直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个 ...
直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个 ...
Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g.
is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it. (See the examples below.) It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below.
Complete metric space
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"Cauchy completion" redirects here. For the use in category theory, see Karoubi envelope.
In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M or, alternatively, if every Cauchy sequence in M converges in M.Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g.
is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it. (See the examples below.) It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below.格林函数的原理 作者： 方洋
摘要：
本篇解决的问题是，格林函数的物理意义。为什么用格林函数法能求给定边界电场的电场分布。或者，作为一个特例，为什么格林函数法可解拉普拉斯方程的边值问题。
说明：
以下的行文中将统一采取如下约定：
ψ和φ两个三元函数均处理为电势场。（三维标量场）
▽φ（φ的梯度E）：φ的电场分布。（三维矢量场）
▽2φ（拉普拉斯φ，亦即▽•E）：电荷密度分布场ρ（r），在有电荷的地方为ρ，没有电荷的地方值为0。
正文：
其中G（G1）是另一电势函数，满足
。
因为
，所以G就是1 / 4PiR，表征一个除了位置r’之外都是零的冲击点产生的势场。
黑框公式仅仅通过φ边界上的值就求出了φ在区域内任意点的值。而且，式子中出现了一个看似不着边界的函数G。
以下对格林函数法进行分析，以求解答上述公式可能带来的疑惑。
请看以下格林公式。
两个式子是等价的，函数梯度在和边界法向的内积就是函数在边界上方向导数值。
通过高斯定理的运用，上式提供的信息是：对于φ和ψ两个电势函数，他们体区域内信息总和可以由面上积分来表达。
由于▽2φ=0，所以左式第二项为零。
以下对ψ的选择将是一步高明的处理。
因为由Derta函数的特性，有
所以只要取函数G令
，再和φ相乘取积分。
则左式中除了参考点r’以外的电势信息均被滤除掉，体积分的结果和φ(r’)的值相等。
（这里要求r’点要在积分区域内。）
接下来，右式要求提供φ和ψ在边界上的值和他们在边界上的方向导数值。此时我们选
，通过这样的选择，在边界上，
的信息也因和G|S相乘而被滤去。
从而我们通过一个具有筛选特性和齐次边界的特殊电场G实现了对原电场的求解。
特别鸣谢：张志军老师、陈酌老师给予的讲解和启发；何凌冰老师、韩小利老师给予的启蒙。
本篇解决的问题是，格林函数的物理意义。为什么用格林函数法能求给定边界电场的电场分布。或者，作为一个特例，为什么格林函数法可解拉普拉斯方程的边值问题。
说明：
以下的行文中将统一采取如下约定：
ψ和φ两个三元函数均处理为电势场。（三维标量场）
▽φ（φ的梯度E）：φ的电场分布。（三维矢量场）
▽2φ（拉普拉斯φ，亦即▽•E）：电荷密度分布场ρ（r），在有电荷的地方为ρ，没有电荷的地方值为0。
正文：
格林函数法，电势函数φ在某区域（封闭或开放）内满足拉普拉斯方程（此区域内处处没有电荷），且其边界上的电势值已知为φ|S。则该电势函数在区域内任意一点的值可知并由下式算得。
其中G（G1）是另一电势函数，满足
。因为
，所以G就是1 / 4PiR，表征一个除了位置r’之外都是零的冲击点产生的势场。黑框公式仅仅通过φ边界上的值就求出了φ在区域内任意点的值。而且，式子中出现了一个看似不着边界的函数G。
以下对格林函数法进行分析，以求解答上述公式可能带来的疑惑。
请看以下格林公式。
两个式子是等价的，函数梯度在和边界法向的内积就是函数在边界上方向导数值。
通过高斯定理的运用，上式提供的信息是：对于φ和ψ两个电势函数，他们体区域内信息总和可以由面上积分来表达。
由于▽2φ=0，所以左式第二项为零。
以下对ψ的选择将是一步高明的处理。
因为由Derta函数的特性，有
所以只要取函数G令
，再和φ相乘取积分。则左式中除了参考点r’以外的电势信息均被滤除掉，体积分的结果和φ(r’)的值相等。
（这里要求r’点要在积分区域内。）
接下来，右式要求提供φ和ψ在边界上的值和他们在边界上的方向导数值。此时我们选
，通过这样的选择，在边界上，的信息也因和G|S相乘而被滤去。从而我们通过一个具有筛选特性和齐次边界的特殊电场G实现了对原电场的求解。
特别鸣谢：张志军老师、陈酌老师给予的讲解和启发；何凌冰老师、韩小利老师给予的启蒙。
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