这个“虚动量”对全空间积分算出期望值，结果是0，因为r^ 这个单位矢量在全空间相互抵消

这个“虚动量”对全空间积分算出期望值，结果是0，因为r^ 这个单位矢量在全空间相互抵消

氢原子基态怎么保证能量守恒？

已有 275 次阅读 2013-2-27 14:50 |个人分类:物理学|系统分类:观点评述|关键词:氢原子基态 能量守恒

罗教明提了个问题，对于氢原子基态 E0 , 当电子处于大轨道半径，势能大于E0 , 由于动能一定大于0，总能量必定比E0 大，所以，能量不守恒。

 

文克玲老师给出了答案。罗教明好像不服，黄小品王更是跳起来起哄。我在这里做个详细的解答。不过功劳还是属于文老师，我只是展开叙述。

 

氢原子基态的波函数为ψ0(r)=Ae−r/a0 . 动量算符作用到这个波函数上，为 −iℏ∇ ψ0(r) =iℏa0 r^ψ0(r) . 前面是个虚数。大概这就是文老师说的“虚动量”的意思。不过，这个“虚动量”对全空间积分算出期望值，结果是0，因为r^ 这个单位矢量在全空间相互抵消。

 

把氢原子基态波函数代入薛定谔方程答案更清楚：

H=−ℏ22m∇2 −e24πϵ0r=−ℏ22m(∂2∂2r+2r∂∂r+....) −e24πϵ0r

Hψ0(r)= [−ℏ22m1a20 +2rℏ22ma0−e24πϵ0r]ψ0(r)=E0ψ0(r) ，  E0=−ℏ22m1a20=−13.6eV ,

注意，上式中[]里的第一项和第二项是动能项，第三项是势能项。第二项跟第三项正好抵消，无论半径r 多大。还剩下第一项，是负的，正好等于氢原子基态能量，能量守恒。

 

可见，罗教明的问题本身就不是一个问题。半径增大导致势能增大，动能项（第二项）都能抵消它，保证能量守恒。

 

文老师讲到，动能可以是负的。从上述[]中表达式可以很容易看出来。式中第一和第二项加起来就是动能项，当r>2a0 时，这个动能项的确小于0. 这个动能项不能跟经典的动能混同。