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肖建华
现代科学理论的中心点是：用有限微分量的超代数运算（包含高阶小量）替代导数运算（舍弃高阶小量），而且研究各高阶小量间的内再关系。
这也就是说：以微分方程为基础构造的有限元类（含差分类）算法从一开始就是基础性错误的。而必须独立的由超代数来建造。
各个学科在早期是通过独立引入高阶小量来突出重围的。作者的故事就是一个例子。
这也就是我国很多研究人员算来算去就是无法与实验吻合（但是在线性近似下又大概齐，结果是鸡筋）的根本原因。理论基础的层次不高。
保角超代數
程舜仁
國立成功大學數學系副教授
在量子場理論中一個重要的組成因素是量
子場的觀點；在此我們可以將場(field)視為在
d- 維Minkowski 空間之算子值分布(operatorvalued
distributions)，而這裡的算子是作用在
V 的空間(space of states)上，我們通常可將
V 當成一個無窮維的Hilbert 空間。當維度d=2
時，我們可以選用光錐面座標(light-cone
coordinates)和考慮（右）chiral 場，利用它們
可以求出在實數線上的算子值分布，經過緊緻
化實數線成一圓後，我們可以用形式傅里葉級
數展開chiral 場，而在經歷複數化後，我們可
以得到下列形式冪級數(formal power series)
a ( z ) = Σ a[n]z– n – 1, n ∈Z
上式中a[n] ∈ EndC(V)。經由愛因斯坦的相對
論，在其他場之中，我們知道這些場滿足locality
公設(locality axiom)，也就是說若場
的非零點(support)被光錐面分離，則場彼此
間不互相作用。當在二維時， chiral 場a(z)和
b(z)表示
[a (z), b (w)]=0, z≠w, (0:1)
值得注意的是，由全部場的係數可生成（超）
李代數(Lie (super)algebra)，使得上面的括
號運算(bracket)即相當於係數間的括號運
算。為了瞭解場之間的交互作用(operator
product expansion OPE)，利用在OPE 得到
的一些性質，我們可以設公理(axioms)，然後
架構一套理論[1][2][8][12]，這也就引導出了（超）
保角代數的觀點。從論文[12]後，我們就稱之為
形式分布的（超）李代數(formal distribution
Lie (su-per) algebras)。
現在可由上式(0:1)，[a(z),b(w)]表示是
一個集中於一點的分布，因此經由分布理論，
對一些分布(a(j)b)(w)，我們有下列結果：
a( z), b(w) = (a( j)b)(w)∂w
( j)Σ δ(z – w), j = 0
N
(0:2)
在這裡的δ (z-w)就是delta 函數而且∂w
( j)即為
1j
!
∂ j
∂wj 。
利用形式delta 函數(formal delta function)
δ (z–w) =z–1 (zw
)n Σn ∈Z 去替代delta 函數
後，我們現在就可以定義形式分布李代數的觀
點。它是由一個超李代數g再加上一個場集合
F ，也就是說在g 上的形式冪級數之係數能使
得佈於C 上F 的場之係數張成(span)g 且這些
場是相互local(mutually local) (0:2)。
以(centerless)Virasoro 代數為例，它是
由李代數Vir 結合一組基底Ln (n∈Z)及有下列
的關係
[Lm, Ln] = (m – n)Lm+n,
它可由local形式分布L(z)= Σ Lnz– n – 2 n ∈Z 利用
[L(z), L(w)]=∂wL(w)δ (z–w)+2L(w)∂wδ (z–w)
而張成。
另一個是以current 代數g的例子：當g
是有限維李代數，也就是g=g⊗C[t, t–1]，它的
運算方式如下
[a ⊗ tn, b ⊗ tm]= [a, b] ⊗ tn + m, n, m ∈Z; a, b ∈ g.
因為有下列性質
[a( z), b(w)] = [a, b]δ(z – w),
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所以g加上a(z ) = Σ a ⊗ tnz– n – 1 n ∈Z (a∈g)的場後，
是一個形式分布的李代數。
假定(g, F)是一個形式分布的超李代數
(formal distribution Lie superalgebra)，
為了對下列情況是封閉的，我們常會將F擴張
為一個較大的場集合(collection of fields)
F，一為在∂=∂z 下封閉，還有在F中對任意a
(z), b(z)和， j∈Z+ ，乘積(products)(a(j)b)(z)
是封閉的，（由Dong's lemma ，我們知道它
們依然會相互local），因此F變成一個擁有對
任意j∈Z+， C- 雙線性乘積的C[∂]- 模。這
也就導引出保角（超）代數的觀點。
保角超代數是一個對任意n∈Z+ 均有C- 雙
線性乘積a(n)b 的左(Z2-graded)C[∂]- 模R ，使
得對於任意(a,b,c ∈ R; m, n∈Z+ 且∂ ( j) = 1j
! ∂ j，
我們有下列公理：
(C0) a(n)b=0, for n >> 0,
(C1) (∂a)(n)b = –na(n-1)b,
(C2) a(n )b = ( – 1) p(a)p(b) ( – 1) j + n + 1∂Σ ( j)(b(n + j)a), j = 0
∞
(C3) a(m)(b(n)c) = mj
Σj = 0
∞ (a( j)b)(m + n – j)c +
+ ( – 1)p(a)p(b)b(n)(a(m)c).
所以保角（超）代數相較於以上二種形式
分布的（超）李代數，分別是有非零乘積L(1)
L=2L 和L(0)L=∂L 的Virasoro 保角代數C[∂]
⊗L 及對於任意a, b ∈ g 有非零乘積a(0)b=[a,
b]的current 保角代數C[∂]⊗g 。
形式分布的李代數與保角超代數幾乎是等
價的，正如以上所見，我們可以對形式分布保
角超李代數結合一個保角代數；反之，在一些
適當的條件下，其逆敘述亦會為真。
回歸至最基本的問題就是將有限（此處的
有限是針對佈於C[∂]下的模而言）單子保角超
代數予以分類，面對於此問題，最好的方法就
是先去討論保角代數的表現理論，自然地我們
會以佈於保角代數之下列模類做考慮，亦即像
帶有一個對任意正整數n ，從R 到EndCM 的
（左）Z2-gradedC[∂]- 模，經由a→a(n)
M 的C- 線
性函數(C-linear map)，使得下列性質對a, b
∈ R 和m,n ∈ Z+ 均成立：
(M0) a(n )
Mυ = 0, for υ ∈ M and n > > 0,
(M1) a( m)
M , b(n)
M = mj
Σj = 0
m (a( j)b)(m + n – j)
M ,
(M2) (∂a )(n)
M = [∂, a(n)
M ] = – na(n – 1)
M .
閱讀至此，或許讀者會注意到佈於保角超
代數定義下的模之表現，如同於擁有相似之伴
隨表示(adjoint representation)運作的形式分
布超李代數之模類；那也就是說，我們也有一
個像算子乘積展開式(OPE)的算子，像這樣的
模我們稱為保角模(conformal modules)[4]。
現在當我們將問題的焦點轉至有限保角代數的
分類。這個問題的解答也就如下，一個有限單
子代數不是一個Virasoro 保角代數就是一個
伴隨有限維單子李代數的current 保角代數
[7]，這分類主要是由兩個結果而來，亦即佈於
Virasoro 與current 保角代數的單子保角模之
分類[4]和在Cartan 線性緊緻李代數(linearly
compact Lie algebras)的分類，也相當於在
有限維流形之單子無窮維偽群
(pseudogroups)的分類[9][10]。
現在我們來討論保角超代數的情況，若相
較於討論形式分布保角超李代數，這會顯得容
易些。給定t 為偶(even)變數且ξ1,⋯， ξn 為n
個奇(odd)變數。在Λ(n)為有n(anticommuting)
變數之Grassmann 超代數的情況下，定Λ
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(1,n)=C[t, t–1]⊗Λ(n)且W(1,n)為Λ(1,n)的求
導超代數，這個自由散度向量場的子代數定為
S(1,n)，假定α = dt – Σ ξ i dξ i i = 1
n 是標準的切觸形
式(contact form)，則K(1,n)為W(1,n)基於作
用Λ(1,n)之元素而保留α 的子代數，在論文[11]
架構了W(1,n)，[S(1,n), S(1,n)]和K(1,n)，
再加上結合了有限維單子李超代數的current
代數後，為有限維單子保角超代數的完整目
錄。在[3]我們建構一個新的限維單子保角超
代。這個保角超代數是一個K(1,6)的子代數，
而且它的偶部份包括一個Virasoro 代數和一
個so(6)-current ，它的奇部份包括六個conformal
weight32
和十個conformal weight12
的
primary 場。這會轉為另一個例子，很自然地
會在場的保角重量(conformal weights)上設限
制，Kac證明了這個新例子在結合以上滿足限
制的目錄後，都是有限維保角超代數[14]。因為
缺乏與Cartan 無窮維線性緊緻超李代數的類
似分類，所以需要加上上述的限制。
為了得到一個類似Cartan 在超代數的結
果，自西元1997 我們開始有系統地一步一步
移去一些限制條件，最近我們終於對無窮維單
子線性緊緻超李代數作了分類，而這些結果一
一發表於一系列論文[5]、[6]與[13]，對於能
夠獲得這樣的結果我們感到非常興奮，而且我
們在未來的研究中，會對於這些結果好好加以
運用。
回憶Cartan 的分類，每一個單子線性緊
緻李代數可分為下列四類李代數的完備化(the
completion) （在拓撲學中，經由選定的基本子
代數之過濾(filtration)結構而生成，如可參考
[9]得到嚴謹的定義）：第一類為在Cn 之全部
多項式向量場的李代數W(n)；第二類為S(n)
⊆W(n)是發散自由向量場的子代數；第三類為
H(2n)⊆W(2n)是Hamiltonian 向量場的子代
數；第四類為K(2n)⊆W(2n+1)是切觸向量場
(contact vector fields)的子代數。這些系列
有基本的幾何見解， W(n)相對於全部的轉換
(transformations)， S(n)相對於保持轉換之
容積子群， H(2n)為在C2n 保持標準辛形式
(symplectic form)的轉換，而K(2n+1)基於
作用一函數保持切觸形式的轉換子群，結合以
上這些系列後，它們的幾何個體分別是微分流
形、可定向流形、辛流形與CR 流形
(differential, orientable, symplectic and CR
manifolds)，值得注意的是在李代數的情況
下，沒有特別的例外(exceptions)，但是在超
級流形(supermanifolds)的情況下，去回答這
問題就變得不同，類似在非超級的情形下，還
是有一些序列(series)，如同在非超級的情
形，每一種情況都有一個幾何解釋，但在一些
特定的超維度(superdimensions)，還是有五
種不屬於任何序列的例外代數(exceptional
algebras)產生，（這些例外必須與例外的單
子李代數(the exceptional simple Lie
algebras)G2, F4, E6, E7 和E8 相比較），其
中的一個例外已被Sergeev 知道，而另外三個
也被Shchepochkina[15]發現，當我們在研究
超保角代數時亦發現一個[3]，而最後一個在當
我們從事線性緊緻超李代數的研究中被發現
[6]。作者非常感謝陳東賢先生在本報告譯為中
文時，所提供的協助。
參考文獻
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15.Shchepochkina, I.: The five exceptional
simple Lie superalgebras of vector
fields, hep-th/9702121 (1997).
程舜仁
學經歷：
美國西北大學學士、碩
士(1988)
美國哈佛大學碩士、博
士(1993)
Max-Planck Institute für Mathematik (1993-1994)
國立成功大學數學系副教授(1994- 迄今)
美國麻省理工學院數學系訪問學者(1997-1998)
實驗尋找Higgs 粒子的
現狀與展望
張元翰 國立中央大學物理系副教授
侯書雲 國立中央大學物理系副研究員
粒子物理領域研究物質的最基本結構（即
所謂基本粒子）和作用力，在這個領域，有一
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