【求助】不能归一的波函数- 物理- 小木虫- 学术科研第一站
请教动量空间态叠加的问题_相对论吧_百度贴吧
微分形式与同调论浅析 流形是从拓扑空间开始的，拓扑空间又是从集合论开始的。我们在集合上进行不同的运算，就构造了不同的空间。例如，引入加法和数乘，就定义了线性（矢量）空间，引入内积运算就定义了度量空间。事实上，我们也可以不引入距离的概念，只类比开区间的概念由邻域来定义开集，通过一个点集的每个开邻域都与n维欧式空间同胚（连续的一一映射）来定义流形。集合是静态的，但映射是动态的，所以集合上就可以有导数与微分这些与运动相关的概念。
流形是从拓扑空间开始的，拓扑空间又是从集合论开始的。我们在集合上进行不同的运算，就构造了不同的空间。例如，引入加法和数乘，就定义了线性（矢量）空间，引入内积运算就定义了度量空间。事实上，我们也可以不引入距离的概念，只类比开区间的概念由邻域来定义开集，通过一个点集的每个开邻域都与n维欧式空间同胚（连续的一一映射）来定义流形。集合是静态的，但映射是动态的，所以集合上就可以有导数与微分这些与运动相关的概念。
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我们喜欢从简单开始，然后逐渐的推广到复杂的系统。因此，如前所述，我们就先开始描述一个点粒子的系统，观察每个粒子的运动。
动量空间——一个不是三维实空间的例子
在三维实空间里，一个点粒子系统的每个粒子的有坐标(x, y, z)，或者把这个坐标，看成是向量的三个分量，写成向量r。然而，这对于描述运动的粒子是不够的——除了位置，我们还想要知道粒子的速度，或者说动量 p。对一个N粒子系统，它的坐标为(r1,r2,..rN)，表示粒子1处在坐标r1上，粒子2处在r2上，... ，粒子N处在坐标rN上；而动量的**为(p1,p2, .., pN)，即第k个粒子的动量为pk。
就这样，我们得到了一个新的空间。在这个新空间里，我们并不关心粒子的坐标是多少，只关心它具有多少动量。这就是动量空间。
为什么需要这个空间呢？考虑如下场景。现在我们有一升的理想气体，盛在封闭容器里，里面大约有10^22个气体原子。我们不写出每个原子的位置，只知道它们在容器里均匀分布，也就是有一恒定密度[在这里我们不考虑热力学涨落的问题]。
真正有趣的事情发生在动量空间。虽然在实空间里粒子密度均匀，但并非所有粒子都具有一样的速率。我们做不到跟踪每个粒子速率，但是我们可以写出它们的速率
的分布。类比在实空间里的密度概念，我们可以把这个分布理解为速率的密度。速率密度大的地方，就表示处于这段速率的粒子数目多。
我们喜欢从简单开始，然后逐渐的推广到复杂的系统。因此，如前所述，我们就先开始描述一个点粒子的系统，观察每个粒子的运动。
动量空间——一个不是三维实空间的例子
在三维实空间里，一个点粒子系统的每个粒子的有坐标(x, y, z)，或者把这个坐标，看成是向量的三个分量，写成向量r。然而，这对于描述运动的粒子是不够的——除了位置，我们还想要知道粒子的速度，或者说动量 p。对一个N粒子系统，它的坐标为(r1,r2,..rN)，表示粒子1处在坐标r1上，粒子2处在r2上，... ，粒子N处在坐标rN上；而动量的**为(p1,p2, .., pN)，即第k个粒子的动量为pk。
就这样，我们得到了一个新的空间。在这个新空间里，我们并不关心粒子的坐标是多少，只关心它具有多少动量。这就是动量空间。
为什么需要这个空间呢？考虑如下场景。现在我们有一升的理想气体，盛在封闭容器里，里面大约有10^22个气体原子。我们不写出每个原子的位置，只知道它们在容器里均匀分布，也就是有一恒定密度[在这里我们不考虑热力学涨落的问题]。
真正有趣的事情发生在动量空间。虽然在实空间里粒子密度均匀，但并非所有粒子都具有一样的速率。我们做不到跟踪每个粒子速率，但是我们可以写出它们的速率
的分布。类比在实空间里的密度概念，我们可以把这个分布理解为速率的密度。速率密度大的地方，就表示处于这段速率的粒子数目多。
- 乖乖々鹏鹏
- 吧主7
我们甚至可以写出数学式子。头疼数学的话，请少安毋躁，因为这个式子非常重要。对于大量的，质量为m的气体粒子，在温度T时，速率的分布函数可以写成
(1)
所谓速率的分布函数，就是在不同速率处的粒子出现的相对可能大小，即概率分布。也就是说，不论粒子总数是多少，具有不同速率的粒子的相对比例是不变的。
这是一件神奇的事情！在一定温度下，我们有10^22个粒子，它们互相“不认识”彼此，近乎独立的存在于小容器里，仅仅时而互相碰撞。按理说，一个粒子的速
率，应该与另一个粒子速率没有关系——同样温度下，所有粒子的速率都相等看起来更合理。但事实上，就整体而言，我们可以说出哪些速率的粒子相对较多，哪些
速率的粒子较少！这个速率的概率分布函数，就是大名鼎鼎的麦克斯韦——玻尔兹曼分布
(1)所谓速率的分布函数，就是在不同速率处的粒子出现的相对可能大小，即概率分布。也就是说，不论粒子总数是多少，具有不同速率的粒子的相对比例是不变的。
这是一件神奇的事情！在一定温度下，我们有10^22个粒子，它们互相“不认识”彼此，近乎独立的存在于小容器里，仅仅时而互相碰撞。按理说，一个粒子的速
率，应该与另一个粒子速率没有关系——同样温度下，所有粒子的速率都相等看起来更合理。但事实上，就整体而言，我们可以说出哪些速率的粒子相对较多，哪些
速率的粒子较少！这个速率的概率分布函数，就是大名鼎鼎的麦克斯韦——玻尔兹曼分布
某种函数空间上的微分算子理论对应于波
动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学。因为这种函数空
间已经被Hilbert 的学生Schmidt 研究过，而大家普遍相信是Hilbert 的思想
引导了对这种函数空间的研究，所以von Neumann 用了Hilbert space 这个
名字。
Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，
路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛
函𝑒𝑖𝐼/~加权，得到经典观测值
局部坐标系里的
坐标就是Lagrange 分析力学的“正则坐标”。
Lagrange 的方法是定义一个函数L, 变量为正则坐标和该坐标点的“虚
速度”（在考虑粒子运动轨迹之前，无法谈论速度。这里的虚速度是位形空
间M 的切向量，也就是粒子在这一位置的可能速度）。用流形的语言，指定
一个切向量的同时，也就指定了它的基点，而所有切向量的集合称为“切
丛”。所以Lagrange 量L 实际上是切丛上的函数。
Legendre 变换利用Lagrange 量把虚速度变为动量。用流形的语言，就
是把切向量映到余切向量，把切丛𝑇𝑀映到余切丛𝑇*𝑀。在余切丛上，局
部坐标是正则坐标和正则动量，它们满足Hamilton 运动方程
它们的函数
也满足相应的运动方程，而所有运动方程都能写成统一的形式，
也满足相应的运动方程，而所有运动方程都能写成统一的形式，
𝑑𝑓(𝑡, 𝑞(𝑡), 𝑝(𝑡))
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑡
+ {𝑓,𝐻}. (31)
这里的Poisson 括号局部定义为
{𝑓, 𝑔} =
3Σ︁𝑁−𝑠
𝑖=1
(︂
𝜕𝑓
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑔
𝜕𝑝𝑖
−
𝜕𝑓
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑖
)︂
(32)
Poisson括号是双线性，反对称的，满足Jacobi 恒等式和Leibniz 法则，
这里就不详述了。要用到的时候其意自明。需要单独列出的是，
{𝑞𝑖, 𝑝𝑗} = 𝛿𝑖𝑗
(33)
Hamilton 力学的特征被数学家总结为辛几何。位形空间的余切丛𝑇*𝑀
（物理学家称为相空间）是所谓“辛流形”的范例。
从切向量场得到函数的办法，无非是用一个1-形式𝜃作用一下。看看最简单
的例子，粒子的动量是相空间上的函数，它决定的切向量场是−𝑑/𝑑𝑞
如果辛形式的确有一个“原形式”，那么
以上构造就给出了Hilbert 空间和代表可观察量的算子。需要指出，这并没
有得到跟量子力学原理吻合的量子化，只要计算一下粒子的正则坐标对应
的算子就能看到。其原因是，现在的Hilbert 空间是坐标和动量的函数，而
量子力学原理要求波函数要么只是坐标的函数，要么只是动量的函数。因
此以上过程称为“预量子化”。
11 丛与联络
取流形M 的一个开覆盖，就是一族开集{𝑈𝛼}使得∪𝛼𝑈𝛼 = 𝑀。它们可
以取得比较好，比如，它们都同胚于欧氏空间，它们之间任意的交集也都
同胚于欧氏空间。这种覆盖叫一个好的覆盖。它的好处是，在它们重叠的
地方，Poincare 引理总成立：闭形式一定是恰当形式。
11 丛与联络15
这样在每一个开集𝑈𝛼上，辛形式有原形式𝜃𝛼。上一节的程序就构造了
算子^ 𝑓𝛼，作用在局部的函数上，
𝑖~𝑋𝑓𝜓(𝑥) − 𝜃𝛼(𝑋𝑓 )𝜓(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝜓(𝑥) (43)
如果𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ̸= ∅，在这个交集上就有两个算子^ 𝑓𝛼, ^ 𝑓𝛽，来自两个开集上
的预量子化程序。它们作用在同一函数上得到不同的结果，相差(𝜃𝛽 −
𝜃𝛼)(𝑋𝑓 )𝜓(𝑥)。因为两个1-形式的外微分都是辛形式，所以在重叠部分它们
的差是一个闭的1-形式，这个闭的1-形式是局部恰当的，可以写成一个局部
函数（定义在重叠部分）的微分，
𝜃𝛽 − 𝜃𝛼 = 𝑑𝜆𝛼𝛽 (44)
对每一对开集，都有这么一个定义在重叠区域上的函数。这些局部函
数可以用来拼接局部数据。做法如下。既然来自于两个开集的算子作用在
同一函数上得到不同结果，那么最好各司其职，只作用在自己那个开集的
局部函数𝜓𝛼上。在两个开集重叠的部分，自然希望两个算子作用在各自的
局部函数上得到的结果之间有某种简单关系。也就是说，希望把
(𝜃𝛽 − 𝜃𝛼)(𝑋𝑓 )𝜓 = 𝑑𝜆𝛼𝛽(𝑋𝑓 )𝜓 (45)
吸收到某种简单关系中去。解过微分方程的人都比较熟悉的技巧是，将函
数乘上积分因子可以把线性项吸收到导数之中。这提示我们可以通过积分
因子𝑒𝑖𝜆𝛼𝛽/~将不同开集的局部函数联系起来，即，如果在𝑈𝛽上取了局部函
数𝜓𝛽，那么在𝑈𝛼上就相应地取局部函数𝜓𝛼 = 𝑒𝑖𝜆𝛼𝛽/~𝜓𝛽，再分别用^ 𝑓𝛼, ^ 𝑓𝛽作
用，得到，
^ 𝑓𝛼𝜓𝛼 = 𝑒𝑖𝜆𝛼𝛽/~ ^ 𝑓𝛽𝜓𝛽 (46)
也就是说，作用以后的局部函数之间的关系跟作用以前局部函数之间
的关系是一样的。有了这个结果，就可以定义流形上一个整体的量（暂时
叫做一个“波”），它在各个开集上的限制都是局部函数，在两个开集重叠
的部分满足以上变换关系。再定义一个整体的算子，它作用在一个“波”
上面，就是之前的分片作用{ ^ 𝑓𝛼}，作用之后，发现局部得到的结果还可以
拼成一个“波”。(上一个式子保证这一点。）所以可以把所有的“波”放在
一起组成一个空间，它上面有可观察量^ 𝑓的作用。现在可以说，在辛形式不
是恰当的时候，也可以做预量子化，只不过这个时候的Hilbert 空间里面不
再是流形上整体定义的函数了，而是由局部函数根据某种变换规则拼接起
来的“波”。
weighted means, strict ergodicity, and uniform. distributions-加权 ...
漫谈几何量子化
作者：季候风
整理：苏剑林
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2014年2月12日
目录
1 小史2
2 闲话3
3 源头4
4 表象5
5 真空6
6 实例8
7 流形10
8 力学11
9 几何12
10 量子条件13
11 丛与联络14
12 正则变换17
1
1 小史2
13 正则变换2 20
14 复极化22
15 时间演化23
参考文献24
1 小史
从数学上理解“量子化”是数学物理的课题之一。应用量子理论来探
索新的数学对象和新的数学性质，根据某些学者提议，可以叫做“物理数
学”。自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个
人来揣度Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。在广义
相对论提出以后，量子力学尚在酝酿之时，Weyl 已经试图把电磁学纳入
几何框架，即所谓𝑈(1)规范场论。在他看来，经典物理基础理论对应于几
何。矩阵力学和波动力学出现以后，Weyl 第一个从数学上描述了量子力
学，这就是他的著作《群论与量子力学》，他的语言基本上是当时的抽象代
数。“经典物理用几何描述, 量子物理用代数描述”，这可以视为对量子化的
一种理解。
矩阵力学和波动力学统一在“变换理论”框架下，这使得具有深刻分
析背景的von Neumann 意识到，某种函数空间上的微分算子理论对应于波
动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学。因为这种函数空
间已经被Hilbert 的学生Schmidt 研究过，而大家普遍相信是Hilbert 的思想
引导了对这种函数空间的研究，所以von Neumann 用了Hilbert space 这个
名字。据数学史研究者澄清，Hilbert space 的主要思想基本来自于Schmidt
本人。von Neumann 的名著《量子力学的数学基础》用分析和代数的结
合体－－－算子代数来描述量子物理，他的基本定理是Stone-vonNeumann
定理：由坐标和动量生成的“Heisenberg 代数”[𝑄, 𝑃] = 𝑖~只有唯一的自
伴表示等价类，其中一个代表的表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐
标和动量分别表示为算子
(𝑄𝑓)(𝑞) = 𝑞𝑓(𝑞), 𝑃𝑓 = −𝑖~𝐷𝑞𝑓. (1)
这种对量子理论的理解可以大致总结为“非交换”观点，因为Hilbert 空
间𝐿2可以被理解为来源于力学变量的“非交换性”（更准确地说是“几乎交
2 闲话3
换性”）。由von Neumann 这一脉相承而来的是我个人认为最有希望切入量
子化本质的“非交换几何”。
2 闲话
Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，
路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛
函𝑒𝑖𝐼/~加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该
是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概
率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫Green 函数或
基本解） ∫︁{𝑝𝑎𝑡ℎ 𝜔 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑎 𝑡𝑜 𝑏}
𝑒𝑖𝐼(𝜔)/~𝒟𝜔 (2)
的模方是粒子从a 到b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是1，因而不
能被视为任何同概率密度有关的量。从这个角度来说，可观察量𝒪的期望
为什么是∫︀𝒪(𝜔)𝑒𝑖𝐼(𝜔)/~ ∫︀𝒟𝜔
𝑒𝑖𝐼(𝜔)/~𝒟𝜔
(3)
是非常难以理解的一个巧合。
在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的
概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子
理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分
在non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理
学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相
当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。
在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由Brownian motion 的数学理论
刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。
Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广
泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程
（或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研
究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会
生活相关的重要应用。
对于量子这个概念有着许多种不同理解，也许说明这个概念还不是基
本概念（至少从数学上来说）。现在言归正传，说说量子化与几何的微妙关
3 源头4
系。
3 源头
先从有限维自由度系统的量子化说起。最简单的是一维谐振子，
其Hamiltonian 是
𝐻 =
𝑝2
2𝑚
+
1
2
𝑚𝜔2𝑞2. (4)
经典相空间是余切丛(𝑇*R, = 𝑑𝑞 ∧ 𝑑𝑝) , 正则量子化把坐标和动量看成算
子，满足交换关系
[𝑄, 𝑃] = 𝑖~ {𝑞, 𝑝} = 𝑖~ (5)
如果要求这个系统描述一个粒子的运动，态空间必须是不可约的，而以上
交换关系的所有不可约表示都等价于前面提到的Schrodinger 表示，表示空
间是坐标的平方可积函数空间，坐标表示为乘法算子，动量表示为求导算
子。Hamiltonian 现在成为一个线性微分算子，如果要求波函数在无穷远消
失，Hamiltonian 的谱必须是离散的，而它本身是正定算子，所以存在最小
本征值，所属的本征波函数代表的态叫做“真空”，可以显式解出。
从数学上来说，以上过程相当于先利用经典相空间上的辛形式定义出
一个Lie 代数| Heisenberg代数，再直接运用Stone-von Neumann 定理写
出Heisenberg 代数的唯一自伴表示，表示空间里的真空态则由Hamiltonian
的本征值问题给出。用物理学的说法，这相当于在Schrodinger 表象或者
（等价的）动量表象中进行计算。
现代量子力学教材上常见的是使用Fock 表象，即构造复变量
𝑧 =
√︂𝑚𝜔
2~
(︂
𝑞 +
𝑖𝑝
𝑚𝜔
)︂
, (6)
正则量子化把这个复变量看作算子，满足[𝑍, 𝑍] = 1. 如果有一态矢满
足𝑍|0⟩ = 0 , 那么所有矢量
∞Σ︁
𝑛=0
𝑐𝑛 𝑍𝑛|0⟩ (7)
组成以上交换关系的不可约表示，从而可以被视为单粒子系统的态空间1。
容易看到在Schrodinger 表象下，|0⟩ = 𝑒−𝑚𝜔𝑞2/2~满足以上湮灭方程。既然
1这种构造不可约表示的方法是Lie 代数表示论的核心方法，“最高权表示”。至于是数学家先找到这
种方法还是物理学家先找到这种方法，我没有仔细考证，不过Elie Cartan 对Lie 代数的分类应该在量
子力学出现之前。
4 表象5
对所有多项式p，𝑝( 𝑍)𝑒−𝑚𝜔𝑞2/2~ ∈ 𝐿2(R)，而且它们组成稠密子集，所以
从代数上构造的Fock space 可以等同于从分析上构造的Schrodinger 表示空
间。
{︀
𝑝( 𝑍)|0⟩
}︀
=
{︃
∞Σ︁
𝑛=0
𝑐𝑛 𝑍𝑛|0⟩
}︃
= 𝐿2(R) (8)
从数学上来说，Fock 表象相当于在经典相空间上选取了一个“复结
构”，使经典相空间成为一个复空间，而系统的态空间可以视为这个复空间
上所有的“反全纯函数”组成的空间。这个空间如果要跟Schrodinger 表象
中的平方可积空间保持一致，我们选取的这个复结构就最好跟原来的辛结
构有很密切的关系，这种“好”的复结构叫做辛空间上的“相容复结构”，
后面再详细说明。
以上这两种从经典相空间构造态空间和真空态的方式，在数学中被总
结为“实极化”和“复极化
- 26回复贴，共1页
- 乖乖々鹏鹏
- 吧主7
我们生活在什么空间里？答案显而易见，当然是三维空间啦！空间解析几何告诉我们，在这个空间里，我们的位置，可以用三维空间的点坐标 (x,y, z)来表示，其中x, y, z都是实数，也就是说，我们生活在一个三维实空间。如果你肯更进一步，引入时间算作为第四个维度，把四维的坐标——时空里的一个点写成 (t,x, y,z)，我们就生活在四维的时空里。
进入现代物理的第一步，就是拓展空间这个概念。
从点粒子系统开始
拓展空间的概念，这有些奇怪，因为三维空间描述日常生活，并无不适；看地图的时候，二维坐标 (x,y)已然绰绰有余。难道除了这个三维空间（或者加上时间的四维空间），我们还需要什么别的空间来描述物理吗？
当然需要。假设我们要描述点粒子系统——系统由点粒子构成。在开始描述这个系统之前，先解释一下为什么要描述点粒子系统。毕竟，实际的事物，大到车水马龙，小到原子分子，都有有限大小，为什么仍用没有大小的“点”来描述物理系统呢？
其实，物理的精髓在于近似的描述自然。如果点粒子的抽象图像抓住了事物的实质，我们就大可放心用点粒子来描述。
比如我们要描述一个小汽车的减速过程，见下图1-1。小车的减速，可以被质点的减速等效的模拟——质点的位置在于车的重心，质量恰为车重。在这个情形下，我们就可以用
F =ma 来描述小车的减速，尽管牛顿定律只是针对抽象的点粒子的质点力学。
除了减速外，如果小车在减速的过程中打滑，车头偏转，质点的概念就不够了。这是由于对于一个无大小，无体积的理想化质点，偏转不造成质点的变化；只有有限的体积才能看出来的确发生过偏转。
进入现代物理的第一步，就是拓展空间这个概念。
从点粒子系统开始
拓展空间的概念，这有些奇怪，因为三维空间描述日常生活，并无不适；看地图的时候，二维坐标 (x,y)已然绰绰有余。难道除了这个三维空间（或者加上时间的四维空间），我们还需要什么别的空间来描述物理吗？
当然需要。假设我们要描述点粒子系统——系统由点粒子构成。在开始描述这个系统之前，先解释一下为什么要描述点粒子系统。毕竟，实际的事物，大到车水马龙，小到原子分子，都有有限大小，为什么仍用没有大小的“点”来描述物理系统呢？
其实，物理的精髓在于近似的描述自然。如果点粒子的抽象图像抓住了事物的实质，我们就大可放心用点粒子来描述。
比如我们要描述一个小汽车的减速过程，见下图1-1。小车的减速，可以被质点的减速等效的模拟——质点的位置在于车的重心，质量恰为车重。在这个情形下，我们就可以用
F =ma 来描述小车的减速，尽管牛顿定律只是针对抽象的点粒子的质点力学。
除了减速外，如果小车在减速的过程中打滑，车头偏转，质点的概念就不够了。这是由于对于一个无大小，无体积的理想化质点，偏转不造成质点的变化；只有有限的体积才能看出来的确发生过偏转。
- 乖乖々鹏鹏
- 吧主7
图1-1 无大小的质点和有体积的小车的减速过程，用蓝色的箭头表示。箭头长度表示速率，理想化的质点等效的和小车做同样的减速运动。然而，小车的打滑（绿色箭头）
却不能用质点来描述——旋转前后的质点没有任何不同。实际上，旋转需要用“刚体力学”来描述，作为描述质点的“牛顿力学”的延伸。
我们喜欢从简单开始，然后逐渐的推广到复杂的系统。因此，如前所述，我们就先开始描述一个点粒子的系统，观察每个粒子的运动。
动量空间——一个不是三维实空间的例子
在三维实空间里，一个点粒子系统的每个粒子的有坐标(x, y, z)，或者把这个坐标，看成是向量的三个分量，写成向量r。然而，这对于描述运动的粒子是不够的——除了位置，我们还想要知道粒子的速度，或者说动量 p。对一个N粒子系统，它的坐标为(r1,r2,..rN)，表示粒子1处在坐标r1上，粒子2处在r2上，... ，粒子N处在坐标rN上；而动量的**为(p1,p2, .., pN)，即第k个粒子的动量为pk。
就这样，我们得到了一个新的空间。在这个新空间里，我们并不关心粒子的坐标是多少，只关心它具有多少动量。这就是动量空间。
为什么需要这个空间呢？考虑如下场景。现在我们有一升的理想气体，盛在封闭容器里，里面大约有10^22个气体原子。我们不写出每个原子的位置，只知道它们在容器里均匀分布，也就是有一恒定密度[在这里我们不考虑热力学涨落的问题]。
真正有趣的事情发生在动量空间。虽然在实空间里粒子密度均匀，但并非所有粒子都具有一样的速率。我们做不到跟踪每个粒子速率，但是我们可以写出它们的速率
的分布。类比在实空间里的密度概念，我们可以把这个分布理解为速率的密度。速率密度大的地方，就表示处于这段速率的粒子数目多。
- 乖乖々鹏鹏
- 吧主7
我们甚至可以写出数学式子。头疼数学的话，请少安毋躁，因为这个式子非常重要。对于大量的，质量为m的气体粒子，在温度T时，速率的分布函数可以写成
(1)
所谓速率的分布函数，就是在不同速率处的粒子出现的相对可能大小，即概率分布。也就是说，不论粒子总数是多少，具有不同速率的粒子的相对比例是不变的。
这是一件神奇的事情！在一定温度下，我们有10^22个粒子，它们互相“不认识”彼此，近乎独立的存在于小容器里，仅仅时而互相碰撞。按理说，一个粒子的速
率，应该与另一个粒子速率没有关系——同样温度下，所有粒子的速率都相等看起来更合理。但事实上，就整体而言，我们可以说出哪些速率的粒子相对较多，哪些
速率的粒子较少！这个速率的概率分布函数，就是大名鼎鼎的麦克斯韦——玻尔兹曼分布。
为了对麦玻分布有更多直观理解，我们把He, O2和Ar气体的速率分布函数画在一张图上，如1-2。这里顺带强调一下读图的重要性。在中学时代我们不常看图和看实验，其实，实验是物理学的最高法院。
再优美的理论也要通过实验的检验。实验的结果可以用图来清晰表达。也许读图一开始不习惯，但也不是没有规律可循。我们先看图的横轴，纵轴分别是什么，知道它要说明的是哪两个物理量的关系。下图即速率和分布的关系：某速率(X轴)对应的分布越高（Y值越大），处在该速率附近的粒子越多（我们不关心绝对数目，但是能清楚的知道相对多少）。一张图上往往有多个曲线，需要注意曲线之间的差异，用图例来表述。这里不同的曲线即不同的粒子质量。
(1)所谓速率的分布函数，就是在不同速率处的粒子出现的相对可能大小，即概率分布。也就是说，不论粒子总数是多少，具有不同速率的粒子的相对比例是不变的。
这是一件神奇的事情！在一定温度下，我们有10^22个粒子，它们互相“不认识”彼此，近乎独立的存在于小容器里，仅仅时而互相碰撞。按理说，一个粒子的速
率，应该与另一个粒子速率没有关系——同样温度下，所有粒子的速率都相等看起来更合理。但事实上，就整体而言，我们可以说出哪些速率的粒子相对较多，哪些
速率的粒子较少！这个速率的概率分布函数，就是大名鼎鼎的麦克斯韦——玻尔兹曼分布。
为了对麦玻分布有更多直观理解，我们把He, O2和Ar气体的速率分布函数画在一张图上，如1-2。这里顺带强调一下读图的重要性。在中学时代我们不常看图和看实验，其实，实验是物理学的最高法院。
再优美的理论也要通过实验的检验。实验的结果可以用图来清晰表达。也许读图一开始不习惯，但也不是没有规律可循。我们先看图的横轴，纵轴分别是什么，知道它要说明的是哪两个物理量的关系。下图即速率和分布的关系：某速率(X轴)对应的分布越高（Y值越大），处在该速率附近的粒子越多（我们不关心绝对数目，但是能清楚的知道相对多少）。一张图上往往有多个曲线，需要注意曲线之间的差异，用图例来表述。这里不同的曲线即不同的粒子质量。
- 乖乖々鹏鹏
- 吧主7
图1-2 He,O2和Ar三种气体的速率分布函数。从图上我们看出分布随着速率先增大，后减小；其极大值随着粒子质量减小而增加。注意三个函数都是归一化的，也就是图下方包含的面积为一。
从图上，我们可以看出几个特征：
1）He的速率分布整体落在在Ar和O2的右侧，且峰值处的速率更高（～1200m/s）。He具有相对较大的速率，这不难理解：He较轻，所以运动的比较快。
2）相比之下，由于Ar和O2的质量相近，所以它们的速率分布也相差不多。实际上Ar比O2略重，所以分布的最大值略小。
3）He在速率较高的1km/s到3km/s都有分布，而Ar和He已经几乎没有速率在这段范围的分布，而是集中在500m/s附近。不论哪种气体，在速率过高和
过低处，分布都减少。也就是说，我们几乎找不到速率接近于零的气体粒子（分子或原子），也几乎找不到速率很高的粒子。
这样，我们从图上直观的看到动量空间的意义。实空间并没有抓住气体的全部性质。只有当我们进入动量空间时，才发现，实空间里密度均匀的气体，在动量空间来看，速率非但不相同，还符合了一个优美的函数。
在上面过程里，我们不关心粒子的数目，只关心相对权重。这好比一个简单的投硬币例子，我们最终只关心正面和反面各占多少，而不管总投掷的次数。事实上，根据
概率论里的大数定律，当投掷次数足够多的时候，正面和反面的概率才会接近于1/2。类比之，在这里，我们只关心速率的分布；如果粒子数目足够多，速率分布
就接近于麦玻分布。
电子的自旋
对于电子，我们已经有些了解，知道它带一个单位的负电荷，与带电体发生Coulomb相互作用。除了带电这一属性，电子的另外一个内在属性就是自旋。
自旋是一个非常重要的概念，是本书的基础。作为一个纯量子力学概念，自旋和生活中的直观经验并不符合。为了理解自旋，我们把它与一些熟悉的事物作类比。
a)自旋与地球自转
自旋，顾名思义，“绕着自己旋转”。电子也在绕着自己转动，就好象地球自转一样。但是这有本质的不同。地球自转，是绕着固定的地轴旋转，而电子自旋，作为
一种内秉的对称性，其轴是不确定的。当我们想知道这个旋转轴的方向，从某个角度看过去的时候，自旋的“旋转轴”，就总是垂直于我们观测的方向[注]。
我们可以把旋转轴看作一个向量，它有大小，表示旋转的强弱，也有方向，是绕轴旋转的方向。对于一个来说，当我们从不同方向去看它的时候，我们看到的是它在视角上方向上的投影，见下图1-3。
图1-3 观察地轴投影。我们看到的是向量在这个方向上的投影，长度为Lcos(theta)，其中L为向量的长度，theta为向量方向与观察方向的夹角。显然，当我们平行与地轴的方向看过去时，投影为零，但当我们垂直看过去时，投影最大。
对于电子，我们已经有些了解，知道它带一个单位的负电荷，与带电体发生Coulomb相互作用。除了带电这一属性，电子的另外一个内在属性就是自旋。
自旋是一个非常重要的概念，是本书的基础。作为一个纯量子力学概念，自旋和生活中的直观经验并不符合。为了理解自旋，我们把它与一些熟悉的事物作类比。
a)自旋与地球自转
自旋，顾名思义，“绕着自己旋转”。电子也在绕着自己转动，就好象地球自转一样。但是这有本质的不同。地球自转，是绕着固定的地轴旋转，而电子自旋，作为
一种内秉的对称性，其轴是不确定的。当我们想知道这个旋转轴的方向，从某个角度看过去的时候，自旋的“旋转轴”，就总是垂直于我们观测的方向[注]。
我们可以把旋转轴看作一个向量，它有大小，表示旋转的强弱，也有方向，是绕轴旋转的方向。对于一个来说，当我们从不同方向去看它的时候，我们看到的是它在视角上方向上的投影，见下图1-3。
图1-3 观察地轴投影。我们看到的是向量在这个方向上的投影，长度为Lcos(theta)，其中L为向量的长度，theta为向量方向与观察方向的夹角。显然，当我们平行与地轴的方向看过去时，投影为零，但当我们垂直看过去时，投影最大。
如果我们把自旋的轴也当作向量，对电子做同样的“观测”，则会发现，无论我们从何种角度看过去，电子自旋的轴（以下简称自旋）在各个方向上，投影大小都相同——它们都一样长！(见图1-4) 此外，自旋向量的方向，在每个视角看去，都有两个选择，彼此反平行。但是一次观测中，只能看到一种选择，或是朝“上”，或是朝“下”。具体哪个指向被观察
到，对于一束非极化的电子（没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向），是完全随机的。
因为向量的投影大小随着视角的方向变化，而自旋的投影却保持不变，所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。实际上，它是向量算子，代表着一类和向量有相同变换规律的运算。即便如此，在很多情形下，我们就用通常意义上的向量（经典向量），来近似的描述电子自旋的性质。
图1-4 与观测地轴投影不同，自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。在任一视角上，其投影方向有两种选择，或“上”或“下”。
地球的自转轴的长度，随着自转快慢而变长变短，而电子的自旋的“长度”，是一个固定的值，与外界任何条件都无关，就像它的电荷数是定值一样。从这一点我们也可以看出，自旋是电子的内在属性。
b) 自旋与翻硬币
搞清楚自旋与地球自转的区别之后，自旋的故事似乎结束了。然而，真正的有趣尚未开始。
在上面的例子里，我们看到，每次对于自旋的观测，都能得到或“上”或下的结果。而且，对于一束没有特别安排自旋方向的电子，其结果是随机的。这很像翻硬币过程——同样都是输出两个结果，而且输出哪个是随机的。
到，对于一束非极化的电子（没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向），是完全随机的。
因为向量的投影大小随着视角的方向变化，而自旋的投影却保持不变，所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。实际上，它是向量算子，代表着一类和向量有相同变换规律的运算。即便如此，在很多情形下，我们就用通常意义上的向量（经典向量），来近似的描述电子自旋的性质。
图1-4 与观测地轴投影不同，自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。在任一视角上，其投影方向有两种选择，或“上”或“下”。
地球的自转轴的长度，随着自转快慢而变长变短，而电子的自旋的“长度”，是一个固定的值，与外界任何条件都无关，就像它的电荷数是定值一样。从这一点我们也可以看出，自旋是电子的内在属性。
b) 自旋与翻硬币
搞清楚自旋与地球自转的区别之后，自旋的故事似乎结束了。然而，真正的有趣尚未开始。
在上面的例子里，我们看到，每次对于自旋的观测，都能得到或“上”或下的结果。而且，对于一束没有特别安排自旋方向的电子，其结果是随机的。这很像翻硬币过程——同样都是输出两个结果，而且输出哪个是随机的。
但这和翻硬币有本质的不同。为了说明这个不同，先推广空间的概念：
对于一个物理过程，所有可能物理状态的**就叫做空间。比如三维实空间，一个“状态”就意味着粒子处在一个三维坐标上。
对于翻硬币过程，所有可能结果即正面和反面，非正即反[忽略零测度的],根据以上空间的定义，{正，反}这两个状态，构成了这个空间有且仅有的两个元素。我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”，那么结果的状态{正，反}就定义了一个态空间。
这有何神奇的呢？只要再外加一个看似不起眼原理，就能完完全全的改变它的性质，得它们成为量子力学的空间。这个原理叫做叠加原理，就是说，如果“正面”和“反面”是空间里的态，那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。薛定谔的猫，亦死亦活，就是这个意思。如果“死”是空间里的一个态，“活”是空间里的另一个态，那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。也许这看似不可思议，但这正是量子力学的神奇之处；在非量子的经典空间1，如翻硬币的空间或者猫的死活的空间，没有亦正亦反的态，但是如果是量子力学的硬币，或量子力学里的猫，那么允许这种又死又活的猫，或者又正又反的硬币的叠加态的存在。
对于一个物理过程，所有可能物理状态的**就叫做空间。比如三维实空间，一个“状态”就意味着粒子处在一个三维坐标上。
对于翻硬币过程，所有可能结果即正面和反面，非正即反[忽略零测度的],根据以上空间的定义，{正，反}这两个状态，构成了这个空间有且仅有的两个元素。我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”，那么结果的状态{正，反}就定义了一个态空间。
这有何神奇的呢？只要再外加一个看似不起眼原理，就能完完全全的改变它的性质，得它们成为量子力学的空间。这个原理叫做叠加原理，就是说，如果“正面”和“反面”是空间里的态，那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。薛定谔的猫，亦死亦活，就是这个意思。如果“死”是空间里的一个态，“活”是空间里的另一个态，那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。也许这看似不可思议，但这正是量子力学的神奇之处；在非量子的经典空间1，如翻硬币的空间或者猫的死活的空间，没有亦正亦反的态，但是如果是量子力学的硬币，或量子力学里的猫，那么允许这种又死又活的猫，或者又正又反的硬币的叠加态的存在。
图1-5 叠加态的概念。
这样，如果把电子自旋朝“↑”看作硬币正面，自旋朝“↓”看作硬币反面，“↓”和“↑”，即观察自旋后，看到的态，如同硬币翻之后得到正反面一样。在物理上，我们把态写在尖括号里，即|↑>和|↓>。对于经典的硬币，其态空间里仅有{正，反}两个元素，对于电子自旋（量子硬币），虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”，但是根据叠加原理，其态空间却允许任意的a|↑>+b|↓>存在，其中a与b是复系数。
c) 自旋与二维笛卡尔坐标系(x, y)
电子自旋空间里，一个态可以分解为以|↓>与|↑>基向量的线性组合。这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量：一个向量，可以分解为x分量与y分量的组合：
V= (V·x)x~ + (V·y) y~
|Ψ>=a|↑>+b|↓> = <↑|Ψ>|↑>+<↓|Ψ>|↓>
式中，x~与x~分别为x, y方向上的单位向量。
这样，我们就建立了态与向量之间的类比。它们都存在基向量，都可以被分量分解。更进一步，我们就管态，叫做态矢量，尽管在与地球自转的类比中，它和向量有本质区别。我们也可以定义内积，就是如同<↓|Ψ>的形式。在向量空间里，内积表示两个向量“靠近”的程度：平行时完全重合，内积最大，垂直时内积为零，又叫做“正交”。这里，|↓>与|↑>两个态，如同x与y一样，互相正交，<↓|↑>=0.这在物理上是可以理解的，两个态互相独立，没有外界机制时，不会互相转换。
这样，如果把电子自旋朝“↑”看作硬币正面，自旋朝“↓”看作硬币反面，“↓”和“↑”，即观察自旋后，看到的态，如同硬币翻之后得到正反面一样。在物理上，我们把态写在尖括号里，即|↑>和|↓>。对于经典的硬币，其态空间里仅有{正，反}两个元素，对于电子自旋（量子硬币），虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”，但是根据叠加原理，其态空间却允许任意的a|↑>+b|↓>存在，其中a与b是复系数。
c) 自旋与二维笛卡尔坐标系(x, y)
电子自旋空间里，一个态可以分解为以|↓>与|↑>基向量的线性组合。这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量：一个向量，可以分解为x分量与y分量的组合：
V= (V·x)x~ + (V·y) y~
|Ψ>=a|↑>+b|↓> = <↑|Ψ>|↑>+<↓|Ψ>|↓>
式中，x~与x~分别为x, y方向上的单位向量。
这样，我们就建立了态与向量之间的类比。它们都存在基向量，都可以被分量分解。更进一步，我们就管态，叫做态矢量，尽管在与地球自转的类比中，它和向量有本质区别。我们也可以定义内积，就是如同<↓|Ψ>的形式。在向量空间里，内积表示两个向量“靠近”的程度：平行时完全重合，内积最大，垂直时内积为零，又叫做“正交”。这里，|↓>与|↑>两个态，如同x与y一样，互相正交，<↓|↑>=0.这在物理上是可以理解的，两个态互相独立，没有外界机制时，不会互相转换。
d) 自旋的数学表述
电子自旋的态空间，|↓>与|↑>两个态矢量，作为基向量构成；在某个方向上，做一次测量，就相当于对其做基向量方向的一次投影，得到|↓>或|↑>。这里，我们并没有仔细考虑三维空间里的“某方向”。怎么样可以既考虑到电子在态空间里的|↓>与|↑>自旋态，又考虑自旋本身在三维空间里的方向呢？
既然自旋类比于矢量，先把它写成类似矢量的形式：
这里用“S”，是因为自旋的英语是Spin,取其第一个字母。
由于图1-4里，电子自旋在任何方向的投影都相同，我们有对任意方向的单位矢量n，S ·n=常数。显然，如果S的各个分量Sx, Sy, Sz只是通常意义的数，则不可能满足这个条件：不同方向上的投影一定不同。
但是如果S各个分量为矩阵，则还是可以满足这个条件的。
巨磁电阻效应——自旋电子的一个应用
早期的电脑，存储能力十分有限，一个移动的存储介质，如3.5英寸软盘，只能储存1.44Mb大小的文件。而今天，体积更小的U盘，可以轻易的储存32G的数据量，比十多年前大了两万倍。这是怎么做到的呢？
这是利用了巨磁电阻效应。该效应在1988年，由德国尤利西研究中心的彼得·格林贝格和巴黎第十一大学的艾尔伯·费尔分别独立发现的，他们因此共同获得2007年诺贝尔物理学奖。
所谓“磁电阻”，即有外加磁场时，材料的电阻随之改变。“巨磁电阻”，即外加磁场时，材料电阻发生巨大改变的现象，如下图。铁(Fe) 薄层——铬（Cr）薄层——铁(Fe)薄层的交替结构。导线中的自旋电子，穿过交替结构，产生电阻。
当没有外加磁场或弱磁场(下图a) 时，结构中的两个Fe薄层里的电子自旋，反向排列。这里顺带提一下，电子自旋的有序排列，正是磁铁形成的微观机制。在图a)里，左边的Fe层，自旋朝↑，从而磁铁N极朝上，S极朝下，右边的Fe层恰相反。这时，对于导线中的自旋为↑的电子，它感受到的总电阻为(R↑↑+R↑↓)，其中，R↑↑为自旋向上的电子遇到自旋也向上(即N极向上)的铁磁层产生的电阻；R↑↓为自旋向上的电阻，遇到自旋向下的铁磁层产生的电阻。
电子自旋的态空间，|↓>与|↑>两个态矢量，作为基向量构成；在某个方向上，做一次测量，就相当于对其做基向量方向的一次投影，得到|↓>或|↑>。这里，我们并没有仔细考虑三维空间里的“某方向”。怎么样可以既考虑到电子在态空间里的|↓>与|↑>自旋态，又考虑自旋本身在三维空间里的方向呢？
既然自旋类比于矢量，先把它写成类似矢量的形式：
这里用“S”，是因为自旋的英语是Spin,取其第一个字母。
由于图1-4里，电子自旋在任何方向的投影都相同，我们有对任意方向的单位矢量n，S ·n=常数。显然，如果S的各个分量Sx, Sy, Sz只是通常意义的数，则不可能满足这个条件：不同方向上的投影一定不同。
但是如果S各个分量为矩阵，则还是可以满足这个条件的。
巨磁电阻效应——自旋电子的一个应用
早期的电脑，存储能力十分有限，一个移动的存储介质，如3.5英寸软盘，只能储存1.44Mb大小的文件。而今天，体积更小的U盘，可以轻易的储存32G的数据量，比十多年前大了两万倍。这是怎么做到的呢？
这是利用了巨磁电阻效应。该效应在1988年，由德国尤利西研究中心的彼得·格林贝格和巴黎第十一大学的艾尔伯·费尔分别独立发现的，他们因此共同获得2007年诺贝尔物理学奖。
所谓“磁电阻”，即有外加磁场时，材料的电阻随之改变。“巨磁电阻”，即外加磁场时，材料电阻发生巨大改变的现象，如下图。铁(Fe) 薄层——铬（Cr）薄层——铁(Fe)薄层的交替结构。导线中的自旋电子，穿过交替结构，产生电阻。
当没有外加磁场或弱磁场(下图a) 时，结构中的两个Fe薄层里的电子自旋，反向排列。这里顺带提一下，电子自旋的有序排列，正是磁铁形成的微观机制。在图a)里，左边的Fe层，自旋朝↑，从而磁铁N极朝上，S极朝下，右边的Fe层恰相反。这时，对于导线中的自旋为↑的电子，它感受到的总电阻为(R↑↑+R↑↓)，其中，R↑↑为自旋向上的电子遇到自旋也向上(即N极向上)的铁磁层产生的电阻；R↑↓为自旋向上的电阻，遇到自旋向下的铁磁层产生的电阻。
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