一個圓圈把犯人

（一個三維的物體）關在裡面，因為一般的牢房須是有六個面（二維）的房間。這種

討論也常出現在科幻小說中，假設外星人是四度空間的生物，那麼，在我們這個三度

空間中所看到的所謂「外星人」，應該只是它們的影子。因此，地球人當然很難對抗

外星人了。試想，如果你很用力地踩打我的影子，我會痛嗎？

事實上，如果科幻小說作家願意學習亞波特（

Edwin Abbott），以「平面人」

（

flatlander）進行思考，多從事一點數理想像，「奇幻」的情節或許就會多一點知識

味吧。

19世紀德國數學大師黎曼（Bernhard Riemann, 1826-1866）在進行有關曲面的

研究時，就「設身處地」採取了二維的思考方式，因此得以建立一種最能反映曲面自

然本質的「尺度」。

我們不妨以「二維生物」自居，來想像如何在彎曲的表面上爬行，而不覺得「地

面」是彎曲的。這種二維生物顯然不存在於自然界，因為再怎麼「扁平」的生物，應

假設外星人是四度空間的生物，

那麼，在我們這個三度空間中所看到的所謂「外星人」，

應該只是它們的影子。

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洪萬生

碎形維度怎麼算

科學發展　

2011年3月，459期｜ 7

該還是有第三個維度。無論黎曼是否使用這個二維

生物的比喻，他的數學洞察力引導了我們進入一

個二維，以他的姓氏命名的黎曼幾何（

Riemannian

Geometry

）的想像世界。

顯然，黎曼的非凡創意來自於他把人類的

維度降低了一維，以便進行貼近曲面的「在地思

考」，從而創造出一套前所未有的幾何學，這大概

是以維度「降低」的模式思維的好處。相反地，我

們不妨考慮維度「提升」的情況，看看是否可以更

逼近地理解大自然的奧祕。

這種比一維多一點的圖形，我們稱它是碎形

（

fractal）。不過，想直觀地認識它的維度，似乎

不是容易的事。平心而論，維度的定義是極其抽象

的。然而，科普作家還是能夠找到極佳的下手處，

讓我們可以輕易地理解與掌握！

現在，請碎形出場亮相吧！

碎形

Fractal

（碎形）這個字出自拉丁文fractus ，

其意是「碎成不規則細片的狀態」，是由生於

波蘭，長於法國的數學家曼德布洛特（

Benoit B.

Manderlbrot, 1924-2010

）在1970年所命名的。其實

早在

1950年代他就已提出這一概念，卻不受重視。

直到科學家陸續發現自然和社會現象中都隱含碎形

的存在，他的研究成果才逐漸贏得學界的重視。

曼德布洛特在巴黎工藝學院（

E c o l e

polytechnique

）就讀時，就從他的叔叔（法蘭西學

院數學教授）處習得類似的概念，但他並不以為

黎曼在他的〈論幾何學的基礎假說〉一文中，曾指出：「在曲面

的了解上，內在的度量關係雖然只和曲面上路徑的長度相關，卻

往往和曲面與其外部點的相對位置扯上關係。然而我們可以自外

在關係中把曲面抽出，方法適用一種不改變面上曲線長度的彎

曲；亦即曲面只能加以彎曲，而不能伸縮，因彎曲而產生的各種

曲面都視為相同。因此，任何的圓柱面和圓錐面、平面是相同

的，因為只要把平面彎曲便可形成錐和柱，而內在度量關係不

變，所有關於平面的定理—整個平面幾何學，都仍然有效。反過

來說，球面和上述的三種面則根本上不同，因為由球面變成平面

勢必要伸縮。」這是對於曲面的內稟性質（

intrinsic property）研

究的一個最鮮明主張！

碎形具有「自我相似」的特性。

以雪花的結晶為例，如果把雪花放在顯微鏡下觀察，

可以發現相同的花樣不斷變小，類型卻一再重複出現。

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專

題

報

導

意。直到進入

IBM實驗室從事研究時，由於擁

有極大的自由度，才開始專注於這一主題。

曼德布洛特發現碎形具有「自我相似」

的特性。以雪花的結晶為例，如果把雪花放在

顯微鏡下觀察，可以發現相同的花樣不斷變

小，類型卻一再重複出現。同理，在海岸線、

閃電、樹枝乃至股價變動上，也看到了類似的

特徵。無怪乎在他所獲頒的諸多榮譽博士學位

中，也包括了來自人文社會領域的表彰。

曼德布洛特之前的數學家又是如何引進碎

形的呢？德國數學家考區（

Niels Fabian Helge

von Koch, 1870-1924

）曾經造出一種現在稱為

考區曲線（

Koch Curve）的碎形。這個曲線的

特徵是，如果擷取考區曲線的一部分按比例放

大，會得到與整體一樣的圖形。

數學家考區曾經造出一種現在稱為考區曲線的碎形

曼德布洛特年輕時進入法國排名第一的巴黎高等師範大學（

Ecole normale），僅僅一天就輟學，轉而考入巴黎

工藝學院。當然，這可能出自他的叔叔強烈柏拉圖主義的負面影響，不過，他在第二次世界大戰期間，無法接

受正規教育，也讓他優遊於非制式想法。這些似乎都可以很好地解釋何以他對於應用數學情有獨鍾。在說明碎

形時，他曾指出：「天上的雲不是球面，山嶺不是錐體，海岸線不是圓弧形，樹皮一點也不光滑，甚至於光線

不一定走直線！」

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另一個例子是由波蘭數學家史賓斯基

（

Waclaw Sierpinski, 1882-1969）所發現的。他的

造法很簡單，先把正方形分成

3×3=9等份，拿掉

正中央的正方形；把剩下的

8個又各自分成3×3=9

等份，再拿掉各自正中央的正方形；依此重複進

行，將可得到一個具有自我相似特性的碎形，這

一結果今日稱為「史賓斯基地毯」（

Sierpinski

Carpet

）。

碎形維度

在介紹碎形維度之前，不妨先注意考區曲線

的圖形特徵。顯然，它是把線段無限多次彎曲折疊

擠壓而成，因此，猜測它的維度比一維高一點點，

似乎還算合理。另一方面，這一曲線並未遍布整個

二維的平面，因此應該比二維低。同理，推測史賓

斯基地毯的維度也是介於

1與2之間。

然而這種非整數的維度究竟是怎麼計

算的呢？ 這就必須提及德國數學家豪斯多夫

（

Felix Hausdorff, 1846-1942）的研究成果了。

他曾對實變分析學（

real analysis）中的測度論

（

measure theory）做出不朽的貢獻，其中與

碎形維度有關的兩個重要概念—豪斯多夫測度

（

Hausdorff measure）和豪斯多夫維度（Hausdorff

dimension

），都是因為歸功於他而命名的。不

過，由於他的定義實在太抽象，不妨另引數學家史

都華（

Ian Stewart）的說明來幫助我們理解。

他取了兩條等長的繩子，把兩端對齊，則尺

度大小（

size）當然是2倍。若取一個正方形紙

波蘭數學家史賓斯基所發現，今日稱為「史賓斯基地毯」的碎形。

擷取考區曲線的一部分按照比例放大，會與整體的圖形一樣。

（

A）

（

A）

（

B）

（

B）

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專

題

報

導

片，將需要

4個拷貝（複製品）才能加倍這個正

方形的尺度大小。若給一個正立方體的起司，

則需要

8個拷貝才能加倍尺度。以此類推，如果

給的是一個「四維的起司」，需要

16個拷貝。

換句話說，要加倍一個

d －維的「超立體」

（

hypercube，三維立體的延拓），必須有c =2d

個拷貝。如此一來，兩邊取對數，即得

log

c = log2d ⇒ d = log c ／log2。

現在， 給定一個物體， 如果把它的

3 個

拷貝黏在一起， 尺度大小會加倍， 則按照

上述定義，這個物體的維度就等於

d =log3／

log2=1.44427

⋯⋯這當然就不是整數了。更一般

地，如果把一個

d－維的超立體的尺度變成a倍

時，需要

c =a d 個拷貝，那麼d =logc ／loga ，這

個超立體當然就是一個碎形，而這個

d 就是所

求的碎形維度。

以上是傑出數學家史都華在他的數學

科普著作《數學的問題》（

The Problems of

Mathematics

）中的說明。我們再引述日本數學

日本數學家小島寬之「用小學數學看碎形」，以淺顯易解的方

式說明碎形的維度。

豪斯多夫是德國的一位偉大數學家，出身富裕的猶太家庭，年

輕時，主要興趣在文學、哲學與音樂，曾經想當作曲家，由於

父母反對而作罷。他在獲得應用數學的博士學位之後，仍然

投注全部心力在文學、哲學方面，相關著述也相當成功。直到

近

40歲時，他才「收心」開始研究當時最時髦的拓樸學，最

後，在這一方面成就了不凡的事業。他在

1914年出版的《集

合論的基礎》（

Grundzüge der Mengenlehre ），是集合論與

拓樸學的經典作品。

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家小島寬之如何「用小學數學看碎形」。他先是

「以

4個縮小為1／2規模的正方形會組成原來的正

方形」為切入點，再考慮「

8個圖形X的1／2縮小

圖可以組合成圖形

X」的問題，最後則以史賓斯基

地毯為例，說明碎形維度的意義。

令史賓斯基地毯是

S，則把8個S的1／3縮小圖

黏在一起或拼排起來，會成為原來的

S。現在，假

設

S的維度是m ，則下式成立（其中等式右邊的1代

表

S的面積）：

如此一來，

8×(　)m 13

=1

，兩邊取對數，便可得

m

大約等於1.89。由於這個維度比2維低，因此史

賓斯基地毯沒有「面積」，因為在初等數學中，圖

形必須有二維才能計算面積。

同理，小島寬之也計算了考區曲線的維度大

約等於

1.26。由於這個維度比1維高，因此考區曲

線不是「線」，可是它也離二維（平面）很遠，所

以它稀稀疏疏地散布在平面上，維度比史賓斯基地

毯的維度低很多。無怪乎看起來，考區曲線相對於

史賓斯基地毯，所謂的「朦朧感」或「覆蓋率」的

確有明顯的差別。

正方形或圓形的周界與它們內部或外部之

間，顯然可以切割得清清楚楚，涇渭分明，不可能

會出現所謂的「朦朧感」，這是整數維度的特性。

這種現象也極為自然，以致我們通常習焉而不察！

要不是

20世紀初的數學家造出這些相當「怪異」，

甚至被一些偉大數學家視為「病態」的圖形，從而

由豪斯多夫尋求定義來描繪它們的特性，今日大概

很難想像我們的周遭存在了那麼多的碎形。當然，

曼德布洛特的臨門一腳，讓碎形幾何終於堂而皇之

地進入了數學的殿堂。

碎形在過去數十年內，已經成為科普寫作的

新寵材料。不過，大部分的作品都無法運用淺顯

易解的方式，把它的維度說個明白。在本文中所

引述的史都華和小島寬之兩人的說明，當然是相當

珍貴的例外。究其原因，他們兩位在說明碎形維

度時，都不約而同地指出，一般的維度是一種拓樸

學的概念，但是拓樸維度（

topological dimension）

都等於

1的雪花與圓形，從碎形觀點視之則完全不

同。可見，針對碎形維度時，距離結構（

metric

structure

）也應該納入考慮。

數學普及作品介紹了簡易的方法，告訴我們

碎形維度怎麼算！這是科普文章值得大力推廣的主

要原因。如果大家都只是炫於碎形「令人震撼」的

美感，而無從思考碎形幾何的深刻意義，那麼，當

科幻小說家創造出一個三又二分之一維的外星生物

時，我們大概就難以評估這些生物的行為是否「合

情入理」了。

深度閱讀資料

小島寬之（

2010），用小學數學看世界（陳昭蓉

譯），世茂出版社，台北。

Abbott, E. (2008)

Flatland: The Movie Edition ,

Princeton University Press, New Jersey.

Stewart, I. (1987)

The Problems of Mathematics ,

Oxford University Press, New York.

洪萬生

台灣師範大學數學系

(

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