单射、双射与满射- 维基百科，自由的百科全书
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粗几何设(X,d)是一个度量空间。对于拓扑学家来说
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从度量到拓扑的过渡:损失信息。由度量诱导的拓扑只反映了 ...
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对于拓扑学家来说，这里度量d 的意义体现在它产生的开集。但是，这种从. 度量到拓扑的过渡，损失了大量的信息。事实上，由度量诱导的拓扑只反映了度量空间的“小 ...
领域近年来非常活跃的研究分支,与几何、拓扑、算子代数、几何 ...
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微分形式与同调论浅析einstein.newton 2012-05-09 07:26
据说科大本科生就学过群论和场论了，前两天殷义豪学长又推荐了一本写给本科生的弦论教材。那么，本科生可不可以学同调论呢？在这篇文章里，我们就来进行这种尝试。为了易于理解，请允许我以物理学家们的直观风格来阐述这极其抽象晦涩的数学理论。当然，虽然本文不需要很深数学基础，但如果你对四大力学、张量和群论的一点入门知识都不了解的话，文中某些论述也可能让你感到莫名其妙。所以建议你先读读我以前的拙作《漫谈抽象代数》和《现代微分几何的基本概念》。
你可能读过我的《漫谈抽象代数》或《现代微分几何的基本概念》，学过或自学过点集拓扑，但我还是想强调一下。现代数学是一种结构数学。现代物理中的数学方法是从（可微）流形开始的，而流形是从拓扑空间开始的，拓扑空间又是从集合论开始的。我们在集合上进行不同的运算，就构造了不同的空间。例如，引入加法和数乘，就定义了线性（矢量）空间，引入内积运算就定义了度量空间。事实上，我们也可以不引入距离的概念，只类比开区间的概念由邻域来定义开集，通过一个点集的每个开邻域都与n维欧式空间同胚（连续的一一映射）来定义流形。集合是静态的，但映射是动态的，所以集合上就可以有导数与微分这些与运动相关的概念。例如U与V交集中的点P经f与g分别映射为x与y，则取f的逆映射将x映回P，再映到y就给出y与x的函数关系，于是可以求y对x的导数（这就是映射的微分）。流形的可微性使得我们能够赋予它大量的结构，如微分形式、李导数（关键是构造一种拉回映射）、张量（纤维丛、联络）等。本文主要讨论微分形式，关于丛上的群结构和联络结构的讨论留到下一篇日志。好了，闲话少说，让我们进入正题。什么是同调，它与物理学什么关系呢？为了从认识论的深度说清楚这个问题，我们需要一些预备知识。
度量空间的大尺度几何与高指标问题
黄渊，王勤，王显金
（东华大学理学院应用数学系，上海201620）
摘要：粗几何上的指标理论是“非交换几何”领域近年来非常活跃的研究分支，与几何、拓扑、算子代数、几何
群论、Banach 空间几何理论等都有密切联系。对该领域的若干思想、主要问题和部分最新研究进展进行综述性介绍。
关键词：粗几何；非交换几何；算子代数；指标理论
中图分类号：O177.1 文献标志码：A
0 前言
粗几何上的指标理论是“非交换几何”领域最近二十年来发展起来的重要研究分支。它孕育于非紧流
形上的指标理论，其主要目标是通过几何空间的大尺度几何结构探索指标代数（即Roe 代数）的K-理论群
的信息，从而建立几何空间的几何、拓扑与分析之间的联系，并用于解决其他重要问题，如Novikov 猜测、
Gromov-Lawson-Ronsenberg 正标量曲率猜测、群C*-代数幂等元问题等。
用粗几何的观念研究非紧空间上的指标问题，这种想法来源于指标定理的热方程方法。事实上，非紧
流形上广义椭圆算子的K-理论指标并不依赖于流形的局部几何，而是依赖于流形的大尺度几何结构，即流
形的粗几何。在几何空间上通过控制局部紧算子的传播而产生的C*-代数，即Roe 代数，恰好反映了几何空
间的粗结构特征；广义椭圆算子的K-理论指标就是落在Roe 代数的K-群之中。从几何空间的一个容易计算
的几何不变量，即粗K-同调群，到Roe 代数的K-理论群有一个指标映射，粗Baum-Connes 猜测断言这个指
标映射为同构，粗Novikov 猜测断言这个指标映射为单同态，这些猜测提供了计算Roe 代数K-理论群或判
断广义椭圆算子的高指标是否为零的有效途径。因此，粗几何上指标理论的中心目标就是解决粗
Baum-Connes 猜测和粗Novikov 猜测。
本文的目的是对该领域的若干思想、主要问题和部分最新研究动态进行综述性介绍。
1 粗几何
设(X ,d)是一个度量空间。对于拓扑学家来说，这里度量d 的意义体现在它产生的开集。但是，这种从
度量到拓扑的过渡，损失了大量的信息。事实上，由度量诱导的拓扑只反映了度量空间的“小尺度”结构。
例如，度量d' (x, y) mind(x, y),1与d 定义了同样的拓扑，但d'显然失掉了d 的尺度大于1的几何信息。
粗几何的观念与拓扑的观念则刚好相反，它是从“大尺度”的角度研究度量空间的几何，使得“从遥远处
看起来一样”的两个空间，比如实数直线 和整数格点 ，在确切含义下是等价的。
定义1.1[1-2]设X 和Y 是度量空间，映射f : X Y （不一定连续）称为粗映射，如果满足
(1) f 是一致扩张的（uniformly bornologous）：即对任意R 0 ，存在S 0 ，使对任意x, y X ，有
d(x, y) Rd( f (x), f ( y)) S ；
收稿日期: 2010-09-01; 修回日期: 2010-11-05
作者简介: 黄渊（1987－），女，江西高安人，硕士，主要研究方向为泛函分析。通讯作者王勤简介见文末。
基金项目: 国家自然科学基金（No.10971023，No.10901033）、上海市曙光计划（No.07SG38）和上海市浦江计划（No.08PJ
1400600）资助项目。
2 上海第二工业大学学报2011年第28卷
(2) f 具有度量真性（metrically proper）：对任何有界子集B Y ，逆象f 1(B)在X 中是有界的。
定义1.2[1-2] (1) 称两个粗映射f , g : X Y 是粗等价的，如果存在常数K 0，使得对所有x X ，有
d( f (x), g(x)) K 。(2)称空间X 和Y 是粗等价的，如果有粗映射f : X Y 和g :Y X ，使得g f 粗等价
于X id ，且f g粗等价于Y id 。此时也称映射f 是一个粗等价。
容易看出，任何有界度量空间都粗等价于一个点，而包含映射i :和取整数映射i :建立了
实数直线 和整数格点 的粗等价。粗几何研究的度量空间通常要求具有“真性”（properness），即有界闭
子集都是紧集。所有完备黎曼流形和有限生成离散群都是真性度量空间。设 是一个有限生成群，S 是其有
限生成集，则在 上有关于S 的“字长度量”。 中的每个元都能表示成“单词”， 1 2 n … ，其中
1
i S S 。用于表示 的生成元的个数n的最小数叫做 关于S 的“字长”，对任意1, 2 ，其字长度量
1
1 2 2 ( , ) s d ，即1
2 关于S 的字长。有限生成群的字长度量当然与生成集S 的取法有关，然而它的
粗几何结构却与生成集选取无关。
命题1.3[2-3] 设S 和S' 是群 的两个有限生成集， s d 和s d 是相应的字长度量， 则恒等映射
: ( , ) ( , ) s s id d d 建立了两个度量空间( , ) s d 与( , ) s d 的粗等价。
从度量几何的角度研究离散群的结构是非常重要的现代数学思想（几何群理论是由此发展起来一个重
要的当代数学分支）。几何大师M. Gromov 关于这一思想有一段精彩的描述[4]：
“在几何学家的眼里，一个带有字长度量的离散群G 作为度量空间，初看起来可能有点乏味和平淡无
奇。因为这是一个离散空间，传统的数学手段（比如拓扑工具或分析工具）在此毫无用武之地。如果还是
想看看它的几何面貌，你得挪动一下位置，把观测点远远离开这个群。当你处在与G 的距离为m 的地方进
行观测时，你看到的G 上的度量是它原来度量的1/m。当m 趋于无穷时，G 中的点聚结成一个连通的连续
实体呈现在你的视野，它既没有豁口也没有穿孔，使我们的几何学家心底充满了欢欣……。”
你可能有点担心在这个过程中群G 原本的结构会有所丢失。……但是正如Mostow 在1968 年发现的那
样，一个事实令人大为惊奇：大尺度几何远比它初看起来要丰富得多，威力大得多。事实上，人们现在相
信：无限群的最本质的东西都是粗几何不变量（或称拟等距不变量）。
“Rips 复形”是表达离散空间的这种“粗化空间”的一种拓扑构造。设X 是一个具有“有界几何”的
离散度量空间，即对任意r 0，存在N 0，使得X 中的任何半径为r 的球B(x, r)中至多包含N 个点。对
任何d≥0，Rips复形( ) d P X 是一个单纯多面体，它的顶点集合就是X 本身；任意n 1个点 0 1 , , , n x x … x X
构成一个n-单形，当且仅当( , ) , , 0,1, , i j d x x ≤d i j … n 。给( ) d P X 赋予球面度量[5]，使得在每个单形上通
过同胚
1 2
0 1
0 0 0
0, 1 : ( , , , ) 0, 1
n n n
n n
i i i i n i i
i i i
t x t t S t t t t t
≥ ≥
0 1
0 2 2 2
0 0 0
, , ,
n
n
i i n n n
i
i i i
i i i
t x t t t
t t t
…
获得度量。那么( ) d P X 是真性度量空间，且与X 粗等价。从某种意义上， ( ) d P X 可以看作是在与X 的距离
为d时观测X 看到的空间。当d d，存在单纯且连续的映射: ( ) ( ) dd d d i P X P X 。事实上， dd i 也是一个
粗等价映射。
第1 期黄渊，王勤，王显金：度量空间的大尺度几何与高指标问题3
2 Roe代数与非交换商空间
研究度量空间粗几何的一种泛函分析工具是C*代数，其机理与A. Connes“非交换几何”的思想一脉相
承。一个C*代数A是有对合*运算的（复）巴拿赫代数，且满足“C* -等式” x*x x 2 ,x A。例如：(1)
0C (X )，即定义在局部紧的Hausdorff空间X 上的连续函数（在无穷远处为零）代数，这是交换的C*代数。
(2) B(H)，即定义在希尔伯特空间H 上的有界线性算子全体，这是非交换的C*代数（参见[6]）。
定理2.1（Gelfand-Naimark）对于任何交换的C*代数A ,都存在局部紧Hausdorff空间X ,使得0A C (X )。
在这个意义下，研究交换C*代数等价于研究局部紧拓扑空间，而把一般的C*代数视为非交换拓扑空间。
即使在研究通常拓扑空间的问题时，非交换C*代数也发挥着通常拓扑工具无可替代的作用。下面是一个简
单而极具启发性的例子，“非交换商空间”，引自A. Connes 的巨著《非交换几何》（见[7]第85 页）。
考虑仅有两个点的离散空间0 1 X {x , x } , 其相关的C*代数A C(X ) 可以表示成作用在希尔伯
特空间l2 (X ) 上的对角2 2矩阵代数。
2
2
0
( ) : , ( ) ( ( )) ( )
0
A C X M B X B
现假设我们通过等价关系（点0 x 和点1 x 等价： 0 1 x x ）得到X 的商空间，则通常的拓扑商空间
0 1 X pt x , x 是一个单点空间，其对应的C*代数可以表达为A中的数量矩阵子代数。
0
:
0
C X C pt A
然而，在“非交换拓扑”即C*代数中，采用给A中的对角矩阵添加非对角元的办法，来表达“点0 x 和1 x 等
价”的商空间，这里把A 扩大为整个矩阵代数，
2( ) : , , ,
a
M ab
b
把它称为X 的“非交换商空间”[7]。
按照这种思想，我们介绍离散度量空间上的Roe代数[2-3]。设(X ,d)是一个具有有界几何的离散度量空
间，H 是一个Hilbert空间。任何有界线性算子T B2 (X ,H)有自然的X X 矩阵表示： ( , ) [ ] xx xx X X T t ，
其中( ) xx t BH 。如果每个xx t 都是H 上的紧算子，则称T 是局部紧算子。如果sup( ( , ) : 0 xx d x x t ，
则称T 是“有限传播”算子，其矩阵形式（*为H 上的紧算子，空白处为0 算子）：
定义2.2[1-2] Hilbert空间2 (X ,H)上的局部紧、有限传播算子全体构成一个*-代数，其算子范数闭包
C* (X )是一个C*代数，称为X 的Roe代数。
注2.3[2] Roe 代数可以看作是“对度量空间进行粗化”的非交换商空间。这里，“粗化X ”就是“令所
有距离m 的两点等同，然后令m 趋于无穷”。由于任何两点的距离都是有限的，这在通常的拓扑意义下是没
有意义的。然而，Roe 代数可认为是“粗化X ”的非交换商空间，这是因为我们通过“有限传播算子”矩
X X
4 上海第二工业大学学报2011年第28卷
阵，引入了非对角元素来表达对应于“等同”。
定理2.4[2]若X 与Y 粗等价，则Roe代数C* (X )与C* (Y)同构。
一般地，设M 是一个真性度量空间，不必离散。称M 的离散子集X 为一个网，如果存在c 0，使得
d(x, x ')≥c对于任何两个不同的点x, x ' X 成立，且对于任何pM ，存在x X ，使得d(x, p) c。对任意
c 0，由Zorn引理，这样的网总是存在的。如果X 有有界几何，则称M 有有界几何。在此情况下，我们
定义M 的Roe代数C *(M) : C * (X )。在相差一个同构的意义下，这样的定义不依赖于网X 的选取。
3 高指标问题
设M 是完备的黎曼流形， D 是M 上的椭圆（拟）微分算子。有两种情况需要讨论。
情形(1) 如果M 是紧流形，则D 是Fredholm 算子，即D 模掉紧算子代数是可逆的。Atiyah-Singer 指标
定理[8]通过M 的拓扑不变量来计算D 的Fredholm 指标：
0 Index(D) dim(ker(D)) dim(ker(D*)) K (K(H))
情形(2) 如果M 是非紧流形，则D 不再是通常意义下的Fredholm 算子。但D 是“广义Fredholm”算子，
即模掉一个C *代数C * (M)可逆，这里C * (M)即M 的Roe代数，它由M 上的有限传播的局部紧算子生成
的[1-2]。在C *代数K理论[9]中有标准的方法可定义D的广义Fredholm指标为C * (M)的K-理论群元素，称
为D 的“高指标”：
* Higher-Index(D) [ker(D)] [ker(D*)]K (C *(M))
注3.1 如果M 是紧流形的，则Roe代数C* (M)同构于紧算子代数K(H)，上述情形(2)中的高指标还原
为情形(1)中通常Fredholm 指标。
Roe 代数的K-理论群*
*K (C (M))包含了重要的广义椭圆算子的高指标，一个自然的问题就是如何计算这
个群。但通常情况下，Roe 代数的K-理论群的计算是非常困难的。按照Atiyah-Singer 指标定理的精神，可
以用M 上合适的、可计算的拓扑不变量来计算这个K- 群。这个拓扑不变量就是由Atiyah,
Brown-Douglas-Fillmore, Kasparov 等发展起来的K-同调群。
设X 是局部紧Hausdorff 空间。X 的K-同调群( ) i K X （i=0,1）是由某种圈（或称抽象椭圆算子）模掉
某种等价关系（如同伦、酉等价等）生成的的群[9-10]。
0K (X ) 的生成元是偶维圈。一个偶维圈是一个三元组(H, ,F) ，其中H 是一个Hilbert 空间，
0 :C (X ) B(H)是一个*表示，F B(H)是一个有界算子，使得对所有的0 C (X )，算子 (F * F I )，
(FF *I )， F
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