微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。
微分几何的产生
微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。
1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。
1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。
随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。
微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。
1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。
1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。
随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。
微分几何学的基本内容
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。
微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。
微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。
分形几何的内容
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
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所谓分形（fractal）是指某种具有不规则、支离破碎的，同时其部分又与整体有某种方式下的自相似性、其维数不必为整数的几何体或演化着的形态。与此相应，我们把那种形状规则、维数一定为整数的几何体或形态称为整形。分形不是任意复杂和粗糙的形体或形态，而是“粗糙同时又自相似性”的形体或形态，即分形几何是介于几何混沌和欧氏几何之间的第3种可能类型的图形。
分形理论具有较多的特征，如具有精细结构，存在着任意小的比例细节、大多数情况下可以以十分简单的方法定义和生成等等，但其中最主要的特征是自相似性（self-similarity）和分数维数(fractional dimension)。所谓自相似性，简单地说，是指局部与整体在形态结构、功能和信息等方面具有相似性的一类极其破碎而复杂、但有自仿射性（self-affinity）的体系。当然，只有在标度区间内才存在自相似性，才能谈分形。定量描述分形所具有的自相似性的参数是“分数维数”。
分形理论具有较多的特征，如具有精细结构，存在着任意小的比例细节、大多数情况下可以以十分简单的方法定义和生成等等，但其中最主要的特征是自相似性（self-similarity）和分数维数(fractional dimension)。所谓自相似性，简单地说，是指局部与整体在形态结构、功能和信息等方面具有相似性的一类极其破碎而复杂、但有自仿射性（self-affinity）的体系。当然，只有在标度区间内才存在自相似性，才能谈分形。定量描述分形所具有的自相似性的参数是“分数维数”。
豪斯道夫维数：设ARn,S≥0,对于σ>0，定义HSδ(A)=inf∑｜Ui｜S(AUUi,｜Ui｜≤δ)，其中｜Ui｜表示UI的直径，定义HS(A)=limHSR(A)，HS(A)称为集合A的豪斯道夫S维测度。可以证明，对于集合A，存在唯一的非负实数DH(A)，它满足：若0<S<DH(A)，则HS(A)=∞;若DH(A)<S<∞,则HS(A)=0。DH(A)叫做A的豪斯道夫维数。对于任意的集合A，恒有DH(A)>DT(A),DT(A)为A的拓扑维数。
R/S分析是由赫斯特于1965年提出的一种时间序列统计法[2]。它在分形理论中有着重要的应用。下面就R/S分析的基本原理和方法、分维数与赫斯特数的关系及其物理意义作简单的介绍。考虑一个时间序列〔ξ(t),t=1,2……〕，对于任意整数τ>1，定义非负时均序列<ξ>τ=1/τ∑ξ(t),τ=1,2……；用X(t)表示累计离差：X(t,τ)= ∑(ξu)-<ξ>τ),1<t<τ；极差定义为：R(τ)=maxX(t,τ)-minX(t,τ),(1<t<τ),τ=1,2……)；标准差定义为：S(τ)=(1/τ(ξ(t)-<ξ>)2)1/2,τ=1,2,……。
现考虑比值R(τ)/S′(τ)=R/S，赫斯特发现有如下经验标度关系：R/Sα(τ/2)H（或ατH），H称为赫斯特数。如果ξ(t)相互独立，方差有限的随机过程序列，则由赫斯特和费勒证明了如下结果：R/S=(πτ/2)1/2,即H=1/2。
由分维定义和分式布朗运动的原理，可得出分维数DH和赫斯特数的关系为：DH=2-H或H=2-DH。当H=0.5时，DH=1.5是通常的布朗运动的分维数，H<1/2时，呈现负相关，有两种情况，一则由“好”到“坏”，二则由“坏”到“好”。当其H>1/2时，呈现正相关，可能出现“良性循环”和“恶性循环”。决策者采取适当的措施，避“恶”扬“良”，达到较好的目的。
R/S分析是由赫斯特于1965年提出的一种时间序列统计法[2]。它在分形理论中有着重要的应用。下面就R/S分析的基本原理和方法、分维数与赫斯特数的关系及其物理意义作简单的介绍。考虑一个时间序列〔ξ(t),t=1,2……〕，对于任意整数τ>1，定义非负时均序列<ξ>τ=1/τ∑ξ(t),τ=1,2……；用X(t)表示累计离差：X(t,τ)= ∑(ξu)-<ξ>τ),1<t<τ；极差定义为：R(τ)=maxX(t,τ)-minX(t,τ),(1<t<τ),τ=1,2……)；标准差定义为：S(τ)=(1/τ(ξ(t)-<ξ>)2)1/2,τ=1,2,……。
现考虑比值R(τ)/S′(τ)=R/S，赫斯特发现有如下经验标度关系：R/Sα(τ/2)H（或ατH），H称为赫斯特数。如果ξ(t)相互独立，方差有限的随机过程序列，则由赫斯特和费勒证明了如下结果：R/S=(πτ/2)1/2,即H=1/2。
由分维定义和分式布朗运动的原理，可得出分维数DH和赫斯特数的关系为：DH=2-H或H=2-DH。当H=0.5时，DH=1.5是通常的布朗运动的分维数，H<1/2时，呈现负相关，有两种情况，一则由“好”到“坏”，二则由“坏”到“好”。当其H>1/2时，呈现正相关，可能出现“良性循环”和“恶性循环”。决策者采取适当的措施，避“恶”扬“良”，达到较好的目的。
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http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=2055
这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。
这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。
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