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上篇《虚数i
是量子物理的灵魂》讲了虚数i
在量子物理中的重要意义。这里讲讲虚数i
到底是怎么起作用的。简单地说，虚数i
把粒子的概率密度ρ
一切两半，成为 ψ∗ψ
. 这个ψ
就是波函数。 概率密度是现实世界的物理量，是实数，可以测量。但是，切了一半的波函数不再属于现实世界，是复数，测不了。所以，现实世界被切成了两半。
有人讲，这虚东西怎么能存在？ 当然可以存在。相位，大家都知道，可以实验测量。比如，示波器上就可以测出交变电信号的相位。光波的相位也可以用很多办法测量出来。但是，一个光子的相位却测不出来，于是有了量子不可克隆定理。一个光子的相位来自于它的实部与虚部之比。这个相位存在但测不出来。为什么说它存在? 没有相位，你就不可能解释单光子的双缝干涉。而且，大量的单光子干涉总效果和光波的干涉效果完全一样。这就是虚数必须存在的理由。
同理，波函数也有很强的物理效应。电子的波函数可以干涉，可以叠加，产生可以测量的物理效应，比如AB效应，量子振荡等等。
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1 杜敏彪
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- [2]mirrorliwei
- 一切两半就断了。实际上是连着的，i是个切口。
- 博主回复(2012-6-26 07:56)：哦，一个比喻是很难百分百准确的。
- [1]mirrorliwei
- 说“一切N层”好些。
- 博主回复(2012-6-25 23:31)：怎讲？
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曹广福《从“复数”说起》讲了虚数i的起源。i的确是莱布尼兹的一个邪门想象，难怪当初数学家都不相信这个虚数的存在。欧拉发现了eiπ=−1
震惊世界，e，i，π
这样三个数竟然有如此简单的关系。从此，复数逐渐发展为一门独立的数学，复变函数。但是，那时的复变函数不过数学家的一种智力游戏。当然像留数定理等等这样一些复变函数的应用，还是取得了惊人的数学成就。我不知道如果没有复变函数，那些通过留数定理计算出来的积分有没有别的办法计算出来。
复变函数真正成为现实，是从物理学开始的。
物理学很早就已经开始用复数了。比如，平面波通常表示为Acos(ωt−kx)
，但也可以表示为 Aei(ωt−kx)
. 做了各种计算比如波的叠加之后再取实部，虚数部分舍去。这个用法仅仅是图个方便，算起来快一点，不用复数完全没问题。
但是，自从量子力学开始，虚数就不再是可有可无的了。实数和虚数成了描述微观世界的两个不可缺少的部分。薛定谔方程包含了i，iℏ∂ψ(x,t)∂t=[−ℏ22md2dx2+V(x)]ψ(x,t)
. 这里的ℏ
不是必须的，m也不是必须的（有办法把他们隐藏起来），但是，i却是不能少的。所以说虚数 i 是量子物理的灵魂。
具体来讲，这个i 让薛定谔方程在哈密顿量不含时间的时候具有确定能量的定态解：ψ(x)eiEt/ℏ
. 这是能量守恒的保证。同时，让E=ℏω
，就可得到平面波解的时间因子eiωt
。
非常奇妙的是，从量子力学一开始，自由粒子的平面波就被认定为Aei(ωt−kx)
， 而不是Acos(ωt−kx)
。这样一个认定，为薛定谔发现他这个方程提供了巨大的灵感。如果选择后者，量子力学将非常可能是另一种形式，因为Acos(ωt−kx)
不是现在的薛定谔方程的解。
可见，任何一个数学游戏都不要忽视，都有可能成为未来科学的根基。复数是二元数，数学家还提供了类似的四元数。但是，四元数目前还没得到任何应用，未来很可能成为新物理的数学基础。
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