解析函数 调和函数 柯西--黎曼方程 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的必要与充分条件为v是u的共轭调和函数

解析函数

解析函数的概念

如果函数f(z)不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任一点可导，则称f(z)在z0解析。如果函数f(z)在区域D内任一点解析，则称f(z)在区域D内解析。

由定义知，函数在区域D内解析与在区域D内可导是等价的。但函数在一点解析与在该点可导是绝对不等价的。

调和函数

调和函数的概念

设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方程

　　hxx(x,y)+hyy(x,y)=0，

则称函数h(x,y)为D内的调和函数。

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域D内的解析函数，那么u(x,y)和v(x,y)均为D内的调和函数。

事实上，因为f(z)在区域内解析，那么

　　f`(z)=ux+ivx=vy-iuy

在区域D内解析的函数在D内具有任意阶导数。

设函数u(x,y)和v(x,y)都是D内的调和函数，而且它们的一阶偏导数满足柯西--黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。

显然，函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的必要与充分条件为v是u的共轭调和函数。

值得注意的是，若v是u在D内的共轭调和函数。一般地，v在D内的共轭调和函数是-u，而不是u。