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Saturday, October 5, 2013

qm01 量子力学中的力学量

经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。

本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容：

一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；

两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米算符的本征态表示；

三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；

四个本征态及本征值：坐标或、动量或、角动量及、能量（哈密顿量）。

本部分的难点是任意态与力学量算符本征态及力学量概率态的区别。

1 厄米算符

1.1 算符：算符只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量与相当，自由粒子体系的能量与相当。于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。

1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数

（1）

但在特殊情况下，得到

（2）

为实或复常数。量子力学中把这样的函数称为算符的本征函数，对应的常数称为算符

的本征值，相应的关系式称为本征方程。

1.3 厄米算符：

（1）算符中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符。例如，则，

一般来说， 。

（2）算符的转置算符定义为，即

（3）

一般为任意函数，，例如算符的转置算符为

（4）

这是因为

（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为，即

（5）

一般来讲， ，但动量算符却例外，如，

（6）

（4）厄米算符满足的算符称为厄米算符，又称自厄算符。因此，只要称其为厄

米算符，虽然没有任何标记，当它都包含转置共轭的性质，如为厄米算符，则有

（7）

此式被认定为厄米算符的定义式，经常应用不可忽视。这种特殊性质的算符，对它的本征值具

有特殊的结果：厄米算符的本征值都是实数。

厄米算符的特殊作用以及它的本征函数、本征值在量子力学中占有极其重要的地位。

2 力学量用厄米算符表示

当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表

示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一

步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能

与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量可以用一个线性厄米

算符来表示，简称为力学量算符，所谓“线性”，无非是要求满足运算

（8）

实中为任意常数。“厄米”才是关键所在。而“表示”只是指一种表现形式，这要看算符

所作用的态函数的变量（后面表象理论一讲详细讨论）。本讲基本上都是以坐标为变量，所以

只需以为基础，原则上可以得出所有力学量算符

（9）

3 力学量算符的本征态和本征值

微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。

假定体系处于力学量算符的本征态，本征方程为

（10）

说明力学量算符对应着确定的实数本征值，这时的力学量没有别的选择，只能是

（11）

即当体系处于力学量算符的本征态时，力学量具有确定值。这种确定的关系可以表示为

量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符的本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符的本征态（能量本征态），势阱宽，本征值，力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱。

大致可分为三类：（1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；（2）带谱—本征值被限定在某些区域，例如固体中的能带；（3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为或，分立谱记为。对应的本征函数分别记为及。二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如个）本征态对应一个本征值，称这种情况为度简并。

四个特例

3.1 球坐标中的角动量首先看角动量的分量的本征函数。设其本征函数为，对应的本征值为，则本征方程为，将其变为

可解出 ，由波函数单值性要求，故必须是整数，即，可见本征值是量子化的分立谱。利用归一化条件

取，因此归一化的波函数为

角动量平方算符

其本征方程为

对应的本征值为

本征态为

注意以下三点：

（1）取负值时，，所以只需注意为正值时的即可；

（2）当一定时，角动量平方算符的本征值一定，但可取个值，所以本征态有共个，即角动量平方算符的本征值是度简并的；

（3），说明也是的本征态。这是因为，所以在的本征态上乘以任何与无关的数仍为的本征态，本征值仍为。由此可见，当给定后，本征值只与一个确定的本征态相对应，说明共同消除了简并，确定了一个共同的本征函数。例如，给定，则，对应7个简并态；进一步给定，则，二者共同确定一个本征态。

3.2 坐标算符的本征态

设坐标算符的本征函数为，本征值为，则本征方程为即利用函数的性质可得

讨论：（1）在以为变量的坐标系中，力学量的算符就是自身，而本征函数为函数；

（2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函数的归一化写成

即归一化为函数

3.3 动量算符的本征方程

对应本征值的本征函数

为具有确定动量的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为函数，故取归一化因子为，对于三维情况归一化为

关于动量波函数的箱归一化问题见教本的量子化条件。

3.4 关于的本征态（能量本征态）

（1）定态方程，本征值是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线性谐振子等。

（2）电子在库仑场中运动的氢原子问题

能量本征值

本征态

注意分析结果后回答几个问题：（a）能级简并度？（b）是的本征态吗？假若是的话，对应的本征值各是多少？（c）能确定唯一的本征态吗？和能共同确定本征态吗？三者呢？

4 任意状态下力学量的可能值

4.1 厄米算符的三个基本性质：实数性，正交性、完备性。

量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。

（1）厄米算符的本征值都是实数，表示为。

（2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交，分立谱为

连续谱为

一般与归一化结合在一起，表示为

（12）

这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值的。若属于同一本征值的本征态有个，即度简并，则这个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力学量的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量的态函数，如果是，那么对的本征值是否还简并？如球谐函数，它是角动量平方算符的本征函数，对应的本征值有度简并，但也是角动量的分量的本征函数，对应的本征值。不过和只能对应一个本征函数，简并消除了，正交问题自然解决了（这涉及到共同本征函数问题，见下一讲）。

（3）厄米算符本征态具有完备性，即这些本征态的线性组合足以描述任何态

（13）

4.2 任意状态下力学量的可能值

微观粒子处于力学量算符的本征态时，力学量与本征值有确定的对应。如果粒子不是出于的本征态而是处于任意态，如何理解任意态？厄米算符本征态的完备性已明确告诉我们，可用厄米算符的本征态的线性组合描述，即

（14）

这正是态叠加原理的具体表现。在态中对力学量进行测量时，得到的可能值是，也可能是，……，而决不会是本征值之外的其它值。将归一化

（15）

将（14）（15）联系起来看，表示任意态处于本征态的概率（或者说本征态在任意态中所占的概率）。若从力学量的角度看，是在态中测量力学量得到可能值的概率（或说力学量的值在态中被测到的概率）。而

（16）

为体系处于任意态时力学量的概率分布函数。

综上所述，当体系处于任意态时，测量力学量所得的数值，将会出现各种不同的结果，但必定是算符的本征值之一，测得力学量的值为的概率为。

注意以下两点：

（1）面对任意态，你将用哪一个力学量的本征态展开？这取决于你要讨论的物理量。认定物理量后，就用该力学量的本征态展开任意态；

（2）任意态和力学量算符的本征态都是坐标的函数，他们的模平方都描述各自态中的位置概率分布，只不过在中力学量有确定值罢了。而

之所以被称为力学量的概率分布函数，是因为一般已不是坐标的函数，而是力学量的函数（对分立谱，它是量子数的函数；对于连续谱，它是本征值的函数）。表示在任意态中力学量的概率分布。例如，任意态用动量算符的本征态展开时，表示该态的坐标概率分布，表示本征态的坐标概率分布，但，描述的是态中动量的概率分布。