格林函数的原理 作者： 方洋
摘要：
本篇解决的问题是，格林函数的物理意义。为什么用格林函数法能求给定边界电场的电场分布。或者，作为一个特例，为什么格林函数法可解拉普拉斯方程的边值问题。
说明：
以下的行文中将统一采取如下约定：
ψ和φ两个三元函数均处理为电势场。（三维标量场）
▽φ（φ的梯度E）：φ的电场分布。（三维矢量场）
▽2φ（拉普拉斯φ，亦即▽•E）：电荷密度分布场ρ（r），在有电荷的地方为ρ，没有电荷的地方值为0。
正文：
其中G（G1）是另一电势函数，满足
。
因为
，所以G就是1 / 4PiR，表征一个除了位置r’之外都是零的冲击点产生的势场。
黑框公式仅仅通过φ边界上的值就求出了φ在区域内任意点的值。而且，式子中出现了一个看似不着边界的函数G。
以下对格林函数法进行分析，以求解答上述公式可能带来的疑惑。
请看以下格林公式。
通过高斯定理的运用，上式提供的信息是：对于φ和ψ两个电势函数，他们体区域内信息总和可以由面上积分来表达。
由于▽2φ=0，所以左式第二项为零。
以下对ψ的选择将是一步高明的处理。
因为由Derta函数的特性，有
所以只要取函数G令
，再和φ相乘取积分。
则左式中除了参考点r’以外的电势信息均被滤除掉，体积分的结果和φ(r’)的值相等。
（这里要求r’点要在积分区域内。）
接下来，右式要求提供φ和ψ在边界上的值和他们在边界上的方向导数值。此时我们选
，通过这样的选择，在边界上，
的信息也因和G|S相乘而被滤去。
从而我们通过一个具有筛选特性和齐次边界的特殊电场G实现了对原电场的求解。
特别鸣谢：张志军老师、陈酌老师给予的讲解和启发；何凌冰老师、韩小利老师给予的启蒙。
本篇解决的问题是，格林函数的物理意义。为什么用格林函数法能求给定边界电场的电场分布。或者，作为一个特例，为什么格林函数法可解拉普拉斯方程的边值问题。
说明：
以下的行文中将统一采取如下约定：
ψ和φ两个三元函数均处理为电势场。（三维标量场）
▽φ（φ的梯度E）：φ的电场分布。（三维矢量场）
▽2φ（拉普拉斯φ，亦即▽•E）：电荷密度分布场ρ（r），在有电荷的地方为ρ，没有电荷的地方值为0。
正文：
格林函数法，电势函数φ在某区域（封闭或开放）内满足拉普拉斯方程（此区域内处处没有电荷），且其边界上的电势值已知为φ|S。则该电势函数在区域内任意一点的值可知并由下式算得。
其中G（G1）是另一电势函数，满足
。因为
，所以G就是1 / 4PiR，表征一个除了位置r’之外都是零的冲击点产生的势场。黑框公式仅仅通过φ边界上的值就求出了φ在区域内任意点的值。而且，式子中出现了一个看似不着边界的函数G。
以下对格林函数法进行分析，以求解答上述公式可能带来的疑惑。
请看以下格林公式。
两个式子是等价的，函数梯度在和边界法向的内积就是函数在边界上方向导数值。
通过高斯定理的运用，上式提供的信息是：对于φ和ψ两个电势函数，他们体区域内信息总和可以由面上积分来表达。
由于▽2φ=0，所以左式第二项为零。
以下对ψ的选择将是一步高明的处理。
因为由Derta函数的特性，有
所以只要取函数G令
，再和φ相乘取积分。则左式中除了参考点r’以外的电势信息均被滤除掉，体积分的结果和φ(r’)的值相等。
（这里要求r’点要在积分区域内。）
接下来，右式要求提供φ和ψ在边界上的值和他们在边界上的方向导数值。此时我们选
，通过这样的选择，在边界上，的信息也因和G|S相乘而被滤去。从而我们通过一个具有筛选特性和齐次边界的特殊电场G实现了对原电场的求解。
特别鸣谢：张志军老师、陈酌老师给予的讲解和启发；何凌冰老师、韩小利老师给予的启蒙。
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