Thursday, November 1, 2012

元素原子核外电子排布的规律是元素周期表划分的主要依据,是元素性质周期性变化的根本所在。对于同族元素而言,从上至下,随着电子层数增加,原子半径越来越大,原子核对最外层电子的吸引力越来越小,最外层电子越来越容易失去,即金属性越来越强;对于同周期元素而言,随着核电荷数的增加,原子核对外层电子的吸引力越来越强,使原子半径逐渐减小,金属性越来越差,非金属性越来越强

對非金屬元素,情況比較有
趣一點:一方面,越靠週期表右邊,原子半徑越小,
原子間作用力越大,熵應該越小。但另一方面,越靠
週期表右邊,原子質量越大,原子熵應該越大

元素原子核外电子排布的规律是元素周期表划分的主要依据,是元素性质周期性变化的根本所在。对于同族元素而言,从上至下,随着电子层数增加,原子半径越来越大,原子核对最外层电子的吸引力越来越小,最外层电子越来越容易失去,即金属性越来越强;对于同周期元素而言,随着核电荷数的增加,原子核对外层电子的吸引力越来越强,使原子半径逐渐减小,金属性越来越差,非金属性越来越强

核外电子排布



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核外电子排布
核外电子排布
处于稳定状态(基态)的原子,核外电子将尽可能地按能量最低原理排布,另外,由于电子不可能都挤在一起,它们还要遵守最低能量原理,泡利不相容原理和洪特规则,一般而言,在这三条规则的指导下,可以推导出元素原子的核外电子排布情况,在中学阶段要求的前36号元素里,没有例外的情况发生。



编辑本段一、原子核外电子排布的原理

1.最低能量原理

电子在原子核外排布时,要尽可能使电子的能量最低。怎样才能
核外电子排布
核外电子排布
使电子的能量最低呢?比方说,我们站在地面上,不会觉得有什么危险;如果我们站在20层楼的顶上,再往下看时我们心理感到害怕。这是因为物体在越高处具有的势能越高,物体总有从高处往低处的一种趋势,就像自由落体一样,我们从来没有见过物体会自动从地面上升到空中,物体要从地面到空中,必须要有外加力的作用。电子可看作是一种物质,也具有同样的性质,即它在一般情况下总想处于一种较为安全(或稳定)的一种状态(基态),也就是能量最低时的状态。当有外加作用时,电子也是可以吸收能量到能量较高的状态(激发态),但是它总有时时刻刻回到基态的趋势。一般来说,离核较近的电子具有较低的能量,随着电子层数的增加,电子的能量越来越大;同一层中,各亚层的能量是按s、p、d、f的次序增高的。这两种作用的总结果可以得出电子在原子核外排布时遵守下列次序:1s<2s<2p<3s<3p<4s<3d<4p<5s<4d<5p<6s<4f<5d<6p<7s<5f<6d<7p……(由低到高)当然,在实际排列中,有时候因为电子的磁量子数和自旋量子数的原因,能级轨道的能量高低也不是绝对像上边一样的,比如说Ⅷ族元素Pt,5(d9)6(s1),6s轨道还没有排完,下一个电子就进驻5d轨道了……这些就要具体问题具体分析了。(一般情况下,4s<3d,这是用薛定谔方程算出的结果,被称作是能级交错。但由于H原子只有一个电子,填在1S中,所以3d与4s能量一样)

2.泡利不相容原理

我们已经知道,一个电子的运动状态要从4个方面来进行描述,即它所处的电子层、电子亚层、电子云的伸展方向以及电子的自旋方向。在同一个原子中没有也不可能有运动状态完全相同的两个电子存在,这就是泡利不相容原理所告诉大家的。根据这个规则,如果两个电子处于同一轨道,那么,这两个电子的自旋方向必定相反。也就是说,每一个轨道中只能容纳两个自旋方向相反的电子。这一点好像我们坐电梯,每个人相当于一个电子,每一个电梯相当于一个轨道,假设电梯足够小,每一个电梯最多只能同时供两个人乘坐,而且乘坐时必须一个人头朝上,另一个人倒立着(为了充分利用空间)。根据泡利不相容原理,我们得知:s亚层只有1个轨道,可以容纳两个自旋相反的电子;p亚层有3个轨道,总共可以容纳6个电子;d亚层有5个轨道,总共可以容纳10个电子,f亚层有7个轨道,总共可以容纳14个电子。我们还得知:第一电子层(K层)中只有1s亚层,最多容纳两个电子;第二电子层(L层)中包括2s和2p两个亚层,总共可以容纳8个电子;第3电子层(M层)中包括3s、3p、3d三个亚层,总共可以容纳18个电子……第n层总共可以容纳2n^2个电子。

3.洪特规则

从结果总结出来的洪特规则有两方面的含义:一是电子在原子核外排布时,将尽可能分占不同的轨道,且自旋平行;洪特规则的第二个含义是对于同一个电子亚层,当电子排布处于∶
全满(s2、p6、d10、f14)
半满(s1、p3、d5、f7)
全空(s0、p0、d0、f0)时比较稳定。这类似于我们坐电梯的情况中,要么电梯是空的,要么电梯里都有一个人,要么电梯里都挤满了两个人,大家都觉得比较均等,谁也不抱怨谁;如果有的电梯里挤满了两个人,而有的电梯里只有一个人,或有的电梯里有一个人,而有的电梯里没有人,则必然有人产生抱怨情绪,我们称之为不稳定状态。

编辑本段二、核外电子排布的方法

对于某元素原子的核外电子排布情况,先确定该原子的核外电子数(即原子序数质子数、核电荷数),如24号元素铬,其原子核外总共有24个电子,然后将这24个电子从能量最低的1s亚层依次往能量较高的亚层上排布,只有前面的亚层填满后,才去填充后面的亚层,每一个亚层上最多能够排布的电子数为:s亚层2个,p亚层6个,d亚层10个,f亚层14个。最外层电子到底怎样排布,还要参考洪特规则,如24号元素铬的24个核外电子依次排列为
1s2s2p3s3p4s3d
根据洪特规则,d亚层处于半充满时较为稳定,故其排布式应为:
1s2s2p3s3p4s3d最后,按照人们的习惯“每一个电子层不分隔开来”,改写成
1s2s2p3s3p3d4s即可。

编辑本段三、核外电子排布在中学化学中的应用

1.与轨道表示式、原子结构示意图的关系

原子的核外电子排布与轨道表示式原子结构示意图的关系:原子的核外电子排布式与轨道表示式描述的内容是完全相同的,相对而言,轨道表示式要更加详细一些,它既能明确表示出原子的核外电子排布在哪些电子层、电子亚层上, 还能表示出这些电子是处于自旋相同还是自旋相反的状态,而核外电子排布式不具备后一项功能。原子结构示意图中可以看出电子在原子核外分层排布的情况,但它并没有指明电子分布在哪些亚层上,也没有指明每个电子的自旋情况,其优点在于可以直接看出原子的核电荷数(或核外电子总数)。

2.原子的核外电子排布与元素周期律的关系

在原子里,原子核位于整个原子的中心,电子在核外绕核作高速运动,因为电子在离核不同的区域中运动,我们可以看作电子是在核外分层排布的。按核外电子排布的3条原则将所有原子的核外电子排布在该原子核的周围,发现核外电子排布遵守下列规律:原子核外的电子尽可能分布在能量较低的电子层上(离核较近);若电子层数是n,这层的电子数目最多是2n2(二乘以n的二次方)个;无论是第几层,如果作为最外电子层时,那么这层的电子数不能超过8个,如果作为倒数第二层(次外层),那么这层的电子数便不能超过18个。这一结果决定了元素原子核外电子排布的周期性变化规律,按最外层电子排布相同进行归类,将周期表中同一列的元素划分为一族;按核外电子排布的周期性变化来进行划分周期
如第一周期中含有的元素种类数为2,是由1s1~2决定的
第二周期中含有的元素种类数为8,是由2s1~2 2p0~6决定的
第三周期中含有的元素种类数为8,是由3s1~2 3p0~6决定的
第四周期中元素的种类数为18,是由4s1~2 3d0~10 4p0~6决定的。
由此可见,元素原子核外电子排布的规律是元素周期表划分的主要依据,是元素性质周期性变化的根本所在。对于同族元素而言,从上至下,随着电子层数增加,原子半径越来越大,原子核对最外层电子的吸引力越来越小,最外层电子越来越容易失去,即金属性越来越强;对于同周期元素而言,随着核电荷数的增加,原子核对外层电子的吸引力越来越强,使原子半径逐渐减小,金属性越来越差,非金属性越来越强。

编辑本段原子的核外电子排布与元素周期律的关系

在原子里,原子核位于整个原子的中心,电子在核外绕核作高速运动,因为电子在离核不同的区域中运动,我们可以看作电子是在核外分层排布的。按核外电子排布的3条原则将所有原子的核外电子排布在该原子核的周围,发现核外电子排布遵守下列规律:原子核外的电子尽可能分布在能量较低的电子层上(离核较近);若电子层数是n,这层的电子数目最多是2n^2个;无论是第几层,如果作为最外电子层时,那么这层的电子数不能超过8个,如果作为倒数第二层(次外层),那么这层的电子数便不能超过18个。这一结果决定了元素原子核外电子排布的周期性变化规律,按最外层电子排布相同进行归类,将周期表中同一列的元素划分为一族;按核外电子排布的周期性变化来进行划分周期。
 

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熵不是亂度或無序(文献参考)

2010-02-24 00:38 分类: 化学研讨
作者:台湾省 中山大学 化学系 丁尚武
一、引 言
熱力學的幾大定律是任何宏觀體系的集體行為都
遵守的,不論是簡單的材料如金屬,還是生物體系如
細胞,用幾個熱力學特徵函數和參數即可對其整體性
質做一個很完整的描述。因此,熱力學不僅是一門物
理學課程,也是物理化學、生物物理和生物化學等課程
必不可少的一部分。從學生學習和使用的角度看,比較
困難且容易引起混亂的是“熵”(entropy) 這個概念。
有幾個原因:(1) 與焓和自由能類似,熵這個態
函數不像內能函數或壓力,溫度,體積等參數那樣直
觀;(2) 以往的一些教科書用的一些不恰當比方,例如,
Peter Atkins 的著名物理化學教材 (1-7 版) 說熵是體系
分子亂度 (disorder) 的量度,造成理解上的混亂;(3) 熵
是通俗化最厲害也是用得最混亂的科學名詞 (之一),
導致日常使用的不嚴謹說法倒流到正式場合,這是嚴
格讓位於通俗的最好例證之一

本文總結一下熵為什麼不是亂度或無序。希望學
生不致於繼續受誤導性“通俗”說法影響而造成理解
混亂。也希望能提醒一些教相關課程的老師今後不繼
續使用“亂度”這個模糊詞彙。在此先要聲明一下,
本文作為一個化學教學體會的報告,大部分內容不是
原創,主要是依據文獻1-9 和網路資料整理而成,希望
將這些內容歸納整理到一起對有關同仁和學生有些參
考價值。
二、熵為什麼不是亂度?
熵的定義:S
宏觀 (熱力學):
ΔS = ∫dQ/T (原文为S1到S2的定积分,论坛格式所限,见谅)(積分路徑對應可逆過程)
微觀 (統計力學):S = kB lnW
這兩個定義從邏輯到物理都是無懈可擊的,但都
看不到與“亂度”或無序有必然的關係。事實上,亂
度沒有一個精確的定義。
從嚴格的角度講,任何一個科學上的說法只要有
一個反例就足以使其無效,而亂度不能與熵等價的例
子俯拾皆是。
例1:相同氣體的混合熵或氣體加倍:例如將兩
罐一樣的氧氣放到一個大罐裡。此處熵加倍,但直觀
看,“亂度”似乎並沒有改變。這個例子還指出用亂
度理解熵有可能將熵這個廣延量 (extensive variable 與
體積成正比的量) 誤解成強度量 (intensive variable 與
體積無關的量) 的危險。
例2:氣體液體膨脹:如氣體自由膨脹,熵增加,
但“亂度”並沒有增加,實際上自由膨脹後氣體速度
分佈變窄,直觀看似乎應是“亂度降低”。
例3:氣體的熵:實驗和理論計算都表明,相同
條件下,分子量越大的氣體,其熵越大。這個現像如
果用亂度這個“直觀”圖像,完全不能理解,因為依
此圖像,越是輕的分子,似乎越容易走向混亂。
例4:Styer 的格點氣體實驗9 表明,很多看上去
有“規則圖樣”的分佈 (因而是“亂度”低的分佈),
恰恰是熵比較大的分佈!更實際的例子是,最近材料
學裡的常談到的高熵合金的熵,其實不一定比“原子
排列有序”的晶態合金的熵大!
例5:最近在分子運動的微觀層次上的一些新實
驗要求我們不能將熵等同於亂度:奈米或微米粒子在
無規布朗力作用下可能自發出現有序化10-13。這充分說
明無規分子運動導致熵增加,但並不一定導致“亂度”
增加、更無序或更無規。
事實上,無序、混亂甚至混沌可能是“仁者見仁,
智者見智”,“情人眼裡出西施”,“公說公有理,
婆說婆有理”,凸顯日常用詞的內在危險。
與“熵是亂度”相伴的一個誤導說法是“熱力學
過程對應亂度增加”,於是導致很多令學生感到混亂
的例子。下面列舉一些常見的:
例6:晶體是很有序的,“亂度”很低,但卻是
熱力學上穩定的,可見結晶這個自發的熱力學過程並
不是“亂度增加”的過程。
例7:冰水混合物傾向自發地變成均一的水或均
一的冰,為何不走向更“無序”?
例8:油水混合物:不加乳化劑的情況下,保持
油水分離之亞穩態,為何不走向油水混合的無序?進
一步,隨時間增加,此亞穩態自發變成水油兩層分離
態,是“亂度”最小的態。
例9 : 液晶體系如6OCB (4-n-Hexyloxy-4’-
Cyanobiphenyl) 降溫時,狀態變化呈現:各向同性→
向列型→層列型→向列型 (比層列型“亂”),即隨著
溫度降低,6OCB 先出現“亂度”降低然後又出現“亂
度”增加,叫那些接受了“熱力學過程傾向亂度增加”
調教的學生如何不打呵欠?
類似的例子不勝枚舉,如成核作用,過飽和溶液
等,都與“熵是亂度的描述”衍生的說法“熱力學體
系傾向亂度增加”相違。其實只要留心,這樣的例子
在物理、化學、生物體系中俯拾即是。
後文裡 (第四節) 還可以看到更多的反例。足見
把熵理解成亂度帶來的混亂。
三、模糊的起源:
一個有嚴格定義的物理概念在普羅大眾中廣為誤
用並不新鮮,但竟然在學術圈子裡也長期混亂地使用,
可能會使人們大感意外。這正是熵這個概念的特別之
處。有關此概念的特殊的歷史發展,使得此一現象得
以發生。
3.1 歷史原因1865 年,Clausius 急於找出他的宏觀熵dQ/T 之微
觀解釋,但那時離分子存在的正式確認還差近半個世
紀,顯然給出正確的微觀解釋的條件不成熟
。Clausius
只好推理說,由於熵大就是有用的能少,也就是無規
熱運動的比例大,這意味著運動混亂度大 (速度分佈
更廣)。這個看似合理的推理過程實際上是充滿了漏洞
的。首先dQ/T 只是熵變,而非熵本身的值;第二,dQ
大並不代表dQ/T 大。但是由於Clausius 的影響力以及
當時熱力學的核心內容就是氣體運動論 (見3.4),加上
當時確實沒有條件給出更好的解釋,再加上“混亂度”
這種朗朗上口的大眾化詞彙,“熵代表體系的混亂度”
的說法就廣為接受。以致Boltzmann 的正確解釋出現
100 餘年的時間裡,學術界依然代代有人將“熵就是
亂度”這種誤導的說法成功地傳承下來

3.2 將熵推廣的副作用
第二個原因是20 世紀裡,熵這個概念遠遠超過
了統計熱力學這個傳統範圍。例如,它是資訊理論的
一個基本概念,代表資訊的單位。除相差一個常數因
子外,這個定義與Boltzmann 的微觀解釋是相符的,
因而也是嚴格的。但把資訊熵理解成複雜度,其害處
和危險類同於把熱力學熵理解成亂度。個人認為,複
雜度這個詞彙應該在計算機理論著作中矮化10 倍,正
如亂度在物理化學書籍中已經被矮化10 倍一樣。
3.3 大眾化說法倒流到教室
熵這個字,像量子躍遷、相對論、彎曲時空等物
理詞彙一樣,在20 世紀裡被大大地生活化和庸俗化。
如,高熵社會、高熵集團、高熵人際關係等等,都是
熵這個字被廣泛地不嚴謹使用的例證。
下面這些說法雖然反覆出現在通俗文章書籍甚至
高等學校的教科書中,但它們都是錯誤的,因為所提
到的現像與熵增加並沒有關係:
(1)“一個茶杯從桌子上掉到地上打碎了,這是常
見的現象,但我們不可能看到一個打碎的茶杯
碎片自動拼接回一個茶杯,並跳回桌面,因為
這是一個熵減少的過程。”
(2)“搖動抽籤筒,籤條分佈變得混亂,其熵增加。”
(3)“建築物的倒塌從有序到無序,熵增加。”
(4)“如果不整理,房間裡會越來越凌亂,因為熵
不能減少。”
上述所有這些現像中,“亂度”確實都增加了,
但由於這些過程本質上是純力學現像,其演化是由動
力學 (dynamical) 方程決定,並無統計出現的必要性,
因而是滿足時間可逆的,故熵通通沒有改變
。上面第
一個例子可能是將熵理解成無序/亂度造成的破壞作用
最大的,因為不光是很多通俗書籍、報紙、雜誌、電
影和電視上常引用此例來“說明”熵增加原理,在大
學教材和專著中,以及研討室裡的嚴肅討論和專家演
講舉例裡也頻頻出現。甚至還有人錯誤地把“水往低
處流”也當作是熱力學第二定律的一個例子。追根究
源,這些錯誤都是來自“熵是體系的亂度”這個友好
害人的說法衍生出的誤導。
3.4 位置座標構型熵起主導作用的地方,“熵
是亂度的描述”這句話才大體成立(这个需要具备大学物理知识

有人可能會說,有不少情形,熵確實可以用簡單
的亂度圖像來理解,這如何解釋?也就是說,有些時
候,熵的確可以解釋成“亂度”。這值得說明 (承匿
名審稿人提醒)。
從Boltzmann 熵定義來看,如果微觀狀態數目的
主要貢獻是來自體系的座標構型 (例如分子的幾何排
佈方式) 的變化數目,則此時熵確實可以用混亂的程
度來描寫。也就是說,相空間中位置座標分量的變化
對熵的貢獻遠大於動量座標分量的變化對熵的貢獻
時,Boltzmann 熵的主要來源就是座標構型熵。這時,
座標構型越多就是亂度越大,也是熵越大。檢視實例,
我們確實可以發現,“熵是亂度的描述”這句話在定
性上不出錯的地方正是座標構型熵佔主導的地方。早
期熱力學的核心內容是氣體運動論,座標構型熵佔主
導,“熵是亂度的描述”這句話也就講得通。
四、正確的通俗說法(这个需要用到大学知识,比如物理系的《热力学与统计力学》或化学系的《物理化学》等相关知识
由Boltzmann 的熵定義,熵代表即時微觀狀態數
的對數因此把熵作為能量散佈 (spread) 或彌散
(disperse) 到各個可能的微觀狀態的描述是最為恰當
的。
體系的熵反映其能量在各能階 (態) 上儲存的方
式。一定溫度下,體系可及的能階數目越多,其可能
實現的微觀狀態數目就越多,故熵可以近似地理解為
被佔據的能態數目。這一說法雖然在定量上不嚴格,
但定性上經得起推敲,定量上也比亂度或無序要好很
多,幾乎不會導致定性上的錯誤,適應當今熱力學內
容包含越來越多的以量子力學為基礎的體系之趨勢。
對於“熵是亂度的描述”這句話成立的“古典”情
形,這個圖像也適用。
利用此一通俗說法,不但可以避免用亂度招來的
混亂和錯誤,還可以幫助我們理解熵的一些重要性
質1-3,7,8,例如:
4.1 熵與原子/分子量的關係
平移、振動和轉動能量均與質量 (或質量的平方
根) 成反比,因而原子/分子量越大,能階間隔越小。
因此,給定溫度下,重原子/分子可及 (佔據) 的能階
數目要多些。由此立即得到,給定溫度下,重原子/分
子的熵比輕原子/分子的熵要大。這個結論與實驗結果
相符。例如,氦原子的標準熵為126 J/K/mol,而氪原
子的標準熵為164 J/K/mol。實際上同族元素的原子熵
均隨週期增加而增加 (定量而言這種熵增還與原子半
徑的增加也有關,見4.2)。再如,氣體分子F2, Cl2, Br2, I2
的熵隨分子量增加而增加。而從“亂度”的圖像是難
以理解這些結果的,甚至剛好得到相反的結論,因為
直觀看來,越是輕的原子和分子越容易“走向混亂”,
因而似乎其熵應該越高才是。
4.2 熵與原子半徑之關係
同一週期的金屬元素,鹼金屬原子半徑大,故原
子之間作用力弱些,能階間隔小些→熵大些。對同族
金屬元素,週期越大的金屬元素原子半徑越大,因而
也導致其熵大。因此,對金屬元素,質量增加和原子
半徑增加都導致熵增加,故隨週期變化和族的變化,
金屬元素的熵變很明顯。對非金屬元素,情況比較有
趣一點:一方面,越靠週期表右邊,原子半徑越小,
原子間作用力越大,熵應該越小。但另一方面,越靠
週期表右邊,原子質量越大,原子熵應該越大。因此,
可以預期不同非金屬元素的原子熵之差異比金屬元素
之間的差異要來得小。實驗結果也正是這樣。當用“亂
度”來理解這一關係時,可能是一籌莫展。
4.3 熵與原子/分子間作用力的關係原子或分子間作用力越強,能階間隔越大,體系
可及能階數目越小→熵越小。例如,惰性元素的原子
熵比金屬和非金屬元素的原子熵都大。極性分子之間
的作用力大於非極性分子間作用力,因此,相同分子
量條件下,極性分子體系的熵較小。又如,相同分子
量的大分子,長鏈分子之間的作用力大於球狀分子之
間的作用力 (長鏈分子之間的凡德瓦力較大),造成其
能階間隔大一些,因此可以斷定長鏈分子的熵要低一
些。由此也可以理解為何固態中的熵一般比液態或氣
態中的小,更可以理解有些“原子排列混亂”的非晶
合金之熵可以比相同組份的“原子排列有序”的晶態
合金之熵要低。與前面的例子相同,如果用“亂度”
來理解這一關係,很容易出現混亂。
五、教科書的糾正
本文一開始提到的Peter Atkins 的著名物理化學教
材第1-7 版每版均出現了30 多處的disorder,並有
entropy is the measure of the molecular disorder of a
system的說法,但最新的第8 版14僅有3 處出現disorder
且在第81 頁特別指出“disorder”是一個“ill-defined,
qualitative”的日常詞彙。
據作者透露,其他教科書的新版已經或即將消除
類似錯誤。
稍微瀏覽一下中文書籍和文獻,不難發現,除轉
述英文書籍裡的誤導說法外,還土產了一些新的令學
生更為混亂的說法,有的作者根本就不用“熵”這個
標準物理術語而逕以“亂度”傳授,有的作者聲稱教
科書裡的熵定義“不乾不淨”,還有作者竟撰文斷言
說“熵根本是個說不清的概念”。至於網上資料的錯
誤就不可勝數了。(百度百科等不可全信
六、結 語
總結之,熵與“亂度”的真正關係是偶爾形似 (位
置座標構型熵為主導的體系二者相通),但並無實質的
親緣關係:
熵:嚴格的科學名詞,一個給定宏觀狀態所對應
的體系微觀狀態的 (最大) 數目,由精確定量的
Boltzmann 關係給出:S = kB lnW
亂度:雖然日常使用但沒有精確定義的一個模糊
詞彙,無法明確定義的俗語,有如鬆散,複雜之類的
模糊描述時所依賴的詞語。
熵大不一定意味“亂度”大,反之,熵小也不一
定意味“亂度”小。如果一定要給個“通俗”圖像的
話,可以將熵理解成體系可及的能態數目。
將熵這個具有嚴格科學意義的概念庸俗化為不能
明確定義的“亂度”在氣體運動學為熱力學核心內容的
時代,即Boltzmann 前時代,是人們不得已使用的一個
思維輪椅,現在已經沒有繼續使用它的理由了。在熱力
學內容越來越與量子力學相聯繫的今天,這種說法更有
嚴重限制,隱藏混亂和危險。鑒於熵在物理、化學和生
物學中都是一個核心概念,教物理化學、生物物理、生
物化學等課程的老師有責任徹底清除有關熵的各種誤導
性觀點,特別要摒棄熵等同於“亂度”的錯誤說法。
致 謝
感謝匿名審稿人提出幾條很有建設性的意見,使
本文改進。感謝本實驗室的學生特別是吳振、鄭人豪、
盧信豐等同學經常提出一些基礎性問題。
參考文獻
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