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关于多体理论和格林函数的几句话
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有这样一句话在所有多体理论的书本中都是没有提到这样一句话: 多体理论和格林函数只能处理相互作用比较弱的系统。这套理论看起来很完美，利用Feynman图，我们可以计算很多高阶的贡献，甚至无穷阶的贡献。看起来很美，其实不是如此。因为对于相互作用很小的体系，其实这些高阶是不重要的。但是如果相互作用很大，就算计算无穷，也是错误的。
比如1/(1−x)=1+x+x2+⋯
, 如果|x|<1
, 收敛很快； 但是如果|x|>1
, 阶数越高，错误越大。
第二句话: 如果对于小的相互作用，其实不需要用这些复杂的理论了，微扰理论就足够了。所以物理中有第三句话: 弱耦合体系平均场可以处理很好，强耦合，格林函数不能用，必须用数值方法。在耦合不大不小的区间，平均场不精确，但是图像是正确的(这里包括1d系统) 。
说这些，是因为很多老师在讲述格林函数的时候会提到这个理论可以用来处理什么问题，但是不会强调其实不用这个复杂的理论可以更加容易理解/处理这些问题，比如基于平均场或者试探波函数。把这三句话连起来就是：
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比如
第二句话: 如果对于小的相互作用，其实不需要用这些复杂的理论了，微扰理论就足够了。所以物理中有第三句话: 弱耦合体系平均场可以处理很好，强耦合，格林函数不能用，必须用数值方法。在耦合不大不小的区间，平均场不精确，但是图像是正确的(这里包括1d系统) 。
说这些，是因为很多老师在讲述格林函数的时候会提到这个理论可以用来处理什么问题，但是不会强调其实不用这个复杂的理论可以更加容易理解/处理这些问题，比如基于平均场或者试探波函数。把这三句话连起来就是：
- 多体理论和格林函数只能处理相互作用比较弱的系统
- 如果对于小的相互作用，其实不需要用这些复杂的理论了，微扰理论就足够了
- 强耦合，格林函数不能用，必须用数值方法。
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1 徐晓
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- [6]李铭
- 我也感到格林函数的应用很有限，特别是戴森方程，几乎就没人用。我一直觉得戴森方程是格林函数的精髓，可是，实际上却很难用的上。现在一般只是在一阶和二阶截断近似下算出格林函数和谱函数，完全失去了戴森方程的无穷阶求和的优势。磁化率的RPA近似倒是很像戴森方程的无穷阶求和的结果。我对这个感到很郁闷。
- 博主回复(2013-12-11 23:39)：Dyson方程已经包括了最简单Feynman diagram的无穷阶，但是复杂图没有包括。如果偶和很小，其实二阶和无穷阶的差别很小，无穷阶可能更加好看/简介一些。
- [5]李铭
- 你觉得平均场能处理强关联吗？
- 博主回复(2013-12-11 23:35)：图像一般是正确的，但是数值可能有问题。
- [4]陈伟
- 哎，我读研究生以来就被格林函数的外衣一直迷惑着，我从格林函数看不到物理图像，而周围的人只会讲形式，啥啥物理量怎么通过格林函数来计算，但我觉得对于做物理来说，这是远远不够的，GF顶多是个手段，背后的物理图像才是最根本的。我认为真正内行的专家，可以把GF和物理意义之间的联系讲得非常明白。
- 博主回复(2013-12-11 23:40)：看家本领，很少见诸书本论文的。
- [3]李铭
- 这么说，格林函数理论没什么用了？我还教这门课呢
- 博主回复(2013-12-11 15:33)：那也不是， 平均场可以处理大部分问题，格林函数可以处理平均场的问题，以及平均场不能处理的某些问题。所以老师在上课的时候应该把这些关系讲明白，不能让学生糊里糊涂学习多体理论。
- [2]johnnashzhang
- 但是现在很多平均场也被套上了格林函数的壳子，也被用feynmann高阶微扰处理，给人感觉平均场（或辅助场）框架下的多体格林函数表示似乎就是个多体理论理论，不知道是否有不是平均场的“真正”的多体格林函数理论
见识短浅，学艺不精，妄言鄙见，望龚老师指正 - 博主回复(2013-12-11 15:32)：平均场可以用格林函数表示，也可以不用。它有更加简单的表示--大学生都可以看懂的表示。
- [1]刘全慧
- 结论可能正确。李政道说过类似的话，现代物理就是谐振子加微扰论。
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不过你给出的例子是错误的：
Exp[x]=Sum[x^j/j !,{j,0,\Infinity}]对x>1的数给出精确结果，原因呢它的收敛半径无穷大。
你说"比如ex=1+x+x2/2!+…, 如果|x|<1, 收敛很快； 但是如果|x|>1, 阶数越高，错误越大。"是错误的，原因是你项数取得不对。
举例说，如果x=100, 精确度要达到0.999999，要取154项。
———————— - 博主回复(2013-12-11 09:13)：对，例子错了，改正了。
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