从（2.7）可以把原变量反解出来得
（2.8）
考虑新函数
， （2.9）
对上式微分得
由此我们证明了
（2.10）
两个函数和的关系由（2.9）给出。对应的变量和函数的关系分别由（2.7）和（2.10）给出。它们概括了力学与物理中许多对偶关系。
§3 .勒让德变换在力学与物理中的应用
1）.气体的热力学函数
在热力学中，常见的自变量或状态变量有：T、S、p、v四个，即温度、熵、压强与体积。这四个变量之间两两对偶，前两个之积和后两个之积的量纲都是能量。用体积和熵为自变量表示的内能U（S，v），有
（3.1）
可以将自变量改变为其对偶的自变量，于是我们还有和内能同一量纲的三个热力学函数F（T，v）、H（S，p）、G（T，p），即亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它们和内能之间的关系是
（3.2）
我们看到，这些热力学函数之间的关系恰好是勒让德变换。所以，勒让德变换实际上是在我们得到了一个不变量后，要得到它的对偶自变量下的不变量的一个重要的变换。
2）.哈密尔顿函数
在分析力学中，我们有描述n自由度系统的拉格朗日第二类方程
（3.3）
其中L＝T－U这里L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能，（j＝1,2, ，n）为系统的广义坐标。
如果我们引进系统的广义动量
（3.4）
可以证明，从上式中我们可以把反解出来作为和的函数。我们希望引进新的函数H，它是p，q的函数。为此令
（3.5）
- cyqsdik
- 初级粉丝1
我们把两边进行变分并利用（3.3）与（3.4）得
比较等式两边，我们就得到
（3.6）
这就是动力系统的哈密尔顿形式的典则方程。我们看到（3.5）也是一个勒让德变换。
另外，由于拉格朗日函数是与的函数，按照（3.5）转换为哈密尔顿函数是和的函数，所以变换是把部分自变量变量变到自变量而保持自变量不变。由此可以知，勒让德变换可以把自变量中的任意个变量变换到它的对偶量。
3).弹性力学的余能原理
现在我们来讨论弹性体，在（2.9）中，令U为弹性体的势能，它是广义位移q的函数。则就是弹性体的余能。对于弹性体来说，因为自变量是坐标的连续函数，这时（2.9）中的求和号，应当改用积分号。
我们知道弹性体的总势能是
（3.7）
其中是应变张量是应力张量，是体力向量场，是位移场，是体积，是表面积，是体积占据的空间区域，是区域的表面，下标t是表面上给定外力t的部分。
（3.8）
在满足几何约束的条件下，从总势能的变分可以得到弹性体的平衡方程和应力边条件，可以推出在满足平衡条件下，从余能的变分可以得到弹性体的几何关系与位移边条件。这就是弹性力学的余能原理。
§4. 广义变分原理
我们来考察式（2.9）把所有的项移到一边，然后用一个函数不是它，即令
（4.1）
其中是广义位移q的函数，而是广义力的函数。显然对求变分，我们得到
考虑到与的任意性，我们就有
（4.2）
上式既包含了平衡条件，也包含了几何条件，其中U是应变能，是余应变能。得到的前一个式子是拉格朗日定理，而后一个式子是卡斯提也努定理。
对于得到平衡或几何条件来说，相应的广义力与广义位移应当等于零，即（4.2）的左端应当等于零。这时对应的（4.1）应当适当修改为
（4.3）
一般说来，对于弹性力学的情形，这就相当于Hellinger-Pranger-Reissner两变量的变分原理。
采用（3.7）和（3.8）的符号，对于弹性力学问题，我们可以把（4.3）写为：
（4.4）
如果在余能原理的泛函中，通过本构关系把其中都好应力变换为应变。然后加入上式中。这时，对它进行变分，自变函数是位移、应力和应变。我们就得到三变量变分原理。它和胡海昌变分原理是等价的。
§5 结论
勒让德变换是把一个物理不变量变为其对偶坐标下的不变量。由于在物理中，对偶是一个十分基本的概念，所以勒让德变换对于理解这类问题起着重要作用。
比较等式两边，我们就得到
（3.6）
这就是动力系统的哈密尔顿形式的典则方程。我们看到（3.5）也是一个勒让德变换。
另外，由于拉格朗日函数是与的函数，按照（3.5）转换为哈密尔顿函数是和的函数，所以变换是把部分自变量变量变到自变量而保持自变量不变。由此可以知，勒让德变换可以把自变量中的任意个变量变换到它的对偶量。
3).弹性力学的余能原理
现在我们来讨论弹性体，在（2.9）中，令U为弹性体的势能，它是广义位移q的函数。则就是弹性体的余能。对于弹性体来说，因为自变量是坐标的连续函数，这时（2.9）中的求和号，应当改用积分号。
我们知道弹性体的总势能是
（3.7）
其中是应变张量是应力张量，是体力向量场，是位移场，是体积，是表面积，是体积占据的空间区域，是区域的表面，下标t是表面上给定外力t的部分。
（3.8）
在满足几何约束的条件下，从总势能的变分可以得到弹性体的平衡方程和应力边条件，可以推出在满足平衡条件下，从余能的变分可以得到弹性体的几何关系与位移边条件。这就是弹性力学的余能原理。
§4. 广义变分原理
我们来考察式（2.9）把所有的项移到一边，然后用一个函数不是它，即令
（4.1）
其中是广义位移q的函数，而是广义力的函数。显然对求变分，我们得到
考虑到与的任意性，我们就有
（4.2）
上式既包含了平衡条件，也包含了几何条件，其中U是应变能，是余应变能。得到的前一个式子是拉格朗日定理，而后一个式子是卡斯提也努定理。
对于得到平衡或几何条件来说，相应的广义力与广义位移应当等于零，即（4.2）的左端应当等于零。这时对应的（4.1）应当适当修改为
（4.3）
一般说来，对于弹性力学的情形，这就相当于Hellinger-Pranger-Reissner两变量的变分原理。
采用（3.7）和（3.8）的符号，对于弹性力学问题，我们可以把（4.3）写为：
（4.4）
如果在余能原理的泛函中，通过本构关系把其中都好应力变换为应变。然后加入上式中。这时，对它进行变分，自变函数是位移、应力和应变。我们就得到三变量变分原理。它和胡海昌变分原理是等价的。
§5 结论
勒让德变换是把一个物理不变量变为其对偶坐标下的不变量。由于在物理中，对偶是一个十分基本的概念，所以勒让德变换对于理解这类问题起着重要作用。
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