波动方程- 维基百科，自由的百科全书
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双曲型偏微分方程_百度百科
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双曲型偏微分方程_互动百科
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两类带耗散机制的双曲方程解的适定性研究_CNKI学问
xuewen.cnki.net/CDFD-1014008439.nh.html
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[PDF]
非线性波动方程是一类极为重要而又艰深的偏微分方程，著名的爱因斯坦. 方程、杨（
非线性波动方程解的适定性 - 教育部科技发展中心
www.cutech.edu.cn/.../1389722463398905-13897224637...
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两类带耗散机制的双曲方程解的适定性研究--《上海交通大学 ...
cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10248-1014008439.htm
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由 陈娇 著作 - 2013
本文考虑了两类带不同耗散机制的非线性双曲方程,一类是带非线性对流项的阻尼波动方程,另一类是带退化扩散项的守恒律方程.我们研究了这两类方程经典解的整体 ...一阶拟线性双曲型方程组经典解的长时间性态--《复旦大学 ...
cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10246-1013102694.htm - 轉為繁體網頁
由 曲鹏 著作 - 2012
一阶拟线性双曲型方程组Cauchy问题整体经典解有限时间破裂线性退化部分耗散 ... 一维一阶线性退化拟线性严格双曲型方程组的ODE破裂性质：不同于真正非线性双 ..... 4, 赖宁安;变系数临界半线性波动方程经典解的整体存在性[D];复旦大学;2012年.
[PDF]
线性双曲型方程定解问题，具体来讲。讨论的主要 ... 线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程： .... 若考虑的问题是经典的Cauchy问题，如长弦的震动，即u.
双曲型方程的差分法第6章
netclass.dlut.edu.cn/uploads/.../双曲型方程数值解6_1.pdf
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[DOC]
最典型的双曲型方程是波动方程，它在物理力学和工程技术中有广泛的应用。 .... 的基础，就像牛顿，拉格朗日和哈密顿创立的方程式在经典力学中所起的作用一样”。
求解波动方程的一中新途径
slxy.cqupt.edu.cn/gdsx/lunwen/xf_bdfc.doc
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第18 卷第3 期
1998 年 9 月
云南师范大学学报
J ourna l of Yunna n No rm a lUnive rs ity
Vo l. 18 No. 3
S e p. 1998
波函数为什么要用复数表示
X
李清玉
(昭通师专物理系, 云南昭通657000)
摘 要 本文通过对薛定谔方程与经典波动方程及热传导方程的比较, 以及对薛定谔方程解的分
析, 说明描述微观粒子状态的波函数用复数表示是微观粒子波粒二象性的必然要求, 并非是为了简
化运算而引入的, 从而在更深层次上认识了波函数。
关键词 复数 波函数 薛定谔方程 时移算符 几率
在物理学中, 物理量用复数来表示的不多, 因为物理量大多数是可直接测量的。但为什么
有少数物理量要用复数表示呢? 是引入复数会简化计算, 还是其它原因?
在普通物理学中, 交流电的电流、电压值便是用复数来表示的, 而实际的交流电流是用余
弦函数表示:
I = I 0co s (Xt + U) (1)
式中各量均为实数。但人们为了计算的方便, 人为地加入一个虚数, 使之变为复数:
I = I 0co s (Xt + U) + iI 0 sin (Xt + U) = I 0ei (Xt+ U) (2)
于是交流电流变成为一个指数函数, 位相的变化由指数表示, 这在计算上会带来许多方便。但
是, 作为一个实数的交流电流为什么能用复数表示, 是因为交流电流的表达式是一个线性方
程, 在进行多次运算后实部、虚部始终是分开的, 最后的结果取实部即可。所以交流电流中引入
复数只是一种“手段”, 它能使运算简便。
在量子力学中, 由于微观粒子具有波粒二象性, 人们抛弃了轨道的概念, 提出了微观粒子
的状态要用波函数描写, 波函数的模平方表示粒子在空间某点出现的几率密度, 物质波是几率
波, 不同于经典波[ 1 ]。可见, 波函数在量子力学中的地位是很重要的, 但人们很难理解波函数为
什么用复数表示, 是否是因为简化运算而引入的一种工具。
因随时间变化的三维薛定谔方程
ih2
57
5t
= h2 2
2L
¨ 27 - V (x , y , z ) 7 (3)
是一个线性方程, 且方程左边出现了虚数i, 而式中除7 ( t) 未知外, 其余各量均为实数。为了满
足方程(3) , 显然7 是复数。设波函数7 表示为
X 1998- 03- 06 收稿
7 (r
o
, t) = P (r
o
, t) + iQ (r
o
, t) (4)
将(4) 代入(3) 得
ih2
5
5t
[P + iQ ] = h22
2L
¨ 2 - V (r
o
) [P + iQ ]
令实虚二部分别相等(并且虚部的“i”可以消去) , 得
- h2
5
5t
P = H
d
Q (5)
h2
5
5t
Q = H
d
P (6)
其中H
d
= -
h2 2
2L
¨ 2 + V (r
o
)。
薛定谔方程的实部、虚部均包含波函数的实部、虚部, 故波函数的实部P, 虚部Q 同样重
要。
从以上分析可看出, 量子力学中波函数用复数表示并不象交流电流中为了简化运算而引
入的一种工具, 而是有它的必然性. 下面便是波函数是复函数的论证。
1 薛定谔方程与经典方程比较
1. 1 与双曲线方程(经典波动方程) 比较
52
5t2u (r
o
, t) = a2¨ 2u (r
o
, t) (7)
ih2
5
5t
7 (r
o
, t) = H
d
7 (r
o
, t) (8)
虽然(8) 式和(7) 式一样都含有对空间坐标的二阶导数, 因而(8) 式的解7 (r
o
, t) 和(7) 式
的解u (r
o
, t) 一样均对空间坐标具有周期性, 但由于(7) 式包含对t 的二阶导数, 因此u (r
o
, t) 对t
有周期性, 而(8) 式仅含时间的一阶导数, 它的解对时间t 是否也有周期性呢?
1. 2 与热传导方程比较
5
5t
u (r
o
, t) = a2¨ 2u (r
o
, t) (9)
(8) 式和(9) 式一样都包含对t 的一阶导数, 而(9) 式的解u (r
o
, t) 描写不可逆过程, 它对t 并
无周期性。这就再次产生问题: (8) 式的解是否对t 也没有周期性呢?
2 薛定谔方程的解必须对r
o
, t 都具有周期性
方程(8) 的解7 (r
o
, t) 代表几率波, 几率波即是粒子位置几率在空间、时间中作周期分布而
形成的波。因此, 波函数7 (r
o
, t) 应同时对r
o
, t 具有周期性。(但并不一定是单色波, 常常是大量
单色平面波的叠加。)
3 对薛定谔方程的解的分析
(8) 式的解可用如下方法求得:
设t = 0 时刻的解7 (r
o
, 0) 为已知, 对任意时刻t 的解7 (r
o
, t) 可用一个时移算符U
d
( t) 按
·74· 云南师范大学学报(自然科学版) 第18 卷
下式得到
7 (r
o
, t) = U
d
( t) 7 (r
o
, 0) (10)
只要知道U
d
( t) 便可求得7 (r
o
, t)。把(10) 式代入(8) 式得:
ih2
5
5t
U
d
( t) 7 (r
o
, 0) = H
d
U
d
( t) 7 (r
o
, 0)
因为7 (r
o
, 0) 是一个任意给定的波函数, 比较等式两边可得
ih2
5
5t
U
d
( t) = H
d
U
d
( t) (11)
又因U
d
( t) 只与t 有关, 故上式左边的
5
5t
可写成d
d t
, 即
ih2 d
d t
U
d
( t) = H
d
U
d
( t) (12)
现在, 时移算符U
d
( t) 便是(8) 式的解。直接对(12) 式做积分就可得到U
d
( t)。首先把(12)
式改写为
dU
d
( t)
U
d
( t) = - i
1
h2 H
d
d t (13)
积分
lnU
d
( t) = - i
h2∫H
d
d t + lnC
把此式两边都取作自然数e 的指数, 有
U
d
( t) = e- i
h
2∫H
d
d t+ lnC = elnCe- i
h
2∫H
d
d t = Ce- i
h
2∫H
d
d t (14)
当t = 0 时,U
d
( t) = U
d
(0) , 由(10) 式, 当t = 0 时有:
7 (r
o
, 0) = U
d
(0) 7 (r
o
, 0)
因此应有U
d
(0) = 1 (15)
把(15) 式代入(14) 式, 得
U
d
( t) = e- i
h
2∫H
d
d t
则任意时刻的波函数7 (r
o
, t) 为
7 (r
o
, t) = e- i
h
2∫H
d
d t7 (r
o
, 0) (16)
当H
d
与t 无关时, 可简化为
7 (r
o
, t) = e- i
h
2 H
d
t7 (r
o
, 0) (17)
可见7 (r
o
, t) 对时间t 具有周期性, 而且是实变数r
o
, t 的复函数。由于t = 0 时刻是任意选定的,
故7 (r
o
, 0) 也是复函数。
综上所述, 由于薛定谔方程中含有虚数“i”, 因而尽管该方程在形式上与经典的热传导方
程相似, 但它的解对t 仍具有周期性。也正是这个虚数“i”使波函数7 (r
o
, t) 是复函数。(在一维
束缚态问题里, 定态波函数的空间部分是实函数, 但整个定态波函数7
n (r
o
, t) = 7
n (r
o
) e- i
h
2 En t 仍
是复函数。[ 2 ]) 换言之, 由于薛定谔方程是描写量子现象的波动方程, 它的解代表几率波, 所以
薛定谔方程中必定含有虚数“i”, 进而它的解7 (r
o
, t) 必定是实变数r
o
, t 的复函数, 否则7 (r
o
, t)
就不可能对时间t 具有周期性。简言之, 7 (r
o
, t) 代表几率波, 其特点之一是对时空具有周期性,
第3 期 李清玉: 波函数为什么要用复数表示·75·
这样便导致7 (r
o
, t) 是一个复函数。
本文得到云南师范大学李淮江老师的指导, 特此致谢!
参 考 文 献
1 周世勋. 量子力学. 北京: 人民教育出版社, 1979. 6～ 10
2 张怿慈. 量子力学简明教程. 北京: 人民教育出版社, 1979. 23～ 28
Why is theWave Funct ion Expressed by the Complex Number
L iQ ingyu
(Department of Physics, Zhao tong Teacher’s Co llege, Zhao tong, Yunnan 657000)
ABSTRACT Th is is a fu rther study of w ave funct ion s. By a comparat ive study of the
Sch ro
b
dinger equat ion, the classicalw ave equat ion and the heat2conduct ion equat ion, th is pa2
per, in the analysis of the so lu t ion of the Sch ro
b
dinger equat ion, argues that the w ave func2
t ion in the descrip t ivem icro2part icle state can be exp ressed by the comp lex num ber, it is the
inevitab le resu lt of m icro2part icle w ave2part icle duality, no t in t roduced fo r the sake of sim2
p lifying operat ion s.
KEY WORDS comp lex num ber w ave funct ion Sch ro
b
dinger equat ion t im e2disp lacem en t
operato r p robab ility
·76· 云南师范大学学报(自然科学版) 第18 卷
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