http://books.google.com.hk/books?id=GXCo4MUn74gC&pg=PA92&lpg=PA92&dq=%22%E5%A3%B0%E5%AD%90%22%E7%8E%BB%E8%89%B2%E7%B5%B1%E8%A8%88&source=bl&ots=JsfXWzUFMT&sig=GgjPVMqUqK-HpYNlhFSZdZ0d3Ks&hl=zh-TW&sa=X&ei=5cRbU_SaNumkyQH3qIHgDg&ved=0CEsQ6AEwAw#v=onepage&q=%22%E5%A3%B0%E5%AD%90%22%E7%8E%BB%E8%89%B2%E7%B5%B1%E8%A8%88&f=false
"声子"玻色統計
固体物理
作者：韦丹
ssp-19-金属电导理论-final－new - 豆丁网
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熱固體傳導的深入探討
作者
莊雅淳。國立彰化女中。一年十五班
許嘉凌。國立彰化女中。一年十五班
壹●前言
在基礎物理第一章提到不同物質熱導率不同，記得在國中時也做過許多關於比熱
和熱導率的實驗，例如：將水和金屬加熱看溫度上升速率，亦有在銅和玻棒一端
用奶油黏上牙籤，另一端加熱然後觀察牙籤掉下順序。當時，老師只讓我們看結
果卻未解釋為何，上了高中後我便問老師此問題，老師便提供我「凝體
Everywhere」這本書，裡面用了許多量子的概念解釋各種不同的現象，也因這樣
的觀點，深深吸引了我，進而讓我深入研究思考。我把舊有的實驗和已知的一些
現象重新整理出來，再詳細的閱讀這本書，將有疑慮的問題記錄下來並請教物理
老師，因為是第一次接觸到這種觀點，所以充滿許多問題，幸好物理老師不厭其
煩的向我解釋，經過這樣的過程後，我總算弄清楚了「熱」的來龍去脈，也能將
這些概念再和生活中更多的實際例子結合。
貳●正文
一、熱傳導
湯匙放進熱茶裡不久會感覺到熱，這涉及了熱的傳導，又另一個現象：
熱
箱
冰
熱流
銀棒
冰融化
可看見熱的傳導，而上述兩現象皆有個共通點：只有在溫度不同時才有熱能流動
傳播。而是什麼原因造成這樣的結果？它的解釋會牽涉到量子力學，所以必須先
確認兩樣要素：
01. 測量熱能的方法，以便知道要供給多少熱才能使材料產生多少溫度變化。
02. 如何計數電子與聲子在晶體中遷移而發生碰撞次數。
（註一）晶體的熱能使原子振動，這些振動是聲波，能量是量子化的，聲波量子
化就是聲子，充滿整個晶體，為振動能為hf
的量子，h為蒲郎克常數，f為頻率。
而德拜（Peter Debye,1884-1966）是最早想到以聲波模式來探討固體中原子熱振
動。
二、比熱
n
每公克材料自 20°C 上升到 21°C 所需的熱量（J）稱為材料的每公克比熱，由此亦
可計算出每原子的比熱。下表為一些物質的比熱（註二）
材料 每克比熱(J/°C) 每原子比熱(10
-23
J/°C)
銅
0.39 4.1
銀
0.24 4.3
鉛
0.13 4.48
鑽石
0.51 1.05
水
4.2 12.6
以聲子的熱能開始探討，熱能代表了晶體離子的振動能。假設晶體的溫度為 20°
C，以符號T代表，而聲子有最高頻率fD存在，如果能量kBT(波茲曼常數kB=1.38×
10
-23
J/°C)聲子能量hfD大得多的話，則由聲子的統計物理學可得知每一原子的平均
熱能變為 3kBT，所以每一原子溫度要升高 1 度所需的額外能量為 3kB(T+1)－3kBT
＝3kB＝4.14×10
-23
J/°C。因此，每個原子的比熱都應該是這個值，不管什麼材料都
一樣。由上表可得知，銅、銀、鉛的比熱都差不多，但鑽石卻不同。這是因為鑽
石的fD比其它三種物質的fD都大很多，所以必須要到較高的溫度，才能使kBT明顯
大於hfD。當不符合這條件時，聲子的統計物理學告訴我們，其比熱會較小，而
且如果溫度接近絕對零度，比熱會較小。
再看上表，銀鉛的每原子比熱都比來自聲子的 3kB值稍微大些。會超過的原因是
因為金屬中有傳導電子，它能接受熱能，並且移動到附近還沒被佔據的量子態，
因而增加了比熱。假定每個原子放出一個電子自由遊蕩，這些電子會形成費米
面，也就是電子能量的最高層。在絕對零度時，電子佔滿了最高能量的費米能
EF(約為室溫下每原子熱能的 1000 倍)以下的所有量子態。在溫度T下，電子可以
多獲得的熱能形式的能量約為kBT，僅是費米能的很小比例。只有那些能量比費
米能小約kBT的電子，可以移動到較高能量的空態，並在原處遺留下空態，也就
是「電洞」。由於費米能是熱能的一千倍，也就是電子比熱約為來自聲子的千分
之一，因此，我們可以下個結論：在室溫下電子比熱僅佔總比熱的很小部分，加
熱晶體的大部分能量都跑到聲子去了，若是金屬，只有很少部分跑到傳導電子
上。對於絕緣體或半導體，因為沒有自由電子或稀少到可忽略，差不多所有能量
都給聲子。
三、平均自由程
回到第一點所說的導熱棒，熱形式的能量會很穩定的自熱端流向冷端，用電子、
電洞及聲子來說明的話，便是由於這些量子都是含有熱能的實體，所以一定在棒
子內部承擔了熱傳導的角色。熱傳導的重要媒介便是聲子，聲子在材料中以聲波
的速率朝各方向運動；聲子的密度，也就是每單位體積內的聲子數目，會逐漸由
熱端朝向冷端遞減。
聲子自熱端移動了一段距離後會碰撞其它聲子，但聲子在碰撞前移動的距離都不
一樣，取平均值的距離便是「平均自由程」。同時，另一端也會發生相反方向的
熱流，因為聲子是往四面八方運動的，而能量的淨流就是這兩相反方向的聲子流
量的差。
金屬內的電子與電洞也會碰撞到聲子，在合金中也會碰撞到合金原子，因此也有
平均自由程。
四、熱導率
我們都知道金屬的熱導率大於絕緣體，在第三點便提到熱的傳播可由聲子、電洞
及電子，金屬具自由電子，絕緣體則沒有，這裡可分別探討。
01.絕緣體
假設熱流的方向是自左而右，意即溫度也是自左向右下降，如下圖。在導熱棒上
取三個橫切面 A、B、C，它們有相同的面積 S 平方公分，彼此的距離為平均自
由程 l(單位為公分)。
再假設A、B、C的溫度分別為T
1
、T、T
2
。基於熱流方向，我們知道T
高於T而T
高於T
2
，在A處的聲子溫度為T1，熱能為每立方公分E(T
)。
平均而言，有二分之一的聲子可向右到達B，在B截面每秒像右流過的熱量為：
1/2[E(T
1
1
)]×面積S×聲子的速率s。聲子的速率和聲音的速率一樣，在大多數的固體
中為每秒數千公尺。另外在B截面上亦有向左的聲子，這些聲子是來自C截面，
熱能每立方公分E(T
2
)，每秒向左的熱能為：1/2[E(T
向右的淨熱能記為QL，為上面兩式的差，等於(1/2)[ E(T
2
1
)]×面積S×聲子的速率s。每秒
1
)－E(T
)]Ss。由上可看出
淨熱能包含了[ E(T
1
)－E(T
2
)]這因式，為溫度T
1
與T
2
2
的每立方公分熱能的差異。這
個差值除以溫度差即為材料的比熱CL，因此，QL＝(1/2) CL(T
)Ss。
又QL＝QL(2l/2l)亦即：QL＝(1/2) CL[(T
1
－T
2
1
－T
)/ 2l ]Ss×(2l)。由於導熱棒的溫度在距離
2l內自T
)/ 2l這個變化率，則R稱沿著導熱棒的溫度「梯
度」(gradient)。所以每秒沿著導熱棒傳送的熱能可簡化為：QL＝sCL l SR。到目前
為止，都只考慮聲子的向左或向右，但事實上聲子是朝各方向運動的。把這個考
慮進去就必須修正為：QL＝(1/3)sCL l SR。可寫成QL＝KLSR，此時KL代表
(1/3)sCL l。KL純粹是材料的一種性質，受來自聲子的比熱CL所影響，而聲子的速
率為s，平均自由程為l。而KL下標L表示熱是被晶格的振動所攜帶，亦即由聲子
所攜帶，KL便稱為材料的「晶格熱導率」。晶格熱導率愈大，材料的熱傳導性也
愈好。而由上面的公式可看出熱導率其實就是每秒通過邊長 1 公分的立方體兩相
對表面的熱能，兩相對面的溫差為 1°C。
02.金屬
絕緣體和半導體的熱能幾乎全包含於聲子之中。但金屬的熱能不只包含於聲子
中。因為溫度之故，它也含在費米面附近成對的電子－電洞中。因此，金屬的熱
流來自聲子，也來自電子－電洞。電子及電洞的導熱方法和聲子一模一樣，所以
可用上述聲子的熱傳導率的公式，電子的熱導率KE對應成(1/3)CEVF l E，其中VF
1
下降至T2，用R代表(T
1
－T
2
為費米速度。所以，電子與電洞每秒所攜帶的熱能為QE＝KESR。又總能量Q＝QE
＋QL。不管是聲子的熱傳導率還是電子、電洞的熱導率，都是受粒子的比熱、速
率、以及平均自由程的乘積所決定的。
要估計電子及聲子所分攤的熱傳導相對大小，先從平均自由程著手。電子與電洞
會先與聲子碰撞，然後再碰撞到其它電子或電洞，聲子最可能碰到的也是其它聲
子，因此所有的電子及聲子的平均自由程都會趨向一樣。再來看比熱和速度，雖
然電子比熱小於晶格比熱，但費米速度卻遠大於材料中的聲速，所以來自電子與
電洞的熱傳導和聲子的差不多，甚至更大。
參●結論
熱傳導的載體為聲子、電子及電洞，而要去探討這些便會牽涉到粒子的比熱及平
均自由程。鑽石(絕緣體)和金屬的每原子比熱差別在比 3kB大或小，金屬之所以
超過，是因為金屬中有傳導電子，它能接受熱能，並且移動到附近還沒被佔據的
量子態，因而增加了比熱。接著，我探討了平均自由程，因電子、電洞和聲子都
是先碰撞聲子再進行另一碰撞，所以平均自由程都趨向一樣。最後推導了熱導率
的公式，並藉此探討金屬和絕緣體導熱速度快慢之原因，即是因金屬除了聲子的
傳導，還加上自由電子。這樣便大致完整探討熱固體傳導了。不過熱的另兩種傳
導方式的模式呢?對流也是藉由物質攜帶能量，只是有別於固體傳導之物質不
2
動，那情況會怎樣？而輻射呢？這些都是我未來可深入探討了解的地方。
肆●引註資料
註一、<<凝體 Everywhere>>p.165.166。錢卓斯卡(B.B.Chandrasekhar)著。天下。2000
註二、<<凝體 Everywhere>>p.193。錢卓斯卡(B.B.Chandrasekhar)著。天下。2000
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