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标签： 杂谈 |
简洁的来说的话，欧式空间和非欧空间最关键的区别在于，欧式空间是平坦的，而非欧空间是弯曲的。比如说单位球面，它就是非欧的，称为S2，他的高斯曲率是1，所以是黎曼几何的那个模型，也就是没有平行线。还有一种是伪球面，称为pseudosphere（我有没有拼错啊？），他的高斯曲率是-1，于是就成了罗巴切夫斯基几何的模型，也就是有无数条平行线。
由于说开去你就要看测地线啊之类的概念。。所以建议你自学一下微分几何的一些初步知识和微分流形的一些初步知识。。貌似苏步青有一本书是讲这个的，你可以找来看看。
另外其实欧式空间也分两种的，就是你给出一个欧式空间的度量，由于度量矩阵都是对称阵，总可以对角化（还是正交对角化），然后它的特征根会有正有负（如果有负的称为伪欧式空间，否则称为真欧式空间），小于零的特征根个数（如果不等于0的话）称为这个伪欧式空间的指标。。然后伪欧式空间里面一个向量，如果它的模长是正的则称为类空的，负的就称为类时的，零的话就称为类光的。。
扯一点开去。。我们现在所处的空间就是一个指标1的伪四维欧式空间。。因为爱因斯坦得到的那个方程也就是：x^2+y^2+z^2+(ct)^2=0.。。
由于说开去你就要看测地线啊之类的概念。。所以建议你自学一下微分几何的一些初步知识和微分流形的一些初步知识。。貌似苏步青有一本书是讲这个的，你可以找来看看。
另外其实欧式空间也分两种的，就是你给出一个欧式空间的度量，由于度量矩阵都是对称阵，总可以对角化（还是正交对角化），然后它的特征根会有正有负（如果有负的称为伪欧式空间，否则称为真欧式空间），小于零的特征根个数（如果不等于0的话）称为这个伪欧式空间的指标。。然后伪欧式空间里面一个向量，如果它的模长是正的则称为类空的，负的就称为类时的，零的话就称为类光的。。
扯一点开去。。我们现在所处的空间就是一个指标1的伪四维欧式空间。。因为爱因斯坦得到的那个方程也就是：x^2+y^2+z^2+(ct)^2=0.。。
- 膜拜一下 - 物理蜗居男 2012-03-25
- 我怎么觉得我爱因斯坦那个方程可能写错了呢。。记性不大好捏。。 - talentedpope 2012-03-26
- 个人感觉你的比较靠谱。。。 - 爱上一条鱼 2012-03-26
1支持 / 0反对，来自 林云
这个 我现在还不是研究这个的
我就说说
说错请拍砖
欧氏几何是通过几个公理推出所有结论的
这些公理是符合我们对这个自然世界的经验的
比如，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
但如果把这条换掉，换成平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。
这就变成了罗巴切夫斯基几何。
虽然这条假设和直觉是相背的，但它构成的系统在逻辑上还是成立的。你可以从这些不会在现实世界中存在的公理出发，推出一些结论。
这就构成一种非欧几何。
我就说说
说错请拍砖
欧氏几何是通过几个公理推出所有结论的
这些公理是符合我们对这个自然世界的经验的
比如，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
但如果把这条换掉，换成平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。
这就变成了罗巴切夫斯基几何。
虽然这条假设和直觉是相背的，但它构成的系统在逻辑上还是成立的。你可以从这些不会在现实世界中存在的公理出发，推出一些结论。
这就构成一种非欧几何。
- 我什么也不懂，不过鉴于你是第一个写比较多的，顶下 - 林云 2012-03-25
- 但其实不是平面了。。应该是几何体上面的任意直线外一点，有无数条直线和他平行。。所谓的直线也就是测地线。。这就需要先定义度量，所以不说度量直接讲其实都是没有意义的。。另外注意到任何一个流形都可以Ck光滑嵌入一个维数足够高的欧式空间之中，所以应该只是考虑流形内有无数条测地线与它平行 - talentedpope 2012-03-25
- 这样才算是罗巴切夫斯基几何 - talentedpope 2012-03-25
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即违反欧几里得第五公设的几何形式：即与“过直线外一点，有且仅有唯一一条直线与已知直线平行”相违背。这个问题首先由鲍耶提出。比较著名的有黎曼形式和罗巴切夫斯基形式。
罗氏设定的是一种球面几何形式。把平面想象成一个大球。而所有的直线都是此球的大圆（以球的直径为圆的直径的圆）。那么在这种情况下，不可能存在直线外一点的平行线。
黎氏则将无限的平面设计成一种有限的形式（例如一个有边界的圆）。但你越靠近边界，你的体积，速度等同时变小，以至于对于平面内的几何图形显现出无限的感觉。在这种情况下可能做出无线条过直线外一点的平行线（不相交）。
罗氏设定的是一种球面几何形式。把平面想象成一个大球。而所有的直线都是此球的大圆（以球的直径为圆的直径的圆）。那么在这种情况下，不可能存在直线外一点的平行线。
黎氏则将无限的平面设计成一种有限的形式（例如一个有边界的圆）。但你越靠近边界，你的体积，速度等同时变小，以至于对于平面内的几何图形显现出无限的感觉。在这种情况下可能做出无线条过直线外一点的平行线（不相交）。
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欧几里得有5个公理。虽然作为公理，都没有办法被证明。不过，这5条公理的强度是不同的。前4条公理都可以找到无数正确的例子，虽然举例不是证明，但是至少可以说明这4条公理在某些情况下是对的。但是第五条公理：“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。” 的强度明显和前四条不同。因为我们无法跑到无穷远的地方看看两条直线是否相交。
欧几里得本人就注意到了这个现象，他在发展几何体系的时候能不用第五公理，就不用。后来很长的一段时间内数学家都希望能够由前4条公理证明第5条，但是都失败了...我记得以前上几何课的时候一个有趣的事就是找那些数学家证明平行公理中的错误。
所以，后来的数学家通过各种方法完备欧几里得的几何体系，包括替换公理，比如罗巴切夫斯基，高斯核鲍耶，或者补充欧几里得的公理体系，比如希尔伯特。
欧几里得本人就注意到了这个现象，他在发展几何体系的时候能不用第五公理，就不用。后来很长的一段时间内数学家都希望能够由前4条公理证明第5条，但是都失败了...我记得以前上几何课的时候一个有趣的事就是找那些数学家证明平行公理中的错误。
所以，后来的数学家通过各种方法完备欧几里得的几何体系，包括替换公理，比如罗巴切夫斯基，高斯核鲍耶，或者补充欧几里得的公理体系，比如希尔伯特。
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欧式空间
在一些时候人们常把画直线当作几何理念上的一个问题，就像牛顿所说，画直线不是几何学的问题，学习几何学的人应该先会画直线。在张操的书 [16]中，为了重新在相对论中引入笛卡儿坐标，也先讨论了如何画直线的问题，其实，画直线不是问题，相对论中非欧空间中的射线也就是直线。所以几何学有限论域扩展的问题实质上是如何画平面的问题，然后才有在平面上画直线的问题。当然两条射线也可以组成一个平面，但是在这样的射线组成的平面上只能画射线，而不能画平面上的直线，或者更确切地说是不能画两条永不相交的平行线。所以欧式空间和非欧空间的概念实际上是一个对于三维空间的理念问题。在古代文明的中国人认为已经懂得了画平面，因为他们认为水平面就是平面。爱因斯坦认为人不可能会画直线，其实是指人不可能会画平面，这一点从物理概念上来说是对的。所以要用黎曼空间来代替欧几里德空间，否认笛卡尔坐标的实在性。人类认识的发展就是这样，在否定和再否定的过程中发展。而每一次否定应该能反映出人类认知能力的发展，而不是倒退。这也就是说，人类应该从历史的角度，分析每一次否定和“否定的否定”所代表的“有限论域”的不断扩大的过程。而不是把黑格尔的话随意地套用。这是人类思维能力发展的辩证法和庸俗辩证法的根本差别之所在。欧几里德几何学的问题是两千多年前的问题，但是到二十世纪初又一次成为物理学家和数学家们讨论的焦点。现在似乎更有必要来讨论这一问题了 [6]：
我们这里想要说的不仅是欧几里德几何比别的几何要简单或方便得多，而是要说明欧几里德几何与物理实在的符合程度是任何其他几何所根本无法比拟的，与欧几里德几何相比，现在所有的那些非欧几何只能称作没有物理实在性的几何，但是他们又被数学家们称为“物理几何”。也就是说它是无法发展出具有严格数学逻辑的数学理论。
为什么数学上只接受欧氏空间和笛卡儿坐标，根本的问题在于：从物理实在返回到纯粹理性的数学理念不是具体的物理实在的模型，而是一种描述物质存在与运动形式的逻辑界定。与前面的对于点和线 (或数字与数字集合)的逻辑界定一样，这种逻辑界定正是要从与具体的物理实在中抽象出来，转换为一种数学的逻辑前提。绝对的平面在物理实在中是没有的，所以中华古文化中的“盖天说”，把它作为地球的模型时，那是错误的，是必须被否定的。但是在讨论空间的逻辑界定时，爱因斯坦把空间界定为必须是球形的体系，直观地看起来好像是合理的，我们确实找不到任何能够与平面相一致的“物理实在”，不论从大的方面，从宇宙来看，还是从微观的看，原子、分子或波的运动形式中，都不可能找到与平面能够建立确实关系的“实体”。因而爱因斯坦否认了欧氏空间的合理性，否认了笛卡尔坐标系的逻辑界定的合理性，把它从相对论中排除出去，用黎曼空间来代替它。这种做法在打破牛顿理论体系的狭隘性上是人类思维的一种发展，但是用黎曼空间来代替欧氏空间作为物理空间的逻辑前提，在逻辑上是不合理的，它没有明确性。而这一点正是逻辑的核心，一个没有明确性的理念，作为逻辑前提，最后必然导致逻辑悖论，造成逻辑的混乱。
为什么说黎曼空间没有逻辑所需要的明确性，因为它必须与一个点(球心 )联系在一起。没有了这个球心，黎曼空间就失去了依据。如果我们把这个球心，看成是可以转换的，可以从地球上的测量所得到的结果 (那是以地球的球心为依据的黎曼空间)，转换到以太阳为中心的空间，那么在这种转换过程中必须引入一个新的作为转换依据的逻辑量——距离。这样一来，黎曼空间实际上就成了欧氏空间中的球坐标系，这个使转换成立的逻辑量就是“距离”。现在一些广义相对论的学者，正在研究在广义相对论中引入笛卡尔坐标系的问题 [16]，我们相信这种研究的结果。必然导致相对论重新回到欧氏空间的逻辑框架上来。广义相对论作为一种物理理论，我们不相信能够获得实在的结果，但是空间和时间的关系不但是极其复杂，也是极其重要的，到现在为止的物理学，包括今后很长一段时间里需要探索的物理学的新的数理逻辑体系都离不开时间和空间的关系的研究，我们希望也相信，现在很多广义相对论科学家所进行的关于空间 -时间的3+1维的纯数学空间的性质的研究 [17]，能够为解决这一问题提供一些有用的数学理论和方法。
逻辑前提必须从具体的物理实在中抽象出来，没有大小的点、没有粗细的线等等都是一样，所谓“盖天说”作为一种空间模型的逻辑界定，而不把它用来表示地球的实际情况，或者说它表示的只是想象中的半径为无限大的地球，而不是实际的地球，那么对于我们来说，还是能够获得很多启发的。在两千多年以前，埃及人用测量竹竿影子的方法，计算出地球的周长大约为 40000公里[18]。在赤道附近，在太阳直射的时候 (东西方向)测量竹竿的影子，把很短的竹竿的高度和影子长度当作笛卡尔坐标下的几何关系，而把相当高的竹竿所测得的同样数据，看成是阳光对球面的投影，用平面几何的方法就可以计算出地球的半径和周长。这个方法可以说明，欧氏空间和黎曼空间的关系：如果把欧氏空间中的距离作为一个逻辑基元，黎曼空间就变成了一个坐标系，欧式空间中的球坐标系，利用坐标转换可以测量出地球的周长。不仅如此，用欧氏空间和笛卡尔坐标系，可以把地球上所测量到的太阳和行星的运动轨道，便换成以以太阳为中心的地球和行星的运动轨道。这些就是在第一卷中所讨论的从哥白尼、赫布里到坎普勒所完成的工作。而把球面看成不可穿透的刚性的大理石板那样的东西，否定欧氏空间中的距离这个概念的合理性，用黎曼的非欧空间的距离定义，就不可能解决人类认识的历史过程中那些极端重要的问题。否定了距离的公理性，实际上也就是割断了科学发展的历史，必然要使物理学的发展走上逻辑悖论的混乱道路。
而逻辑上用实际的地球表示的模型只能用来描述地球，而无法描述地球以外的空间。只有无限大直径的球才能描述无限大的宇宙。而笛卡儿坐标系又把坐标原点的位置看作是不固定的，这样就正好成了一个描述普遍的宇宙空间的模型。实际上现在电磁理论中涉及到很大空间范围的问题，所有的计算数学的处理中都用笛卡儿坐标系，离开这个坐标系是无法进行精确计算的。实际上现代数学是建立在笛卡儿坐标系的基础上的，其它任何坐标系是间接的体系，即使在电磁场理论的分析方法中，任何坐标系都要保持与笛卡儿坐标系的变换关系，离开了那种变换关系，任何坐标系都会失去意义。这就是说，关于点、线、面和体的空间概念与上面的实数空间概念一样，也只是逻辑概念，不是物理实在的概念。在物理实在上，我们确实找不到一个欧几里德几何中那样的水平面。但是用这样的逻辑体系我们可以描述所有的三维空间的物体的形状。
在一些时候人们常把画直线当作几何理念上的一个问题，就像牛顿所说，画直线不是几何学的问题，学习几何学的人应该先会画直线。在张操的书 [16]中，为了重新在相对论中引入笛卡儿坐标，也先讨论了如何画直线的问题，其实，画直线不是问题，相对论中非欧空间中的射线也就是直线。所以几何学有限论域扩展的问题实质上是如何画平面的问题，然后才有在平面上画直线的问题。当然两条射线也可以组成一个平面，但是在这样的射线组成的平面上只能画射线，而不能画平面上的直线，或者更确切地说是不能画两条永不相交的平行线。所以欧式空间和非欧空间的概念实际上是一个对于三维空间的理念问题。在古代文明的中国人认为已经懂得了画平面，因为他们认为水平面就是平面。爱因斯坦认为人不可能会画直线，其实是指人不可能会画平面，这一点从物理概念上来说是对的。所以要用黎曼空间来代替欧几里德空间，否认笛卡尔坐标的实在性。人类认识的发展就是这样，在否定和再否定的过程中发展。而每一次否定应该能反映出人类认知能力的发展，而不是倒退。这也就是说，人类应该从历史的角度，分析每一次否定和“否定的否定”所代表的“有限论域”的不断扩大的过程。而不是把黑格尔的话随意地套用。这是人类思维能力发展的辩证法和庸俗辩证法的根本差别之所在。欧几里德几何学的问题是两千多年前的问题，但是到二十世纪初又一次成为物理学家和数学家们讨论的焦点。现在似乎更有必要来讨论这一问题了 [6]：
我们这里想要说的不仅是欧几里德几何比别的几何要简单或方便得多，而是要说明欧几里德几何与物理实在的符合程度是任何其他几何所根本无法比拟的，与欧几里德几何相比，现在所有的那些非欧几何只能称作没有物理实在性的几何，但是他们又被数学家们称为“物理几何”。也就是说它是无法发展出具有严格数学逻辑的数学理论。
为什么数学上只接受欧氏空间和笛卡儿坐标，根本的问题在于：从物理实在返回到纯粹理性的数学理念不是具体的物理实在的模型，而是一种描述物质存在与运动形式的逻辑界定。与前面的对于点和线 (或数字与数字集合)的逻辑界定一样，这种逻辑界定正是要从与具体的物理实在中抽象出来，转换为一种数学的逻辑前提。绝对的平面在物理实在中是没有的，所以中华古文化中的“盖天说”，把它作为地球的模型时，那是错误的，是必须被否定的。但是在讨论空间的逻辑界定时，爱因斯坦把空间界定为必须是球形的体系，直观地看起来好像是合理的，我们确实找不到任何能够与平面相一致的“物理实在”，不论从大的方面，从宇宙来看，还是从微观的看，原子、分子或波的运动形式中，都不可能找到与平面能够建立确实关系的“实体”。因而爱因斯坦否认了欧氏空间的合理性，否认了笛卡尔坐标系的逻辑界定的合理性，把它从相对论中排除出去，用黎曼空间来代替它。这种做法在打破牛顿理论体系的狭隘性上是人类思维的一种发展，但是用黎曼空间来代替欧氏空间作为物理空间的逻辑前提，在逻辑上是不合理的，它没有明确性。而这一点正是逻辑的核心，一个没有明确性的理念，作为逻辑前提，最后必然导致逻辑悖论，造成逻辑的混乱。
为什么说黎曼空间没有逻辑所需要的明确性，因为它必须与一个点(球心 )联系在一起。没有了这个球心，黎曼空间就失去了依据。如果我们把这个球心，看成是可以转换的，可以从地球上的测量所得到的结果 (那是以地球的球心为依据的黎曼空间)，转换到以太阳为中心的空间，那么在这种转换过程中必须引入一个新的作为转换依据的逻辑量——距离。这样一来，黎曼空间实际上就成了欧氏空间中的球坐标系，这个使转换成立的逻辑量就是“距离”。现在一些广义相对论的学者，正在研究在广义相对论中引入笛卡尔坐标系的问题 [16]，我们相信这种研究的结果。必然导致相对论重新回到欧氏空间的逻辑框架上来。广义相对论作为一种物理理论，我们不相信能够获得实在的结果，但是空间和时间的关系不但是极其复杂，也是极其重要的，到现在为止的物理学，包括今后很长一段时间里需要探索的物理学的新的数理逻辑体系都离不开时间和空间的关系的研究，我们希望也相信，现在很多广义相对论科学家所进行的关于空间 -时间的3+1维的纯数学空间的性质的研究 [17]，能够为解决这一问题提供一些有用的数学理论和方法。
逻辑前提必须从具体的物理实在中抽象出来，没有大小的点、没有粗细的线等等都是一样，所谓“盖天说”作为一种空间模型的逻辑界定，而不把它用来表示地球的实际情况，或者说它表示的只是想象中的半径为无限大的地球，而不是实际的地球，那么对于我们来说，还是能够获得很多启发的。在两千多年以前，埃及人用测量竹竿影子的方法，计算出地球的周长大约为 40000公里[18]。在赤道附近，在太阳直射的时候 (东西方向)测量竹竿的影子，把很短的竹竿的高度和影子长度当作笛卡尔坐标下的几何关系，而把相当高的竹竿所测得的同样数据，看成是阳光对球面的投影，用平面几何的方法就可以计算出地球的半径和周长。这个方法可以说明，欧氏空间和黎曼空间的关系：如果把欧氏空间中的距离作为一个逻辑基元，黎曼空间就变成了一个坐标系，欧式空间中的球坐标系，利用坐标转换可以测量出地球的周长。不仅如此，用欧氏空间和笛卡尔坐标系，可以把地球上所测量到的太阳和行星的运动轨道，便换成以以太阳为中心的地球和行星的运动轨道。这些就是在第一卷中所讨论的从哥白尼、赫布里到坎普勒所完成的工作。而把球面看成不可穿透的刚性的大理石板那样的东西，否定欧氏空间中的距离这个概念的合理性，用黎曼的非欧空间的距离定义，就不可能解决人类认识的历史过程中那些极端重要的问题。否定了距离的公理性，实际上也就是割断了科学发展的历史，必然要使物理学的发展走上逻辑悖论的混乱道路。
而逻辑上用实际的地球表示的模型只能用来描述地球，而无法描述地球以外的空间。只有无限大直径的球才能描述无限大的宇宙。而笛卡儿坐标系又把坐标原点的位置看作是不固定的，这样就正好成了一个描述普遍的宇宙空间的模型。实际上现在电磁理论中涉及到很大空间范围的问题，所有的计算数学的处理中都用笛卡儿坐标系，离开这个坐标系是无法进行精确计算的。实际上现代数学是建立在笛卡儿坐标系的基础上的，其它任何坐标系是间接的体系，即使在电磁场理论的分析方法中，任何坐标系都要保持与笛卡儿坐标系的变换关系，离开了那种变换关系，任何坐标系都会失去意义。这就是说，关于点、线、面和体的空间概念与上面的实数空间概念一样，也只是逻辑概念，不是物理实在的概念。在物理实在上，我们确实找不到一个欧几里德几何中那样的水平面。但是用这样的逻辑体系我们可以描述所有的三维空间的物体的形状。
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