Brown 運動與Lévy 泛函分析(下) - 中研院數學研究所
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極限。
對於此種無限維分析學
L´evy 之想法是, 一方面將其投影在有限維空
間上施以運算後再讓維度趨於無限而考慮其
極限。
吾人討論了廣義白雜訊泛函的分析, 同時也. 考慮到回轉群的 ... (L2) 之Wiener 重積分之分解(13) 對應。 2◦) 無限維 ..... Brownian fuctionals and the Feynman integral.
一类广义非平稳过程泛函结构的特征刻划与随机分析
www.paper.edu.cn/journal/.../0438-0479(2006)05-0624-0...
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Brown運動與L´evy 泛函分析(上)∗
飛田武幸著
李育嘉
陳明廷合譯
0. 引言:
在Brown 運動, 加法過程,Markov 過
程等機率論研究領域中,P. L´evy 認為與其將
它們各別處理, 還不如先由泛函分析著手, 再
引入上述機率論一系列的研究中而觀其所扮
演的角色, 一方面可更展現其輝煌的一面, 同
時亦可觸覺到其至今仍繼續影響世人的思想,
且可將這些研究的前端中某些未來展望的問
題變為近代的模式來處理, 此亦為L´evy 之
貢獻。
L´evy (1886–1971) 的100 年誕辰之
紀念活動已經結束了, 今天能再認識其偉大
業績, 特別是由泛函分析觀點來探討他在機
率論方面的工作, 尤其是對Brown 運動研
究方法的改觀方面, 實意義深遠。
吾人之目標為回到L´evy 所用的隨機過
程理論根源之一的泛函分析, 經由再認識其
思想而探討出其研究的方針。為此, 本文的大
綱如下:
I. 首先, 想看如何將泛函的分析引入隨機分
析內。
II. 對於多變數參數之Gauss 隨機場
(Ran- dom field) 的泛函分析處理法,
及
III. 應用方面, 尤其是物理學上的問題的再
認識。對於這些問題, 若篇幅許可的話
擬詳加論述。
1. 泛函數
定義於區間[0, 1] 上之函數x(t), 其平
方的積分為有限, 即
k x k2 =
Z 1
0 | x(t) |2 dt < ∞,
記其全體為L2[0, 1]。此為Hilbert 空間, 是
一代表性的無限維向量空間。定義在此空間
上之實數值函數U(x), x ∈ L2[0, 1], 為函
數之函數, 稱之為泛函數, 多半表示與通常的
函數有所區別。
1
2 數學傳播十六卷四期民81年12月
*原文刊登於“數學研討”第27卷, 第3期,72 – 76 頁(1980), 日本評論社, 東京。
Brown 運動與L´evy 泛函分析(上) 3
定義域為無限維時之此種泛函數, 當
然也可考慮微分或積分等的運算, 以致分析
學的研究仍可進行。對於此種無限維分析學
L´evy 之想法是, 一方面將其投影在有限維空
間上施以運算後再讓維度趨於無限而考慮其
極限。另一方面是直接對無限維的特性作精
密的觀察然後在其上處理而作新的嘗試。對
此兩方面, 吾人對後者將可看出其意義深沉
的成果。
具體成果是由他的學位論文(1911 年)
開始及以後多篇論文的發表, 這些論文皆收
集在1951 年文獻[L.3] “函數分析的基本
問題” 中。L´evy 自己曾對其所作的泛函分析
工作做評價, 由在1971 年國際科學史學會
他所提出的論題“曲線之函數與泛函數微分
方程式” 一文中更可看出其重要性。
這方面雖是L´evy 的業績, 不過從函數
或曲線的泛函數之定義開始,其全微分(即變
分), 泛函數微分方程式, 可積分條件,Green
函數之變分或Hadamard 方程式等問題還
應繼續作詳細研究。泛函數積分之研究中所
需考慮的平均值, 無限維回轉群(group of
rotations),Laplacian 等問題及無限維的調
和分析均僅以粗糙的形式提出, 但這些合起
來形成一種體系。
目前最深具意義者是在這些一連串的工
作中可以處處看出相對應於近代分析或隨機
分析中的結果。
泛函數之定義域所選擇的函數空間是以
上述L2[0, 1] 為基準, 而考慮其種種變形, 例
如Orlicz 空間, 其理論已明確顯示出對偶空
間的重要性。以一種發展而言,1940 年L´evy
考慮對Brown 運動的隨機積分所衍生而成
之隨機面積作詳細研究。此隨機面積一直被
作為Brown 運動之典型二次泛函數在處理,
後來Kolmogorov 等人於二次統計量中看到
它的存在, 又其他如角運動量之量子化, 群之
表現等, 隨機面積在想像不到的地方繼續活
躍著。如此L´evy 所引導之基本概念在意外
的地方具重要地位之事例在其他地方也可看
出幾個, 這些事實可顯示出他對重要觀念有
深入的洞察力。
2. 泛函數微分
在無限維空間L2[0, 1] 上之泛函
數U(x) 之微分, 當然指的是變分。用座
標x = (x1, x2, · · ·) 表示x ∈ L2[0, 1]
而考慮U(x) 的偏微分@
@xn
U(x), 不如由x
變為x+δx 時取U 之微
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