例:求电荷分布-1 已知电场分布求电荷分布 v v Q r ,r ≥ R r 是坐标原点到场点的位置矢量 v 4πε 0 r 3 E= v Q r ,r < R 4πε 0 R 3 v ρ 应用球坐标系散度公式: 应用散度定理: E= v 1 (r 2 Ar ) 1 ( SinθAθ ) 1 ( A ) + A = 2 + r θ r rSinθ rSinθ r≥R r<R ε0 v 1 E = 2 r v 1 E = 2 r 2 Q (r )=0 2 r 4πε 0 r 2 Qr 3Q (r )= 4πε 0 R 3 4πε 0 R 3 r 0,r ≥ R 3Q 所以: ρ= ,r < R 4πR 3 例:求电荷分布-2 已知电场分布求电荷分布 v v Q r E= 4πε 0 r 3 v r 是原点到场点的位置矢量 v 1 2 Q E = 2 (r )=0 2 r r 4πε 0 r 尝试1: 尝试2: 应用散度定理? ρ=0 ? 以原点为圆心,取半径r的球面为高斯面, 应用高斯定理积分形式: v v Q E dS= ∫∫ 4πε 0 1 2 Q r Sinθdθd = ∫∫ r 2 ε0 上面的结果表明,取任何半径r,高斯面内的电荷量为常量Q 在r趋于0时,结果仍然如此,故在原点处有点电荷Q 计算电荷分布的方法 如果已知电场分布,可以利用高斯定理求电荷分 v ρe 布. – 利用微分形式,即散度定理 ε 0 可以直接求 出体电荷的分布.但无法求点,线,面电荷的分布. – 利用积分形式 v v ∫∫ E dS = ( S面内) i E = ∑q ε0 i 可以求高斯面内的 闭合面S 电荷的量,然后可以利用求极限的方法计算出点,线, 面电荷. §2.4静电场的高斯定理和环路定理 --静电场的矢量场理论 (二) 静电场环路定理 静电场旋度定理 #环量 环量:矢量场对闭合有向曲线的如下的 v 曲线积分: A v v Γ = ∫ A dl l (第二型曲线积分) v l vθ dl v A v v A dl = Adl Cosθ 环量是标量. 环量的正负受有向 曲线的取向的影响. 环量不为零称有旋 处处环量为零称无旋 静电场的环路定理 静电场场强沿任意闭合 环路的环量为零. r r ∫ E dl = 0 L 证明:取点电荷位置为原点,建立球坐标系 v v v 1 1 1 rp Q Q Q ∫ E dl = 4πε0 ∫ r 2 er dl = 4πε0 ∫ r 2 dr = 4πε0 ( r ) |rp = 0 L L L v 注意: v r er v E v er dl = dl Cosθ = dr O dl 在环路上不能有点电荷等,以确保环路上的电场强 度值有意义. 静电场的环路定理-物理意义 静电场是无旋场 静电场力是保守力,对电荷的做功与路径无 关,只与起点和终点的位置有关. L1 Q v v v v Q v P v 如图从P到Q任取 q ∫ E dl =q ∫ E dl + q ∫ E dl = 0 P Q 两条路径,有: ( L1 ) ( L2 ) v v v Q v P v Q v q ∫ E dl = q ∫ E dl = q ∫ E dl P ( L1 ) Q ( L2 ) P ( L2 ) L2 P 环路定理反映了静电场的球对称性.但舍去了 平方反比性. 静电场的环路定理的形式只适用于静电场,推 广到非静电场后需改变形式. #环量面密度 环量面密度:有向闭合曲线围成的曲面元以 任意方式无限收缩并趋向某点时,矢量场对 闭合曲线的环量和曲面面积之比的极限,称 为矢量场在该点绕曲面法线方向的环量面密 度.(曲线方向和曲面法线方向成右手螺旋 关系) – 注意:环量面密度是标量 ΔS → 0 ( S → M ) lim ΔΓ = ΔS ΔS → 0 ( S → M ) lim ΔL ∫ v v A dl ΔS ΔS n v A 注意,在空间一点,环量面密度可以有无限多个值, 因为可以根据不同法线方向取不同的闭合曲线. # 旋度的定义 旋度:以某点的环量面密度的最大值为模, 以相应的面法线为方向的矢量.记为: r v v R = rot A = × A – 旋度是矢量! – 推论:某点绕任一方向 n 的环量面密度 是该点旋度在该方向的投影(证明略): ΔS → 0 ( S → M ) Lim v ΔΓ = Rn ΔS – 旋度的模是该点单位面积上的环量的最 大值,旋度的方向是相应的面的法线方 向. #矢量场的斯托克斯定理 矢量场沿闭合有向曲线的环量等于在该 曲线所围的有向曲面上的矢量场旋度对 该有向曲面的通量. v v v v A dl = ∫∫ ( × A) ds ∫ L S 静电场的旋度定理-静电场环路 定理的微分形式 静电场的旋度处处为零. v × E = 0 – 将点电荷的场强公式代入旋度的计算公式可验证 – 根据静电场环路定理,矢量分析的斯托克斯定理以 及旋度的定义证明(*证明略) – 与环路定理等价 不适用于点,线,面电荷所在处.这些位置的 电场强度值无意义. #旋度在直角坐标系的计算式 先考虑旋度的x方向的分量 如图取与x轴垂直的小矩形 回路,边长分为y, z, 中心点坐标x,y,z;则环量为 E z Δy E z Δy ( Ez + ( ))(Δz ) + ( E z + ( ))( Δz ) y 2 y 2 E y Δ z E y Δ z + (Ey + ( ))( Δy ) + ( E y + ( )) Δy z 2 z 2 E z E y E z E y =( )ΔyΔz Rx = ( ) y z y z v v Ax Az Az Ay ( Ay Ax ) rotA = × A = i ( ) ( +j )+k x y y z z x 同理可求旋度的y,z分量,可得旋度计算式: #旋度的计算式 旋度的计算式如下(三种坐标系)(证明略) v v rotA = × A A A ( Az y ) ( Ax Az ) + k ( y Ax ) +j =i x x y y z z Aρ Az 1 Az A 1 ( ρA ) 1 Aρ = eρ ( ) + e ( ) + ez ( ) ρ z ρ ρ ρ z ρ (sin θA ) Aθ 1 1 Ar 1 (rA ) ]+ = er [ ( )] + eθ [ r sin θ r sin θ r r θ 1 (rAθ ) 1 Ar e [ ] r r r θ P72 《矢量分析与场论》谢树艺,人民教育出版社,1978 P443《数学手册》高等教育出版社,1979 P476 新概念物理《电磁学》赵凯华,高等教育出版社,2003 直角 坐标 柱坐标 球坐标 静电场矢量场原理的总结 静电场:有源,无旋场. 『注:无旋场是指处处旋度(环量)为零的矢 量场;无源场是指处处散度(对闭曲面通量) 为零的矢量场』 静电场的高斯定理和环路定理各自独 立,不能互推;分别反映了静电场的不 同特点. 静电场的高斯定理和环路定理合起来全 面的刻画了静电场,等价于库仑定律和 叠加原理;这形成了两种不同的刻画静 电场的方法. 证明静电场电场线的特征 电场线不闭合 – 反证:假设闭合,沿闭合线计算环量,必不 为零,故电场线闭合假设不成立. 电场线起于正电荷(或无穷远),终于 负电荷(或无穷远). – 反证,假设有电场线起于(或终于)某空间 点,且该点无电荷;则取包围该点的足够小 高斯面,必可得非零的电通量,根据高斯定 理知面内应有电荷,与假设矛盾,假设不成 立. §2.5 静电场电势理论 静电场的电势 静电力是保守力,可以定义相应的势能. 静电势能差:静电场力对电荷作功定义为 电荷在静电场中的静电势能的减少. v Q v APQ = q ∫ E dl = WPQ 定义为→WP WQ P 任意积 分路径 静电势差: 静电势: WPQ q =∫ Q P v v E dl = U PQ 定义为→U P U Q O UP = ∫ P v v E dl 取UQ=0 (O点是零电势点) – 静电场中任意一点的电势等于把单位正电荷 从该点沿任意路径移到零电势点电场力做的 功. – 单位:焦耳/库(J/C)=伏特(V) 关于电势的说明 电势是刻画静电场的又一个物理量. 电势是标量,是场函数,构成标量场. 某点的电势值与电势零点的选取有关; 两点间电势差与电势零点的选择无关. – 零电势的参考点可选取任意点,通常是:电 荷分布在有限空间的电场中,选无限远处电 势为零;在实际应用中,常选地球或仪器外 壳的电势为零;原则上可以自行选择合理的 电势零点. 点电荷电场的电势分布 根据电势的定义,取点电荷位置为坐标 原点,选择积分路径为球坐标系的径 向,选择电势零点为无穷远. U =∫ =∫ ∞ ∞ P v v ∞ E dl = ∫ r q 4πε 0 r 2 q v er dr ∞ r 1 q dr = ( ) = 2 4πε 0 r 4πε 0 r r 4πε 0 r q – 点电荷所在的位置,电势无意义. – 点电荷电场的等势面是以点电荷为球心的同 心球面. 等势面 静电场的电势是空间坐标的标量函数, 构成了一个标量场. 可以用等势面形象的描绘电势场的分布. 等势面:电势相同的点所构成的空间轨 迹. – 电势相同的点,不一定构成面,也可能是 点,也可能是线,也可能是体. – 电势相同的点,不一定构成一个封闭的面, 可能是多个封闭的面,也可能是开放的面. 等势面分布图的画法规则:各相邻等势 面间的电势差相等. 典型带电体系的等势面和电场线 *电势的山形图示法: 两个等量异号点电荷所在平面的电势 电势叠加原理 任意带电体系的静电场在某点的电势, 等于构成该体系的点电荷(电荷微元) 的静电场在该点电势的代数和(标量积 分). – 注意:前提是零电势点统一. 可以根据场强叠加原理证明. U = ∑U i U = ∫ dU 电势的计算方法 两种计算方法 1.根据定义,由场强进行积分运算. – 适用于场强比较容易计算的问题. 2. 根据电势叠加原理,由电荷微元(点电 荷)的电势分布进行积分(求和)计算. – 电势是标量,其积分运算往往比矢量积分运 算要简单,因此在场强不易求出的情况下, 宜通过电势叠加原理直接计算电势. – 注意零电势点的统一. 例:均匀带电细圆环轴线上的电势 半径是R,总带电量Q,电荷线密度是λ dl R o θ p x 依据电势叠加原理: λ dl λ = Up = ∫ 4πε 0 r 4πε 0 r = Q 4πε 0 ( x 2 + R 2 ) 1 2 ∫ dl 对照前面算出的场强分布 Qx E = Ex = 4πε 0 ( x 2 + R 2 ) 3 / 2 U UO = 假设正电荷: Ex x Q 4 πε 0 R x 例:均匀带电球体的电势 取球心为原点,采用球坐标系,先依据 1 Q 高斯定理计算场强. v 4πε r e , r ≥ R 2 r 0 E= 1 Qr er , r < R 3 4πε 0 R 由场强计算电势分布. v v Q Q r ≥ R, U = ∫ E dl = ∫ dr = 4πε r 4πε ∞ ∞ r r 2 0 0 r Q r < R,U = ∫ ∞ r v v R E dl = ∫ r r2 (3 2 ) rdr + ∫ dr = 3 R 4πε r 2 4πε 0 R 8πε 0 R R 0 Q ∞ Q 等势面是同心球面 如图为电场和电势分布 (假设正电荷) E r R Umax U r R 选择零电势点 零电势点常取在等势面(体),成为零电势面(体) 零电势点原则上可以自由选择,但也有特殊情 况使电势零点的选择受到限制. 电荷所在处可以选为零电势点吗? – 不能选择点,线电荷为零电势点,那里的场强无穷 大,会导致其他所有点的电势都为无穷大. – 面电荷,体电荷处可以选为零电势点. 无穷远为零电势点 – 无穷远是理想模型,实践中取"足够远". – 无穷远作为零电势点比较方便. – 无穷远不是一个点,而是一个区域,也可以看做是 一个无穷大面;同时也就暗含假定它是一个等势面. – 对无穷大(长)电荷模型,无穷远处不宜为零电势点 例:无限大均匀带电平面的电势 由高斯定理可求场强分布 v E= - 尝试可知不能选无穷远为零电势 σ 2ε 0 σ 2ε 0 i , x > 0 i , x < 0 O – 取平面上任一点为零电势点,并以之为原点 建立直角坐标系,取X轴上一点P(x,0,0) v O v 0 σ i dx = σ x x > 0, U = ∫ E d l = ∫ i P x 2ε 2ε 0 0 x v O v 0 σ i dx = σ x x ≤ 0, U = ∫ E d l = ∫ i P x 2ε 2ε 0 0 U x 等势面是平行于带电面的平面 E 假设正电荷: x o
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