Sunday, January 10, 2016

矢量力学中我们熟知，质点的动量等于动能对速度的导数, 四维广义力=四维广义动量的固有时偏导，坐标是可以随意选取的

理论力学（二）

space.ustc.edu.cn/cforums/course/.../理论力学2-1111.ppt 轉為繁體網頁

通过对拉格朗日函数做勒让德变换，以广义动量为自变量替换了广义速度，得到哈密顿正则方程。 ... 进行了正则变换之后，用新的P，Q作为泊松括号表达式中作偏导数的自变量，其 .... 拉格朗日密度函数一般含有场量对时间的偏微分和对空间的偏微分。

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phymath999.blogspot.com/2015/10/t_70.html 轉為繁體網頁

2015年10月16日 - 用广义速度（见拉格朗日方程）表示的动能T对广义速度的偏导数。 ...拉格朗日敏锐地注意到：矢径是广义坐标和时间t的函数，与广义速度无关。 ... HTML 版第二式可比较(a)式先对ql求偏导数再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。 ... 如果H量对某一个广义动量的偏导数为零，那么相应的广义坐标的全导数为零， ...

[PDF]从动能定理到第二类拉格朗日方程 - 力学与实践

lxsj.cstam.org.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?... 轉為繁體網頁

由陆明万张雄著作 - ‎2003 - ‎被引用 3 次 - ‎相關文章

摘要第二类拉格朗日方程是处理质系(尤其是多自由度、非 .... 对时间求全导数和对广义坐标求偏导数的顺序需要证明. 拉. 格朗日给出了严格证明. 将速度(14) 式对广义 ...

[PDF]第八章：拉格朗日动力学 - 物理学系

physics.bnu.edu.cn/application/faculty/tuzhanchun/.../08.p... 轉為繁體網頁

(3) 将L=T-V 表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数*. (4) 对于有 ... 连同L 一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程 ..... 把定义式两边同时对λ 求偏导可得.

导数- 维基百科，自由的百科全书

https://zh.wikipedia.org/zh-hk/导数轉為繁體網頁

... 图像曲线。函数在一点的导数等于它的图像上这一点处之切线的斜率。 ... 例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度 ^:153。导数是函数 ... 3.1 牛顿的记法; 3.2 莱布尼兹的记法; 3.3 拉格朗日的记法; 3.4 其它记法 .... 求导数时，牛顿将自变量和因变量两边展开，同时除以瞬，再将剩下的项中含有瞬的项忽略掉 ^:⁷²。

广义相对论中的开普勒问题- 维基百科，自由的百科全书

https://zh.wikipedia.org/zh-hk/广义相对论中的开普勒问题轉為繁體網頁

从测地线方程可以推出广义相对论的关键性实验证据，著名的水星近日点的进动， ... 12.1 哈密顿-雅可比方法; 12.2 拉格朗日方法; 12.3 哈密顿原理 ... 从牛顿力学的观点来看，如果引力相互作用只能以有限速度传播，那么在任意 .... 克里斯托费尔符号只和度规对於坐标的一阶偏导数有关（即描述了度规如何随 ..... 对这个主函数求偏导数：.

广义力的定义 - 豆瓣

www.douban.com/group/topic/5452719/ 轉為繁體網頁

2009年2月21日 - 广义动量是拉格朗日量随广义速度的导数，广义力是虚位移对广义坐标的导数 .... 完整的lagrange方程T对q导求偏导再对时间求导- T对q求偏导= Q

[PDF]专题部分第十六章分析力学基础

gc.nuaa.edu.cn/lllx/static/ckzl/xxzd/16.pdf 轉為繁體網頁

掌握自由度、广义坐标和广义力的概念，并会计算广义力。 2．了解动力学普遍方程，会应用第二类拉格朗日方程求解相关的问题。二、理论 ... q 的负偏导数，即 k k q. V.

[PDF]第5 章拉格朗日方程

jwc.snut.edu.cn/jpkc/wlx_course/lllx/.../理论力学5章.pdf 轉為繁體網頁

在拉格朗日以后，哈密顿又把分析力学向前推进了一步。1834 年，哈密顿采. 用正则变量，提出 .... 例5-3 求出曲柄连杆机构的约束方程，并用广义坐标把直角坐标表示出来。 .... 将（5.1-5）式对t 求导数，可得速度 ir 的表示 ... 的偏导数是可以对易的，求导顺序可以交换。在矢量力学中我们熟知，质点的动量等于动能对速度的导数。现在我们 ...

广义力的定义

来自: 陰陽魚(骰鼉鰥鯗) 2009-02-21 10:05:03

很多物理书
用牛顿三定律推导拉格朗日方程和正则方程
这样
广义力虚功等概念都是力f来定义的
假如
从最小作用量原理
来推导出lagrange方程和正则方程
那么这里面的广义力
将如何定义虚功讲如何定义

也就是说
分析力学如何彻底的放弃力的概念

在两个方程里除了lagrange 函数和 Hamilton 函数以及广义坐标广义动量只有广义力一种量了
前几个量我都知道不包含力f的定义方式
那么广义力是如何定义的

回应推荐喜欢只看楼主

流水弦歌 (I pray for the life) 2009-02-21 10:25:20

广义动量是拉格朗日量随广义速度的导数，广义力是虚位移对广义坐标的导数

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9B%E5%8A%9F_(%E7%89%A9%E7%90%86) 虚功

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%99%9B%E4%BD%8D%E7%A7%BB&variant=zh-cn 虚位移

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E5%8A%9B&variant=zh-cn 广义力

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陰陽魚 (骰鼉鰥鯗) 2009-02-21 10:54:21

这个虚功的定义还是用到力了阿

赞回应
陰陽魚 (骰鼉鰥鯗) 2009-02-21 10:57:19

wiki这个我早看过
上面广义力完全是用力来定义的
和我书上写的一模一样
但是我想知道能不能放弃力的概念
所有量都不用力来定义
还是说分析力学也必须有力这个概念

赞回应
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-02-21 16:56:01

广义力的定义是 Lagragain 对广义坐标的偏导。就像广义动量是 Lagrangain 对广义速度的偏导一样。

分析力学不但没有放弃力这个概念，反而推广了力的概念。

赞回应
陰陽魚 (骰鼉鰥鯗) 2009-02-21 20:02:20

广义力的定义是 Lagragain 对广义坐标的偏导

???

...

咱学的是一套理论力学么...我囧了...

广义动量对时间求导 - lagrange函数对广义坐标的偏导 = 广义力
Lagrange 方程不是长这个样子的么对于非保守体系

　分析力学不但没有放弃力这个概念，反而推广了力的概念

我的意思是问分析力学里的那些定义是不是必须用到牛顿力学里力的定义还是直接重新定义了意义更广的广义力

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流水弦歌 (I pray for the life) 2009-02-21 23:28:15

我觉得是直接定义了更广的广义力。
比如极坐标里面的广义力就是力矩。
相对论里面好像是用
四维广义力=四维广义动量的固有时偏导，
既然坐标是可以随意选取的，貌似这个四维广义力也是不需要符合标准力定义的——我没仔细想，瞎猜的。

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陰陽魚 (骰鼉鰥鯗) 2009-02-21 23:42:05

对阿
我也是这样想的
所以想问问
而且相对论不会单来定义这些东西
因为不论相对论还是量子论都是搭在这个理论力学框架里的...

赞回应
流水弦歌 (I pray for the life) 2009-02-22 00:01:12

得找找书，那段我看着很晕，上学时分析力学没选修，现在觉得被动了。

赞回应
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-02-22 00:02:44

2009-02-21 20:02:20 阴阳鱼[重登录]　　
　　咱学的是一套理论力学么...我囧了...
　　
　　广义动量对时间求导 - lagrange函数对广义坐标的偏导 = 广义力
　　Lagrange 方程不是长这个样子的么对于非保守体系
==================================================
我们学的是相同的理论力学。物理学规律是客观的，但是对各种概念的命名是主观的，这就造成了某些误解。

对于非保守体系，Lagrange 方程确实如你所说的那样。而对于保守体系，Lagrage 方程变为：

广义动量对时间求导 - Lagrangain 对广义坐标的偏导 = 0

将保守的和非保守的情况相比较可知，非保守的 Lagrange 方程右边的“广义力”，实际上并不是全部的广义力，而是非保守广义力。在保守的情况下，它就自动消失了。这样，我们可以把你那个方程的左边的第二项移到右边去：

广义动量对时间求导 = Lagrangain 对广义坐标的偏导 + 非保守广义力

这个方程的物理意义更加明确。根据牛顿第二定律，广义力就是广义动量对时间求导；而 Lagrange 函数对广义坐标的偏导则给出了“保守的”广义力。所以上面这个方程无非说明了这样一件事：

广义力 = 保守的广义力 + 非保守广义力

当然这里的“保守的广义力”实际上既包含了普通力学中的（狭义的）保守力，也包含了涡旋力（比如 Lorentz 力和 Ampere 力）；而“非保守广义力”则包含耗散力（摩擦力、阻尼力）或者约束力（如拉力、支持力）等等。

因此，关于广义力，我们有以下两个方程：

(1) 广义力 = 广义动量对时间求导，
(2) 广义力 = Lagrangain 对广义坐标的偏导 + 非保守广义力。

我们完全可以凭个人喜好，任取其中的一个作为广义力的定义。流水弦歌为我们举出了两个非常好的例子：“极坐标里面的广义力就是力矩”这实际上在应用定义(2)；而“相对论里面的四维广义力 = 四维广义动量的固有时偏导”，则是利用了定义(1)，只是在相对论的情况下，时间也变成了一个广义坐标，这时候我们会有四个广义动量，并且需要引入“固有时”来承担经典力学中时间的作用（即标记轨迹/世界线）。

不过，不论是哪一种定义，都可以退化为牛顿力学里面的力。所以，理论力学并没有重新定义力的概念，而只是对原有概念进行了一定的推广而已。

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流水弦歌 (I pray for the life) 2009-02-22 00:15:44

组长这一讲清楚多了，估计相对论里面拉格朗日那段可以多看懂几分了，今晚可以安心睡踏实觉了：）

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陰陽魚 (骰鼉鰥鯗) 2009-02-22 00:38:57

噢我有些朙白了...
因为我学的是从牛顿力学那边推过来的...
所以我觉得
后面那个Q是广义力
其实整体说的就是广义力的两种不同表示相等整个都叫广义力...

完整的lagrange方程

T对q导求偏导再对时间求导 - T对q求偏导 = Q
我书上这样写
说Q叫广义力
包括非保守的和非保守的
然后把Q的一部分写成 - v对q求偏导然后挪过去
才有了拉格朗日方程的那个形式

组长的意思是说真正广义力的定义不只只有后面Q的那部分么

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Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-02-22 01:00:49

2009-02-22 00:38:57 阴阳鱼[重登录]
　　完整的lagrange方程
　　
　　T对q导求偏导再对时间求导 - T对q求偏导 = Q
　　我书上这样写
　　说Q叫广义力
　　包括非保守的和非保守的
　　然后把Q的一部分写成 - v对q求偏导然后挪过去
　　才有了拉格朗日方程的那个形式
====================================
阴阳鱼同学，你已经理解我的意思了。你书上的 Q 比较奇怪，确实与我所说的广义力不太相同。但是，你知道，取名字只是为了方便人的记忆，只要你能记住Lagrange 方程，它的每一项你怎么命名都可以。我喜欢把 T对q的偏导也算到广义力里面去，但很多教材都不同意。不过这没关系，只要我们最后得到了运动方程都是相同的就可以了。

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骑马过大江 2012-03-31 10:44:08

纯挖坟，非保守系中还有定义lagrange吗？我记得L=T-V,非保守系中没有V吧。

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[已注销] 2012-03-31 15:57:05

其实广义力有好几个定义
还有一个是
d（T对广义速度的偏导）/dt-（T对广义坐标的偏导）=广义力
的，若认为这个力是有势力而且是只与广义标有关的势，那么就能得到一般的拉格朗日方程了。
这个只是概念上的问题，不会带来什么新的物理结果。热学中还有另外的广义力呢。

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彝圪學殅 (我只想静静地做彝圪學殅。。。) 2012-04-03 23:49:55

我就说陰陽魚怎么会问这种问题。。。原来是3年前的。。。

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Typhoon 2012-04-05 00:08:05

噢我有些朙白了... 因为我学的是从牛顿力学那边推过来的... 所以我觉得后面那个Q是广义力 ... 陰陽魚

这么说吧
T对q导求偏导再对时间求导 - T对q求偏导 = Q
式中T对q求偏导为拉格朗日力，Q为广义主动力，两者统称广义力。
只是取名字以示区别对待罢了，想表达的意思都一样的。

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零点六一八 2014-12-10 00:22:11

这个帖子貌似很老了，不知道还有没有人看。第一次发贴，希望不被喷。

在一些偏向于数学方面的力学著作中（如俄罗斯数学家V.I. Arnold的力学著作），常常将所谓的Newton-Laplace决定论作为一个基本原理。Newton力学定律从数学角度看，无非是说加速度是时间、位置和速度的函数，这是一个二阶常微分方程。但同时还隐含了Newton-Laplace决定论，即系统在某一时刻的状态决定了此系统的运动，也就是说给定了初始条件，系统在任意时刻的状态都是确定的（无论过去还是将来）。这实际上是解这个二阶常微分方程，而常微分方程解的存在性和唯一性从数学上是可以证明的。

从数学上看，这里不需要质量的概念，也不需要力的概念。只是把上述函数乘上一个叫质量的量，就可以定义为物理学上的力。分析力学给出的Lagrange运动方程也是二阶的，与Newton力学给出的方程没什么本质不同。Landau的书中一开始也没有给定质量和力的概念，而是直接给出Lagrange函数，利用最小作用量原理给出运动方程，这是一种相当数学化的处理方法。

在我看来这就是物理学与数学有区别的地方。数学只是给了分析物理问题的工具，人们找到了物理规律，可以用相应的数学方法来描述，但物理学不能还原为数学。Newton定律和Newton-Laplace决定论是物理原理，而常微分方程理论是数学理论，在大部分情况下常微分方程理论可以很好的描述力学规律，但Newton-Laplace决定论绝不是可有可无的，在证明虚功原理的充分性时就要用到Newton-Laplace决定论。考虑这样一个例子，$\ddot{x}=a*x^b$,其中$a>0,0<b<1$,当$x(0)=0,\dot{x}(0)=0$,可以有$\ddot{x}(0)=0$,也就是质点静止时，外力为零，那么此质点应当一直静止，这其实是Newton-Laplace决定论保证的。但显然这个方程有非零解，也就是说$t=0$处于静止的质点，加速度也为零，但当$t>0$时质点会偏离静止位置（见马尔契夫《理论力学》）。从数学上，这个非零解是存在的，但从力学上是不合理的，违背了Newton-Laplace决定论。

回到主题，分析力学可不可以放弃力的概念？当然可以，Landau的书中就是这么做的，完全的从一个抽象的Lagrange函数出发，然后“证明”这个函数应当采取什么形式，最后得到运动方程。这个“证明”的过程就是物理学原理引入的过程。

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int cmp (const void*, const void*) 2014-12-10 06:36:31

这个帖子貌似很老了，不知道还有没有人看。第一次发贴，希望不被喷。在一些偏向于数学方面的 ... 零点六一八

我想问一下耗散力能在拉氏体系中表达出来吗?

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零点六一八 2014-12-10 10:43:46

我想问一下耗散力能在拉氏体系中表达出来吗? int cmp

对于耗散力是速度的线性函数（比如流体中的粘性力），可以定义瑞利耗散函数。耗散力可以表示为耗散函数对速度的导数。这样在Lagrange力学中就可以直接使用这个耗散函数了。

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int cmp (const void*, const void*) 2014-12-10 19:26:30

对于耗散力是速度的线性函数（比如流体中的粘性力），可以定义瑞利耗散函数。耗散力可以表示为耗 ... 零点六一八

那如果是常数的耗散力呢？我总觉得有一些牛顿力学中能描述的现象在拉氏体系中很难被包括进来。阴阳鱼也举过一个变质量体系的运动的例子。

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Phantom_Ghost (Glaube im Chaos) 2014-12-10 23:55:21

那如果是常数的耗散力呢？我总觉得有一些牛顿力学中能描述的现象在拉氏体系中很难被包括进来。阴 ... int cmp

端阳之前给出过一些方法：http://www.douban.com/group/topic/49626588/

对耗散体系的一般有效理论（得到EoM）可以计入热浴，什么样类型的摩擦取决于耦合方式，见：http://tieba.baidu.com/p/1457702325?pn=1

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int cmp (const void*, const void*) 2014-12-11 00:45:29

端阳之前给出过一些方法：http://www.douban.com/group/topic/49626588/ 对耗散体系的一般有 ... Phantom_Ghost

我在这问一个，你贴出来的百度帖子里的问题吧。我们在路径积分里面积掉一部分自由度（并适当近似）之后剩下来一个有效拉氏量。现在你把量子自由度都积掉了，得到了你那个

Z[J] = Z[0] * Integrate[i * effective action]

这个有效作用量是怎么回事呢?

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Phantom_Ghost (Glaube im Chaos) 2014-12-11 02:11:31

我在这问一个，你贴出来的百度帖子里的问题吧。我们在路径积分里面积掉一部分自由度（并适当近似 ... int cmp

积掉热浴自由度就是为了得到要考察有效运动过程，积掉后得到作用量经典路径就是最简单的平均场，在这里的涨落联系的是耗散。

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int cmp (const void*, const void*) 2014-12-11 02:46:19

积掉热浴自由度就是为了得到要考察有效运动过程，积掉后得到作用量经典路径就是最简单的平均场， ... Phantom_Ghost

哦我想问的是这一部分，以下是你写的。

我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦力这种表观的行为。
\[\]
在量子层面上存在着量子涨落，对于无耗散的自由谐振子我们可以写出其作用量：
\[
S=\int L\;dt=-\int dt\;x(t)\big[\frac{1}{2}m(\frac{d}{dt})^2+m\omega_0^2\big]x(t)
\]
导出运动方程就是简单的简谐振动方程，那么可解其Green函数为 $G(t)=[m(d/dt)^2+m\omega_0^2]^{-1}=-\frac{i}{2m\omega_0}e^{-i|t|\omega_0(1-i0^+)}$
换到频率空间为 $G(\omega)=\frac{1}{m(\omega^2-\omega_0^2+i0^+)}$
\[\]
引入外场 $E(t)$ 后配分函数 $Z[E(t)]=\int\mathcal{D}[x(t)]e^{i\int dt[L+Ex(t)]}$，积掉振子自由度得到有效作用量 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$。谐振子系统在外场作用下响应的偶极矩为 $d(\omega)=\langle x(\omega)\rangle=-2\pi i\frac{\delta\ln Z[E]}{\delta E}=-G(\omega)E(\omega)$，极化率为 $\chi(\omega)=d/E=-G(\omega)$,
\[\]

以上是你写的，我想知道 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$ 是怎么回事，为什么这叫做有效作用量。

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Phantom_Ghost (Glaube im Chaos) 2014-12-11 14:34:57

哦我想问的是这一部分，以下是你写的。我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦 ... int cmp

那你得理解什么是有效作用量(见:http://www.douban.com/group/topic/53255931/)，在Caladria-Leggett模型里面热浴的作用就是为了带来耗散，你研究的物体的运动受到热浴的耗散这种有效的运动怎么体现，那就是加上微扰修正。这所谓得到经典EoM并带着有效emerge的摩擦力，就是因为积掉热浴自由度后得到的就是一个1PI有效作用量的理论里面的经典路径解。

赞回应
Phantom_Ghost (Glaube im Chaos) 2014-12-11 14:38:40

哦我想问的是这一部分，以下是你写的。我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦 ... int cmp

而你截下来的这段内容都还没到CL模型，这只是外场下谐振子的响应问题，要么你积掉振子自由度得到关于外场的有效理论，要么积掉外场得到的是振子的有效理论。

赞回应
[已注销] 2014-12-28 20:41:01

我就说陰陽魚怎么会问这种问题。。。原来是3年前的。。。彝圪學殅

我还想说终于有一个我稍微看得懂一点的帖子了…
（跪

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int cmp (const void*, const void*) 2014-12-28 23:00:59

我还想说终于有一个我稍微看得懂一点的帖子了… （跪 [已注销]

费曼那本 Surely you're joking 自传里也写过类似的事情，就是他一开始先考虑一个经典力学的问题（飞盘振动周期与旋转周期之间有个比例关系），然后一下就跳到电子自旋的量子问题。

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