Berry相位 系统的哈密顿绝热的沿着闭合的参数回路周期性的变化时，在波函数上引入的附加相位

标题: 几何相位与量子相变
作者: yinzhangqi
这个题目是我最近看的一个系列论文的主题[1-3]，在这里我不深入细节，只讲讲物理思想，以及我在读这些论文时的一些感想。

从Subir Sachdev的《量子相变》第一章中我们可以知道，所谓量子相变，一般对应于量子多体系统基态能量在参数空间中的某些不可解析的点，比如基态与第一激发态的能量在参数空间中出现了交叉，或者出现了回避交叉的现象。另外一种更加直观的理解是，零温下，外部参量的微小变化引起了物理系统宏观性质根本性的改变 [3]。Berry相位，又称为几何相位，是系统的哈密顿绝热的沿着闭合的参数回路周期性的变化时，在波函数上引入的附加相位。几何相位与系统的 Hilbert空间的几何性质有关，有可能反应出量子相变的一些特性。正是基于这个想法，文献[1]才以XY模型为例，首次讨论了几何相位与量子相变的联系。他们讨论的哈密顿如下：

$H=-\sum_{l=-M}^M\Big(\frac{1+\gamma}{2}\sigma_l^x\sigma_{l+1}^x+\frac{1-\gamma}{2} \sigma_l^y\sigma_{l+1}^y+\lambda\sigma_l^z \Big)$,

从这个哈密顿出发，他们定义了一组哈密顿$H(\phi)$ ，这里的参数$\phi$是对原始哈密顿沿着z方向旋转角度 $\phi$ 之后的产物。显然相变性质与这个旋转角度是无关的，且旋转 $\pi$ 后系统哈密顿还原。他们通过Jordan-Wigner变换把自旋算符变换为费米子算符，然后把费米子算符做一次傅立叶变换，最后通过 Bogoliubov变换将哈密顿对角化。由此求出了系统的基态。利用标准的Berry相位的算法即可求出旋转角度 $\pi$ 后系统基态上累计的相位。他们又计算了第一激发态上累积的几何相位，然后求出了二者之差。他们发现这个差值确实可以作为量子相变的标志。

文献[1]的后半部分着重讨论实验上测量Berry相位的优点和如何在实验上来实现他们的这个想法。在文章的最后，他们指出，如何从Berry相位中看出量子相变的临界因子是一个挑战。

这个挑战很快就被朱诗亮给解决了[2]。朱诗亮用了与[1]中一模一样的模型，考虑的也是基态的几何相位。但不同之处在于他把几何相位对参数\ lambda 求了一次导。他发现几何相位的导数在相变点\lambda=1附近是不连续的。他用数值法求出了相变的临界因子，标度特性(scaling feature)，并证明这些性质具有通用性，与哈密顿的具体形式无关。朱诗亮指出，[1]中讨论的相变只是一阶相变，而人们对二级量子相变更感兴趣。通过几何相位一阶导数不连续的性质，可以看出这里展现的就是一个二阶相变。

文献[3]也是对文献[1]中提出的那个挑战的回答。它严格的证明了相变附近的基态Berry相位可以用于标志量子相变的存在。另外，它指出在量子相变点附近，绝热也就失效了。

当我读完文献[1]和[2]时，我真是为前者感到惋惜。他们的工作非常有原创性，可惜止步于一级相变，且其他量子相变中最重要的性质比如标度，临界因子等都未曾讨论到。而只要迈出文献[2]所做的那一小步，这些问题都能够得到解决。也许[1]的着眼点不同，他们更加关心如何引入这个新想法，因此他们只简单的讨论了一下相位差，用于揭示一级相变。而把更多的目光投向如何在实验上实现这个想法。可能是这种思维上的盲点，使得他们没有把工作做得更加完美。

[1] A. C. M. Carllo and J. K. Pachos, Phys. Rev. Lett. 95, 157203 (2005).
[2] Shi-liang Zhu, Phys. Rev. Lett. 96, 077206 (2006).
[3] Alioscia Hamma, quant-ph/0602091