拉普拉斯-龍格-冷次向量[编辑]

维基百科，自由的百科全书
跳转至： 导航、 搜索
在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示；而其大小則用r\,\!來表示。
在經典力學裏，拉普拉斯-龍格-冷次向量（簡稱為 LRL 向量）主要是用來描述，當一個物體環繞著另外一個物體運動時，軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞著太陽公轉。在一個物理系統裏，假若兩個物體以萬有引力相互作用，則 LRL 向量必定是一個運動常數，不管在軌道的任何位置，計算出來的 LRL 向量都一樣[1] ；也就是說， LRL 向量是一個保守量。更廣義地，在克卜勒問題裏，由於兩個物體以連心力相互作用，而連心力遵守平方反比定律，所以，LRL 向量是一個保守量[2]。
氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用．靜電力是一個標準的平方反比連心力。所以，氫原子內部的微觀運動是一個克卜勒問題。在量子力學的發展初期，薛丁格還在思索他的薛丁格方程式的時候，沃爾夫岡·包立使用 LRL 向量，關鍵性地推導出氫原子的發射光譜[3]。這結果給予物理學家很大的信心，量子力學理論是正確的。
在經典力學與量子力學裏，因為物理系統的某一種對稱性，會產生一個或多個對應的保守值。 LRL 向量也不例外。可是，它相對應的對稱性很特別；在數學裏，克卜勒問題等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維球面[4]；所以，整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱[5]。
拉普拉斯-龍格-冷次向量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯，卡爾·龍格，與威爾漢·冷次而命名。它又稱為拉普拉斯向量，龍格-冷次向量，或冷次向量。有趣的是，LRL 向量並不是這三位先生發現的！這向量曾經被重複地發現過好幾次[6]。它等價於天體力學中無因次的離心率向量[7]。發展至今，在物理學裏，有許多各種各樣的 LRL 向量的推廣定義；牽涉到狹義相對論，或電磁場，甚至於不同類型的連心力。


概論[编辑]

在一個物理系統裏，在任意保守的連心力的作用下（參閱保守力），一個粒子的運動，都會擁有至少四個運動常數；能量與角動量 \mathbf{L} 的三個分量皆為運動常數。粒子的軌道被限制於一個平面。粒子的動量 \mathbf{p} 和從力中心點的位置到粒子位置的位移 \mathbf{r} （參閱圖 1）。粒子的運動平面垂直於角動量 \mathbf{L} 。用方程式表示，
\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=0 。
LRL 向量 \mathbf{A} ，也肯定地包含於粒子的運動平面。可是，只有當連心力遵守平方反比定律時， \mathbf{A} 才是常數向量[1]。對於別種連心力， \mathbf{A} 不是常數向量，其大小與方向都會改變。假若連心力近似地遵守平方反比定律，則 \mathbf{A} 的大小近似常數，而方向會緩慢地轉動。對於所有的連心力，可以定義一個廣義 LRL 向量，但是，這廣義向量通常並沒有解析解，假若有，也會是一個非常複雜的函數[8][9]。

歷史[编辑]

在重要的克卜勒問題中， LRL 向量 \mathbf{A} 是一個運動常數，時常用來描述天文軌道，例如行星的運動。然而，物理學家對它並不熟悉，這很可能是因為與動量與角動量相比，它比較難以被直覺地理解內涵的物理。因此，在過去三個世紀裏，它曾被重複地發現過許多次[6]。1710 年，在一個不著名的義大利學刊裏，雅各布·赫爾曼最先發表了關於 LRL 向量的論文。在推導一個軌道方程式的過程中，他計算出 LRL 向量的大小， A 是保守的[10]；並且推導出此案例與橢圓軌道離心率的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴约翰·白努利，他的恩師。白努利又更進一步地推導出 LRL 向量的方向。這樣，LRL 向量得到了它的現代形式[11]。所以，不容質疑地，LRL 向量是赫爾曼和白努利共同發現的。
在那個世紀末尾，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯又重新地發現了 LRL 向量的保守性；稍微不同地，他的導引使用的是分析方法，而不是幾何方法[12]。十九世紀中葉，威廉·哈密頓推導出全等的離心率向量[7]。他用離心率向量來證明，在平方反比連心力作用下，速端曲線顯示出，粒子動量向量的頭部呈圓形移動[13] （參閱圖 3）。二十世紀初，約西亞·吉布斯，應用向量分析，推導出同樣的向量[14]。後來，卡爾·龍格將吉布斯的導引，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的，德文教科書內，成為其中的一個例題[15] 。1924 年，威爾漢·冷次發表了一篇關於氫原子的舊量子論的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考[16]。1926 年， 沃爾夫岡·包立用 LRL 向量與矩陣力學，而不是薛丁格方程式，來推導氫原子的光譜[3]。這傑作說服了大多數物理學家，使他們覺得量子力學理論是正確的。

數學定義[编辑]

圖 1:在平方反比連心力的作用下，一個移動中的粒子，在橢圓軌道的四點（標記為 1, 2, 3, 與 4 ）的 LRL 向量 \mathbf{A} （紅色表示）。力中心點表示為一個小黑點；從這黑點，位置向量 \mathbf{r} （黑色表示）以徑向方向指出。角動量 \mathbf{L} 垂直於軌道的平面。共面的向量 \mathbf{p}\times\mathbf{L} 與 mk\hat{\mathbf{r}} 分別用藍色與綠色表示。LRL 向量 \mathbf{A} 是一個運動常數向量
平方反比連心力 \mathbf{F}(r) 可以表達為
\mathbf{F}(r)= - \frac{k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}} ；
其中，k 是比例常數，\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r} 是單位向量，\mathbf{r} 是粒子的位置向量，r 是 \mathbf{r} 的大小。
感受到此力的作用，一個粒子的軌道運動，其 LRL 向量的數學定義方程式為
\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}；
其中，m 是粒子的質量，\mathbf{p} 是動量，\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} 是角動量。
由於平方反比連心力為保守力，能量 E=\frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} 是運動常數：
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{p}{m}\dot{p} + \frac{k}{r^2}\dot{r}=0。
再者，角動量 \mathbf{L} 也是保守的，可以決定粒子移動平面的取向。因為 \mathbf{p}\times\mathbf{L} 與 \mathbf{r} 都垂直於 \mathbf{L} ，所以，LRL 向量 \mathbf{A} 垂直於角動量； \mathbf{A} 包含於軌道的平面。
這個單獨粒子的 LRL 向量定義，也可以延伸至像克卜勒問題一類的二體問題，只需要設定質量 m 為二個物體的約化質量，設定位置向量 \mathbf{r} 為二個物體之間的相對位置向量。
同樣的運動常數可以有很多種不同的表述．最常見的一種牽涉到離心率向量。定義離心率向量 \mathbf{e} 為 LRL 向量與 mk 的除商：
\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}} 。

克卜勒軌道導引[编辑]

圖 2：這是圖 1 的簡化版，角 \theta 定義為 \mathbf{A} 與 \mathbf{r} 之間的夾角。
克卜勒問題的運動軌道，其形狀與取向，可以用 LRL 向量決定[1]。 \mathbf{A} 與 \mathbf{r} 的內積為
\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=\mathbf{r}\cdot\left(\mathbf{p}\times\mathbf{L} \right) - mkr ；
其中， \theta 為 \mathbf{A} 與 \mathbf{r} 之間的夾角。
置換其三重積，
\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) = \mathbf{L}\cdot\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right) = \mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2 。
所以，
Ar\cos\theta=L^2 - mkr 。
編排成圓錐曲線的方程式形式：
\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^{2}}\left(1 +\frac{A}{mk}\cos\theta\right) 。
離心率 e 為
e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k} 。
克卜勒軌道與能量的關係可以由 LRL 向量推導出。\mathbf{A} 與自己的內積為
\begin{align} \mathbf{A}\cdot\mathbf{A} & =(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}})\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}}) \\ & =p^2 L^2+m^2k^2 - 2mk\hat{\mathbf{r}}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L}) \\ & =\left(2mE+\frac{2mk}{r}\right)L^2+m^2k^2 - \frac{2mk}{r}L^2 \\ \end{align} 。
所以，
A^2= m^2 k^2 + 2 m E L^2 。
稍微編排，離心率的平方 e^{2} 是能量 E 的函數：
e^{2}=1+\frac{2L^{2}}{mk^{2}}E 。
假若能量 E 是負值的（束縛軌道），則離心率小於 1 ，這軌道是橢圓形軌道。相反地，假若能量是正值的（非束縛軌道，又稱為散射軌道）則離心率大於 1 ，這軌道是雙曲線軌道。最後，假若能量等於零，則離心率等於 1 ，這軌道是拋物線軌道。對於所有狀況， LRL 向量與圓錐曲線的對稱軸平行，而且從力中心點指向近拱點。

圓形的速端曲線[编辑]

圖 3 :在平方反比連心力作用下，隨著粒子的軌道運動，使用速端曲線圖，固定動量向量 \mathbf{p} (藍色表示) 的尾部於原點，則其頭部呈圓形移動。四個標記的點對應於圖 1 的四點。圓形的中心是在 py-軸，py-座標為 A/L （以品紅色表示），半徑是 mk/L （以綠色表示）。
假設一個粒子在做軌道運動。其速度向量的物理行為可以用速端曲線顯示出來，而動量是速度乘以質量。所以，速端曲線也可以顯示出動量的物理行為。在平方反比連心力作用下，速端曲線（圖 3 ）顯示出，粒子的動量向量的頭部呈圓形移動；這事實可以用 LRL 向量 \mathbf{A} 與角動量 \mathbf{L} 的保守性來證明[13][6]。計算 \mathbf{L} 與 \mathbf{A} 的叉積：
L^{2} \mathbf{p} = \mathbf{L} \times \mathbf{A} - mk \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{L} 。
設定 xyz 參考系的圓點在力中心點，\mathbf{L} 與 z-軸同方向，x-軸與半長軸同軸。則
p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = \left( mk/L \right)^{2} 。
換句話說，動量 \mathbf{p} 的頭部被限制於一個圓圈；圓圈的半徑為 mk/L ，圓心為 (0,\ A/L) 。如圖 3 所示，圓形的動量速端曲線 毫無疑問地顯示出克卜勒問題的對稱性。
夾角 \eta 的一邊是點 2 與圓心的連線，另一邊是負 py-軸。很顯然地，離心率等於 \cos\eta 。為了簡化運算，在這裏提出一個很有用的變量 p_{0} = \sqrt{2m\left| E \right|} 。

運動常數與超級可積分性[编辑]

在克卜勒問題裏，兩個向量 \mathbf{A} ，\mathbf{L} 與一個純量 E 加起來一共有七個常數純量。它們之間的相關性表達於 \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0 與 A^2=m^2k^2+2mEL^2 這兩個公式。因為 \mathbf{A} 的大小可以由角動量 \mathbf{L} 與能量 E 計算出來。再者，\mathbf{A} 必須垂直於 \mathbf{L} 。所以，\mathbf{A} 只能貢獻 1 個運動常數。
由於有上述兩個關係公式，這物理系統一共有五個獨立的運動常數。這結果與設定粒子軌道所需的六個初始條件（粒子的初始位置向量與初始速度向量，每一個向量有三個分量）相符合，原因是運動常數不涉及初始時間（視六個初始條件函數的參數為自變量初始時間。用其中的一個初始條件函數除去這自變量；將此初始條件函數當作一個自變量，則剰餘五個初始條件函數，函數的參數為新自變量）。
因為運動方程式是二階微分方程，一個擁有 d 自由度的物理系統，需要 2d 個初始條件來設定解答。由於運動常數不涉及初始時間，這物理系統最多只能擁有 2d - 1 個運動常數。一個擁有超過 d 個運動常數的物理系統稱為超級可積分系統；而一個擁有 2d - 1 個運動常數的物理系統稱為最大超級可積分系統[17]。哈密頓-亞可比方程式的解答，採用任意一種坐標系統，最多只能求得 d 個運動常數[18]。
克卜勒問題擁有三個自由度（ d=3 ）與五個運動常數；克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統；採用球坐標或拋物線坐標，哈密頓－亞可比方程式都是可積分的[19]；這論據，稍後會有詳細的解釋。最大超級可積分系統可以用對易關係來量子化，這論據，稍後也會又更明瞭的說明[20]。

在微擾勢下的系統演化[编辑]

图5：橢圓軌道的慢進動，離心率 e=0.667 。 假若，引性的連心力與平方反比定律稍微有點不同，類似的進動就會發生。
只有在一個標準的平方反比連心力下，粒子的 LRL 向量 \mathbf{A} 是保守的。對於大多數的實際問題，例如行星運動，作用力並不會完全地遵守平方反比定律，而可能會含有別種微擾的連心力；稱其負值不定積分為微擾勢，標記為 h(r) 。在這種狀況下，LRL 向量會緩慢地轉動於軌道平面，相應於軌道的慢進動。假若微擾勢 h(r) 為一個保守的連心勢，也就是說，總能量 E 與角動量 \mathbf{L} 都是保守的，則粒子的運動 仍舊包含於一個垂直於 \mathbf{L} 的平面，大小 A 仍舊是保守的。微擾勢 h(r) 可以是任何形式的函數。但是，微擾值應該顯著地弱於主連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為
h(r)=-\ \frac{h}{r^n} ；
其中，h 是微擾勢強度，整數 n\le 2 。
用正則微擾理論與作用量-角度座標，可以直接地推導出 LRL 向量的轉動率是[1]
\begin{align} \bar{\Omega}=\frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle & = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} h(r) \, \mathrm{d}t \right\} \\ & = \frac{\partial}{\partial L}\left\{ \frac{m}{TL} \int_{0}^{2\pi} r^{2} h(r) \, \mathrm{d}\theta \right\} \\ \end{align} ；
其中，T 是軌道週期，恆等式 Ldt=mr^2 \mathrm{d}\theta 轉變時間積分為角積分（如圖 5 ）。角括號表達式 \langle h(r)\rangle 是週期平均微擾勢；也就是說，物體繞軌道一個公轉 的平均微擾勢。取平均值可以減少轉動率的變動。
這方法曾經被用來證實愛因斯坦的廣義相對論。廣義相對論在常見的牛頓萬有引力項目外，又添加了一項小的反立方微擾[21] 。
h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right) 。
將此函數代入積分。再代入 r 與 \theta 的關係公式
\frac{1}{r} =\frac{mk}{L^{2}}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right) ，
就可以計算出這非牛頓微擾所產生的近拱點進動率[21]:
\bar{\Omega}=\frac{6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}} 。
計算出的答案準確地符合實驗觀測到的水星進動數據[22]和雙重脈衝星數據[23]。這與實驗數據一致的結果被認為是廣義相對論的強證[24][25] 。

帕松括號[编辑]

角動量 \mathbf{L} 的三個分量 L_i 的帕松括號是[1]
\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} ；
其中，指標 i,\ j=1,\ 2,\ 3 代表直角座標系的三個座標 (x,\ y,\ z) ， \epsilon_{ijs} 是列維-奇維塔符號；在這裏，為了避免與力強度的標記 k 發生混淆，採用 s 為連加運算的指標。
定義一個與 LRL 向量成比例的向量 \mathbf{D} 為
\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{2m\left|E\right|}} 。
向量 \mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的單位相同。\mathbf{D} 與 \mathbf{L} 的帕松括號為[26]
\{ D_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s} 。
向量 \mathbf{D} 與自己的帕松括號跟總能量 E 的正負號有關；也就是說，跟是否總能量 E 是正值（在平方反比連心力作用下，產生開放的雙曲線軌道），或負值（在平方反比連心力作用下，產生閉合地橢圓軌道）有關。假若總能量 E 是正值，帕松括號是
\{ D_{i}, D_{j}\} = -\sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} 。
反之，假若總能量 E 是負值，帕松括號是
\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} 。
由於以下這三個帕松括號方程式，
\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} ，
\{ D_{i}, L_{j}\}= \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s} ，
\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} ，
如果總能量 E 是負值，則可確定克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群 SO(4) 。
假若總能量 E 是負值，卡西米爾不變量 C_1,\ C_2 定義為
C_{1} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^{2}}{2\left|E\right|} ，
C_{2} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0 。
而且，卡西米爾不變量與 \mathbf{D} 的每一個分量的帕松括號皆為零：
\{ C_{1}, D_{i} \}=\{ C_{2}, D_{i} \}=0 。
還有，卡西米爾不變量與 \mathbf{L} 的每一個分量的帕松括號皆為零：
\{ C_{1}, L_{i} \}=\{ C_{2}, L_{i} \}=0 。
既然兩個向量 \mathbf{D} 與 \mathbf{L} 永遠是互相垂直的，C_{2} 明顯地是零。可是，另外一個不變量 C_1 只跟質量 m 、力強度 k 、總能量 E 有關。不變量 C_1 分別與 D_{i} ，L_{i} 的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變量 C_1 使得只用到量子力學的正則對易關係，就可以推導出類氫原子的原子能級，而不必用到的薛丁格方程式。

氫原子量子力學[编辑]

圖 6 ：從 LRL 向量算符與角動量算符的對易關係，預測出來的氫原子的原子能級。各種實驗都準確地證實這些能級正確無誤。
帕松括號提供了一個簡易的方法來正則量子化經典系統。兩個量子算符的對易關係等於 i\hbar 乘以對應的經典變量[27]。經過這量子化程序，計算克卜勒問題的卡西米爾算符 C_{1} 的本徵值 ，沃爾夫岡·包利成功地推導出類氫原子的原子能級（參閱圖 6 ），以及其發射光譜[3]。早在薛丁格方程式成立之前[28]，包利就研究出這重要的結果！
LRL 向量 \mathbf{A} 的量子算符有一個奧妙之處，那就是動量算符與角動量算符並不對易。動量與角動量的叉積必須仔細地加以定義[26]。LRL 向量的直角座標分量典型地定義為
A_{k}\equiv - m_e \alpha \hat{r}_{k} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{ijk} \left( p_{i} l_{j} + l_{j} p_{i} \right) ；
其中，m_e 是電子的質量，常數 \alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} ，e 是單位電荷量，\epsilon_0 是真空電容率。
這定義有一個特性：指標 i,\ j 是對稱的，指標 i,\ j 的互換不會改變 A_k 的數值。表示為向量形式，
\mathbf{A}=- m_e \alpha \hat{r}+\frac{1}{2}(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - \mathbf{L}\times\mathbf{p}) 。
那麼，其對應的哈密頓算符是
H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m_e} - \frac{\alpha }{r} 。
與 \mathbf{A} 向量成正比的 \mathbf{D} 向量則是
\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{ - 2m_eH}} 。
請注意，由於哈密頓算符的本徵值是負值，所以公式內的平方根是個實數。
經過一番繁冗的運算，可以求得對易關係：
\{L_{i},\,L_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k} 、
\{L_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} D_{k} 、
\{D_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k} 、
\{H,\,D_{i}\} =0 。
定義第一階張量算符為
J_{0}\equiv D_3 、
J_{\pm 1}\equiv \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left( D_{1} \pm i D_{2} \right) 。
一個歸一化的第一卡西米爾算符可以同樣地定義為
C_1\equiv \mathbf{D}^2+\mathbf{L}^2=\frac{m_e\alpha^2}{ - 2H} - \hbar^2 。
注意到 J_{+1} 和 J_{ - 1} 的對易關係是
\{J_{+1},J_{ - 1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\} = -\hbar L_{3} 。
應用維格納-艾卡定理 (Wigner-Eckart theorem) ，
J_0|l,\,m\rangle =i\sqrt{l^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m\rangle - i\sqrt{(l+1)^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m\rangle 、
J_{+1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l - m)(l - m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m+1\rangle - i\sqrt{(l+m+1)(l+m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle 、
J_{ - 1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l+m)(l+m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m - 1\rangle - i\sqrt{(l - m+1)(l - m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m - 1\rangle ；
其中，|l,\,m\rangle 是角量子數為 l 、磁量子數為 l 的本徵態，\mathfrak{C}_l 是常數係數。
經過一番運算， J_{+1} 和 J_{ - 1} 的對易算符作用於 |l,\,m\rangle 的結果是
\begin{align}\{J_{+1},\,J_{ - 1}\}|l,\,m\rangle & = - m[(2l-1)\mathfrak{C}_l^2-(2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2]|l,\,m\rangle \\ & = - \hbar L_3|l,\,m\rangle= - m\hbar^2 \\ \end{align} 。
所以，\mathfrak{C}_l 的遞迴關係是
(2l - 1)\mathfrak{C}_l^2 - (2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2= \hbar^2 。
假設 \mathfrak{C}_l^2 是非負值，則為了滿足上述公式，l>0 。再假設 l 的最大值是 l_{max} 。由於態向量 |l_{max}+1,\,\ \rangle 不存在，\mathfrak{C}_{l_{max}+1}=0 。因此，\mathfrak{C}_{l_{max}}=\frac{\hbar^2}{2l_{max} - 1} 。設定 n=l_{max} - 1 ，稍加計算，\mathfrak{C}_l 的一般方程式為
\mathfrak{C}_l=\sqrt{\frac{n^2 - l^2}{4l^2 - 1}}\ \hbar 。
這個 n 就是跟能級有關的主量子數。先計算 D^2 ：
\begin{align}D^2|n,\,l,\,m\rangle & =[J_{+1}J_{ - 1}+J_{ - 1}J_{+1}+J_0^2]|n,\,l,\,m\rangle \\ & =(n^2 - l^2 - l - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle \\ \end{align} 。
所以，第一卡西米爾算符 C_1 作用於態向量 |n,\,l,\,m\rangle 可以得到
C_1|n,\,l,\,m\rangle=(D^2+L^2)|n,\,l,\,m\rangle=(n^2 - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle 。
第一卡西米爾算符 C_{1} 的本徵值是 (n^2 - 1)\hbar^2 。重點是，這些本徵值跟量子數 l 、m 無關，這造成了原子能階的簡併[26] ：
E_{n} = - \frac{m_e \alpha^{2}}{2\hbar^{2} n^{2}}= - \frac{m_e e^4}{2n^2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}。
這就是著名的氫原子波耳公式。

保守性與對稱性[编辑]

在克卜勒問題裏，LRL 向量的保守性 對應於系統的一種微妙的對稱性。在經典力學裏，對稱性可以由連續運算顯示出來；這連續運算可以將一個軌道映射至另外一個軌道，而同時保持系統的能量不變。在量子力學裏，連續運算將同能級原子軌域混合在一起，也就是說，（簡併原子能級）。
通常，對於每一個對稱性都會存在有一個保守量[1]。例如，連心力系統必對稱於旋轉群 SO(3) ；因而指引出角動量 \mathbf{L} 的保守性。在經典力學裏，整個系統的旋轉不會影響軌道的能量。在量子力學裏，假若旋轉只混合角量子數相同的球諧函數，則系統的能量不會改變。
圖 7 ：同能量的動量的速端曲線家族。每一個圓圈都經過在px-軸上，同樣的兩點 \pm p_{0} = \pm \sqrt{2m\left| E \right|} 。這一家族的速端曲線對應於一個家族的阿波羅尼奧斯圓，和雙極坐標的 \sigma 坐標曲面。
平方反比連心力系統的對稱性是更高維與更微妙的。這奇特的對稱性是由角動量 \mathbf{L} 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的雙重保守性造成的；這保證了氫原子的能級跟角量子數 l 、磁量子數 m 無關。由於對稱性運算必須發生於更高維空間，使得這對稱性更加的微妙；這類的對稱性常稱為隱祕對稱性[29]。在經典力學裏，克卜勒問題的高維對稱性 容許連續的改變軌道．只要保持能量不變，而角動量可以改變；換句話說，同能量，不同角動量（離心率）的軌道可以互相的連續變換。在量子力學裏，這對應著不同角量子數 l 與磁量子數 m 的軌域的混合，例如 s (l=0) 與 p (l=1) 原子軌域的混合。這種混合是不能用普通的三維平移運算或旋轉運算達成的。可是，這種混合等價於高維度空間的旋轉。
在一個束縛 (bounded) 系統裏，能量是負值的，這高維對稱群是 SO(4) ；特性是四維向量的長度保持不變：
\left| \mathbf{e} \right|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2 。
1935 年，弗拉基米爾·佛克 (Vladimir Fock)表明，在量子力學裏，束縛的克卜勒問題 等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維單位球[4]。更具體地，佛克表明，在克卜勒問題的動量空間，薛丁格波函數是球諧函數的球極平面投影。圓球的旋轉與重複射影造成了橢圓軌域的連續映射，同時維持能量不變；這對應於主量子數 n 相同的軌域的混合。隨後，華倫泰·巴格曼注意到，跟 LRL 向量成比例的向量 \mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的帕松括號形成 SO(4) 的李代數[5]。簡單地說，\mathbf{D} 與 \mathbf{L} 的六個物理量對應於在四維空間裏的六個保守的角動量分量，相伴於在四維空間裏的六個合法的簡單旋轉（從四個軸中，選兩個軸為旋轉軸。一共有六種可能）。這結論並不意示宇宙是一個三維球面；而只是說，這個特別的物理問題（克卜勒問題），在數學上，等價於移動於三維球面的一個自由粒子。
在一個非束縛 (unbound) ，散射系統裏，能量是正值的，對應的高維對稱群是 SO(3,1) ；其特性是保持四維矢量的閔考斯基長度不變：
ds^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} - e_{4}^{2} 。
連心力系統（包括克卜勒問題的那些系統）的軌道對於反射也具有對稱性。所以，軌道的完全對稱群並不是前面所提的 SO(3) 、SO(4) 、SO(3,1) 群；而分別是 O(3) 、O(4) 、O(3,1) 。然而，只需要連通子群 SO(3) 、SO(4) 、SO(3,1) 來展示出角動量與 LRL 向量的保守性；反射對稱性與保守性不相關。保守性可以由群的李代數推導出來[30][31]。

旋轉對稱性在四維空間[编辑]

圖 8 ：圖 7 的動量的速端曲線對應於 \eta 三維單位球的大圓線的球極平面投影。每一個大圓線都與 \eta_x-軸相交，後者垂直於頁面。投影是從北極（ w 單位向量）到 \eta_x\eta_x-平面，如同這裏的虛黑線表示於品紅色速端曲線。在緯度 \alpha 的大圓線對應於離心率 e=sin\ \alpha 。在這圖裏的大圓線的顏色對應於它們在圖 7 的速端曲線。
克卜勒問題與四維旋轉對稱性 SO(4) 的關聯可以很容易地觀察出來[30][32][33]。標記四維直角座標為 (w,\ x,\ y,\ z) ；其中， (x,\ y,\ z) 代表三維位置向量 \mathbf{r} 的直角座標。三維動量 \mathbf{p} 與三維單位球的四維向量 \boldsymbol\eta 的關係為
\boldsymbol\eta =\displaystyle \frac{p^{2} - p_{0}^{2}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{\hat{w}} + \frac{2 p_{0}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{p} ；
其中， \mathbf{\hat{w}} 是新的 w-軸的單位向量。
很簡單地，可以核對 \boldsymbol\eta 也是一個單位向量：
\boldsymbol\eta=\hat{\boldsymbol\eta} 。
從 \mathbf{p} 至 \hat{\boldsymbol\eta} 的映射有一個獨特唯一的逆反；例如，動量 \mathbf{p} 的 x-軸分量是
p_{x} = p_{0} \frac{\eta_{x}}{1 - \eta_{w}} 。
p_y 與 p_z 也有類似的公式。換句話說，三維動量向量 \mathbf{p} 是四維單位向量 \hat{\boldsymbol\eta} 的球極平面投影，其比例因子為 p_0 。
選擇一個合適的直角座標，使 z-軸與角動量 \mathbf{L} 同直線，使動量的速端曲線的取向如同圖 7 ，圓心包含於 y-軸。這樣，不失廣義性，就可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面，\mathbf{p} 與 \mathbf{L} 互相垂直，而且，p_z=\eta_z=0 。因此，只需要專注於三維向量 \hat{\boldsymbol\eta}=(\eta_w,\ \eta_x,\ \eta_y) 。圖 7 速端曲線的阿波羅尼奧斯圓 家族對應於在三維單位球 \boldsymbol\eta 的大圓線家族。每一個大圓線與 \eta_x 相交於兩個交點 \eta_x=\pm 1 。這兩個交點相對於速端曲線圖的兩點 p_x=\pm p_0 。這兩個交點也是這些大圓線的共同交點。所以，這些大圓線的互相關係是一個環繞著 \eta_x-軸的簡單旋轉（參閱圖 8 ）。以 \eta_x-軸為轉軸，每一個大圓線的位置是從 \eta_x\eta_y-平面旋轉 \alpha 角。
取任意一個大圓線 \eta_y 最大值的一點，其坐標為 (\eta_w,\ 0,\ \eta_y,\ 0) 。那麼，
p_x=0 、
p_y=p=(A+mk)/L 、
\eta_y=cos(\alpha)=\frac{2p_0 p_y}{p_y^2+p_0^2} 。
經過一番運算，代入 p_0 的值，可以得到
\begin{align} sin(\alpha) & =\frac{p_y^2 - p_0^2}{p_y^2+p_0^2} \\ & =\frac{(A+mk)^2 - 2m|E|L^2}{(A+mk)^2+2m|E|L^2} \\ \end{align} 。
給予一個束縛軌道，能量是負值的：
\begin{align} sin(\alpha) & =\frac{(A+mk)^2+2mEL^2}{(A+mk)^2 - 2mEL^2} \\ & =\frac{A}{mk}=e \\ \end{align} 。
所以，離心率 e=sin(\alpha) 是緯度 \alpha 的正弦函數。
由於圖 7 的動量的速端曲線對應於 \eta 三維單位球的大圓線的球極平面投影，而這速端曲線家族的成員都擁有相同的能量。所以，這旋轉的對稱性使所有能量相同的軌道都能夠互相變換。但是，這旋轉正交於通常的三維旋轉，因為它涉及了第四維 \eta_w 。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於 LRL 向量的一個特徵。
採用橢圓柱坐標 \chi,\ \psi,\ \phi 來代替四維座標 \boldsymbol\eta ，克卜勒問題有一個精緻的作用量-角度座標解答[34]：
\eta_{w} = \mathrm{cn}\, \chi \ \mathrm{cn}\, \psi ，
\eta_{x} = \mathrm{sn}\, \chi \ \mathrm{dn}\, \psi \ \cos \phi ，
\eta_{y} = \mathrm{sn}\, \chi \ \mathrm{dn}\, \psi \ \sin \phi ，
\eta_{z} = \mathrm{dn}\, \chi \ \mathrm{sn}\, \psi ；
其中， \mathrm{sn},\,\mathrm{cn},\,\mathrm{dn} 是亞可比橢圓函數。

克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明[编辑]

以下幾種導引可以証明，在平方反比連心力下，LRL 向量守恆。

直接證明[编辑]

假設，一個連心力 f(\mathbf{r})\hat{\mathbf{r}} 作用於一個粒子。根據牛頓第二定律，運動方程式為
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=f(\mathbf{r}) \hat{\mathbf{r}} ；
其中，f(\mathbf{r}) 是函數，\mathbf{r} 為粒子的位置，\mathbf{p} 是動量，t 是時間。
由於在連心力下，角動量 \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} 是恆定的，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{L} = 0 。
所以，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \mathbf{p}\times\mathbf{L} \right)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{L} = f(\mathbf{r}) \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{r} \times m \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) = f(\mathbf{r}) \frac{m}{r} \left[ \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) - r^{2} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right] 。
代入以下恆等式：
\mathbf{r}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}\right) =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^{2}\right)=r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}，
可以得到方程式，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = - m f(\mathbf{r}) r^{2} \left[ \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathbf{r}}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right] = - m f(\mathbf{r}) r^{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) 。
代入平方反比連心力的方程式 f(\mathbf{r})=\frac{ - k}{r^{2}} ，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = m k \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) 。
所以，在平方反比連心力下，\mathbf{A} 是恆定的：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) = 0 。

哈密頓-亞可比方程式[编辑]

哈密頓-亞可比方程式的可分性也可以用推導出 LRL 向量的恆定性[19][35]。採用拋物線座標 (\xi,\ \eta) ，定義
\xi =r+x 、
\eta =r - x ；
其中，(x,\ y) 是直角座標，r 是軌道的徑向距離：
r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} 。
逆反過來，
x = \frac{1}{2} \left( \xi - \eta \right) 、
y = \sqrt{\xi\eta} 。
則克卜勒問題的哈密頓量為
\begin{align}H & = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2-\frac{k}{r} \\ & =\frac{2\xi p_{\xi}^2}{m(\xi+\eta)}+\frac{2\eta p_{\eta}^2}{m(\xi+\eta)} - \frac{2k}{\xi+\eta} \\ \end{align} ；
其中，p_{\xi},\ p_{\eta} 分別是廣義座標 \xi,\ \eta 的共軛動量。
由於克卜勒問題的勢函數只跟廣義座標有關，哈密頓量是個能量運動常數，H=E 。稍加編排，可以得到
2\xi p_{\xi}^2 - mk - mE\xi= - 2\eta p_{\eta}^2+mk+mE\eta 。
這公式的左手邊與右手邊分別跟不同的廣義座標有關，所以，兩邊都相等於一個運動常數，標記為 \Gamma ：
2\xi p_{\xi}^{2} - mk - mE\xi = - \Gamma 、
2\eta p_{\eta}^{2} - mk - mE\eta = \Gamma 。
思考 LRL 向量的 x 分量，
\begin{align} A_{x} & = p_{y}(xp_{y} - yp_{x}) - mk\frac{x}{r} \\ & = xp_{y}^2 - yp_{x}p_y - mk+m\eta\frac{k}{r} \\ \end{align} 。
代入能量方程式 E=\frac{1}{2}mv^2 - \frac{k}{r} ，則
A_{x}=xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta - mk - mE\eta 。
這公式右手邊，前三個項目，經過一番計算，可以得到
xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta =\frac{m^2}{8}\dot{\eta}^2\frac{(\eta+\xi)^2}{\eta}=2\eta p_{\eta}^2 。
所以，A_x 也是運動常數：
A_x=\Gamma 。

諾特定理[编辑]

LRL 向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性，兩者之間的關係，可以用諾特定理來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明 LRL 向量是運動常數。諾特定理表明[36]：在一個物理系統裏，對於廣義坐標 q_{i} 的微小變分 \delta q_{i} = \epsilon g_{i}(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t) ，假若，取至微小參數 \epsilon 的一階，拉格朗日量 \mathcal{L} 的變分 \delta \mathcal{L} 是
\delta \mathcal{L} = \epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} G(\mathbf{q},\ t) ，
則必存在保守量 \Gamma 滿足方程式
\Gamma = - G+\sum_{i}g_i\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right) ；
其中，g_i(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t) 、 G(\mathbf{q},\ t) 都是函數。
更具體地，在一個克卜勒問題裏，試設定坐標 x_{i} 的微小變分為
\delta x_i=\frac{\epsilon}{2} \left[ 2p_{i}x_{s} - x_{i}p_{s} - (\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})\delta_{is} \right] ；
其中，i=1,\ 2,\ 3 ，x_i 與 p_i 分別為位置 \mathbf{r} 與動量 \mathbf{p} 的 i-軸分量，\delta_{is} 是克羅內克爾δ，s 是固定的下標。
由於克卜勒問題的拉格朗日量是
\mathcal{L}=\sum_{i}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}_i\dot{x}_i\right)+\frac{k}{r} 。
其運動方程式為
m\ddot{x}_i+k\frac{x_i}{r^3}=0 。
對應於坐標 x_{i} 的變分，速度 \dot{x}_{i} 的變分為
\begin{align} \delta \dot{x}_{i} & = \frac{\epsilon}{2} \left[2\dot{p}_{i} x_{s}-x_{i}\dot{p}_{s}+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} - (\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{p}})\delta_{is} \right] \\ & = \frac{\epsilon}{2} \left[ - \frac{k}{r^3}x_i x_s+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} +\frac{k}{r}\delta_{is} \right] \\ \end{align} 。
拉格朗日量取至一階的變分是
\begin{align} \delta \mathcal{L} & =\sum_{i}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}\delta x_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i\right) \\ & =\sum_{i}\left( - \frac{kx_i}{r^3}\delta x_i+m\dot{x}_i\delta\dot{x}_i\right) \\ \end{align} 。
代入 \delta x_i 和 \delta\dot{x}_i 的公式，經過一番繁瑣的運算，可以得到
\delta\mathcal{L}=\epsilon mk\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{x_{s}}{r} \right) 。
再代入保守量 \Gamma 的公式，則會得到
\Gamma=p^{2} x_{s} - p_{s}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}\right) - \frac{mkx_{s}}{r}=\left[\mathbf{p}\times \mathbf{L} - mk\hat{\mathbf{r}}\right]_{s} ；
而這正是 LRL 向量的 s-軸分量 A_s 。

李變換[编辑]

圖 9: 推導出 LRL 向量保守性的李變換。當這比例參數 \lambda 改變時，能量與角動量的大小也一起改變，可是離心率 e 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的大小與方向不變。
諾特定理精緻地推導出 LRL 向量的保守性。美中不足地，這導引有一個弱點：坐標變分\delta x_{i} 不只涉及了位置 \mathbf{r} ，而且還涉及了動量 \mathbf{p} [37] 。假若，使用數學家索菲斯·李創建的方法來推導，可以除去這弱點[38][39] 。具體地，定義一個李變換[29]，座標 \mathbf{r} 與時間 t 都按照比例變換，比例是參數 \lambda 的不同羃數：
t \rightarrow \lambda^{3}t, \ \mathbf{r} \rightarrow \lambda^{2}\mathbf{r}, \ \mathbf{p} \rightarrow \frac{1}{\lambda}\mathbf{p} 。
這變換改變了角動量 L 的大小與能量 E ：
L \rightarrow \lambda L, \ E \rightarrow \frac{1}{\lambda^{2}} E 。
可是，仍舊保持乘積 EL^2 不變。所以，離心率 e 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的大小不變。這可以從 A^2 的公式觀察出：
A^2 = m^2 k^2 e^{2} = m^2 k^2 + 2 m E L^2 。
由於半短軸與半長軸的取向 不因整體的比例變換 而改變，LRL 向量 \mathbf{A} 的方向也會保持不變。在李變換下，克卜勒第三定律也仍舊成立：半長軸 a 與週期 T 形成常數{T^2}/{a^3} 。

推廣至別種位勢和相對論[编辑]

LRL 向量可以推廣至其他狀況；可以用來辨認在其他狀況下的保守值。
假設，一個物理系統裏，存在著電場 \mathbf{E} ，保守的廣義 LRL 向量 \mathcal{A} 是[19][40]
\mathcal{A} = \mathbf{A} + \frac{mq}{2} \left[ \left( \mathbf{r} \times \mathbf{E} \right) \times \mathbf{r} \right] ；
其中，q 是粒子的電荷量。
最廣義的 LRL 向量的形式可以表達為[8]
\mathcal{A}=\left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right) \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right)+\left[\xi - u \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right)\right] L^{2} \mathbf{\hat{r}} ；
其中，u=\frac{1}{r} （參閱伯特蘭定理），\xi=\cos\theta ，角 \theta 定義為
\theta = L \int^{u} \frac{du}{\sqrt{m^{2} c^{2} \left(\gamma^{2} - 1 \right) - L^{2} u^{2}}} ；
其中，\gamma 是勞侖茲因子。
如同前面所提，計算 \mathbf{L} 與 \mathcal{A} 的叉積，可以得到一個保守的副法線向量 \mathcal{B} ：
\mathcal{B}=\mathbf{L}\times\mathcal{A} 。
綜和兩個向量成為一個保守的並矢張量 \mathcal{W} ：
\mathcal{W} = \alpha \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} + \beta \, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B} 。
舉例說明，計算一個非相對論性，均向性諧振子的 LRL 向量。由於作用力是連心力，\mathbf{F}(r)= -k \mathbf{r}，力子的角動量是保守的，粒子的運動包含於一個平面。請注意， \mathbf{P} 與 \mathbf{L} 不是一定互相垂直的。保守的並矢張量可以表達為一個簡單的形式：
\mathcal{W} = \frac{1}{2m} \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} + \frac{k}{2} \, \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} 。
其相應的 LRL 向量必較複雜
\mathcal{A} = \frac{1}{\sqrt{mr^{2}\omega_{0} A - mr^{2}E + L^{2}}} \left\{ \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) + \left(mr\omega_{0} A - mrE \right) \mathbf{\hat{r}} \right\} ；
其中， \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} 是自然振率。

別種比例與表述[编辑]

不同於動量與角動量，並沒有學術界一致認同的 LRL 向量定義；在科學文獻裏，存在有幾種不同的比例因子與符號。前面所述的定義是最普遍的定義。另外一種常見的定義，將 \mathbf{A} 除以常數 mk ；這樣，可以得到一個無因次的離心率向量 \mathbf{e} ：
\mathbf{e}=\frac{1}{mk} \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \mathbf{\hat{r}} = \frac{m}{k} \left(\mathbf{v} \times \mathbf{L}\right) - \mathbf{\hat{r}} ；
其中，\mathbf{v} 是速度。
離心率向量 \mathbf{e} 的方向與 \mathbf{A} 相同，大小是軌道的離心率。
別種比例的版本也可能會用到。例如，將 \mathbf{A} 除以 m ：
\mathbf{M} = \mathbf{v} \times \mathbf{L} - k\mathbf{\hat{r}}，
或者，將 \mathbf{A} 除以 P_0 ：
\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{P_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2m\left| E \right|}} \left\{ \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}} \right\} 。
\mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的單位相同。在非常稀有的狀況， LRL 向量的正負號會改變。這些，都不會影響它是運動常數的事實。
圖 4: 角動量 \mathbf{L} ， LRL 向量 \mathbf{A} ，與副法線向量 \mathbf{B} 都互相垂直。\mathbf{A} 與 \mathbf{B} 分別和橢圓的半長軸與半短軸的指向相同。
另外一個保守的向量是副法線向量 \mathbf{B} 。威廉·哈密頓曾經研究過這向量[7]。
\mathbf{B} = \mathbf{p} - \left(\frac{mk}{L^{2}r} \right) \ \left( \mathbf{L} \times \mathbf{r} \right) 。
這保守的向量與橢圓的半短軸同直線。\mathbf{A} 是 \mathbf{B} 叉積 \mathbf{L} （參閱圖 4 ）。兩個向量 \mathbf{A} 與 \mathbf{B} 可以結合起來形成一個保守的並矢張量 \mathcal{W} [8]：
\mathcal{W} = \alpha \mathbf{A} \otimes \mathbf{A} + \beta \, \mathbf{B} \otimes \mathbf{B} ；
其中，\alpha 與 \beta 是任意比例常數，符號 \otimes 表示張量積。展開這公式為
\mathcal{W}_{ij} = \alpha A_{i} A_{j} + \beta B_{i} B_{j} 。
由於兩個向量互相垂直，\mathbf{A} 與 \mathbf{B} 可以視為保守的張量 \mathcal{W} 的主軸，也就是說，按比例的特徵向量。由於\mathbf{A} 與 \mathbf{B} 都垂直於 \mathbf{L} ，張量 \mathcal{W} 垂直於角動量 \mathbf{L} ：
\mathbf{L} \cdot \mathcal{W} = \alpha \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} \right) \mathbf{A} + \beta \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{B} \right) \mathbf{B} = 0 。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Goldstein, H. Classical Mechanics 2nd edition. Addison Wesley. 1980: 102–105,410–422,536–538. 
  2. ^ 阿諾爾德, 弗拉基米爾. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed.. New York: Springer-Verlag. 1989: 38. ISBN 0-387-96890-3. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 包立, 沃爾夫岡, Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik. 1926, 36: 336–363 
  4. ^ 4.0 4.1 Fock, V., Zur Theorie des Wasserstoffatoms, Zeitschrift für Physik. 1935, 98: 145–154 
  5. ^ 5.0 5.1 巴格曼, 華倫泰, Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock, Zeitschrift für Physik. 1936, 99: 576–582 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Goldstein, H., Prehistory of the Runge–Lenz vector, American Journal of Physics. 1975, 43: 735–738 
    Goldstein, H., More on the prehistory of the Runge–Lenz vector, American Journal of Physics. 1976, 44: 1123–1124 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 哈密頓, 威廉, Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions, Proceedings of the Royal Irish Academy. 1847, 3: Appendix III 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Fradkin, D. M., Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems, Progress of Theoretical Physics. 1967, 37: 798–812 
  9. ^ Yoshida, T, Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector, European Journal of Physics. 1987, 8: 258–259 
  10. ^ 赫爾曼, 雅各布, Unknown title, Giornale de Letterati D'Italia. 1710, 2: 447–467 
    赫爾曼, 雅各布, Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710, Histoire de l'academie royale des sciences (Paris). 1710, 1732: 519–521 
  11. ^ 白努利, 約翰, Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710, Histoire de l'academie royale des sciences (Paris). 1710, 1732: 521–544 
  12. ^ 拉普拉斯, 皮埃爾-西蒙. Traité de mécanique celeste. 1799: Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff. 
  13. ^ 13.0 13.1 哈密頓, 威廉, The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction, Proceedings of the Royal Irish Academy. 1847, 3: 344-353 
  14. ^ 吉布斯, 約西亞; Wilson E. B. Vector Analysis. New York: Scribners. 1901: p. 135. 
  15. ^ 龍格, 卡爾. Vektoranalysis. Leipzig: Hirzel. 1919: Volume I. 
  16. ^ 冷次, 威爾漢, Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung, Zeitschrift für Physik. 1924, 24: 197–207 
  17. ^ Evans, N. W., Superintegrability in classical mechanics, Physical Review A. 1990, 41: 5666–5676 
  18. ^ 索末菲, 阿諾. Atomic Structure and Spectral Lines. London: Methuen. 1923: 118. 
  19. ^ 19.0 19.1 19.2 朗道, 列夫; Lifshitz E. M. Mechanics 3rd edition. Pergamon Press. 1976: p. 154. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover). 
  20. ^ Evans, N. W., Group theory of the Smorodinsky–Winternitz system, Journal of Mathematical Physics. 1991, 32: 3369–3375 
  21. ^ 21.0 21.1 愛因斯坦, 阿爾伯特, Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1915, 1915: 831–839 
  22. ^ 勒維耶, Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète, Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris). 1859, 49: 379–383 
  23. ^ Will, C. M. General Relativity, an Einstein Century Survey SW Hawking and W Israel, eds. Cambridge: Cambridge University Press. 1979: Chapter 2. 
  24. ^ 派斯, 亞伯拉罕. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. 1982. 
  25. ^ Roseveare, N. T. Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein. Oxford University Press. 1982. 
  26. ^ 26.0 26.1 26.2 Bohm, A. Quantum Mechanics: Foundations and Applications 2nd edition. Springer Verlag. 1986: 208–222. 
  27. ^ 狄拉克, 保羅. Principles of Quantum Mechanics, 4th revised edition. Oxford University Press. 1958. 
  28. ^ 薛丁格, 埃爾文, Quantisierung als Eigenwertproblem, Annalen der Physik. 1926, 384: 361–376 
  29. ^ 29.0 29.1 Prince, GE; Eliezer CJ, On the Lie symmetries of the classical Kepler problem, Journal of Physics A: Mathematical and General. 1981, 14: 587–596 
  30. ^ 30.0 30.1 Bander, M; Itzykson C, Group Theory and the Hydrogen Atom (I), Reviews of Modern Physics. 1966, 38: 330–345 
  31. ^ Bander, M; Itzykson C, Group Theory and the Hydrogen Atom (II), Reviews of Modern Physics. 1966, 38: 346–358 
  32. ^ Rogers, HH, Symmetry transformations of the classical Kepler problem, Journal of Mathematical Physics. 1973, 14: 1125–1129 
  33. ^ Guillemin, V; Sternberg S. Variations on a Theme by Kepler. American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42. 1990. ISBN 0-8218-1042-1. 
  34. ^ Lakshmanan, M; Hasegawa H, On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces, Journal of Physics A, 17: L889–L893 
  35. ^ Dulock, VA; McIntosh HV, On the Degeneracy of the Kepler Problem, Pacific Journal of Mathematics. 1966, 19: 39–55 
  36. ^ Lévy-Leblond, JM, Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics, American Journal of Physics. 1971, 39: 502–506 
  37. ^ Gonzalez-Gascon, F, Notes on the symmetries of systems of differential equations, Journal of Mathematical Physics. 1977, 18: 1763–1767 
  38. ^ 李, 索菲斯. Vorlesungen über Differentialgleichungen. Leipzig: Teubner. 1891. 
  39. ^ Ince, EL. Ordinary Differential Equations. New York: Dover (1956 reprint). 1926: 93–113. 
  40. ^ Redmond, P. J., Generalization of the Runge–Lenz Vector in the Presence of an Electric Field, Physical Review. 1964, 133: B1352–B1353 
  • Leach, P.G.L.; G.P. Flessas, Generalisations of the Laplace–Runge–Lenz vector, J. Nonlinear Math. Phys.. 2003, 10: 340–423, arXiv:math-ph/0403028 

外部連結[编辑]


取自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=拉普拉斯-龍格-冷次向量&oldid=26692053”