函数(二次项系数非负),此时保证了S(m)的凸性, 矩阵(GHCD G+λCM )是正定的, 对其中之一为正定的二次型的不变量，在标准基上的讨论

地震波反演的基本问题分析

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by 王华忠 - ‎2012 - ‎Cited by 2 - ‎Related articles

据核心位置, 但由于观测数据与反演模型参数之间的高度非线性性，导致在实际地震数据 ..... 并且矩阵(GHCD G+λCM )是正定的,则S(m)是一个 ..... 函数(二次项系数非负),此时保证了S(m)的凸性。 ..... 应的几何特征,从而改变反演问题非线性性的强弱。

莫斯科大学力学系教学大纲- 主题讨论网 - Topic Discussion

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集合，集合的Cartesian积，函数与映射，集合的等价，有理数集的不可数性。 2。 ... 函数的的凸性，奇点，渐进线，Jensen不等式。 第二学期 1。Riemann积分，有界函数的Riemann积分。 .... 线性代数与几何 .... 群，平面上的伪标量，双曲三角，洛伦兹变换，三维拟欧氏空间。 ... 一对其中之一为正定的二次型的不变量，在标准基上的讨论。

凸集的基本概念二

保凸运算

保凸运算是利用基本凸集构造出复杂凸集的基本方法，也是将复杂凸集进行分解分析的基础。

交集

任意个（含无穷个）凸集的交是交集。
例1 多面体是半空间和超平面的交集（有限个），也即线性齐次方程组合线性非齐次方程组的解

例2 半正定锥$\mathbf{S}+^n可以看成是无穷个超平面的交。即$可以看成是无穷个超平面的交。即${\bigcap\atop z\neq0} {X\in\mathbf{S}^n|z^\text{T}Xz\geq0},注意到$,注意到$z\neq 0时，$时，$z^\text{T}Xz实际上是关于$实际上是关于$X的线性函数，因此$的线性函数，因此$z^\text{T}Xz是$是$X空间的超平面。这里有$空间的超平面。这里有$n个半空间是最容易看出来的，即当$个半空间是最容易看出来的，即当$z分别取$分别取$e_1,\dots,e_n时，$时，$X对角线某元素为1所指方向为法向，过原点的平面。对应$对角线某元素为1所指方向为法向，过原点的平面。对应$\mathbf{S}^2+的$的$\left[

xy\yz$$\begin{array}{ccc}x& y\text{y}& z\end{array}$$

\right]的半空间$的半空间$(1,0,0,0)\cdot(x,y,y,z)=x\geq 0和$和$(0,0,0,1)\cdot(x,y,y,z)=z\geq 0:$:$(ab)(xy\yz)(a\b)=a2x+2aby+b2z≥0$\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}x& y\text{y}& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\text{b}\end{array}\right)=a^{2}x+2aby+b^{2}z\ge 0$分别取$分别取$a=0,b=0$就得到两个特殊的半空间。

仿射函数

仿射函数的直观理解就是平移、缩放、旋转边形，这显然不会改变凸性。
严格的数学描述如下：
仿射函数：f:Rn→Rm$f:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$具有f(x)=Ax+b$f(x)=Ax+b$的形式，即一个线性函数和一个常数的和，则f$f$为仿射函数，其中A∈Rm×n$A\in {\mathbf{R}}^{m\times n}$,b∈Rm$b\in {\mathbf{R}}^m$。

凸集在仿射函数下的像和原像都是凸的。

几个推广：
凸集的坐标切片、投影变换、直积变换结果还是凸的。
坐标切片： 如果S⊆Rm×Rn$S\subseteq {\mathbf{R}}^m\times {\mathbf{R}}^n$是凸集，则

T=x1∈Rm|(x1,x2)∈S对于某个x2∈Rn$$T=x_1\in {\mathbf{R}}^m|(x_1,x_2)\in S对于某个x_2\in {\mathbf{R}}^n$$

是凸集。

投影变换：S$S$同上，则

T=x1∈Rm|(x1,x2)∈S,∀x2∈Rn$$T=x_1\in {\mathbf{R}}^m|(x_1,x_2)\in S,\mathrm{\forall }{x}_2\in {\mathbf{R}}^n$$

是凸集。

直积：如果S1$S_1$,S2$S_2$是凸的，那么

S1×S2=(x1,x2)|x1∈S1,x2∈S2$$S_1\times S_2=(x_1,x_2)|x_1\in S_1,x_2\in S_2$$

是凸集。

理解：投影

凸集的和以及部分和还是凸集。即

\begin{align}{x_1+x_2&|x_1\in S_1,x_2\in S_2}\ {(x,y_1+y_2)&|(x,y_1)\in S_1,(x,y_2)\in S_2}\end{align}

和可以看成是S=S1×S2$S=S_1\times S_2$的线性运算,S1$S_1$,S2$S_2$的维数相等:

x1+x2=[I|I][x1\x2]$$x_1+x_2=\left[\begin{array}{c}I|I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1{\text{x}}_2\end{array}\right]$$

并不是所有的凸集都存在非空的部分和（至少不求和的部分要有交集），但所有的凸集都可以求和，如图：和

例子：

• 多面体
  设仿射函数f(x)=(b−Ax,d−Cx)=−[A\C]x+[b\d]$f(x)=(b-Ax,d-Cx)=-\left[\begin{array}{c}A\text{C}\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}b\text{d}\end{array}\right]$，其Rm+×0p${\mathbf{R}}_{+}^m\times 0^p$在函数f$f$下的原像即为多面体x|Ax⪯b,Cx=d$x|Ax⪯b,Cx=d$。
• 椭球
  Euclid球通过P1/2$P^{1/2}$的线性变换，就变成了椭球x|xTP−1x≤1$x|x^{\text{T}}{P}^{-1}x\le 1$；反过来，椭球x|xTP−1x≤1$x|x^{\text{T}}{P}^{-1}x\le 1$经过P−1/2$P^{-1/2}$的线性变换就变成了Euclid球，此处P∈Sn++$P\in {\mathbf{S}}_{++}^n$。
• 双曲锥
  x|xTPx≤cTx,cTx≥0$$x|x^{\text{T}}Px\le c^{\text{T}}x,c^{\text{T}}x\ge 0$$
  
  可以看做二阶锥的推广。是二阶锥(z,t)|||z||2≤t,t≥0$(z,t)|||z|{|}_2\le t,t\ge 0$在仿射函数f(x)=(P1/2x,cTx)$f(x)=(P^{1/2}x,c^{\text{T}}x)$下的原像。
• 线性矩阵不等式的解
  称A(x)=x1A1+x2A2+⋯+xnAn⪯B$A(x)=x_1{A}_1+x_2{A}_2+\cdots +x_n{A}_n⪯B$为关于x$x$的线性矩阵不等式（LMI），其中B,Ai∈Sm$B,A_i\in {\mathbf{S}}^m$。
  LMI的解x|A(x)⪯B$x|A(x)⪯B$是凸集。这个解可以看成是Sm+${\mathbf{S}}_{+}^m$在仿射映射f(x)=B−A(x)$f(x)=B-A(x)$下的原像，f:Rn→Sm$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbf{S}}^m$很特殊，难道只要分量参与的计算是常数的加和乘都是仿射映射，无关维数。

线性分式及透视函数

线性分式函数仍然保凸，且比仿射函数更加普遍！
透视函数
定义P:Rn+1→Rn,P(z,t)=z/t$P:{\mathbb{R}}^{n+1}\to {\mathbb{R}}^n,P(z,t)=z/t$为透视函数，其定义域为dom P=Rn×R++$\text{dom }P={\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}_{++}$。

线性分式（或投射）函数是仿射函数与透视函数的复合，它定义为：

f(x)=(Ax+b)/(cTx+d)$$f(x)=(Ax+b)/(c^{\text{T}}x+d)$$

其中cTx+d>0$c^{\text{T}}x+d>0$,f=P∘仿射函数$f=P\circ 仿射函数$,其中仿射函数为

g(x)=[A\cT]x+[b\d]$$g(x)=\left[\begin{array}{c}A{\text{c}}^{\text{T}}\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}b\text{d}\end{array}\right]$$

仿射函数和线性函数是特殊的线性分式函数。

用几何观点来直观的理解透视函数和投射函数：
小孔成像，设点的第n+1$n+1$个分量为纵向分量，第k$k$个分量为横向分量,以凸集中的A$A$点为例，图中给出了两种成像情况。右图更加符合定义，左图更加容易理解：
小孔成像

投射解释。Rn${\mathbb{R}}^n$空间中的任意点对应了Rn+1${\mathbb{R}}^{n+1}$空间中的一条射线（光源在原点且最后一个分量为正），且这种对应关系式一对一的满射。

P:z↔t(z,1),t≥0$$P:z\leftrightarrow t(z,1),t\ge 0$$

则线性分式函数可以表示为：f(x)=P−1(QP(x))$f(x)={\mathcal{P}}^{-1}(Q\mathcal{P}(x))$, Q=[Ab\cTd]$Q=\left[\begin{array}{ccc}A& b{\text{c}}^{\text{T}}& d\end{array}\right]$。

线性分式函数是保凸函数，即把凸集映射为凸集（注意定义域！最后一个分量大于零），其逆函数也是保凸的

例子：条件概率。

黎曼几何 编辑词条

B 添加义项 

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黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。是由德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

基本信息

• 中文名称

  黎曼几何
• 提出

  G.F.B.黎曼

 

• 拼音

  limanjihe
• 国家

  德国

目录	1人物介绍	2黎曼几何	3学说发展

黎曼微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。

19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。两个非欧几里得几何的特例是:球面几何和双曲几何。

任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。

研究黎曼几何先要熟悉以下主题:

1.度量张量

2.黎曼流形

3.列维-奇维塔联络

4.曲率

5.曲率张量

折叠编辑本段人物介绍

黎曼(德国，1826-1866年):几何观点，黎曼面。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，其重要性恰如著名数学家阿尔福斯(芬-美，1907-1996年)所说:这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。此外，建立了柯西-黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。

折叠编辑本段黎曼几何

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数(x1，……，xn)作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点(x1，x2，……xn)与(x1+dx1，……xn+dxn)之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 (gij)是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如:定义曲率(截面曲率处处为常数)(a是常数)，则当a=0时是普通的欧几里得几何，当a>0时 ，就是椭圆几何，而当a<0时为双曲几何。

折叠编辑本段学说发展

折叠与李群

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。

但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。

折叠与爱因斯坦

1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论--广义相对论。使黎曼几何(严格地说洛伦兹几何)及其运算方法(里奇算法)成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场(杨-米尔斯场)的数学基础。

1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

折叠广义相对论

广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1915年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性(曲率);而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程(一个二阶非线性偏微分方程组)。

从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证--虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。

爱因斯坦的科学定律，对所有的观察者，不管他们如何运动，都必须是相同的。它将引力解释成四维空间的曲率。

折叠与欧氏几何

注意区分两种不同的讨论:数学上的讨论和物理学的时空观。

数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。

物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。

以下一段讨论涉及物理时所说的"欧式几何"有时候是指"牛顿时空观"。

折叠欧氏几何

是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。但是假如我们生活的空间是一个双曲面，(不是双曲线)，这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。

在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。

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凸优化