在研究几何光学和波动光学的关系时，如果波长无限短，即在 一O的条件下，波动光学就会过渡到几何光学

在研究几何光学和波动光学的关系时，如果波长

无限短，即在 一O的条件下，波动光学就会过渡到

几何光学；在量子力学研究中，如果忽略量子效应，即

在h一0的条件下．量子力学就会过渡成为经典力

学

第5卷第3期

1999年8月

广西民族学院学报(自然科学版)

JOURNAL OF GUANGxl UNIVERSlTY FOR NATIONALITIES

(Natul'8I Science Edition)

Vo1．5 No 3

Aug．1 999

文章编号：1007—0311(1999)03—0011—02

建立薛定谔方程的另一种方法

何红雨

(广西右江民族师专 覆 西百色 533000)

O N3 i

摘 要：薛定谔方程是童干力学的重要基本方程，许多量干力学教材都是甩微分或算符的方法来建立

谊方程的．本文将讨论另一种用类比来建立薛定谔方程的方法．

关键词：波函数：波动光学{几何光学；波动方程

分类号： — —

薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要

的作用．它是量子力学重要的基本方程．这方程既不

是推导，也不是证明出来的，它是假设而建立起来的．

建立方程的依据是：(1)应当是波函数对时间的一阶

微分方程；(2)方程要包含外界的因素；(3)方程中的

系数不含有状态参量；(4)方程是线性的．许多量子力

学教材都是用微分或算符的方法来建立薛定谔方程

的，下面将介绍另一种用类比来建立薛定谔方程的方

法．

我们知道，几何光学和波动光学这两种光学理论

分别是建立在光的微粒说和波动说基础上的．早在

19世纪，哈密顿根据几何光学中费马原理的数学表

达式

御= l ds= 0

J

和经典力学中哈密顿原理的数学表达式

如一 一。

相似，曾经提出经典力学和几何光学存在着某种相似

磊 毳雅， 劫

性．

在研究几何光学和波动光学的关系时，如果波长

无限短，即在 一O的条件下，波动光学就会过渡到

几何光学；在量子力学研究中，如果忽略量子效应，即

在h一0的条件下．量子力学就会过渡成为经典力

学．如果把几何光学与经典力学之间的相似性和波动

光学与几何光学、量子力学与经典力学之间的过渡关

系进行类比，用图表示为

圈—j 一匹匝圈

(波动方程) (费马原理)

J量 l

(波动方程)

h—+0 J鳖 l

(哈密顿原理)

从类比图我们可以看出．量子力学的波动方程和

，

收稿日期{I 999 03 20．

作者简介： 虹雨(1963 ．男(壮旗)，湖南汝艘^．广西右江民藏忻专物理系讲师

11

一

广西民族学院学报(自然科学版) 1 999年8月 第5卷

波动光学的波动方程在数学表达式上是相似的．

在波动光学中，光波的两个重要方程是

， 去 一。 (1)

f 一 ( )C-一 (2)

将(2)代入(1)，得

+ 一0 (3)

其中波矢的大小 一 ．

u

同样道理，在量子力学中，波函数的表达式应与

(2)式相似，记玎：

(y-， )一 (r)F一 一 (r) ～ “ (4)

如果能量不随时间变化，则渡函数的空间部分

(r)所满足的波动方程也应与(3)相似．记为

。 + 。 一0 (5)

其中波矢的大小为

P J2。m。。(。E。。—-—U——)

一百一—_一

代人(j)式，得

+ (E u) 一0

或 (一 一一U)gt— E (6)

上式则是定态薛定谔方程．如果我们知道势能

(( )的具体形式，通过解方程即可求出定态波函数

(r)和粒子的能量E．

如果方程(6)两端同乘以 ～ ．则方程变为

Egt： (一 + U)gZ (7)

由(4)式可得

ih 一Eg％ ： E

将上式代入(7)式左边，得

．

m警一(一 +u) (8)

这就是薛定谔方程的一般形式．对于自由粒子来

说，它不受保守力场的作用．即U：0，则自由粒子的

定态薛定谔方程为

一 一

E (9)

自由粒子薛定谔方程的一般形式为

，

m警一 1、， (10)

由此可见，利用类比的方法也可以建立起薛定谔

方程．它与用微分和算符来建立方程所得的结果是一

致的，但方法比较直观，不需要过多的数学推导．主要

是通过逻辑思维对经典力学、几何力学、波动光学、量

子力学的相似之处及过渡关系进行比较，得出量子力

学的波动方程与光波的波动方程相似，以此作为基础

而建立起薛定谔方程的．需要注意的是，薛定谔方程

是实验的综合，不是推导和证明出来的，薛定谔方程

的正确性是靠它与大量实验相符台而得以证实的．

参考文献

[1][日]中岛自雄．最子力学(上)[M]北京：北京师范太学出版社

l989

[2]张怿悬．量子力学简明教程[M：北京：人民教育出版社 1 979

[责任编辑黄祖宾]

[责任校对曹满仙]

Another W ay to Establ ish Schr6dinger Equation

HE Hong—yu

(Physics Dept．，Guangxi Youjiang Teacher's college，Guangxi Bm'se，533000 China)

Abstract： Schr6dinger Equation is the important basic equation o{quantum chromodynamics．It is estab

]ished by differential calculus or operators in many textbooks of quantum chromodynamics．The author discusse

another way which establishes SchrOdinger Equation by anaiongy．

Key W ords：W ave function：W ave optics：Geometry optics；W ave equation

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