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广义相对论和引力理论的变革——相对论百年札记之二
发端于百年前的爱因斯坦相对论体系，包括狭义相对论、广义相对论和宇宙论，引起有关空间和时间、物质和运动、引力和宇宙等领域一系列重大进展。当前这个体系却面临着变革。有关暗宇宙观测数据的分析，是以爱因斯坦场方程和宇宙学原理为基础的。然而，结果却向以相对论和量子理论为基础的现代物理学提出重大疑难。这是物理学面临的空前挑战。
2004年，诺贝尔物理学奖获得者格罗斯（D.Gross）提出25个重大科学问题。前5个直接与广义相对论有关：宇宙的起源，暗物质的性质，暗能量的性质，宇宙中结构的形成，广义相对论的正确性。一般认为，修改广义相对论和爱因斯坦场方程在所难免。
在《狭义相对论的基本原理及其宇宙学意义》中，我们曾引用过爱因斯坦的观点：“相对论是一种原理的理论。”与“构造理论”不同，原理理论“应用分析而不是综合的方法。其出发点和基础不是假设的要素，而是经验上观察到的现象的一般性质、一般原理；从这些性质和原理导出这样一些数学公式，使其用于每一自身出现之处。”“原理理论的优点，是它们逻辑上的完善，和它们基础的稳固”。[1]
我们认为，即使在狭义相对论这样成熟的“原理理论”中，仍然存在“假设要素”；存在着相对性原理与宇宙学之间的不协调，等等。暗宇宙的观测事实暗示，应该放弃狭义相对性原理中的“欧氏假定”。这样，除了闵氏时空中具有庞加莱不变性的狭义相对论之外，还可能存在德西特或反德西特时空中具有德西特或反德西特不变性的狭义相对论。对于后二者，相对性原理与“完美”宇宙学原理之间是协调的，等等。
由预言星光偏折而轰动世界的广义相对论，同样是公认的“原理理论”。判断这样一个重要理论的正确程度，如何进一步发展，离不开对其基本概念和原理进行深入的分析和探讨。其实，这个理论同样包含许多重要的“假设要素”，包括一些基本观念和原理之间的不协调；同时，还存在一些重大问题有待解决。
等效原理和相对论的局域化
等效原理的实质
惯性质量与引力质量相等，这是从伽利略以来就知道的实验事实，但一直没有引起重视。爱因斯坦由此出发，提出惯性力与引力等效的等效原理，促使他突破狭义相对论，提出广义相对论。
然而，在牛顿力学中，惯性力和引力的表达式就并不等价；在广义相对论中，二者也不等价：前者往往是曲率为零的克里斯托弗符号，后者则是非零曲率或其克里斯托弗符号。有的学者认为，这个原理好像是“助产婆”，广义相对论诞生之后，这个“助产婆”的作用，仅仅在于要求描述引力场的黎曼几何的度量，应具有闵氏度量的符号差。著名学者迈斯纳（C.W.Misner）、索恩（K.S.Thorne）和惠勒（J.A.Wheeler）在名著《引力》一书中这样来表述这个原理：在宇宙中任何时刻、任何地点都存在局域洛伦兹时空。在这类局域洛伦兹时空中，除了引力之外的一切物理规律的形式与狭义相对论中一样。这里的局域洛伦兹时空就是局域闵氏时空、或者局域洛伦兹标架。一般认为，这是广义相对论中最重要的原理。
但是，这一等效原理没有要求局域。洛伦兹时空仍然局域地具有狭义相对论及其物理定律完整的（局域）庞加莱对称性ISO(3,1)；留下的仅是（局域）齐次洛伦兹对称性SO(3,1)，没有时空平移对称性。在狭义相对论以及相应的物理理论中，时空平移对称性对于质量、能量和动量等物理量的定义和守恒，区分不同物质场在庞加莱变换下的性质，起着重要的作用。由于没有要求（局域性的）时空平移对称性，在广义相对论中，粒子和场的物理量的定义与守恒就失去了相应的对称性基础；只能把有关物理定律中出现的物理量类比于或“等效”于狭义相对论中相应的物理量。这是相当强的“工作假定”。
时空“奇性”带来的理论疑难
爱因斯坦之后，广义相对论的理论研究取得了许多进展。最重要的进展之一，是有关黑洞理论以及大尺度时空结构的研究。
1960年代末以来，著名学者彭罗斯（R.Penrose）和霍金（S.W.Hawking）发现，在一般条件下，广义相对论存在“奇性”。宇宙起源于奇性，星系演化经过黑洞终结于奇性。研究表明，对于晚期的星体而言，只要质量足够大，就迟早会变为黑洞；一旦形成黑洞，就会坍缩到时空奇点。时间停止了，曲率变为无穷大，一切物理定律失去意义，一切物质被撕得粉碎。很明显，这种奇性是很难接受的。不仅如此，甚至有可能出现更不可思议的“裸奇性”，既不在黑洞视界内，也不在宇宙大爆炸之初。于是，彭罗斯提出“宇宙监督”假说，假定不存在这类“裸奇性”。
为什么会出现病态的“奇性”呢？按照等效原理，如果宇宙中时时处处都存在局部洛伦兹时空的话，就不应该出现这类奇性。奇性不可避免暗示着，广义相对论存在某些不自洽。难怪著名学者席阿玛（D.W. Sciama）指出：“我们面临着理论物理的危机。或者经典广义相对论要破坏，或者存在着等效的负能密度，或者因果性不再成立，或者在自然界中存在奇性。” 伯格曼（P.G.Bergmann）也指出：“膨胀宇宙极早期存在奇性，这是现有理论观念并不适合于极高密度物质的一个讯号。”（《宇宙学作为科学》，1971）
要避免“奇性”，一个简单的办法是把广义相对论扩展为爱因斯坦-嘉当理论。后者引入时空几何的挠率与物质的自转的联系。在一定意义上，时空几何具有挠率，就是引进了（局域）平移对称性。
引力理论的相对论局域化原理
为了在基本原理中引入局域平移对称性，不妨在等效原理的基础上加上局域平移对称性的要求。由于等效原理已具有局域齐次洛伦兹对称性，加上局域平移对称性，就是局域庞加莱对称性。其实，这相当于要求在表述引力相互作用的时空几何中时时处处都存在局域的狭义相对论。可以称这个原理为引力理论的相对论局域化原理：在宇宙中，时时处处存在局域闵氏时空，其中除了引力之外的物理规律，都具有局域庞加莱不变性；亦即狭义相对论局域成立。这相当于要求在爱因斯坦自由下落“电梯”中，庞加莱不变的狭义相对论成立。应该建立以这一原理为基础的局域庞加莱不变性的引力理论。
事实上，这与爱因斯坦的初衷是一致的，因而既不会违背所有支持狭义相对论的实验和观测，也不会违背惯性质量与引力质量相等的实验事实。不仅如此，由于去掉局域平移，就回到等效原理；因此，局域庞加莱不变的引力理论，应该以某种方式包含广义相对论的合理内容，从而与和引力有关的实验观测一致。然而，从广义相对论来看，作为引力场的性质的挠率和作为引力源的物质场自转，都是“暗”的。换言之，在以爱因斯坦方程和宇宙学原理为数据分析框架，得到的“暗物质”中很可能包括引力场挠率和物质源自转的贡献。
文献[1]指出，由于与庞加莱不变的相对论基本上平权，还应该存在德西特或反德西特不变的相对论。对于前者，引力的相对论局域化原理应该重新表述：在宇宙中，时时处处都存在局域德西特时空，其中除了引力之外的物理规律都具有局域德西特不变性；亦即德西特不变的狭义相对论局域成立。对于后者，有类似的表述。
由于我们的宇宙很可能以加速膨胀的方式，渐近于宇宙常数为正的德西特时空，因此，应该建立以这个原理为基础的、具有局域德西特不变性的引力理论。
广义相对性原理并没有广义相对性
爱因斯坦深受马赫“任何运动都是相对的”观点的影响。为了取消狭义相对论中惯性运动与惯性参考系的特殊地位，他提出广义相对性原理，要求“物理学定律具有对于无论以什么方式运动的参考系都成立的性质”。“普遍的自然规律是由对一切坐标系都有效的方程来表述的；也就是说，对于无论那种（坐标）代换都是协变的（广义协变）。”（《广义相对论的基础》，1916）
其实，自然规律的广义协变与任何运动的相对性是两个不同的概念。具体的运动过程，除了运动规律之外，还要有其他条件，如边界条件、初始条件等。后者往往不可能做到广义协变。因而，即使自然规律具有广义协变性，也并不意味着任何运动之间的相对性。不仅如此，很快就有人指出，自然规律的“广义协变”在数学上并没有什么意义，任何在特殊坐标中的物理定律，都可以在局部写为广义协变、或者与坐标无关的几何形式。嘉当（E.Cartan）指出，牛顿引力理论也可以几何化。
后来，爱因斯坦的表述也有所改变，他提出在广义协变形式下的“简单性”要求：“自然定律应该表述为在连续坐标变换群下协变的方程。这个群替代了狭义相对论中的洛伦兹变换群，后者形成前者的一个子群。”“当然，这一要求自身作为导出物理的基本观念的出发点并不充分……广义相对性原理突出的启发式的意义在于它导致我们去寻求在广义协变形式下尽可能简单的方程组”。（《自述》1946）于是，还要用“奥卡姆剃刀”。
惠勒等在他们的名著中这样来表述这个原理：“‘物理量必需表述为（与坐标无关的）几何量，物理定律必需表述为这些几何量之间的几何关系。’这一物理观点，有时称为‘广义协变性原理’，遍及20世纪物理思维。但是，这个原理具有强制性的内容吗？没有，完全没有”。“作为区分可行的和不可行的理论的筛选，广义协变性原理是无用的。”他们追随爱因斯坦，认为这个原理应该代之以一个“有些朦胧的原理”：“‘自然界偏爱用坐标无关的几何语言表述的简单理论’。按照这个原理，自然界必然偏爱广义相对论，而厌恶牛顿理论。”他们认为：“广义相对论具有最简单、最优雅的几何基础[三个公理：(1)具有度量；（2）度量由爱因斯坦方程G=8πT 支配;（3）在度量的局部洛伦兹标架中所有狭义相对论的物理规律是正确的]。”（《引力》）这里，G=8πT 是爱因斯坦方程的缩写，G和T分别是爱因斯坦（曲率）张量和能量动量张量的简写，牛顿引力常量和光速都取为1。
总之，广义协变性原理或广义相对性原理并没有实现马赫“任何运动都是相对的”观点；为了具有实质的内容，必须代之以“几何形式的简单性”、等效原理等。这样，广义相对论并没有运动的“广义相对性”。
其实，3＋1维黎曼时空上的“连续坐标变换”一般并不构成群；在给定时空点，局部坐标的基底（?鄣/?鄣xi）及其对偶基底（dxi）之间的变换矩阵才构成群，即局域的一般线性群GL(4,R)。在广义相对论中，要求所有物理量都是这类变换下的张量（的分量），或者带上相应的基底，成为与坐标无关的几何量。局域齐次洛伦兹群SO(3,1)是这个群的子群，但是局域平移却不是。这又导致等效原理没有要求局部平移对称性的同样问题和后果。
狭义相对论是按照庞加莱群及其不可约表示，对于物质场及其物理量进行分类进行的。而在广义相对论中，分类是按照局域的一般线性群来进行的；二者并不等价。另一方面，在3＋1维黎曼时空上，局部定义的几何量也不一定能够在全时空整体定义，这是要加以注意的。
在相对论体系之中，如何协调二者的不等价呢？
如果考虑到前面提出的相对论局域化原理，对于具有局域庞加莱不变性的引力理论，相应的“广义协变原理” 应该有相应的修改。例如，应该试图把局域的一般线性群GL(4,R)推广为包含平移的局域的仿射变换群A(4,R)，局域庞加莱群ISO(3,1)是这个群的子群。由于具有局域平移对称性，一个明显后果恰恰是，有可能消除在狭义相对论和广义相对论中物理量定义的不等价和有关的工作假定。
引力场方程和“戈尔迪结”
在广义相对论的成功中，爱因斯坦场方程起到核心作用。在现代宇宙学观测结果的分析中，爱因斯坦方程又是基础。因此，面对宇宙学观测结果的挑战，对于爱因斯坦场方程的分析应该格外注意。其实，早就知道这个方程很可能存在一个打不开的“戈尔迪结（Gordian)”。
爱因斯坦方程和“戈尔迪结”
从几何量与对称性，以及物理量与对称性的关系来看，场方程存在内在的不协调。
惠勒等在他们的名著中明确提到这个问题：“答案在于G=8πT ；问题何在？问题来自爱因斯坦-嘉当的‘转动矩’G 与协强-能量张量T 的联系，但什么是这个方程首先要达到的目的？如果几何告诉物质如何运动，物质告诉几何如何弯曲，手中不就没有这个‘戈尔迪结’了吗？不然，怎么能永远解不开它呢？”
何以见得G=8πT 有一个“戈尔迪结”？
从几何量与局域对称性的关系来看，黎曼曲率R是与局域齐次洛伦兹转动相联系的。G由黎曼曲率构成，这也是为什么称之为爱因斯坦-嘉当“转动矩”的原因。然而，从物理量与对称性的关系来看，与能量动量张量T 相联系的对称性却不是转动；在狭义相对论中是平移。相应于狭义相对论中的平移的物理量T联系的是相应于转动的几何量G；这种“错位”就是场方程的“戈尔迪结”。但是，是不是因为“几何告诉物质如何运动，物质告诉几何如何弯曲”，这个结就不复存在呢？
按照广义相对论的运动理论，粒子的运动方程可以从场方程或者能动张量的协变守恒律推导出来。对于有自转的粒子，其运动方程多了黎曼曲率R与自转流S的耦合项RS；这一耦合是对应于局域洛伦兹转动的几何量与物理量之间的耦合；与电磁理论中带电粒子所受洛伦兹力，电磁场强F与电流J之间的耦合FJ，在形式上完全类似。然而，电磁场方程为?塄·F=
4?仔J，即电磁场强F的散度由场源的电流J决定；与洛伦兹力的耦合相同，都是对称性一致的几何量和物理量之间的耦合。在一般的规范理论中也是这样。可是，在广义相对论中却出现了两类耦合，一类是场方程所反映的对称性不同的几何量与物理量之间的耦合；另一类则是对称性相同的耦合。另外，既然黎曼曲率是引力场强，那就应该存在一个引力场强的能动张量，其形式与电磁场强的能动张量完全一样。然而，场方程中却没有引力场自身的能动张量。
不仅如此，自转也是物质在时空中的重要性质。为什么自转要与黎曼曲率耦合，而反过来却不能通过引力场方程来影响时空的弯曲？
爱因斯坦一贯主张：“设想一件本身起作用而不承受作用的事物（时空连续区域）是违背科学的思考方式的。这就是使得马赫试图在力学体系里排除以空间为主动原因的理由。”（《相对论的意义》，1921）看来，对于自转这一所有星体都具有的性质而言，即使在广义相对论中，弯曲时空在一定程度上仍然是“起作用而不承受作用的”“主动原因”。
如果把爱因斯坦一再主张的“科学的思考方式”贯彻到底，就应该进一步排除这一“主动原因”，并且避免“戈尔迪结”的尴尬。
爱因斯坦-嘉当理论和“戈尔迪结”
嘉当引进时空的几何量挠率、考虑自转流对于时空几何的作用；用爱因斯坦-嘉当方程作为场方程来代替爱因斯坦方程。这就是前面提到的爱因斯坦-嘉当理论。
在这一理论中，除了度量或相应的洛伦兹标架之外，描述引力场的几何量还有取值在齐次洛伦兹代数上的联络，即洛伦兹联络。这个理论的引力场方程，除了与爱因斯坦方程类似的G=8πT之外，还有嘉当方程Y=8πS，联系时空的（组合）挠率Y和引力源的自转流S。前面提到，这个理论有可能在经典水平上避免时空的奇性。但是，从场方程的结构看，不但没有避免爱因斯坦方程的“戈尔迪结”，反而又多了嘉当方程的“戈尔迪结”。
有没有可能既避免引力场方程的“戈尔迪结”，又能够同样解释广义相对论所能够解释的实验与观测结果呢？有！
场方程的局域对称性原理和德西特-洛伦兹模型
为了避免“戈尔迪结”，引力场方程应该满足局域对称性原理：描述引力场的具有确定局域对称性的时空几何量，应该由具有相同局域对称性的物理量来决定。这个原理对于局域对称性的要求应和相对论局域化原理一致。应该把这两个原理作为引力理论的基本原理。
按照这个原理，引力场方程应该具有?塄·F=4?仔J的形式。这里的F和J至少应分别是曲率和挠率的组合与能量-动量-自转流；或者是它们相应的推广。
于是，就可以提出这样三个公理：(1)具有度量和洛伦兹联络；（2）二者由方程?塄·F=4?仔J支配；（3）德西特相对论局域成立。
与惠勒等提出的三个公理比较，或许同样“具有最简单、最优雅的几何基础”。显然，仅仅从“几何简单和优雅”无法判断二者的优劣；如何运用“奥卡姆剃刀”呢？作为更进一步的“原理的理论”，或许应该剔除“戈尔迪结”？其实，关键在于，以此为数据分析基础，是否能够经受观测与实验结果的检验，是否能够避免一些疑难。
一个简单模型的初步研究表明，答案是肯定的。
这个模型从爱因斯坦-嘉当理论的几何量与物理量出发，把洛伦兹标架和洛伦兹联络构成一个取值在德西特代数SO(4,1)上的联络，称为德西特-洛伦兹联络。这个联络的德西特-洛伦兹曲率自然包括了洛伦兹曲率和洛伦兹挠率。如果把引力场作用量取为德西特-洛伦兹曲率的杨-米尔斯型的模方，引力场方程就是?塄·F=4 ?仔J的类型，并自动出现宇宙常数。这里的F和J恰恰是曲率和挠率的组合与能量-动量-自转流；不过，后者还包含了引力场自身的能量-动量-自转流；其中，恰恰包括曲率和挠率的能动张量。这是与通常规范理论的不同之处。
早在1970年代初，我国学者就提出了这个模型，不妨称为德西特-洛伦兹模型；后来又有所发展[2]。几年之后与上世纪末，美英等国学者也提出并探讨了类似的模型[3]。近来，我们又重新深入研究这类模型和具有局域德西特不变性的引力理论。
在这个模型中，不仅自动给出宇宙常数,而且标志引力作用的应是一无量纲耦合常数，由普朗克常量、光速、牛顿引力常量和宇宙常数组成，其量级恰为10-120。事实上，所有具有局域德西特或反德西特不变的引力理论都会具有这一重要特点。
如果从这组方程中分出爱因斯坦方程，那么，在爱因斯坦方程的角度看来，那些“多余”部分完全是“暗”的。于是，“暗物质”疑难的来由之一，可能就是爱因斯坦场方程所忽略的这些引力和物质的性质。
黑洞物理的进展和量子引力的出路
1970年代以来，黑洞的经典和量子理论先后取得重要进展。
在黑洞和热力学系统之间建立了联系，提出了黑洞熵的概念，建立了黑洞热力学；加深了对于黑洞的认识。关于黑洞背景上的量子理论的研究，进一步加深了这一认识。以前，一直以为黑洞是绝对“黑”的，什么东西都跑不出来。考虑到量子效应就有所不同：黑洞会辐射出粒子和光子，不断“蒸发”并具有通常热辐射的谱型。同时，这种“蒸发”过程随着黑洞质量不断减少会愈演愈烈，以至最后可能会引起黑洞“爆炸”。然而，任何有序物体掉进黑洞，都变成无序的热辐射发射出来，这却导致信息丢失；与物理学理论基础之一的量子力学薛定谔方程的概率流守恒矛盾。
引力理论的量子化，无疑是很重要而又一直没有解决的问题。自然界是统一的，在描述自然界的两种主要理论之间应该存在内在联系。否则，也应该知道理由何在。
1960年代以来，有关探索更为迫切。一方面，需要研究引力量子化与奇性疑难之间的关系；另一方面，1970年代初规范场量子化和重正化理论的进展提供了强有力的工具。可以证明，广义相对论的引力场是不可重正化的。原因是牛顿引力常量具有量纲，这与通常规范理论具有无量纲耦合常数完全不同；同时，任意坐标变换与量子理论的幺正变换也不一致。
在刚提及的德西特-洛伦兹模型中，标志引力的是一无量纲耦合常数，这值得深入探讨。
近年来，非微扰量子引力的尝试，在超弦和在广义相对论的框架内都取得一些有意义的进展。例如1990年代中期以来关于黑洞熵的微观起源的进展。当然，一个完整的关于黑洞的量子理论必须考虑引力场自身的量子效应。因此，问题并没有从根本上解决。
不过，黑洞具有熵，又有微观起源，表明黑洞及其引力场是一个系统，不是基本场而是有效场。这从一个角度加强了关于广义相对论是有效场论的观点。其实，爱因斯坦早就隐隐约约从另一角度觉察到这一点：他对引力场方程右边的能动张量并不满意，希望与场方程左边一样具有几何描述。在考虑星体或宇宙模型时，要引入引力源的“物态方程”。而“物态方程”所联系的是大量微观粒子组成的系统的宏观量，不是基本场量。现在，即使是几何，也并非基本。否则，在什么意义下谈论基本场的“熵”及其“微观起源”？这样，爱因斯坦方程很可能就是有效场的方程。
从有效理论的观点来看，有效场并不一定需要可重正化。因而，广义相对论的不可重正化并不可怕。出路之一可能是，找到更基本的自洽的经典和量子理论，广义相对论作为这种更基本理论的有效理论。另一出路可能是，尽管引力场是有效场，仍然存在自洽的量子引力；或者说明从我们的宇宙这一极其复杂的系统中，如何涌现出这样的有效理论。对于后者，目前还完全不清楚。对于前者，超弦/M理论似乎是可能的候选者。但是，超弦/M理论的发展还处在相当初步的阶段。什么是基本自由度？什么是基本对称性和动力学原理？这些问题也都不清楚。更不用说，如何具体地表明广义相对论作为有效理论了。
晚年的爱因斯坦写道：“大家都认为，当我回顾自己一生的工作时，会感到坦然和满意。但事实恰恰相反。在我提出的概念中，没有一个我确信能坚如磐石，我也没有把握自己总体上是否处于正确的轨道。”这位近现代科学史上最伟大的学者在以他所创建的辉煌谦虚地陈述着一个真理。
从哥白尼开始，经过伽利略到牛顿和爱因斯坦，物理学发展到今天，又迎来了空前的挑战。面对这一挑战，分析广义相对论这一人类认识史上的丰碑，实践引力理论的发展和变革，是一个异常艰巨的过程。科学的发展永无止境，没有已经完成或终结的科学，这是爱因斯坦告诫后继者的真理。
[1] 郭汉英. 科学，2005，57（4）：16
[2] 吴咏时，李根道，郭汉英. 科学通报，1974，19：509；郭汉英. 科学通报， 1976，21：31；安瑛，陈时，邹振隆，郭汉英. 科学通报，1976，21：379
[3] Townsend P. Phys Rev，1977，D15：2795；MacDowell S W，Mansouri F. Phys Rev Lett ,1977, 38:739 ,1376；Stelle K S，West P C. Phys Rev，1980，D21：1466； Wilczek F. Phys Rev Lett，1998，80：4951
关键词：广义相对论 引力理论 等效原理 相对论 局域化原理 场方程的局域对称性原理 戈尔迪结
〖本文刊载于《科学》杂志2005年第5期〗 [作者简介]
2004年，诺贝尔物理学奖获得者格罗斯（D.Gross）提出25个重大科学问题。前5个直接与广义相对论有关：宇宙的起源，暗物质的性质，暗能量的性质，宇宙中结构的形成，广义相对论的正确性。一般认为，修改广义相对论和爱因斯坦场方程在所难免。
在《狭义相对论的基本原理及其宇宙学意义》中，我们曾引用过爱因斯坦的观点：“相对论是一种原理的理论。”与“构造理论”不同，原理理论“应用分析而不是综合的方法。其出发点和基础不是假设的要素，而是经验上观察到的现象的一般性质、一般原理；从这些性质和原理导出这样一些数学公式，使其用于每一自身出现之处。”“原理理论的优点，是它们逻辑上的完善，和它们基础的稳固”。[1]
我们认为，即使在狭义相对论这样成熟的“原理理论”中，仍然存在“假设要素”；存在着相对性原理与宇宙学之间的不协调，等等。暗宇宙的观测事实暗示，应该放弃狭义相对性原理中的“欧氏假定”。这样，除了闵氏时空中具有庞加莱不变性的狭义相对论之外，还可能存在德西特或反德西特时空中具有德西特或反德西特不变性的狭义相对论。对于后二者，相对性原理与“完美”宇宙学原理之间是协调的，等等。
由预言星光偏折而轰动世界的广义相对论，同样是公认的“原理理论”。判断这样一个重要理论的正确程度，如何进一步发展，离不开对其基本概念和原理进行深入的分析和探讨。其实，这个理论同样包含许多重要的“假设要素”，包括一些基本观念和原理之间的不协调；同时，还存在一些重大问题有待解决。
等效原理和相对论的局域化
等效原理的实质
惯性质量与引力质量相等，这是从伽利略以来就知道的实验事实，但一直没有引起重视。爱因斯坦由此出发，提出惯性力与引力等效的等效原理，促使他突破狭义相对论，提出广义相对论。
然而，在牛顿力学中，惯性力和引力的表达式就并不等价；在广义相对论中，二者也不等价：前者往往是曲率为零的克里斯托弗符号，后者则是非零曲率或其克里斯托弗符号。有的学者认为，这个原理好像是“助产婆”，广义相对论诞生之后，这个“助产婆”的作用，仅仅在于要求描述引力场的黎曼几何的度量，应具有闵氏度量的符号差。著名学者迈斯纳（C.W.Misner）、索恩（K.S.Thorne）和惠勒（J.A.Wheeler）在名著《引力》一书中这样来表述这个原理：在宇宙中任何时刻、任何地点都存在局域洛伦兹时空。在这类局域洛伦兹时空中，除了引力之外的一切物理规律的形式与狭义相对论中一样。这里的局域洛伦兹时空就是局域闵氏时空、或者局域洛伦兹标架。一般认为，这是广义相对论中最重要的原理。
但是，这一等效原理没有要求局域。洛伦兹时空仍然局域地具有狭义相对论及其物理定律完整的（局域）庞加莱对称性ISO(3,1)；留下的仅是（局域）齐次洛伦兹对称性SO(3,1)，没有时空平移对称性。在狭义相对论以及相应的物理理论中，时空平移对称性对于质量、能量和动量等物理量的定义和守恒，区分不同物质场在庞加莱变换下的性质，起着重要的作用。由于没有要求（局域性的）时空平移对称性，在广义相对论中，粒子和场的物理量的定义与守恒就失去了相应的对称性基础；只能把有关物理定律中出现的物理量类比于或“等效”于狭义相对论中相应的物理量。这是相当强的“工作假定”。
时空“奇性”带来的理论疑难
爱因斯坦之后，广义相对论的理论研究取得了许多进展。最重要的进展之一，是有关黑洞理论以及大尺度时空结构的研究。
1960年代末以来，著名学者彭罗斯（R.Penrose）和霍金（S.W.Hawking）发现，在一般条件下，广义相对论存在“奇性”。宇宙起源于奇性，星系演化经过黑洞终结于奇性。研究表明，对于晚期的星体而言，只要质量足够大，就迟早会变为黑洞；一旦形成黑洞，就会坍缩到时空奇点。时间停止了，曲率变为无穷大，一切物理定律失去意义，一切物质被撕得粉碎。很明显，这种奇性是很难接受的。不仅如此，甚至有可能出现更不可思议的“裸奇性”，既不在黑洞视界内，也不在宇宙大爆炸之初。于是，彭罗斯提出“宇宙监督”假说，假定不存在这类“裸奇性”。
为什么会出现病态的“奇性”呢？按照等效原理，如果宇宙中时时处处都存在局部洛伦兹时空的话，就不应该出现这类奇性。奇性不可避免暗示着，广义相对论存在某些不自洽。难怪著名学者席阿玛（D.W. Sciama）指出：“我们面临着理论物理的危机。或者经典广义相对论要破坏，或者存在着等效的负能密度，或者因果性不再成立，或者在自然界中存在奇性。” 伯格曼（P.G.Bergmann）也指出：“膨胀宇宙极早期存在奇性，这是现有理论观念并不适合于极高密度物质的一个讯号。”（《宇宙学作为科学》，1971）
要避免“奇性”，一个简单的办法是把广义相对论扩展为爱因斯坦-嘉当理论。后者引入时空几何的挠率与物质的自转的联系。在一定意义上，时空几何具有挠率，就是引进了（局域）平移对称性。
引力理论的相对论局域化原理
为了在基本原理中引入局域平移对称性，不妨在等效原理的基础上加上局域平移对称性的要求。由于等效原理已具有局域齐次洛伦兹对称性，加上局域平移对称性，就是局域庞加莱对称性。其实，这相当于要求在表述引力相互作用的时空几何中时时处处都存在局域的狭义相对论。可以称这个原理为引力理论的相对论局域化原理：在宇宙中，时时处处存在局域闵氏时空，其中除了引力之外的物理规律，都具有局域庞加莱不变性；亦即狭义相对论局域成立。这相当于要求在爱因斯坦自由下落“电梯”中，庞加莱不变的狭义相对论成立。应该建立以这一原理为基础的局域庞加莱不变性的引力理论。
事实上，这与爱因斯坦的初衷是一致的，因而既不会违背所有支持狭义相对论的实验和观测，也不会违背惯性质量与引力质量相等的实验事实。不仅如此，由于去掉局域平移，就回到等效原理；因此，局域庞加莱不变的引力理论，应该以某种方式包含广义相对论的合理内容，从而与和引力有关的实验观测一致。然而，从广义相对论来看，作为引力场的性质的挠率和作为引力源的物质场自转，都是“暗”的。换言之，在以爱因斯坦方程和宇宙学原理为数据分析框架，得到的“暗物质”中很可能包括引力场挠率和物质源自转的贡献。
文献[1]指出，由于与庞加莱不变的相对论基本上平权，还应该存在德西特或反德西特不变的相对论。对于前者，引力的相对论局域化原理应该重新表述：在宇宙中，时时处处都存在局域德西特时空，其中除了引力之外的物理规律都具有局域德西特不变性；亦即德西特不变的狭义相对论局域成立。对于后者，有类似的表述。
由于我们的宇宙很可能以加速膨胀的方式，渐近于宇宙常数为正的德西特时空，因此，应该建立以这个原理为基础的、具有局域德西特不变性的引力理论。
广义相对性原理并没有广义相对性
爱因斯坦深受马赫“任何运动都是相对的”观点的影响。为了取消狭义相对论中惯性运动与惯性参考系的特殊地位，他提出广义相对性原理，要求“物理学定律具有对于无论以什么方式运动的参考系都成立的性质”。“普遍的自然规律是由对一切坐标系都有效的方程来表述的；也就是说，对于无论那种（坐标）代换都是协变的（广义协变）。”（《广义相对论的基础》，1916）
其实，自然规律的广义协变与任何运动的相对性是两个不同的概念。具体的运动过程，除了运动规律之外，还要有其他条件，如边界条件、初始条件等。后者往往不可能做到广义协变。因而，即使自然规律具有广义协变性，也并不意味着任何运动之间的相对性。不仅如此，很快就有人指出，自然规律的“广义协变”在数学上并没有什么意义，任何在特殊坐标中的物理定律，都可以在局部写为广义协变、或者与坐标无关的几何形式。嘉当（E.Cartan）指出，牛顿引力理论也可以几何化。
后来，爱因斯坦的表述也有所改变，他提出在广义协变形式下的“简单性”要求：“自然定律应该表述为在连续坐标变换群下协变的方程。这个群替代了狭义相对论中的洛伦兹变换群，后者形成前者的一个子群。”“当然，这一要求自身作为导出物理的基本观念的出发点并不充分……广义相对性原理突出的启发式的意义在于它导致我们去寻求在广义协变形式下尽可能简单的方程组”。（《自述》1946）于是，还要用“奥卡姆剃刀”。
惠勒等在他们的名著中这样来表述这个原理：“‘物理量必需表述为（与坐标无关的）几何量，物理定律必需表述为这些几何量之间的几何关系。’这一物理观点，有时称为‘广义协变性原理’，遍及20世纪物理思维。但是，这个原理具有强制性的内容吗？没有，完全没有”。“作为区分可行的和不可行的理论的筛选，广义协变性原理是无用的。”他们追随爱因斯坦，认为这个原理应该代之以一个“有些朦胧的原理”：“‘自然界偏爱用坐标无关的几何语言表述的简单理论’。按照这个原理，自然界必然偏爱广义相对论，而厌恶牛顿理论。”他们认为：“广义相对论具有最简单、最优雅的几何基础[三个公理：(1)具有度量；（2）度量由爱因斯坦方程G=8πT 支配;（3）在度量的局部洛伦兹标架中所有狭义相对论的物理规律是正确的]。”（《引力》）这里，G=8πT 是爱因斯坦方程的缩写，G和T分别是爱因斯坦（曲率）张量和能量动量张量的简写，牛顿引力常量和光速都取为1。
总之，广义协变性原理或广义相对性原理并没有实现马赫“任何运动都是相对的”观点；为了具有实质的内容，必须代之以“几何形式的简单性”、等效原理等。这样，广义相对论并没有运动的“广义相对性”。
其实，3＋1维黎曼时空上的“连续坐标变换”一般并不构成群；在给定时空点，局部坐标的基底（?鄣/?鄣xi）及其对偶基底（dxi）之间的变换矩阵才构成群，即局域的一般线性群GL(4,R)。在广义相对论中，要求所有物理量都是这类变换下的张量（的分量），或者带上相应的基底，成为与坐标无关的几何量。局域齐次洛伦兹群SO(3,1)是这个群的子群，但是局域平移却不是。这又导致等效原理没有要求局部平移对称性的同样问题和后果。
狭义相对论是按照庞加莱群及其不可约表示，对于物质场及其物理量进行分类进行的。而在广义相对论中，分类是按照局域的一般线性群来进行的；二者并不等价。另一方面，在3＋1维黎曼时空上，局部定义的几何量也不一定能够在全时空整体定义，这是要加以注意的。
在相对论体系之中，如何协调二者的不等价呢？
如果考虑到前面提出的相对论局域化原理，对于具有局域庞加莱不变性的引力理论，相应的“广义协变原理” 应该有相应的修改。例如，应该试图把局域的一般线性群GL(4,R)推广为包含平移的局域的仿射变换群A(4,R)，局域庞加莱群ISO(3,1)是这个群的子群。由于具有局域平移对称性，一个明显后果恰恰是，有可能消除在狭义相对论和广义相对论中物理量定义的不等价和有关的工作假定。
引力场方程和“戈尔迪结”
在广义相对论的成功中，爱因斯坦场方程起到核心作用。在现代宇宙学观测结果的分析中，爱因斯坦方程又是基础。因此，面对宇宙学观测结果的挑战，对于爱因斯坦场方程的分析应该格外注意。其实，早就知道这个方程很可能存在一个打不开的“戈尔迪结（Gordian)”。
爱因斯坦方程和“戈尔迪结”
从几何量与对称性，以及物理量与对称性的关系来看，场方程存在内在的不协调。
惠勒等在他们的名著中明确提到这个问题：“答案在于G=8πT ；问题何在？问题来自爱因斯坦-嘉当的‘转动矩’G 与协强-能量张量T 的联系，但什么是这个方程首先要达到的目的？如果几何告诉物质如何运动，物质告诉几何如何弯曲，手中不就没有这个‘戈尔迪结’了吗？不然，怎么能永远解不开它呢？”
何以见得G=8πT 有一个“戈尔迪结”？
从几何量与局域对称性的关系来看，黎曼曲率R是与局域齐次洛伦兹转动相联系的。G由黎曼曲率构成，这也是为什么称之为爱因斯坦-嘉当“转动矩”的原因。然而，从物理量与对称性的关系来看，与能量动量张量T 相联系的对称性却不是转动；在狭义相对论中是平移。相应于狭义相对论中的平移的物理量T联系的是相应于转动的几何量G；这种“错位”就是场方程的“戈尔迪结”。但是，是不是因为“几何告诉物质如何运动，物质告诉几何如何弯曲”，这个结就不复存在呢？
按照广义相对论的运动理论，粒子的运动方程可以从场方程或者能动张量的协变守恒律推导出来。对于有自转的粒子，其运动方程多了黎曼曲率R与自转流S的耦合项RS；这一耦合是对应于局域洛伦兹转动的几何量与物理量之间的耦合；与电磁理论中带电粒子所受洛伦兹力，电磁场强F与电流J之间的耦合FJ，在形式上完全类似。然而，电磁场方程为?塄·F=
4?仔J，即电磁场强F的散度由场源的电流J决定；与洛伦兹力的耦合相同，都是对称性一致的几何量和物理量之间的耦合。在一般的规范理论中也是这样。可是，在广义相对论中却出现了两类耦合，一类是场方程所反映的对称性不同的几何量与物理量之间的耦合；另一类则是对称性相同的耦合。另外，既然黎曼曲率是引力场强，那就应该存在一个引力场强的能动张量，其形式与电磁场强的能动张量完全一样。然而，场方程中却没有引力场自身的能动张量。
不仅如此，自转也是物质在时空中的重要性质。为什么自转要与黎曼曲率耦合，而反过来却不能通过引力场方程来影响时空的弯曲？
爱因斯坦一贯主张：“设想一件本身起作用而不承受作用的事物（时空连续区域）是违背科学的思考方式的。这就是使得马赫试图在力学体系里排除以空间为主动原因的理由。”（《相对论的意义》，1921）看来，对于自转这一所有星体都具有的性质而言，即使在广义相对论中，弯曲时空在一定程度上仍然是“起作用而不承受作用的”“主动原因”。
如果把爱因斯坦一再主张的“科学的思考方式”贯彻到底，就应该进一步排除这一“主动原因”，并且避免“戈尔迪结”的尴尬。
爱因斯坦-嘉当理论和“戈尔迪结”
嘉当引进时空的几何量挠率、考虑自转流对于时空几何的作用；用爱因斯坦-嘉当方程作为场方程来代替爱因斯坦方程。这就是前面提到的爱因斯坦-嘉当理论。
在这一理论中，除了度量或相应的洛伦兹标架之外，描述引力场的几何量还有取值在齐次洛伦兹代数上的联络，即洛伦兹联络。这个理论的引力场方程，除了与爱因斯坦方程类似的G=8πT之外，还有嘉当方程Y=8πS，联系时空的（组合）挠率Y和引力源的自转流S。前面提到，这个理论有可能在经典水平上避免时空的奇性。但是，从场方程的结构看，不但没有避免爱因斯坦方程的“戈尔迪结”，反而又多了嘉当方程的“戈尔迪结”。
有没有可能既避免引力场方程的“戈尔迪结”，又能够同样解释广义相对论所能够解释的实验与观测结果呢？有！
场方程的局域对称性原理和德西特-洛伦兹模型
为了避免“戈尔迪结”，引力场方程应该满足局域对称性原理：描述引力场的具有确定局域对称性的时空几何量，应该由具有相同局域对称性的物理量来决定。这个原理对于局域对称性的要求应和相对论局域化原理一致。应该把这两个原理作为引力理论的基本原理。
按照这个原理，引力场方程应该具有?塄·F=4?仔J的形式。这里的F和J至少应分别是曲率和挠率的组合与能量-动量-自转流；或者是它们相应的推广。
于是，就可以提出这样三个公理：(1)具有度量和洛伦兹联络；（2）二者由方程?塄·F=4?仔J支配；（3）德西特相对论局域成立。
与惠勒等提出的三个公理比较，或许同样“具有最简单、最优雅的几何基础”。显然，仅仅从“几何简单和优雅”无法判断二者的优劣；如何运用“奥卡姆剃刀”呢？作为更进一步的“原理的理论”，或许应该剔除“戈尔迪结”？其实，关键在于，以此为数据分析基础，是否能够经受观测与实验结果的检验，是否能够避免一些疑难。
一个简单模型的初步研究表明，答案是肯定的。
这个模型从爱因斯坦-嘉当理论的几何量与物理量出发，把洛伦兹标架和洛伦兹联络构成一个取值在德西特代数SO(4,1)上的联络，称为德西特-洛伦兹联络。这个联络的德西特-洛伦兹曲率自然包括了洛伦兹曲率和洛伦兹挠率。如果把引力场作用量取为德西特-洛伦兹曲率的杨-米尔斯型的模方，引力场方程就是?塄·F=4 ?仔J的类型，并自动出现宇宙常数。这里的F和J恰恰是曲率和挠率的组合与能量-动量-自转流；不过，后者还包含了引力场自身的能量-动量-自转流；其中，恰恰包括曲率和挠率的能动张量。这是与通常规范理论的不同之处。
早在1970年代初，我国学者就提出了这个模型，不妨称为德西特-洛伦兹模型；后来又有所发展[2]。几年之后与上世纪末，美英等国学者也提出并探讨了类似的模型[3]。近来，我们又重新深入研究这类模型和具有局域德西特不变性的引力理论。
在这个模型中，不仅自动给出宇宙常数,而且标志引力作用的应是一无量纲耦合常数，由普朗克常量、光速、牛顿引力常量和宇宙常数组成，其量级恰为10-120。事实上，所有具有局域德西特或反德西特不变的引力理论都会具有这一重要特点。
如果从这组方程中分出爱因斯坦方程，那么，在爱因斯坦方程的角度看来，那些“多余”部分完全是“暗”的。于是，“暗物质”疑难的来由之一，可能就是爱因斯坦场方程所忽略的这些引力和物质的性质。
黑洞物理的进展和量子引力的出路
1970年代以来，黑洞的经典和量子理论先后取得重要进展。
在黑洞和热力学系统之间建立了联系，提出了黑洞熵的概念，建立了黑洞热力学；加深了对于黑洞的认识。关于黑洞背景上的量子理论的研究，进一步加深了这一认识。以前，一直以为黑洞是绝对“黑”的，什么东西都跑不出来。考虑到量子效应就有所不同：黑洞会辐射出粒子和光子，不断“蒸发”并具有通常热辐射的谱型。同时，这种“蒸发”过程随着黑洞质量不断减少会愈演愈烈，以至最后可能会引起黑洞“爆炸”。然而，任何有序物体掉进黑洞，都变成无序的热辐射发射出来，这却导致信息丢失；与物理学理论基础之一的量子力学薛定谔方程的概率流守恒矛盾。
引力理论的量子化，无疑是很重要而又一直没有解决的问题。自然界是统一的，在描述自然界的两种主要理论之间应该存在内在联系。否则，也应该知道理由何在。
1960年代以来，有关探索更为迫切。一方面，需要研究引力量子化与奇性疑难之间的关系；另一方面，1970年代初规范场量子化和重正化理论的进展提供了强有力的工具。可以证明，广义相对论的引力场是不可重正化的。原因是牛顿引力常量具有量纲，这与通常规范理论具有无量纲耦合常数完全不同；同时，任意坐标变换与量子理论的幺正变换也不一致。
在刚提及的德西特-洛伦兹模型中，标志引力的是一无量纲耦合常数，这值得深入探讨。
近年来，非微扰量子引力的尝试，在超弦和在广义相对论的框架内都取得一些有意义的进展。例如1990年代中期以来关于黑洞熵的微观起源的进展。当然，一个完整的关于黑洞的量子理论必须考虑引力场自身的量子效应。因此，问题并没有从根本上解决。
不过，黑洞具有熵，又有微观起源，表明黑洞及其引力场是一个系统，不是基本场而是有效场。这从一个角度加强了关于广义相对论是有效场论的观点。其实，爱因斯坦早就隐隐约约从另一角度觉察到这一点：他对引力场方程右边的能动张量并不满意，希望与场方程左边一样具有几何描述。在考虑星体或宇宙模型时，要引入引力源的“物态方程”。而“物态方程”所联系的是大量微观粒子组成的系统的宏观量，不是基本场量。现在，即使是几何，也并非基本。否则，在什么意义下谈论基本场的“熵”及其“微观起源”？这样，爱因斯坦方程很可能就是有效场的方程。
从有效理论的观点来看，有效场并不一定需要可重正化。因而，广义相对论的不可重正化并不可怕。出路之一可能是，找到更基本的自洽的经典和量子理论，广义相对论作为这种更基本理论的有效理论。另一出路可能是，尽管引力场是有效场，仍然存在自洽的量子引力；或者说明从我们的宇宙这一极其复杂的系统中，如何涌现出这样的有效理论。对于后者，目前还完全不清楚。对于前者，超弦/M理论似乎是可能的候选者。但是，超弦/M理论的发展还处在相当初步的阶段。什么是基本自由度？什么是基本对称性和动力学原理？这些问题也都不清楚。更不用说，如何具体地表明广义相对论作为有效理论了。
晚年的爱因斯坦写道：“大家都认为，当我回顾自己一生的工作时，会感到坦然和满意。但事实恰恰相反。在我提出的概念中，没有一个我确信能坚如磐石，我也没有把握自己总体上是否处于正确的轨道。”这位近现代科学史上最伟大的学者在以他所创建的辉煌谦虚地陈述着一个真理。
从哥白尼开始，经过伽利略到牛顿和爱因斯坦，物理学发展到今天，又迎来了空前的挑战。面对这一挑战，分析广义相对论这一人类认识史上的丰碑，实践引力理论的发展和变革，是一个异常艰巨的过程。科学的发展永无止境，没有已经完成或终结的科学，这是爱因斯坦告诫后继者的真理。
[1] 郭汉英. 科学，2005，57（4）：16
[2] 吴咏时，李根道，郭汉英. 科学通报，1974，19：509；郭汉英. 科学通报， 1976，21：31；安瑛，陈时，邹振隆，郭汉英. 科学通报，1976，21：379
[3] Townsend P. Phys Rev，1977，D15：2795；MacDowell S W，Mansouri F. Phys Rev Lett ,1977, 38:739 ,1376；Stelle K S，West P C. Phys Rev，1980，D21：1466； Wilczek F. Phys Rev Lett，1998，80：4951
关键词：广义相对论 引力理论 等效原理 相对论 局域化原理 场方程的局域对称性原理 戈尔迪结
〖本文刊载于《科学》杂志2005年第5期〗 [作者简介]
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