bs01 另一隨機因子為隨機波動度，將波動度視為一內生因子，並為一隨機過程。

http://www.libdspace.kyu.edu.tw:8080/dspace/bitstream/987654321/685/2/%E9%AB%98%E9%9A%8E%E5%8B%95%E5%B7%AE%E5%B0%8D%E9%81%B8%E6%93%87%E6%AC%8A%E5%AE%9A%E5%83%B9%E6%95%88%E7%8E%87%E7%9A%84%E5%BD%B1%E9%9F%BF%EF%BC%9A%E4%BB%A5%E5%8F%B0%E8%82%A1%E6%8C%87%E6%95%B8%E7%82%BA%E4%BE%8B_%E6%9E%97%E5%84%80%E5%A9%B7.pdf

另一隨機因子為隨機波動度，將波動

度視為一內生因子，並為一隨機過程。

高苑科技大學經營管理研究所

 

碩士論文

 

高階動差對選擇權定價效率的影響：以台股

指數為例

 

The Impact of High-Order Moments on the

Performance of Option Pricing: the Case of

Taiwan Stock Index

 

研 究 生：林儀婷

指導教授：吳訂宜老師

 

中華民國 101 年 六 月

　

　

 

1

 

目錄

 

中英文摘要…………………………………………………..…...….…03

第一章 前言………………………………………………..……...…...04

第一節 研究背景與動機……………………………..……...…….04

第二節 研究目的………………………………………….……….05

第三節 研究架構………………………………………..…...…….06

第二章 文獻探討……………………………………………………....07

第一節 Black-Scholes 模型……….……………………….………07

第二節 Corrado and Su 形態模型……….………………….……..08

第三節 VG 跳躍過程……………………………………………...09

第三章 研究方法………………………..……………………….….....15

第一節 模型估計參數………..……………………………..….….15

第二節 模型的訂價效率………………………………..…………17

第四章 實證結果與分析………………………………..……..……....18

第一節 資料來源………………………………………..……...….18

第二節 實證結果與分析…………………………………...……...19

第五章 結論……………………………………………………………21

參考文獻……………………………………………………….…..…...22

2

 

圖目錄

 

圖1.2 研究架構………………………………………..………………06

表目錄

 

表3-1 傳統與傅立葉轉換之選擇權評價公式比較….………………..11

表4-1 各模型的定價誤差統計量ME 及MAE…..………………..…20

表4-2 各模型的定價誤差比率MPE 及MAPE…………………….....…20

3

 

高階動差對選擇權定價效率的影響：以台股指數為例

 

The Impact of High-Order Moments on the Performance of Option

Pricing: the Case of Taiwan Stock Index

 

摘要

 

選擇權對金融事件相當敏感，且其價格的波動幅度也相當的大。Black and Scholes

(1973)的選擇權模型僅以標的資產報酬率的第一及第二階動差來描述選擇權價格的過

程，在理論與實證結果都支持Black and Scholes 模型無法充份描述選擇權的走勢過程。

故本研究將探討加入第三及第四階動差之variance gamma (VG)及Corrado and Su (1996)

模型，對選擇權定價效率的影響。

實證的結果顯示，VG 模型及Corrado and Su (CS)模型雖因加入第三及第四階動差

的參數後，並無法增加選擇權的定價效率。

Abstract

 

Option prices are very sensitive to financial event and therefore have huge volatility. An

option price of Black and Scholes (1973) model is computed by first and second moments of

asset return. The theory and empirical results proves that Black and Scholes cannot catch the

dynamic process of asset return. The study incorporated third and forth moment in option

model. The competing models are variance gamma (VG) and Corrado and Su (1996) models.

The empirical results showed that VG and CS model can not enhance the pricing

performance.

關鍵字：高階動差、VG 、Corrado and Su、選擇權定價效率

Keywords: High-Order Moments, VG, Corrado and Su, The pricing efficiency of option

4

 

第一章 前言

 

第一節 研究背景與動機

 

Black-Scholes (1973)的選擇權定價模型為學術界及實務界皆認同且廣泛使用的模

型；主要因為Black-Scholes 的選擇權模型具有封閉解，易於計算理論價格，在選擇權

市場，期貨商甚至直接提供此一資訊給投資人，作為投機、套利或避險操作的決策資訊。

另一方面也正因為Black-Scholes 的選擇權模型太過於簡易，而無法正確地描述選擇權

價格的走勢，例如Corrado and Su(1996)認為Black-Scholes 的模型在深入價內或深入價

外時有嚴重的定價誤差，Wang and Wu (2011)則表示Black-Scholes 普遍且一致性的低估

真實選擇價格。故後續許多的學者延續他們的模型：一派採增加其它隨機因子以增加選

擇權模型的準確性；另一派乃調整對標的資產報酬過程的假設。前述第一種方式中，許

多學者將利率視為常數的假設放寬，並將其設定為隨機過程。例如Heath, Jarrow, and

Morton (1992)假設隨機利率服從連續複利遠期利率(continuous compound forward rate)過

程。此類隨機利率的選擇權模型廣泛受到學者採用，例如Wang and Wu (2011)、Amin and

Jarrow (1992)、Hemler and Longstaff (1991) Ramaswamy and Sundaresan (1985) 、Schwartz

(1997)、Hilliard and Reis (1998)、Yan (2002)等等。另一隨機因子為隨機波動度，將波動

度視為一內生因子，並為一隨機過程。例如Hull and White (1987)、 Scott (1987) 、Heston

(1993)、Hemler and Longstaff (1991)、Yan (2002) 。股利收益率(便利收益率)也有學者

將其設定為隨機過程，例如，Gibson and Schwartz (1990) Schwartz (1997)、Hilliard and

Reis (1998)等等。

在調整標的資產報酬率過程的設定方面，為改善波動度微笑(volatility smile)現象及

資產報酬率分配具厚尾、高峰現象，學者通常在原幾何布朗運動過程再加上跳躍(jump)

過程，例如Merton (1976)採用標準複合卜瓦松的跳躍過程(compound Poisson jump

process)、Bates (1996)的擴散跳躍(diffusion-jump)過程。另外有些學者採用Levy 過程來

捕捉厚尾、高峰現象。例如Madan, Carr, and Chang (1988)的variance gamma (VG)跳躍

過程，Barndoeff and Neilsen (1995)採用的normal inverse Gaussian (NIG)跳躍過程，Huang

and Wu (2004)的time-changed Levy 過程。這些Levy 過程加入特徵參數(triplet)以控制偏

態與峰態，進而改善標的資產報酬率的常態分配假設。

在統計學上，分配具有四級動差，以描述各種分配的型態，然而Black-Scholes (1973)

的模型只採用統計學上的一階及二階動差，而假設三階及四階動差分別固定為0 及3。

5

 

金融市場的價格報酬率通常具有左偏(三階動差為負值)及高峽峰(四階動差大於3)現

象，且不同市場其偏態及峰態值也不同。故Jarrow and Rudd (1982)、Corrado and Su

(1996) 、Brown and Robinson (2002) 及Jurczenko, Maillet, and Negrea (2002) 在

Black-Scholes (1973)的模型再加上偏態及峰態參數，以便於解釋不同市場之不同偏態及

峰態的特性。

第二節 研究目的

 

選擇權為一高槓桿及高風險的金融工具，其價格對標的資產價格的變動具高度敏感

性。故僅以標的資產報酬率分配的一階及二階動差來描述選擇權價格的過程，在理論上

似乎不足。故本研究將探討VG 跳躍過程、Corrado and Su 形態模型及Black-Scholes 等

三類模型。Corrado and Su 形態模型及Black-Scholes 主要探討三階及四階動差由固定轉

為與時變動(time varying)，可否增加模型的效率；VG 跳躍過程及Black-Scholes 模型則

可比較，在Levy 過程加入特徵參數以控制偏態與峰態的定價方式可否增加模型的效

率；最後則比較VG 跳躍過程與Corrado and Su 形態模型在定價效率上是否有所差異。

6

第三節 研究架構

 

研究動機與目的

文獻探討

研究方法

Black and scholes 模型VG跳躍模型Corrado and Su模型

各模型之參數估計

理論價格之誤差分析

結論與建議

資料來源：本研究整理

【圖1.2】

7

第二章 文獻探討

 

本章將探討Black-Scholes(1973)、Corrado and Su (1996)形態模型及Madan, Carr, and

Chang (1988) 之Variance Gamma (VG)跳躍過程等三類模型。

第一節 Black-Scholes 模型

Black and Scholes (1973) 為最早發展出具封閉解之選擇權定價模型，歷經約40 年

的驗證，仍普遍受到學者及實務界的廣泛接受。Black and Scholes 最初是採用求解偏

微分方程式，後續以變數變換的方式求解。在新的定價技術持續進步下，平賭過程的定

價方式具易理解性、求解容易、可擴充至多變數，且具封閉解，故受到學者的認同。

Black-Scholes 的歐式選擇權在時點零的公式如下：

  C0 S0 exp  T N(d1 ) Ke rTN(d2 )     , (2-1)

  0 2 0 1 ( ) exp ( ) rT P Ke N d S  T N d       , (2-2)

  2

0

1

 

1

ln ( )

2

 

S K r T

d

T

  

 



 

  

 

 , (2-3)

2 1 d  d  T , (2-4)

其中，C0 代表時點零的買權價格，P0 代表時點零的賣權價格，S0 代表時點零的標的資

產價格， 代表連續股利率，N(  )代表累積機率密度函數，K 代表履約價格， 代表標

的資產報酬率的波動度。

8

第二節Corrado and Su 形態模型

Black-Scholes 模型儘管受到廣泛的認同，但此模型有明顯的缺失，造成定價效率不

彰。例如，在深入價內或深入價外時，Black-Scholes 模型通常會定價誤差(mispricing)，

而定價誤差的來源可能是為簡化求解過程，而假設模型的相關變數為固定不變的常數

( Corrado and Su, 1996)。其中又以假設波動度為一常數引發學者討論，Black and

Scholes (1972) 及Officer (1973)以實證方式研究資產報酬率的波動度發現，波度度為

一非固定常數；Engle (1982)及Bollerslev(1986)皆認為波動度具有條件異質變異

(conditional heteroskedasticity)的現象。計量學家認為股價報酬率的波動度為一隨機過

程且和股價具有相關性。因此造成股價酬率的分配具有左偏、胖尾及高狹峰的現象。

Heston (1993)、 Hull and White (1987)、 Scott(1987)、 Stein and Stein (1991)、

Wiggins (1987) 、Huang and Wu (2004) 及Wang and Wu (2011)研究顯示，

Black-Scholes 模型在固定波度的假設之下所計算出的選擇權價格將會和實際交易價格

有顯著的差異。

在眾多修正Black-Scholes 模型中，Jarrow and Rudd (1982) 針對對數常態機率密

度函數進行Edgeworth 展開(expansion)方式描述股票價格，Jarrow and Rudd 的方法

是以調整對數常態分配的偏態及峰態來配適股票價格的過程，但Aitchison and Brown

(1963)提出對數常態分配的偏態及峰態係數會隨不同對數常態分配而有所不同。故

Corrado and Su (1996)改以常態機率密度函數進行Gram-Charlier 序列展開(series

expansion)方式描述股票報酬率，Corrado and Su 與Jarrow and Rudd 的模型相似，

但前者的優點為不論任何常態分配的偏態及峰態係數皆分別固定為0 和3 (Stuart and

Ord, 1987; p. 183)。故Corrado and Su 模型易於比較及解釋偏態及峰態對分配的影響。

Brown and Robinson (2002) 對Corrado and Su (1996)的Hermite 多項式進行修

正，可得到調整過後的Corrado and Su 模型

C CBS 3Q3 4 3Q4 (2-5)

其中

      1 2

r t

  

BS C SN d Ke d     ; (2-6)

      2

3 1 1 1

 

1

2

3!

Q  S t   t  d n d  N d 

 

; (2-7)

9

      2 3 3 2

4 1 1 1 1

 

1

1 3 ( )

4!

Q  S t  d    t d  t n d  t N d 

 

; (2-8)

  2

1

 

ln S K (r 0.5 )t

d

t

 





 

 

 ; (2-9)

2 1 d  d  t . (2-10)

(2-5)至(2-10)式中, S 為現貨價格, r 代表無風險利率, K 為履約價格, t 為距到期日,

 現貨報酬率的標準差, n(.) 為常態機率密度函數, N(.) 累積常態機率密度函數, and

3  及 4  分別代表偏態及峰態係數。

常態分配的偏態係數為0，若某金融市場的報酬分配不為常態，由(2-5)式可看出， 3 

可修正因左偏或右偏造成的偏差(bias)，進而修正Black-Scholes 模型的定價誤差；若

某金融市場的報酬分配為常態，(2-5)式的等式右邊第二項則為0。另外峰態的影響也類

似偏態，常態分配的峰態係數為3，故若超額峰若不為0，則4  可修正因高狹峰或低潤

峰造成Black-Scholes 模型的定價誤差。因此，Black-Scholes 模型為(2-5)式的一特例，

而(2-5)式則可修正非常態分配所造成的衝擊。

第三節 VG 跳躍過程

Levy 過程運用於金融資產定價是近年來的一個趨勢，表要是Levy 過程加入特徵參

數(triplet)以控制偏態與峰態，進而改變標的資產報酬率的分配，以捕捉厚尾、高峰的現

象。

3-1 選擇權評價方法

在選擇權評價方面，本研究將採用Carr and Madan(1999)提出的傅立葉轉換方法，

其藉由股價取對數簡化方程式的複雜性，並透過快速傅立葉轉換得到買權價值，此方法

被廣泛的運用在財務上主要是因為當標的資產在未確定分配下，則可以利用資產的特徵

函數模擬資產價值之快速傅立葉轉換得到選擇權之評價；也就是說，只要對數股價隨機

過程之特徵函數是封閉解形式為可分析之函數，這方法就很有用且很方便。

給定市場模型中相關變數隨機過程，在無套利原則下，對衍生性商品做評價，根據

10

資產價格第一基本定理(Delbaen and Schachermayer,1994)：在有限的資產現貨市場中存

在無套利充要條件是在此市場中存在平賭(martingale)測度。因此假設在風險中立平賭測

度Q下機率密度函數 ST 為已知，其中sT 為股價ST 取自然對數sT 1nST，則買權價

格函數與標的資產風險中立密度函數兩者間之關係為

CT,k 

T r

k

 

e

 



 

   sT k  e  e   T T  S ds （3.1）

其中，k 為履約價K 取自然對數k 1nK，而CT ,k 則為履約價為K 與到期日為T 之

歐式買權價格。根據Plancherel 定理可知，CT,k在k 之情況下會收斂至0 S ，此

時買權價格函數CT,k並非平方可積函數，因此必須考慮修正買權價格函數以獲取平

方可積函數，其修正函數為

m o d C  ,  k T k e  C T, k (3.2)

其中， k e 為修正因子；在  0的情況下mod C T,k函數為平方可積分函數。再

者對T s 之風險中立平賭測度Q 下機率密度函數  T  s 作傅立葉轉換可以得到其特徵函

數r  為

T   

-

 

= i sT e 



 

    T T  s ds (3.3)

而修正買權價格函數mod C T,k與傅立葉轉換之關係定義如下：

T   

-

 

= i sT e 



 

  m o d C T,k dk (3.4)

將(3.4)式經由反傅立葉轉換得到買權價格CT,k為

mod C T,k

1

2

i k e 



 





 

    T   d

 ,  k e C T k  1

2

i k e 



 





 

   d

C T, k

2

k

 

i k e

e

 





 



 





 

    T   d  (3.5)

11

再藉由(3.1)式至(3.4)式可得到  T   ，如(3.6)式所示：

  T   i k k rT  sT k   

T T

k

  

e e e e e s ds dk  

 





 

    

      1 T k

s k rT i k s

  

T T e s e e  e dkds   

  

 

 

    

  rT

T e s







 

  

 1   1 

1

i sT i sT

T

 

e e

ds

i i

 

   

 

   

 

     

  

    

   

  2 2

1

2 1

rT

 

T e i

i

 

  

    

 

  



   

(3.6)

再將(3.6)式代回(3.5)式即可得到買權價格為

C T, k

   

  2 2

1

2 2 1

k rT

 

i k T e e i

e d

i

 



 

   



     

 







 

 



     (3.7)

由此可知在下面一節介紹的模型中，我們只要能求得其特徵函數  T   ，即

可得到選擇權價格。下面【表3.1】為傳統的選擇權評價公式與傅立葉轉換選擇權評價

公式之比較，其中  T  S 為風險中立平賭測度Q下股價T S 之機率密度函數

【表3.1】傳統與傅立葉轉換之選擇權評價公式比較

選擇權評價方法 買權平價方式

傳統評價方法

      r T t

T T T

K

 

C e S K S dS

 

      

傅立葉轉換之評價方法

CT,k

   

  2 2

1

2 2 1

k rT

 

i k T e e i

e d

i

 



 

   



     

 







 

 



    

. T   i sT 1   1  , 1

T T e n S d n S k nK 





 

  

資料來源:Carr and Madan(1999)

12

一、 Levy 過程簡介

很多選擇權評價模型，皆假設股價過程T S 遵從指數Levy 過程(exponential Levy

process)： 0

Lt

  

ST  S e ，其中T L 代表Levy 過程，以下將針對Levy 過程詳加說明：當一

個呈現右連續左極限的隨機過程t X ，如果具有以下五個性質，則可稱為Levy 過程：

1. 增量獨立，也就是說每一個不相交的時間區間中，隨機過程之變化獨立於 過去

的隨機過程之變化，相當於

t1 X 

t0 t2 X , X 

t1 tn X ,, X

tn-1 X 兩兩互相獨立，其中

0 t 1 <t n <<t 。

2. 定態增量，也就是說隨機過程之變化分配一致，且與開始時間無關，相當於t+h X  t X

和h X 有相同的分配且與t 無關。

3. 此隨機過程從零開始，相當於O X =0

4. 隨機連續，也就是說機率上的觀點是連續而單點跳躍之機率近於零，以數學式表示

為＞0，lim   0 t h t

h

  

P X X  



 

   ；本特性不代表樣本路徑都是連續的。

5. 無限分割性。

再了解Levy 過程之定義後，要特別說明其無窮分割性質，因為Levy 過程和分配

的無窮分割性質是緊緊相連的，即Levy 過程由無窮分割分配所產生，若一個隨機變

數Y 可由n 個獨立且分配相同之隨機變數所構成， 1 2 n Y Y Y Y 只要n  2，則

Ｙ及具有無限分割性，以特徵值函數性質來看可表示成(3.8)式之關係

    n

n      and     

1

 

     n ｎ (3.8)

其中， 為具有無限分割之隨機變數Ｙ的特徵函數，而n  則為構成Ｙ之

ｎ個相同分配隨機變數的特徵函數；符合此無限分割性之分配有常態分配、伽瑪分配

(gamma distribution)和卜瓦松分配(Poisson distribution)等；如果定態增量是常態分配，

就是常見於財務模型中的布朗運動(Brownian Motion)；若定態增量是卜瓦松分配，則

為卜瓦松過程(Poisson Process)；若定態增量為複合卜瓦松分配(compound Poisson)，則

為複合卜瓦松過程與布朗運動結合，則為跳躍擴散過程(jump-diffusion model)，這些

13

都是Levy 過程具有很大的彈性來描述現實世界中的不確定性。

由於Levy過程的無限可分割性，因此Levy之特徵函數 表示如下

  exp  exp   t    E  i X   t 

       

2 2

 

exp 1

2

ib i x dx

 

 

   

 





 

      (3.9)

其中 為特徵指數(characteristic exponent)，而dx則為Levy 測度(Levy

measure)，此Levy 測度滿足下列條件

   





 

 １ x １ dx < and     2 x 1 x 1 dx   

 (3.10)

上面(3.9)式之表示法稱為Levy-Khinchin 表示法，由此可以看出給定三個參數

b, ,就可以唯一決定Levy過程。

二、 Variance Gamma 過程

VG 過程可以定義為時間變動為Gamma 過程，漂移項為 ，波動為 的布朗運動，

如(3.13)式表示(參見Madan,Carr and Chang(1998))

VG X t; , ,   t t G W G     (3.11)

其中t G 為平均數t變異數t之Gamma 過程；布朗運動的漂移項為 控制Gamma

過程的偏態，而 則可捕捉超額峰態；VG 過程的特徵值函數則如(3.14)式表示

   

1

 

2 1 / 2 iuXVG t

VG   E e    iu   u 

  (3.12)

14

VG 過程也可看作是兩個獨立Gamma 過程的差，一個描述向上變動的過程，

另一個則描述向下變動的過程，則其Levy 機率密度  VG k x 可以表示如(3.15)式

  VG k x  

e xp 

e x p

 

C G x

x

C M x

X

  



 



 



 

0

0

 

for x

for x

  





 

　

 

　 (3.13)

其中參數C,G,M 相對應於參數 , , 為

1

C

 



 



1

2 2 2

 

4 2 2

G

 

    

 



 

 

    

 

 

(3.14)

1

2 2 2

 

4 2 2

M

 

    

 



 

 

    

 

 

其中參數Ｃ控制過程中所有的活動，而正移動的平均大小為

C

M

 

，負移動的平均大

小則為

C

G

 

，再者 為衡量過程的偏態情況，故當  0則G  M 表示為對稱分配，故當

分配呈現負偏態時  0則G  M ；若要求算選擇權價格，同樣可以經由(3.14)之特徵值

函數得到自然對數股價隨機過程之特徵值函數，再代到傅立葉轉換選擇權評價公式即

可。

15

第三章 研究方法

 

本研究主要以每一交易日之選擇權相關資料估計Black-Scholes(1973)模型、Corrado

and Su (1996)形態模型及Madan, Carr, and Chang (1988)的VG 模型所需之參數，再以所

得參數代入選擇權模型以計算在各模型下之選擇權理論價格。並以實際價格為真實價格

和各理論價格和進行比較，以檢視上述三種選擇權模型何者具有較佳之效率性及穏定

性。

第一節 模型估計參數

 

本節介紹由選擇權資料估計參數的估計方法，本文稱為隱含估計法。隱含估計法乃

利用市場上每天交易的各個履約價格及不同月份之選擇權收盤價格，帶入選擇權模型以

反推出選擇權模型的參數，而不同的選擇權模型會得到不同的參數。本文所使用的演算

法是採用Baskshi, Cao, and Chen (1997)的最小均方誤 (Average Least Squared Error)，其

主要是將可能的參數值帶入選擇權模型而計算出理論選擇權價格，再與實際選擇權價格

進行比較，以求得在其均方誤最小下之最佳每日隠含參數。參數估計步驟如下：

1. 定義理論和實際選擇權價格的差異

蒐集同一時點(交易日)及同一標的物的選擇權每日收盤價格及其相關資料， 每日的

樣本數需大於參數個數。本文以 ; ,  realized

i O t T K 代表時點t，到期日T，履約價格K 的實

際選擇權價格；而以 ; , ,  model

i O t T K  代表時點t，到期日T，履約價格K，參數 的理

論選擇權價格。兩者之差異定義如下：

 ;   ; , ,   ; ,  model realized

i i i  t  O t T K  O t T K

其中，   BS   為BS 模型中的未知參數，  , ,  VG     為VG 選擇權模型中的未知參數，

16

CS 3,4, 為Corrado and Su 形態選擇權模型中的未知參數。

2. 採用最小均方誤估算出隱含參數

將每一交易日的每一 ;  i  t  平方後，計算其平均值，平均平方誤差值最小之下的

則為當日之最適參數估計值。其函數如下：

  2

1

 

ˆ1 min ;

n

i

i

 

t

n

 



 





 

    

其中，n 為當日之所有選擇權樣本數。重覆此一估計步驟，即可求得樣本期間每一

交易日的參數估計值。

第二節 模型的訂價效率

 

為檢視現貨與選擇權資料所估計參數之優劣，將所估計之參數帶入選擇權模型中，

即可得到模型的理論價格，並進一步求算理論和實際選擇權價格的差異。本研究再依據

上述之異差進行模型訂價效率的比較。效率之比較採用平均誤差(Mean Error; ME)及平

均絶對值誤差(Mean Absolute Error; MAE)等二個衡量指標，此二個衡指標如下：

   

1

 

1 ˆ, , ,

N

model realized

i t i

i

 

ME O T K O T K

 

N 

    

 

   

1

 

1 ˆ, , ,

N

model realized

i t i

i

 

MAE O T K O T K

 

N 

   

其中，  , , ˆ model

i t O T K  為帶入時點t 的參數估計值ˆt  所求得的理論選擇權價格，而

 ,  realized

i O T K 為相對應之實際選擇權價格。

本研究另以差異百分比進行ME、MAE 等二個衡量指標比較，差異百分比的定義如

17

下如下：

 

   

 

 

1

1

 

; , , ; ,

; 100%

; ,

N model realized

i i

i

i N realized

i

i

 

O t T K O t T K

N

MPE t

O t T K

N

 

 



 

 

   





 

。

 

   

 

 

1

1

 

; , , ; ,

; 100%

; ,

N model realized

i i

i

i N realized

i

i

 

O t T K O t T K

N

MAPE t

O t T K

N

 



 





 

 

   





 

其中，MPE (Mean Percentage Error)為平均誤差的百分比，MAPE (Mean Absolute

Percentage Error) 平均絶對值誤差百分比。

18

第四章 實證結果與分析

 

本研究主要目的為探討以選擇權模型加入三階動差及四階動差後的VG 和CS 模型

是否能改善選擇權的定價效率，本研究並以BS 模型為比較基礎模型(bench-mark

model)。第一節先說明資料來源與敘述統計分析，第二節則探討實證結果並進行分析。

第一節 資料來源

 

本研究以台灣加權股價指數選擇權(台指選擇權)為研究樣本，樣本期間從2002 年至

2011 年之日資料。每一交易日之台指選擇權可能有連續三個月份的契約及另外二個季

月的契約，為避免因動性所產的偏誤以及到期日效應，本文依據下列條件篩選樣本資料：

1. 為避免選擇權價格太小導致微小的價格變動造成大幅的差異比率波動，故排除價格

小於1 的選擇權樣本。

2. 避免到期日效應及交易量不足的問題，排除距到期日大於80 天及小於5 天的樣本。

3. 避免交易量不足而造成偏誤，排除money-ness 大於1.05 及小於0.95 的樣本。

4. 市場上之交易應符合買權平價公式之套利區間，亦即買權加履約價現值減掉賣權應

該介於期貨契約加減指數10 點，其中10 點反應交易成本，其函數如下：

10   10 rt F   CP e K  F 

其中，F 為台灣股價指數期貨(台指期)，C 為買權，P 為賣權。

19

第三節 實證結果與分析

 

本研究主要討論選擇權模型加入偏態係數及峰態係數後，是否能增加選擇權的定價

效率。VG 模型所增加的是平均跳躍幅度( average jump size)及跳躍頻律(jump

frequency)，此二個參數所控制的為機率密度函數的偏態及峰態情形，若平均跳躍幅度

為負值，則會造成負偏態；跳躍頻律若高大則會造成高狹峰。而CS 模型則在直接在

BS 模型加入三階差係數及四階動差係數。

表4-1 為各模型的定價誤差統計量ME 及MAE，表4-2 則為各模型的定價誤差比率

MPE 及MAPE 的結果。表4-1 的結果顯示，在全體樣本方面，VG 模型的平均誤差ME

值為-19.68 或-11.7%最小，CS 模型的平均誤差則為67.44 或39.9%較BS 模型的68.24

或40.4%略小，但差異並不大。進一步將全體樣本區分為距到期日(time-to-maturity)及

現貨履約價比率(moneyness)。結果顯示，BS 模型、VG 模型及CS 模型的定價誤差會隨

距到期日的期間增加而使訂價誤差的絶對值增大。另外在MAE 及MAPE 方面，MAE

為誤差取絕對值，故MAE 值會大於或等於ME 值，若訂價誤差皆為同方向(一致性高估

或一致性低估模型價格)，則ME 值和MAE 值會相當接近。表4-1 的結果顯示，BS 和

CS 模型有一致性高估模型價格的現象，因為ME 值為正值，且ME 值及MAE 值相近，

表示模型價格確實並遍高於實際價格。而VG 模型在全體樣本的ME 值為-19.68 或

-11.7%，但MAE 為83.05 或49.2%，顯示VG 模型並沒有一致性的高估或低估模型價

格的現象。若從各距到期日及現貨履約價比率進行分析，VG 模型會隨距到期日及現貨

履約價比率值的增加而使MAE 及MAPE 值跟著增加。

綜合而言，高階動差可以增加選擇權模型的訂價效率，但結果並不明顯，而且會有

一致性的偏誤情形。

20

表4-1 各模型的定價誤差統計量ME 及MAE

S/K ratio T<20 21>T≥40 T≥80 All Maturity

BS VG CS BS VG CS BS VG CS BS VG CS

0.95~0.99

ME 57.10 56.05 65.55 87.85 --8.77 99.13 129.14 -157.10 144.08 69.91 25.03 79.53

MAE 62.06 62.00 69.41 93.43 53.51 103.21 134.79 157.10 148.31 75.08 65.99 83.47

0.99~1.01

ME 65.63 45.17 64.89 85.02 -72.15 86.90 124.03 -241.89 129.93 76.35 -13.73 76.94

MAE 72.44 59.32 71.84 93.21 85.83 94.88 127.36 241.89 132.94 83.24 83.18 83.83

1.01~1.05

ME 51.30 1.94 37.46 74.08 -153.46 63.84 111.51 -378.67 106.15 61.98 -68.67 49.75

MAE 59.76 45.79 50.60 82.31 155.37 74.73 115.92 378.67 111.17 70.07 100.39 61.67

All ratio

ME 56.64 32.87 54.56 81.85 -79.40 82.63 120.94 -265.48 125.62 68.24 -19.68 67.44

MAE 63.33 55.18 62.65 89.05 100.45 90.25 125.51 265.48 129.84 74.94 83.05 75.11

表4-2 各模型的定價誤差比率MPE 及MAPE

S/K ratio T<20 21>T≥40 T≥80 All Maturity

BS VG CS BS VG CS BS VG CS BS VG CS

0.95~0.99

MPE 1.046 1.027 1.201 0.404 -0.085 0.399 0.898 -1.093 1.002 0.955 0.342 1.086

MAPE 1.137 1.136 1.271 0.444 0.519 0.445 0.937 1.093 1.031 1.026 0.901 1.140

0.99~1.01

MPE 0.509 0.351 0.501 0.454 -0.385 0.464 0.561 -1.095 0.588 0.497 -0.089 0.501

MAPE 0.562 0.461 0.558 0.498 0.458 0.507 0.577 1.095 0.602 0.542 0.542 0.546

1.01~1.05

MPE 0.198 0.007 0.144 0.250 -0.518 0.216 0.334 -1135 0.318 0.225 -0.250 0.181

MAPE 0.230 0.176 0.195 0.278 0.525 0.252 0.347 1.135 0.333 0.255 0.365 0.224

All ratio

MPE 0.379 0.220 0.366 0.415 -0.403 0.419 0.508 -1.116 0.528 0.404 -0.117 0.399

MAPE 0.424 0.370 0.420 0.452 0.509 0.458 0.528 1.116 0.546 0.444 0.492 0.445

21

第五章 結論

 

選擇權對金融事件相當敏感，且其價格的波動幅度也相當的大。Black and Scholes

(1973)的選擇權模型僅以標的資產報酬率的第一及第二階動差來描述選擇權價格的過

程，在理論與實證結果都支持Black and Scholes 模型無法充份描述選擇權的走勢過程。

故本研究將探討加入第三及第四階動差之variance gamma (VG)及Corrado and Su (1996)

模型，對選擇權定價效率的影響。

實證的結果顯示，VG 模型及Corrado and Su (CS)模型雖因加入第三及第四階動差

的參數後，雖然會增加選擇權的定價效率，但效果並不明顯，而且模型的訂價誤差會隨

距到期日及現貨履約價比率的變動而有一致性的訂價誤差現象。故，BS 模型雖無法充

份描述選擇權的價格走勢，但在長期下(本研究樣本從台指選擇權掛牌半年後至2011 年

底)BS 模型相對高階動差模型而言仍具有良好及一致性的訂價效率。

22

參考文獻

 

1. Aitchison, J., and J. A. C. Brown. (1963). “The Lognormal Distribution with Special

Reference to Its Uses in Economics.” Cambridge University Press. 10.

2. Amin, I. A. and R. A. Jarrow, (1992), “Pricing options on risky assets in a stochastic

interest rate economy,” Mathematical Finance, 2, pp. 217-237.

3. Bakshi, G., C. Cao, and Z. Chen (1997), “Empirical Performance of Alternative Option

Pricing Models”, The Journal of Finance, Vol. 5, pp. 2003-2049.

4. Bates, D. (1996), “Jump and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in

Deutsche Mark Options,” Review of Financial Studies, 9, pp. 69-107.

5. Barndorff-Nielsen, O.E. (1995), “Normal Inverse Gaussian Processes and the Modelling

of Stock Return,” Research Report 300, University of Aarhus.

6. Black, F., Jenson, M., and Scholes, M., 1972, “The capital asset pricing model: some

empirical tests,” Studied in the Theory of Capital Market, Praeger Publishers, New York.

7. Black, F., and Scholes, M., 1973, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities,”

Journal of Political Economy, Vol. 81, pp. 637-654.

8. Bollerslev, T. (1986). “Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity.”

Journal of Econometrics 31, pp.307－327.

9. Brown, C. A. and D. M. Robinson (2002). “Skewness and kurtosis implied by option

prices: a correction,” Journal of Financial Research, Vol. 25, pp.279-282.

10. Corrado, C., and Su, T., (1996), “Skewness and kurtosis in S&P 500 index returns

implied by option prices ,” The Journal of Financial Research, 54, pp. 175-192.

11. Engle, R. F. (1982). “Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the

variance of United Kingdom inflations.” Econometrica 50, pp. 987-1007.

12. F. Delbaen, W. Schachermayer, (1994), “A General Version of the Fundamental

Theorem of Asset Pricing.” Math. Annalen, Vol. 300, page 463–520.

13. Gibson, R. and E. Schwartz (1990), “Stochastic convenience yield and the pricing of oil

contingent claims” , Journal of Finance, Vol. 45, No. 3, pp. 959-976.

14. Heath, D., R. Jarrow, and A. Morton, (1992). “Bond Pricing and the Term Structure of

Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation,” Econometrica 60,

pp. 77-105.

23

15. Hemler, M. L. and Longstaff, F. A., (1991), “General Equilibrium Stock Index Futures

Prices: Theory and Empirical Evidence,” Journal of Financial and Quantitative Analysis,

26, p.287-308.

16. Heston, S. (1993), “A closed-form solution for options with stochastic volatility with

applications to bond and currency options,” Review of Financial Studies, Vol. 6,

pp.327-343.

17. Hilliard, J. and J. Reis, 1998, “Valuation of Commodity Futures and Options Under

Stochastic Convenience Yields, Interest Rates, and Jump Diffusions in the Spot,” Journal

of Financial and Quantitative Analysis 33, pp. 61-86.

18. Huang, J. Z. and L. Wu (2004), “Specification Analysis of Option Pricing Models Based

on Time-Changed Levy Processes,” Journal of Financial, Vol.59, pp.1405-1439.

19. Hull, John, and Alan White, (1987), The pricing of options on assets with stochastic

volatilities, Journal of Finance 42, pp.281-300.

20. Jarrow, R. and A. Rudd. (1982). “Approximate Options Valuation for Arbitrary

Stochastic Processes.” Journal of Financial Economics, Vol. 10, No.3 pp.347-369.

21. Jurczenko, E., B. Maillet, and B. Negrea (2002), “Multi-moment Approximate Option

Pricing Models: A General Comparison (Part 1)”, 19th AFFI Annual Meeting,

Strasbourg.

22. Madan, D. B., Carr, P.P. and Chang, E. C. (1998). “The variance gamma process and

option pricing,” European Finance Review, 2(1), pp, 79-105.

23. Merton, R. C., (1976), “ Option Pring When Underlying Stock Returns are

Discountinuous, ” Journal of Financial Economics, 3, p125-144.

24. Officer, R. R., 1973. “The Variability of the Market Factor of New York Stock

Exchange”, Journal of Business ,46, pp.434-453.

25. Ramaswamy, K. and M. Sundaresan, (1985)," The Valuation of Options on Futures

Contracts," Journal of Finance ,40, pp.1319-1340.

26. Schwartz, E. S., (1997), “The Stochastic Behavior of Commodity Prices: Implications

for Valuation and Hedging,” Journal of Finance, 52, 922-973.

27. Scott, L. O. (1987), “Option Pricing when the Variance Changes Randomly: Theory,

Estimation, and an Application,” Journal of Financial and Quantitative Analysis Vol. 22,

pp.419-437.

28. Stein, E. M., and Stein, J. C. (1991), “Stock Price Distribution with stochastic Volatility:

An Analytic Approach,” The Review of Financial Studies, Vol. 4, pp.727-752.

24

29. Stochastic Convenience Yields, Interest Rates, and Jump Diffusions in the Spot,” Journal

of Financial and Quantitative Analysis, 33, pp.61-87.

30. Stuart, Alan, and J. Keith Ord (1987), “Kendall's Advanced Theory of Statistics,” 5th

edition of Volume 1: Distribution Theory, New York: Oxford University Press

31. Wang, Chou-Wen and Wu, Ting-Yi (2011), “Futures and futures options with basis risk:

theoretical and empirical perspectives”, Quantitative Finance, 11:3, pp.477-85.

32. Wiggins, J. D. (1987). “Self-esteem, earned grades, and television viewing habits of

students.” School Counselor, 35, pp.128-133.

33. Yan, X., (2002), “Valuation of Commodity Derivatives in a New Multi-Factor Model,”

Review of Derivatives Research, 5, pp.251-271.