张量分析第3次课3_文档资料库
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3 高阶张量场的协变导数协变导数的运算可以推广到任意的高阶张量场. 协变导数的运算可以推广到任意的高阶张量场为例， 以一阶协变一阶逆变的张量场a ( M ) 为 ...
在正交曲线坐标中, 度规张量对角. 在正交曲线坐标中 度规张量对角
r r r r r r ?x ?x gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = Hα eα ? Hβ eβ ?x ?x
代 入
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
Γ λ , βγ
得
2
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? 2 ? ?x ?x ?x ?
第一类克里斯 托菲尔符号
Γ λ , βγ
2 ? ?H γ2 ? ?H β ?H γ2 1 = ? β δ λγ + γ δ λβ ? λ δ γβ ? ?x ?x 2 ? ?x ? ? ?
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
代
2
g
α βγ
αβ
1 1 = δαβ = 2 δαβ Hα H β Hα
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
入
Γ
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 ? ?H γ2 ? ?H β ?H γ2 1 1 = δ γα + γ δ αβ ? α δ γβ ? 2 ? β ?x ?x 2 H α ? ?x ? ? ?
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? ?x ?x ? 2 ? ?x
第一类克里斯 托菲尔符号
?α ? 1 α = Γ βγ = ∑ g αλ ? ? 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ? x β + ?x γ ? ? x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
从定义可知, 这两种符号对于β 都是对称的, 从定义可知 这两种符号对于β、γ都是对称的 即
[βγ ,λ ]=[γβ ,λ ]
?α ? ?α ? ? ?=? ? ? βγ ? ?γβ ?
N 2 ( N + 1) 为空间, 对于 N 为空间 都各有 个独立分量. 个独立分量 2
N 2 ( N + 1) 为空间, 对于 N 为空间 都各有 个独立分量. 个独立分量 2
例如, 而言, 个独立分量: 例如 对于 N=3 而言 [βγ ,λ ]有18个独立分量 个独立分量
,]， ,]=[32,]， [111 [11, ]， 11, ]，12,]=[211 [231 ,]， 2 [ 3 [ 1 1
2 [311 131 [22,]， 22, ]，22, ]，12, ]=[ 21, ]， ,]=[ ,]， 1 [ 2 [ 3 [ 2
2 [ 1 [ 2 [ 3 [23, ]=[32, ]， , ]=[13, ]，33,]，33, ]，33, ]， 2 2 [31 2
[12, ]=[21, ]，23, ]=[32, ]，31, ]=[13, ]， 3 3 [ 3 3 [ 3 3
?α ? 也类似地有18个独立的分量 个独立的分量. 对于 ? ? 也类似地有 个独立的分量 ? βγ ?
例 3.15 计算当 β ≠ γ 时, g βγ = 0空间里的第一种克里 斯托费尔符号. 斯托费尔符号 解：
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? 2 ? ?x ?x ?x ?
第一类克里斯 托菲尔符号
不使用求和约定. 不使用求和约定 当 β =γ =λ ，
1 ? ?g ββ ?g ββ ?g ββ [ βγ , λ ] = [ ββ , β ] = ? β + β ? β 2 ? ?x ?x ?x 当 β =γ ≠λ ，
1 ? ?g λβ ?g βλ ?g ββ [ βγ , λ ] = [ ββ , λ ] = ? β + β ? λ 2 ? ?x ?x ?x
? 1 ?g ββ ? = 2 ?x β ?
? 1 ?g ββ ? = ? 2 ?x λ ?
当β =λ ≠γ ，
1 ? ?g βγ ?g ββ ?gγβ ? 1 ?g ββ [ βγ , λ ] = ? β + γ ? β ? = ?x ?x ? 2 ?xγ 2 ? ?x 当 β ≠ γ ≠ λ ， g βγ = 0 1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? [ βγ , λ ] = ? β + γ ? λ ? = 0 2 ? ?x ?x ?x ? 补充 用克里斯托费尔符号表示基本张量的导数 (1) 1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? 第一类克里斯 [ βγ , λ ] = Γ λ , βγ = ? β + γ ? λ ? 托菲尔符号 ?x ?x ? 2 ? ?x 改变哑标, β 改变哑标 有 ? λ 1 ? ?g βγ ?g λβ ?gγλ ? [λγ , β ] = Γ β ,λγ = ? λ + γ ? β ? 2 ? ?x ?x ?x ?
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
相加
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? ?x ?x ? 2 ? ?x
第一类克里斯 托菲尔符号
[λγ , β ] = Γ β ,λγ
得
1 ? ?g βγ ?g λβ ?gγλ ? = ? λ + γ ? β ? 2 ? ?x ?x ?x ?
?g βλ ?x
γ
= [ βγ , λ ] + [λγ , β ]
g ij g ik = δ jk ∑
(2) 因为
微分, 对 xl 微分 得
i
?g ij
?g g + l g ij = 0 l ?x ?x
ik
ik
?g g + l g ij = 0 jm l 内乘以 g , 有 ?x ?x
ik
?g ij
ik
g ij g ik = δ jk ∑
i
?g ij ik jm ?g ?g jm g ij g = =? l g g l l ?x ?x ?g βλ ?x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ?x ?g
ik mk
ik jm ik jm
?m ? jm ? m ? = ?g ? ? ? g ? ? ?il ? ? jl ? ?g jk ?g ij ? ?l ? 1 l lk ? ?g ik ? k? ? ? = Γ ij = ∑ g ? j + i 2 k ?x ?x ? ?ij ? ? ?x
ik
?x
l
= ? g g [il , j ] ? g g [ jl , i ]
= g [ij , k ]
lk
第二类克里斯 托菲尔符号
?j ? ? 例 3.16 试证 ? ? = m ln g ? jm ? ?x 证： g jk 的行列式 的行列式:
仅对k求和 仅对 求和), g = g jk = g jk G ( j , k ) (仅对 求和 的余因式： 而 g jk 的余因式：
G ( j, k ) = g g
注意: 注意 G ( j , k ) 中不包含 gjk , 所以
jk
?g = G ( j, r ) ?g jr
?g = G ( j, r ) ?g jr
?g βλ ?x
γ
= [ βγ , λ ] + [λγ , β ]
jk
?g jr ?g ?g ?g jr = G( j, r ) m = m m ?x ?x ?g jr ?x
G ( j, k ) = g g
= gg
jr
?g jr ?x
m
= gg ([ jm , r ] + [ rm , j ])
jr
? ? j ? ?r ? ? ?j ? = g ? ? ? + ? ? ? = 2g ? ? ? ? jm ? ? rm ? ? ? jm ?
l ? ? 于是 1 l ?g ? j ? lk ? j k [?i j , k ] = Γ ij = = [ ij , k ] = g l ? = ? ln g g ? ? ij ? 2 g ?x m ? jm ? 或 ? jm ? ?x m ? ? ? 第二类克里斯托菲尔符号 ?
计算当i≠ 空间里的第二种克里斯托 例 3.17 计算当 ≠j 时, gij = 0 空间里的第二种克里斯托 费尔符号. 费尔符号 解： ?k ? 1 ?g
?i ? 1 ? ln gii ? ?= i ?ii ? 2 ?x
ii =? ? ? k 2 g kk ?x ?ii ?
?i ? 1 ? ln g ii ? ?= j ?ij ? 2 ?x
?k ? ? ?=0 ?ij ?
(i≠j ≠k) ≠
试求以下坐标系中的第二种克里斯托费尔符号: 例 3.18 试求以下坐标系中的第二种克里斯托费尔符号 ?g γβ ?α ? 1 βλ α αλ ? ?g λγ (1)笛卡尔直角坐标系 (2) 柱坐标系 +(3)g球坐标系 ? 笛卡尔直角坐标系; 笛卡尔直角坐标系 g 柱坐标系; ? 球坐标系. =Γ = ?
? ? ∑ ? ? x β ?x γ ? x λ ? βγ 2 λ ? βγ因为在正交坐标系中, ? ? 解： 因为在正交坐标系中 ?当 α ≠ β 时, gαβ = 0 ri r r第二类克里斯 r i P146 10. r r ?x ?x 托菲尔符号?X ?X gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = ∑ α ? β ?x ?x ?x i ?x
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
gαβ
ri ri r r r r ?x ?x ?X ?X = xα ? xβ ≡ α ? β = ∑ α ? β ?x ?x ?x i ?x
(1) 笛卡尔直角坐标系
gαα = 1
所以： 所以：
常量
?α ? ? ?=0 ? βγ ?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号 r r
gαβ
r r i i r r ?x ?x ?X ?X = xα ? xβ ≡ α ? β = ∑ α ? β ?x ?x ?x i ?x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： x1 = 正交曲线坐标系：
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ? , x3 = z
2
2
g11 = 1
g 22 = ρ
g33 = 1
所以只有 β = 2 时才有不为零的第二种克里斯托 费尔符号. 费尔符号
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
ρ , x2 = ? , x3 = z
2
g11 = 1
g 22 = ρ
g33 = 1
所以只有 β = 2 时才有不为零的第二种克里斯托 费尔符号. 费尔符号 其它24个都为零 个都为零！ 其它 个都为零！ ?1 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ? 1λ 11 2 =? (ρ ) = ?ρ ? ? = g [22, r ] = g [22,1] = ?? 1 ? g11 ? 2 ?x ? 2 ?ρ ?22 ?
?2 ? ?2 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ? 1 ?ρ 2 ? 1 = ? ? = g 2 λ [21, λ ] = g 22 [21, 2] = = 2? ? ? ?= ? 1 ? g 22 ? 2 ?x ? ρ ? 2 ?ρ ? ρ ?21? ?12 ?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
(2) 球坐标系 1 2 3 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x = r , x = θ , x = ?
2
g11 = 1
g 22 = r
2
g33 = r sin θ
2
2
时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号. 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号 β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号
?1 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ?g 22 1 ? 2 = g 1λ [22, λ ] = g 11[22,1] = ? =? =? (r ) = ?r ? ? ? 1 ? 1 2 ?x 2 ?r g11 ? 2 ?x ? ?22 ?
?2 ? ?2 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 2λ 22 = 2? (r ) ? = ? ? = ? ? = g [21, λ ] = g [21, 2] = ? 1 ? g 22 ? 2 ?x ? r ? 2 ?r ? r ?21? ?12 ?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
(2) 球坐标系
1 2
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
3
正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x = r , x = θ , x = ?
g11 = 1
g 22 = r
2
g33 = r sin θ
2
2
时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号. 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号 β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号
?1 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 1λ 11 = g [33, λ ] = g [33,1] = ? =? (r sin θ ) = ?r sin 2 θ ? ? 33? 2 g11 ?x1 2 ?r ?
?2 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 2λ 22 =? 2 (r sin θ ) = ? sin θ cos θ ? ? = g [33, λ ] = g [33, 2] = ? 2 2 g 22 ?x 2r ?θ ?33?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
(2) 球坐标系
1 2
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
3
正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x = r , x = θ , x = ? 其它都为零！ 其它都为零！ 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号. 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号 β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号
?3 ? ?3 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 1 3λ 33 = 2 2 (r sin θ ) = ? ? = ? ? = g [13, λ ] = g [13,3] = 1 2 g33 ?x 2r sin θ ?r r ?31? ?13?
g11 = 1
g 22 = r
2
g33 = r sin θ
2
2
?3 ? ?3 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 33 = 2 2 (r sin θ ) = cot θ ? ? = ? ? = g [32,3] = 2 2 g33 ?x 2r sin θ ?θ ?32 ? ? 23?
例 3.19 计算度量为 ds 2 = ( dx1 ) 2 + [( x 2 ) 2 ? ( x1 ) 2 ]( dx 2 ) 2 时的第二种克里斯托费尔符号. 时的第二种克里斯托费尔符号 解： 因为
g11 = 1
g 22 = ( x ) ? ( x )
其它
2 2
1 2
g33 = 0
gij = 0 (i≠j) ≠
所以可利用例3.17的结果 于是有 的结果, 所以可利用例 的结果
?1 ? 1 ?g 22 1 =? = ? (?2 x1 ) = x1 ? ? 22 ? 2 g11 ?x1 2 ? ?2 ? ?2 ? 1 ?g 22 ? x1 = 2 2 ? ?=? ?= 1 1 2 (x ) ? (x ) ?21? ?12 ? 2 g 22 ?x
2 2 ? ? 1 ?g 22 x = 2 2 ? ?= 2 22 ? 2 g 22 ?x ( x ) ? ( x1 ) 2 ?
计算第二种克里斯托费尔符号, 相应的度量为: 例 3.20 计算第二种克里斯托费尔符号 相应的度量为 (1) ds 2 = ( dx1 ) 2 + ( x1 ) 2 ( dx 2 ) 2 + ( x1 ) 2 sin 2 x 2 ( dx 3 ) 2 (2) ds = ( dx ) + G ( x , x )( dx ) 的函数. 其中 G 是 x1 和 x2 的函数 解： 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零. (1) ?1 ?
2 1 2 1 2 2 2
?1 ? = ?x = ? x1 sin 2 x 2 ? ? ? ? ? 22 ? ?33? ?2 ? 1 ?2 ? 2 2 = 1 ? ? ? ? = ? sin x cos x ?12 ? x ?33? ?3 ? ? 3 ? 1 ?3 ? ? 3 ? 2 ? ?=? ?= 1 ? ? = ? ? = cot x ?13? ?31? x ? 23? ?32 ?
1
计算第二种克里斯托费尔符号, 相应的度量为: 例 3.21 计算第二种克里斯托费尔符号 相应的度量为 (1) ds 2 = ( dx1 ) 2 + ( x1 ) 2 ( dx 2 ) 2 + ( x1 ) 2 sin 2 x 2 ( dx 3 ) 2 (2) ds = ( dx ) + G ( x , x )( dx ) 的函数. 其中 G 是 x1 和 x2 的函数 解： 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零. (2) ?1 ? 1 ?G
2 1 2 1 2 2 2
? ?=? 1 2 ?x ? 22 ? ?2 ? ?2 ? 1 ?G ? ?=? ?= 12 ? ? 21? 2 G ? x1 ?
? 2 ? 1 ?G ? ?= 2 ? 22 ? 2G ?x
§3. 4
协变导数
在上两节里讨论了曲线坐标中的常矢量,现在来考虑矢量场. 在上两节里讨论了曲线坐标中的常矢量,现在来考虑矢量场.
在直角坐标系中, 矢量场(即一阶张量场 即一阶张量场)对坐标的导 在直角坐标系中 矢量场 即一阶张量场 对坐标的导 数是二阶张量场. 数是二阶张量场 一个ν阶张量场 a i i ???i ( M ) 对xl的偏导数是 阶的张量． 一个ν+1阶的张量． 阶的张量 ? (P43 1.6.1) ? l ai i ???i ( M ) = ai i ???i (M ) ?xl
1 2
ν
12
ν
12
ν
而在曲线坐标中, 由于坐标基矢不是常矢量, 而在曲线坐标中 由于坐标基矢不是常矢量 单纯对 坐标求导, 不能形成张量. 坐标求导 不能形成张量 求导”运算 目的： 寻找一种能形成张量的“求导 运算. 目的： 寻找一种能形成张量的 求导 运算
§3. 4. 1 一阶协变张量场的协变导数
r 考虑一个矢量场 a ( M ) , 它的协变分量是 aα (x1, x2, …, xn). 当坐标变换时, 变为: 当坐标变换时 aα 变为 α ?x aα ′ = ∑ α ′ aα α ?x β′ 将 aα ′ 对 x 求导 α 2 α ? ?x ?aα ? ?aα ′ ? x = ∑ ? α ′ β ′ + α ′ β ′ aα ? β′ ?x ?x ?x ?x α ? ?x ?
?x ?x ?aα ? x = ∑ α ′ β ′ β + ∑ α ′ β ′ aα ?x ?x αβ ?x α ?x ?x
不是二阶张量！ 不是二阶张量！
α β
2 α
?aα ′ ?xα ?x β ?aα ? 2 xα = ∑ α ′ β ′ β + ∑ α ′ β ′ aα β′ ?x ?x ?x αβ ?x α ?x ?x
不是二阶张量！ 不是二阶张量！
2
?
Γ
α′ β ′γ ′
? x ?x ?x ?x ?x λ = ∑ β ′ γ ′ λ + ∑ λ β ′ γ ′ Γ βγ ?x ?x α ?x ?x αβγ ?x ?x
?xα 乘左、右两边, 用 α ′ 乘左、右两边 对α ′作和 ?x
λ
α′
α′
β′
γ
?xα ? 2 x λ ?xα ′ ?xα ?xα ?xα ′ ?x β ?xγ λ Γα ′′γ ′ α ′ = ∑∑ β ′ γ ′ λ α ′ + ∑∑ α ′ λ ∑ β ?x α ′ λ ?x ?x ?x ?x α ′ λβγ ?x ?x ?x β ′ ?xγ ′ Γ βγ α′
?xα ?xα ′ ?xα α = λ = δλ ∑ ?xα ′ ?xλ ?x α′
?xα ? 2 x λ ?xα ′ ?xα ?xα ?xα ′ ?x β ?xγ λ Γα ′′γ ′ α ′ = ∑∑ β ′ γ ′ λ α ′ + ∑∑ α ′ λ ∑ β ?x α ′ λ ?x ?x ?x ?x α ′ λβγ ?x ?x ?x β ′ ?xγ ′ Γ βγ α′
?xα ?xα ′ ?xα α = λ = δλ ∑ ?xα ′ ?xλ ?x α′
?xα ? 2 xλ α ?x β ?xγ λ α Γα ′′γ ′ α ′ = ∑ β ′ γ ′ δ λ + ∑ δ λ Γ βγ ∑ β ?x λ ?x ?x β′ γ′ ?x ?x α′ λβγ ?xα ? 2 xα ?x β ?xγ α Γα ′′γ ′ α ′ = β ′ γ ′ + ∑ β ′ γ ′ Γ βγ ∑ β ?x ?x ?x βγ ?x ?x α′ 哑标α改 ? 2 xα ?xα ?x β ?x γ = ∑ Γα ′′γ ′ α ′ ? ∑ Γα β βγ 写为γ ?x β ′?xγ ′ α ′ ?x ?x β ′ ?x γ ′ βγ
α ′ ?aα ′ ?xα ?x β ?aα ? 2 xα 自由指标 = ∑ α ′ β ′ β + ∑ α ′ β ′ aα β′ ′ 改写为 γ ?x ?x ?x αβ ?x α ?x ?x
?aγ ′ ?x
β′
?aγ ?x β ?xγ ? 2 xα = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ β ′ γ ′ aα ?x βγ ?x ?x α ?x ?x
?aγ ′ ?x β ′
2 α ?aγ ?x β ?xγ ? x = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ β ′ γ ′ aα ?x βγ ?x ?x α ?x ?x
2 α
? x ?xα ?x β ?x γ = ∑ Γα ′′γ ′ α ′ ? ∑ Γα β βγ β′ γ′ β′ γ′ ?x ?x ?x ?x ?x α′ βγ ?aγ ′ ?aγ ?x β ?xγ ?xα ?x β ?xγ = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ Γα ′′γ ′ α ′ aα ? ∑ Γα aα β ′ γ ′ β βγ ?x β ′ βγ ?x ?x ?x ?x ?x ?x αα ′ αβγ ?xα aα ′ = ∑ α ′ aα 代入 α ?x ?aγ ′ ?aγ ?x β ?xγ ?x β ?xγ = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ Γα ′′γ ′ aα ′ ? ∑ Γα aα β ′ γ ′ β βγ β′ ?x ?x ?x ?x βγ ?x ?x α′ αβγ ?aγ ′ ? ?aγ ? ?x β ?xγ ? ∑ Γα ′′γ ′ aα ′ = ? β ? ∑ Γα aα ? β ′ γ ′ β βγ ?x β ′ α ′ ?x α ? ? ?x ?x
代入
符合二阶张量的变换规律
? ?aγ ? ?x β ?xγ ? ∑ Γα ′′γ ′ aα ′ = ? β ? ∑ Γα aα ? β ′ γ ′ β βγ β′ ?x α′ α ? ?x ? ?x ?x ?aγ ′
符合二阶张量的变换规律 ?aγ ? ? α α α ? ? ∑ Γ βγ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x 的协变导数. 协变张量场 aα 的协变导数 记为: 记为
α β γ α
讨论
? ? α α ? ? β aγ = ∑ (? ) a = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα ? α α ? ?x
为了使求导运算成为一种协变运算, 为了使求导运算成为一种协变运算 ? 换成 “协变导数 ? β 协变导数” 协变导数 求导算符 β ?x ?β ： 有两个附加指标γ和α 看成矩阵指标. 看成矩阵指标
? ? α α ? ? ∑ Γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x 的协变导数. 协变张量场 aα 的协变导数 ? ? α 记为: 记为 ? a = α α ? ∑ (? β )γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β γ
α βγ
?aγ
α
α
? ?x
?
为了使求导运算成为一种协变运算, 讨论 为了使求导运算成为一种协变运算 ?
?x β ?β ： 有两个附加指标γ和α 看成矩阵指标. 看成矩阵指标 上时, 当 ? β 作用到aα上时 这两个指标按照矩阵乘法规则 缩并. 对指标α 缩并 由普通导数向协变导数的过渡可写为: 由普通导数向协变导数的过渡可写为
求导算符
换成 “协变导数 ? 协变导数” β 协变导数
? 作用在协变张量场上 ? α α ???? (? β )γ ≡ β δ γ ? Γα → βγ β ?x ?x
§3. 4. 2 一阶逆变张量场的协变导数
rα 考虑一个矢量场 a ( M ) .
为了求逆变张量场的协变导数, 为了求逆变张量场的协变导数 取它和一个协变 的缩并: 张量场 bα ( M )的缩并
? ( M ) = ∑ a ( M )bγ ( M )
γ γ
标量场 的导数是一阶协变张量场: 它对 x β 的导数是一阶协变张量场 ?bγ ?? ?a γ = ∑ a γ β + ∑ β bγ ?x β ?x γ γ ?x 一阶协变张量
? ? α α ? ? ∑ Γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x
α βγ
?aγ
?bγ ?? ?a γ = ∑ a γ β + ∑ β bγ β ?x ?x γ γ ?x
一阶协变张量
入
恒等式: ?∑ a γ Γα bα + ∑ bγ Γγ aα = 0 代 βγ βα 一阶协变张量
αγ αγ
? ? α α ? ? ∑ Γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x
α βγ
?aγ
一阶协变张量
一阶协变张量
缩并 一阶逆变张量 二阶协变张量 一阶协变一阶 一阶协变张量 逆变的张量
?? = ∑ aγ ?x β γ
? ?bγ ? α ? ?x β ? ∑ Γ βγ bα ? + ∑ bγ α ? ? γ
? ?a γ γ α? ? ?x β + ∑ Γ βα a ? α ? ?
一阶协变张量 一阶协变张量
一阶协变张量
缩并 一阶协变一阶 一阶逆变张量 二阶协变张量 一阶协变张量 逆变的张量
?? γ = ∑a β ?x γ
γ
? ?bγ ? α ? ?x β ? ∑ Γ βγ bα ? + ∑ bγ α ? ? γ
? ?a γ γ α? ? ?x β + ∑ Γ βα a ? α ? ?
?a ? ? γ γ α γ ? α + ∑ Γ βα a = ∑ ? β δ α + Γ βα ? a β ?x ? α α ? ?x
逆变张量场 a ( M ) 的协变导数 记为: 记为 ? ? γ α
α
逆变张量场中, 逆变张量场中 由 ? 作用在逆变张量场上 ? γ γ 普通导数向协变导 ???? (? β )α ≡ β δ α + Γγ → βα β ?x 数的过渡可写为: ?x 数的过渡可写为
? α ∑ (? β )α a = ∑ ? ?x β δ + Γ ? a ? α α ?
γ α γ βα
§3. 4. 3 高阶张量场的协变导数 协变导数的运算可以推广到任意的高阶张量场. 协变导数的运算可以推广到任意的高阶张量场 为例， 以一阶协变一阶逆变的张量场 a ( M ) 为例， 它的协变导数是: 它的协变导数是
λ γ
? λ α λ λ α ? a = β aγ ? Γ βγ aα + Γ βα aγ ?x
λ β γ
§3. 4. 4 协变微分 一个函数对自变量的导数乘以自变量的微分就 得到这一函数的微分. 得到这一函数的微分 在曲线坐标中， 在曲线坐标中，一个张量场对坐标的协变导数 乘以坐标的微分. 乘以坐标的微分 ——就称为这一 就称为这一张量场的协变微分 就称为这一张量场的协变微分
§3. 4. 4 协变微分 在曲线坐标中， 在曲线坐标中，一个张量场对坐标的协变导数 乘以坐标的微分. 乘以坐标的微分 ——就称为这一张量场的协变微分 就称为这一张量场的协变微分 就称为这一 例如: 例如 的协变导数: 协变张量场 aα 的协变导数
? ? α α ? ? β aγ = ∑ (? ) a = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα ? α α ? ?x
α β γ α
乘以dx 乘以 β对β作和
Daγ = ∑ (? β )α aα dx β γ
αβ
协变张量场 aα 的协变微分: 的协变微分
=∑
β
?aγ ?x
dx β ? ∑ Γα aα dx β βγ β
αβ
的协变导数: 逆变张量场 a ( M ) 的协变导数
α
? ? γ γ ? α ∑ (? ) a = ∑ ? ?x β δα + Γ βα ? a ? α α ?
γ β α α
乘以dx 乘以 β对β作和
Da = ∑ (? ) a dx
γ α β γ α αβ
β
逆变张量场 a 的协变微分: 的协变微分
α
?a γ β γ α β = ∑ β dx + ∑ Γ βα a dx β ?x αβ
daγ = ∑
β
?aγ ?x
β
dx
β
?a β da = ∑ β dx β ?x
γ
γ
通常的全微分
协变张量场 Daγ = 的协变微分: 的协变微分:
?a γ β 逆变张量场 Da γ = ∑ β dx + ∑ Γγ aα dx β βα 的协变微分: 的协变微分: β ?x αβ ?a γ β ?aγ β γ da = dx daγ = ∑ β dx β β ?x β ?x
∑ ?x β
?aγ
dx β ? ∑ Γα aα dx β βγ β
αβ
∑
通常的全微分 协变微分和全微分的关系: 协变微分和全微分的关系
Daγ = daγ ? ∑ Γ aα dx
α βγ αβ
β
Da γ = da γ + ∑ Γγ aα dx β βα
αβ
矢量平行移动的条件是它的协变微分等于0. 矢量平行移动的条件是它的协变微分等于 协变微分的意义： 协变微分的意义： 在曲线坐标中移动一个矢量，它的分量会发生变化， 在曲线坐标中移动一个矢量，它的分量会发生变化， 但这一变化不能反映矢量的真实改变.这是因为，局部 但这一变化不能反映矢量的真实改变.这是因为， 标架基矢的变化，也会引起矢量分量的变化. 标架基矢的变化，也会引起矢量分量的变化.从矢量分量 的变化中扣除由于标架基矢的变化所引起的部分， 的变化中扣除由于标架基矢的变化所引起的部分，才是 矢量的真实改变，而这就是矢量的协变微分. 矢量的真实改变，而这就是矢量的协变微分.如果协变微 分等于0，就表示移动过程中矢量没有变化，即平行移动. 分等于0 就表示移动过程中矢量没有变化，即平行移动.
§3. 4. 5 矢量场的散度与旋度 计算笛卡尔坐标系中的散度和旋度(分两步): 计算笛卡尔坐标系中的散度和旋度(分两步): (1) 先求这一矢量场的导数 得到一个二阶张量场 先求这一矢量场的导数, 得到一个二阶张量场; (2) 然后通过指标的缩并 得到标量场 (散度 和赝 然后通过指标的缩并, 散度)和赝 散度 矢量场(旋度 旋度) 矢量场 旋度 . 将这一方法推广应用到曲线坐标中. 将这一方法推广应用到曲线坐标中 需要用协变导数代替普通导数 协变导数代替普通导数. 需要用协变导数代替普通导数
α
r ? ? γ γ α γ ? α 的协变导数: ∑ (? β )α a = ∑ ? β δα + Γ βα ? a 矢量场 a 的协变导数 ?x
r ??a
γ (? β )α aα 一阶协变一阶逆变的张量 ∑ α 缩并: 指标β 和γ 缩并 β → γ ? ?a γ γ α γ α? = (?γ )α a = ∑ ? γ + Γγα a ? αγ ? ?x αγ ?
α
?
?
∑
入
r ? ?a γ γ (?γ )α aα= ∑ ? γ ??a = ∑
αγ
αγ
? +Γ a ? ? ?x ?
γ γα α
得
在正交曲线坐标系中, 在正交曲线坐标系中 ?H γ2 1 1 1 ?H γ γ 代 ∑ Γγα = ∑ 2 α = ∑ α 2 γ H γ ?x γ γ H γ ?x
? ?a γ r 1 ?H γ α ? γ α a ? ? ? a = ∑ (? γ )α a = ∑ ? γ + ∑ α αγ αγ ? ?x γ H γ ?x ? ? ?
r r 构成的标架中的分量. 是矢量 a 在基矢 xα 构成的标架中的分量 r r 在正交曲线坐标中计算 ? ? a 时, 习惯于用 a 在归一化 r eα所构成的标架中的分量 a α ： 基矢
讨论 aα
Γα βγ
2 ? ?H γ2 ? ?H β ?H γ2 1 1 = δ γα + γ δ αβ ? α δ γβ ? β 2 ? 2 H α ? ?x ?x ?x ? ? ?
r α r αr a = ∑ a xα = ∑ a eα r α α r r ?x 得 xα = = H α eα ?xα 1 α α a = a (对α不作和 对 不作和) Hα
? ?a γ r 1 ?H γ α ? a ? ??a = ∑ ? γ + ∑ α αγ ? ?x γ H γ ?x ? ? ?
代 入
得
r ? aα 1 ?H γ α a ??a = ∑ α +∑ α α ?x H α αγ H α H γ ?x
r ?? a =
? ?(a1H 2 H3 ) ?(a2 H3 H1 ) ?(a3 H1H 2 ) ? 1 + + ? ? H1H 2 H3 ? ?x1 ?x2 ?x3 ?
(P120 3.1.29)
矢量场的旋度 在曲线坐标中, 不是一个二阶张量, 在曲线坐标中 二阶对称符号δαβ 不是一个二阶张量 注意 r 但是, 如果是正交曲线坐标, 但是 如果是正交曲线坐标 则 r r ?x xα = = H α eα ?xα r r r r r r ?x ?x gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = H α eα ? H β eβ = H α H β δ αβ ?x ?x 二阶 1 1 αβ 张量 g = δαβ = 2 δαβ (对α, β不作和 不作和) 对 Hα H β Hα 在曲线坐标中, 不是一个二阶张量, 在曲线坐标中 二阶对称符号ε αβγ不是一个二阶张量 但是, 如果是正交曲线坐标, 但是 如果是正交曲线坐标 则 三阶 张量
δαβγ = Hα H β Hγ εαβγ
δ
αβγ
1 不作和) 对 = ε αβγ (对α, β ,γ不作和 Hα H β H γ
二阶 张量
r r r r r r ?x ?x gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = H α eα ? H β eβ = H α H β δ αβ ?x ?x
g
αβ
1 1 = δαβ = 2 δαβ Hα H β Hα
(对α, β不作和 对 不作和)
在曲线坐标中, 不是一个二阶张量, 在曲线坐标中 二阶对称符号ε αβγ不是一个二阶张量 但是, 如果是正交曲线坐标, 但是 如果是正交曲线坐标 则 三阶 张量 证:
δαβγ = Hα H β Hγ εαβγ
δ
αβγ
1 对 不作和 = ε αβγ (对α, β ,γ不作和) Hα H β H γ
αα ′
把上两式缩并得: 把上两式缩并得
γγ ′
g
αα ′
g
ββ ′
g δαβγ δα ′β ′γ ′ = δ
δ δ ε αβγ ε α ′β ′γ ′ = ∑ (ε αβγ ) = 6
ββ ′ γγ ′
2
αβγ
三阶协变张量
δ
αβγ
? ? α α ? ? β aγ = ∑ (? ) a = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα ? α α ? ?x 1 αβγ 得 δ = ε αβγ Hα H β H γ ? r αβγ r ? ?aγ λ ? × a = ∑ δ xα ? β ? ∑ Γ βγ aλ ? αβγ λ ? ?x ?
α β γ α
缩并
1 = ε αβγ (对α, β ,γ不作和 不作和) 对 Hα H β H γ
r 1 =∑ ε αβγ xα αβγ H α H β H γ
? ?aγ ? λ ? ?x β ? ∑ Γ βγ aλ ? λ ? ?
βγ
ε αβγ
Γ
λ βγ
对指标βγ反对称 对指标βγ反对称
αβγ
ε αβγ Γ λ = 0 ∑ βγ
r ?×a = ∑
r ? 1 ε αβγ xα β ( gγλ a λ ) Hα H β H γ ?x
代表矢量分量的是逆变分量
r ?×a = ∑
αβγ
得
r ? 1 ε αβγ xα β ( gγλ a λ ) Hα H β H γ ?x r r r ?x xα = = H α eα ?xα
r α r αr a = ∑ a xα = ∑ a eα
α α
H α H β δαβ = gαβ
r ?×a =
∑ ε αβγ αβγ
=1
3
r ? eα ? ? ( aγ H γ ) ? ? ? H β H γ ?xβ ? ? ?
(P120 3.1.30)
应用物理班） 作业（应用物理班） ：
P146 —11, 12
实验班） 作业（实验班） ：
P146~147 —13, 15
课程全部结束. 课程全部结束
感谢课代表的辛勤劳动! 感谢课代表的辛勤劳动!
感谢同学们半年来与我的亲切合作! 感谢同学们半年来与我的亲切合作!
祝同学们期末考试 取得好成绩！ 取得好成绩！
动画
r r r r r r ?x ?x gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = Hα eα ? Hβ eβ ?x ?x
代 入
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
Γ λ , βγ
得
2
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? 2 ? ?x ?x ?x ?
第一类克里斯 托菲尔符号
Γ λ , βγ
2 ? ?H γ2 ? ?H β ?H γ2 1 = ? β δ λγ + γ δ λβ ? λ δ γβ ? ?x ?x 2 ? ?x ? ? ?
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
代
2
g
α βγ
αβ
1 1 = δαβ = 2 δαβ Hα H β Hα
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
入
Γ
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 ? ?H γ2 ? ?H β ?H γ2 1 1 = δ γα + γ δ αβ ? α δ γβ ? 2 ? β ?x ?x 2 H α ? ?x ? ? ?
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? ?x ?x ? 2 ? ?x
第一类克里斯 托菲尔符号
?α ? 1 α = Γ βγ = ∑ g αλ ? ? 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ? x β + ?x γ ? ? x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
从定义可知, 这两种符号对于β 都是对称的, 从定义可知 这两种符号对于β、γ都是对称的 即
[βγ ,λ ]=[γβ ,λ ]
?α ? ?α ? ? ?=? ? ? βγ ? ?γβ ?
N 2 ( N + 1) 为空间, 对于 N 为空间 都各有 个独立分量. 个独立分量 2
N 2 ( N + 1) 为空间, 对于 N 为空间 都各有 个独立分量. 个独立分量 2
例如, 而言, 个独立分量: 例如 对于 N=3 而言 [βγ ,λ ]有18个独立分量 个独立分量
,]， ,]=[32,]， [111 [11, ]， 11, ]，12,]=[211 [231 ,]， 2 [ 3 [ 1 1
2 [311 131 [22,]， 22, ]，22, ]，12, ]=[ 21, ]， ,]=[ ,]， 1 [ 2 [ 3 [ 2
2 [ 1 [ 2 [ 3 [23, ]=[32, ]， , ]=[13, ]，33,]，33, ]，33, ]， 2 2 [31 2
[12, ]=[21, ]，23, ]=[32, ]，31, ]=[13, ]， 3 3 [ 3 3 [ 3 3
?α ? 也类似地有18个独立的分量 个独立的分量. 对于 ? ? 也类似地有 个独立的分量 ? βγ ?
例 3.15 计算当 β ≠ γ 时, g βγ = 0空间里的第一种克里 斯托费尔符号. 斯托费尔符号 解：
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? 2 ? ?x ?x ?x ?
第一类克里斯 托菲尔符号
不使用求和约定. 不使用求和约定 当 β =γ =λ ，
1 ? ?g ββ ?g ββ ?g ββ [ βγ , λ ] = [ ββ , β ] = ? β + β ? β 2 ? ?x ?x ?x 当 β =γ ≠λ ，
1 ? ?g λβ ?g βλ ?g ββ [ βγ , λ ] = [ ββ , λ ] = ? β + β ? λ 2 ? ?x ?x ?x
? 1 ?g ββ ? = 2 ?x β ?
? 1 ?g ββ ? = ? 2 ?x λ ?
当β =λ ≠γ ，
1 ? ?g βγ ?g ββ ?gγβ ? 1 ?g ββ [ βγ , λ ] = ? β + γ ? β ? = ?x ?x ? 2 ?xγ 2 ? ?x 当 β ≠ γ ≠ λ ， g βγ = 0 1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? [ βγ , λ ] = ? β + γ ? λ ? = 0 2 ? ?x ?x ?x ? 补充 用克里斯托费尔符号表示基本张量的导数 (1) 1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? 第一类克里斯 [ βγ , λ ] = Γ λ , βγ = ? β + γ ? λ ? 托菲尔符号 ?x ?x ? 2 ? ?x 改变哑标, β 改变哑标 有 ? λ 1 ? ?g βγ ?g λβ ?gγλ ? [λγ , β ] = Γ β ,λγ = ? λ + γ ? β ? 2 ? ?x ?x ?x ?
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
相加
1 ? ?g λγ ?g βλ ?gγβ ? = ? β + γ ? λ ? ?x ?x ? 2 ? ?x
第一类克里斯 托菲尔符号
[λγ , β ] = Γ β ,λγ
得
1 ? ?g βγ ?g λβ ?gγλ ? = ? λ + γ ? β ? 2 ? ?x ?x ?x ?
?g βλ ?x
γ
= [ βγ , λ ] + [λγ , β ]
g ij g ik = δ jk ∑
(2) 因为
微分, 对 xl 微分 得
i
?g ij
?g g + l g ij = 0 l ?x ?x
ik
ik
?g g + l g ij = 0 jm l 内乘以 g , 有 ?x ?x
ik
?g ij
ik
g ij g ik = δ jk ∑
i
?g ij ik jm ?g ?g jm g ij g = =? l g g l l ?x ?x ?g βλ ?x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ?x ?g
ik mk
ik jm ik jm
?m ? jm ? m ? = ?g ? ? ? g ? ? ?il ? ? jl ? ?g jk ?g ij ? ?l ? 1 l lk ? ?g ik ? k? ? ? = Γ ij = ∑ g ? j + i 2 k ?x ?x ? ?ij ? ? ?x
ik
?x
l
= ? g g [il , j ] ? g g [ jl , i ]
= g [ij , k ]
lk
第二类克里斯 托菲尔符号
?j ? ? 例 3.16 试证 ? ? = m ln g ? jm ? ?x 证： g jk 的行列式 的行列式:
仅对k求和 仅对 求和), g = g jk = g jk G ( j , k ) (仅对 求和 的余因式： 而 g jk 的余因式：
G ( j, k ) = g g
注意: 注意 G ( j , k ) 中不包含 gjk , 所以
jk
?g = G ( j, r ) ?g jr
?g = G ( j, r ) ?g jr
?g βλ ?x
γ
= [ βγ , λ ] + [λγ , β ]
jk
?g jr ?g ?g ?g jr = G( j, r ) m = m m ?x ?x ?g jr ?x
G ( j, k ) = g g
= gg
jr
?g jr ?x
m
= gg ([ jm , r ] + [ rm , j ])
jr
? ? j ? ?r ? ? ?j ? = g ? ? ? + ? ? ? = 2g ? ? ? ? jm ? ? rm ? ? ? jm ?
l ? ? 于是 1 l ?g ? j ? lk ? j k [?i j , k ] = Γ ij = = [ ij , k ] = g l ? = ? ln g g ? ? ij ? 2 g ?x m ? jm ? 或 ? jm ? ?x m ? ? ? 第二类克里斯托菲尔符号 ?
计算当i≠ 空间里的第二种克里斯托 例 3.17 计算当 ≠j 时, gij = 0 空间里的第二种克里斯托 费尔符号. 费尔符号 解： ?k ? 1 ?g
?i ? 1 ? ln gii ? ?= i ?ii ? 2 ?x
ii =? ? ? k 2 g kk ?x ?ii ?
?i ? 1 ? ln g ii ? ?= j ?ij ? 2 ?x
?k ? ? ?=0 ?ij ?
(i≠j ≠k) ≠
试求以下坐标系中的第二种克里斯托费尔符号: 例 3.18 试求以下坐标系中的第二种克里斯托费尔符号 ?g γβ ?α ? 1 βλ α αλ ? ?g λγ (1)笛卡尔直角坐标系 (2) 柱坐标系 +(3)g球坐标系 ? 笛卡尔直角坐标系; 笛卡尔直角坐标系 g 柱坐标系; ? 球坐标系. =Γ = ?
? ? ∑ ? ? x β ?x γ ? x λ ? βγ 2 λ ? βγ因为在正交坐标系中, ? ? 解： 因为在正交坐标系中 ?当 α ≠ β 时, gαβ = 0 ri r r第二类克里斯 r i P146 10. r r ?x ?x 托菲尔符号?X ?X gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = ∑ α ? β ?x ?x ?x i ?x
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
gαβ
ri ri r r r r ?x ?x ?X ?X = xα ? xβ ≡ α ? β = ∑ α ? β ?x ?x ?x i ?x
(1) 笛卡尔直角坐标系
gαα = 1
所以： 所以：
常量
?α ? ? ?=0 ? βγ ?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号 r r
gαβ
r r i i r r ?x ?x ?X ?X = xα ? xβ ≡ α ? β = ∑ α ? β ?x ?x ?x i ?x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： x1 = 正交曲线坐标系：
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ? , x3 = z
2
2
g11 = 1
g 22 = ρ
g33 = 1
所以只有 β = 2 时才有不为零的第二种克里斯托 费尔符号. 费尔符号
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
ρ , x2 = ? , x3 = z
2
g11 = 1
g 22 = ρ
g33 = 1
所以只有 β = 2 时才有不为零的第二种克里斯托 费尔符号. 费尔符号 其它24个都为零 个都为零！ 其它 个都为零！ ?1 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ? 1λ 11 2 =? (ρ ) = ?ρ ? ? = g [22, r ] = g [22,1] = ?? 1 ? g11 ? 2 ?x ? 2 ?ρ ?22 ?
?2 ? ?2 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ? 1 ?ρ 2 ? 1 = ? ? = g 2 λ [21, λ ] = g 22 [21, 2] = = 2? ? ? ?= ? 1 ? g 22 ? 2 ?x ? ρ ? 2 ?ρ ? ρ ?21? ?12 ?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
(2) 球坐标系 1 2 3 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x = r , x = θ , x = ?
2
g11 = 1
g 22 = r
2
g33 = r sin θ
2
2
时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号. 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号 β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号
?1 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ?g 22 1 ? 2 = g 1λ [22, λ ] = g 11[22,1] = ? =? =? (r ) = ?r ? ? ? 1 ? 1 2 ?x 2 ?r g11 ? 2 ?x ? ?22 ?
?2 ? ?2 ? 1 ? 1 ?g 22 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 2λ 22 = 2? (r ) ? = ? ? = ? ? = g [21, λ ] = g [21, 2] = ? 1 ? g 22 ? 2 ?x ? r ? 2 ?r ? r ?21? ?12 ?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
(2) 球坐标系
1 2
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
3
正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x = r , x = θ , x = ?
g11 = 1
g 22 = r
2
g33 = r sin θ
2
2
时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号. 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号 β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号
?1 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 1λ 11 = g [33, λ ] = g [33,1] = ? =? (r sin θ ) = ?r sin 2 θ ? ? 33? 2 g11 ?x1 2 ?r ?
?2 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 2λ 22 =? 2 (r sin θ ) = ? sin θ cos θ ? ? = g [33, λ ] = g [33, 2] = ? 2 2 g 22 ?x 2r ?θ ?33?
?α ? 1 α αλ ? ? = Γ βγ = ∑ g 2 λ ? βγ ?
(2) 球坐标系
1 2
? ?g λγ ?g βλ ?g γβ ? ? ?x β + ?x γ ? ?x λ ? ? ?
第二类克里斯 托菲尔符号
3
正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x = r , x = θ , x = ? 其它都为零！ 其它都为零！ 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号. 时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号 β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号
?3 ? ?3 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 1 3λ 33 = 2 2 (r sin θ ) = ? ? = ? ? = g [13, λ ] = g [13,3] = 1 2 g33 ?x 2r sin θ ?r r ?31? ?13?
g11 = 1
g 22 = r
2
g33 = r sin θ
2
2
?3 ? ?3 ? 1 ?g33 1 ? 2 2 33 = 2 2 (r sin θ ) = cot θ ? ? = ? ? = g [32,3] = 2 2 g33 ?x 2r sin θ ?θ ?32 ? ? 23?
例 3.19 计算度量为 ds 2 = ( dx1 ) 2 + [( x 2 ) 2 ? ( x1 ) 2 ]( dx 2 ) 2 时的第二种克里斯托费尔符号. 时的第二种克里斯托费尔符号 解： 因为
g11 = 1
g 22 = ( x ) ? ( x )
其它
2 2
1 2
g33 = 0
gij = 0 (i≠j) ≠
所以可利用例3.17的结果 于是有 的结果, 所以可利用例 的结果
?1 ? 1 ?g 22 1 =? = ? (?2 x1 ) = x1 ? ? 22 ? 2 g11 ?x1 2 ? ?2 ? ?2 ? 1 ?g 22 ? x1 = 2 2 ? ?=? ?= 1 1 2 (x ) ? (x ) ?21? ?12 ? 2 g 22 ?x
2 2 ? ? 1 ?g 22 x = 2 2 ? ?= 2 22 ? 2 g 22 ?x ( x ) ? ( x1 ) 2 ?
计算第二种克里斯托费尔符号, 相应的度量为: 例 3.20 计算第二种克里斯托费尔符号 相应的度量为 (1) ds 2 = ( dx1 ) 2 + ( x1 ) 2 ( dx 2 ) 2 + ( x1 ) 2 sin 2 x 2 ( dx 3 ) 2 (2) ds = ( dx ) + G ( x , x )( dx ) 的函数. 其中 G 是 x1 和 x2 的函数 解： 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零. (1) ?1 ?
2 1 2 1 2 2 2
?1 ? = ?x = ? x1 sin 2 x 2 ? ? ? ? ? 22 ? ?33? ?2 ? 1 ?2 ? 2 2 = 1 ? ? ? ? = ? sin x cos x ?12 ? x ?33? ?3 ? ? 3 ? 1 ?3 ? ? 3 ? 2 ? ?=? ?= 1 ? ? = ? ? = cot x ?13? ?31? x ? 23? ?32 ?
1
计算第二种克里斯托费尔符号, 相应的度量为: 例 3.21 计算第二种克里斯托费尔符号 相应的度量为 (1) ds 2 = ( dx1 ) 2 + ( x1 ) 2 ( dx 2 ) 2 + ( x1 ) 2 sin 2 x 2 ( dx 3 ) 2 (2) ds = ( dx ) + G ( x , x )( dx ) 的函数. 其中 G 是 x1 和 x2 的函数 解： 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零 只有下列第二种克里斯托费尔符号不为零. (2) ?1 ? 1 ?G
2 1 2 1 2 2 2
? ?=? 1 2 ?x ? 22 ? ?2 ? ?2 ? 1 ?G ? ?=? ?= 12 ? ? 21? 2 G ? x1 ?
? 2 ? 1 ?G ? ?= 2 ? 22 ? 2G ?x
§3. 4
协变导数
在上两节里讨论了曲线坐标中的常矢量,现在来考虑矢量场. 在上两节里讨论了曲线坐标中的常矢量,现在来考虑矢量场.
在直角坐标系中, 矢量场(即一阶张量场 即一阶张量场)对坐标的导 在直角坐标系中 矢量场 即一阶张量场 对坐标的导 数是二阶张量场. 数是二阶张量场 一个ν阶张量场 a i i ???i ( M ) 对xl的偏导数是 阶的张量． 一个ν+1阶的张量． 阶的张量 ? (P43 1.6.1) ? l ai i ???i ( M ) = ai i ???i (M ) ?xl
1 2
ν
12
ν
12
ν
而在曲线坐标中, 由于坐标基矢不是常矢量, 而在曲线坐标中 由于坐标基矢不是常矢量 单纯对 坐标求导, 不能形成张量. 坐标求导 不能形成张量 求导”运算 目的： 寻找一种能形成张量的“求导 运算. 目的： 寻找一种能形成张量的 求导 运算
§3. 4. 1 一阶协变张量场的协变导数
r 考虑一个矢量场 a ( M ) , 它的协变分量是 aα (x1, x2, …, xn). 当坐标变换时, 变为: 当坐标变换时 aα 变为 α ?x aα ′ = ∑ α ′ aα α ?x β′ 将 aα ′ 对 x 求导 α 2 α ? ?x ?aα ? ?aα ′ ? x = ∑ ? α ′ β ′ + α ′ β ′ aα ? β′ ?x ?x ?x ?x α ? ?x ?
?x ?x ?aα ? x = ∑ α ′ β ′ β + ∑ α ′ β ′ aα ?x ?x αβ ?x α ?x ?x
不是二阶张量！ 不是二阶张量！
α β
2 α
?aα ′ ?xα ?x β ?aα ? 2 xα = ∑ α ′ β ′ β + ∑ α ′ β ′ aα β′ ?x ?x ?x αβ ?x α ?x ?x
不是二阶张量！ 不是二阶张量！
2
?
Γ
α′ β ′γ ′
? x ?x ?x ?x ?x λ = ∑ β ′ γ ′ λ + ∑ λ β ′ γ ′ Γ βγ ?x ?x α ?x ?x αβγ ?x ?x
?xα 乘左、右两边, 用 α ′ 乘左、右两边 对α ′作和 ?x
λ
α′
α′
β′
γ
?xα ? 2 x λ ?xα ′ ?xα ?xα ?xα ′ ?x β ?xγ λ Γα ′′γ ′ α ′ = ∑∑ β ′ γ ′ λ α ′ + ∑∑ α ′ λ ∑ β ?x α ′ λ ?x ?x ?x ?x α ′ λβγ ?x ?x ?x β ′ ?xγ ′ Γ βγ α′
?xα ?xα ′ ?xα α = λ = δλ ∑ ?xα ′ ?xλ ?x α′
?xα ? 2 x λ ?xα ′ ?xα ?xα ?xα ′ ?x β ?xγ λ Γα ′′γ ′ α ′ = ∑∑ β ′ γ ′ λ α ′ + ∑∑ α ′ λ ∑ β ?x α ′ λ ?x ?x ?x ?x α ′ λβγ ?x ?x ?x β ′ ?xγ ′ Γ βγ α′
?xα ?xα ′ ?xα α = λ = δλ ∑ ?xα ′ ?xλ ?x α′
?xα ? 2 xλ α ?x β ?xγ λ α Γα ′′γ ′ α ′ = ∑ β ′ γ ′ δ λ + ∑ δ λ Γ βγ ∑ β ?x λ ?x ?x β′ γ′ ?x ?x α′ λβγ ?xα ? 2 xα ?x β ?xγ α Γα ′′γ ′ α ′ = β ′ γ ′ + ∑ β ′ γ ′ Γ βγ ∑ β ?x ?x ?x βγ ?x ?x α′ 哑标α改 ? 2 xα ?xα ?x β ?x γ = ∑ Γα ′′γ ′ α ′ ? ∑ Γα β βγ 写为γ ?x β ′?xγ ′ α ′ ?x ?x β ′ ?x γ ′ βγ
α ′ ?aα ′ ?xα ?x β ?aα ? 2 xα 自由指标 = ∑ α ′ β ′ β + ∑ α ′ β ′ aα β′ ′ 改写为 γ ?x ?x ?x αβ ?x α ?x ?x
?aγ ′ ?x
β′
?aγ ?x β ?xγ ? 2 xα = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ β ′ γ ′ aα ?x βγ ?x ?x α ?x ?x
?aγ ′ ?x β ′
2 α ?aγ ?x β ?xγ ? x = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ β ′ γ ′ aα ?x βγ ?x ?x α ?x ?x
2 α
? x ?xα ?x β ?x γ = ∑ Γα ′′γ ′ α ′ ? ∑ Γα β βγ β′ γ′ β′ γ′ ?x ?x ?x ?x ?x α′ βγ ?aγ ′ ?aγ ?x β ?xγ ?xα ?x β ?xγ = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ Γα ′′γ ′ α ′ aα ? ∑ Γα aα β ′ γ ′ β βγ ?x β ′ βγ ?x ?x ?x ?x ?x ?x αα ′ αβγ ?xα aα ′ = ∑ α ′ aα 代入 α ?x ?aγ ′ ?aγ ?x β ?xγ ?x β ?xγ = ∑ β β ′ γ ′ + ∑ Γα ′′γ ′ aα ′ ? ∑ Γα aα β ′ γ ′ β βγ β′ ?x ?x ?x ?x βγ ?x ?x α′ αβγ ?aγ ′ ? ?aγ ? ?x β ?xγ ? ∑ Γα ′′γ ′ aα ′ = ? β ? ∑ Γα aα ? β ′ γ ′ β βγ ?x β ′ α ′ ?x α ? ? ?x ?x
代入
符合二阶张量的变换规律
? ?aγ ? ?x β ?xγ ? ∑ Γα ′′γ ′ aα ′ = ? β ? ∑ Γα aα ? β ′ γ ′ β βγ β′ ?x α′ α ? ?x ? ?x ?x ?aγ ′
符合二阶张量的变换规律 ?aγ ? ? α α α ? ? ∑ Γ βγ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x 的协变导数. 协变张量场 aα 的协变导数 记为: 记为
α β γ α
讨论
? ? α α ? ? β aγ = ∑ (? ) a = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα ? α α ? ?x
为了使求导运算成为一种协变运算, 为了使求导运算成为一种协变运算 ? 换成 “协变导数 ? β 协变导数” 协变导数 求导算符 β ?x ?β ： 有两个附加指标γ和α 看成矩阵指标. 看成矩阵指标
? ? α α ? ? ∑ Γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x 的协变导数. 协变张量场 aα 的协变导数 ? ? α 记为: 记为 ? a = α α ? ∑ (? β )γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β γ
α βγ
?aγ
α
α
? ?x
?
为了使求导运算成为一种协变运算, 讨论 为了使求导运算成为一种协变运算 ?
?x β ?β ： 有两个附加指标γ和α 看成矩阵指标. 看成矩阵指标 上时, 当 ? β 作用到aα上时 这两个指标按照矩阵乘法规则 缩并. 对指标α 缩并 由普通导数向协变导数的过渡可写为: 由普通导数向协变导数的过渡可写为
求导算符
换成 “协变导数 ? 协变导数” β 协变导数
? 作用在协变张量场上 ? α α ???? (? β )γ ≡ β δ γ ? Γα → βγ β ?x ?x
§3. 4. 2 一阶逆变张量场的协变导数
rα 考虑一个矢量场 a ( M ) .
为了求逆变张量场的协变导数, 为了求逆变张量场的协变导数 取它和一个协变 的缩并: 张量场 bα ( M )的缩并
? ( M ) = ∑ a ( M )bγ ( M )
γ γ
标量场 的导数是一阶协变张量场: 它对 x β 的导数是一阶协变张量场 ?bγ ?? ?a γ = ∑ a γ β + ∑ β bγ ?x β ?x γ γ ?x 一阶协变张量
? ? α α ? ? ∑ Γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x
α βγ
?aγ
?bγ ?? ?a γ = ∑ a γ β + ∑ β bγ β ?x ?x γ γ ?x
一阶协变张量
入
恒等式: ?∑ a γ Γα bα + ∑ bγ Γγ aα = 0 代 βγ βα 一阶协变张量
αγ αγ
? ? α α ? ? ∑ Γ aα = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα β ?x ? α α ? ?x
α βγ
?aγ
一阶协变张量
一阶协变张量
缩并 一阶逆变张量 二阶协变张量 一阶协变一阶 一阶协变张量 逆变的张量
?? = ∑ aγ ?x β γ
? ?bγ ? α ? ?x β ? ∑ Γ βγ bα ? + ∑ bγ α ? ? γ
? ?a γ γ α? ? ?x β + ∑ Γ βα a ? α ? ?
一阶协变张量 一阶协变张量
一阶协变张量
缩并 一阶协变一阶 一阶逆变张量 二阶协变张量 一阶协变张量 逆变的张量
?? γ = ∑a β ?x γ
γ
? ?bγ ? α ? ?x β ? ∑ Γ βγ bα ? + ∑ bγ α ? ? γ
? ?a γ γ α? ? ?x β + ∑ Γ βα a ? α ? ?
?a ? ? γ γ α γ ? α + ∑ Γ βα a = ∑ ? β δ α + Γ βα ? a β ?x ? α α ? ?x
逆变张量场 a ( M ) 的协变导数 记为: 记为 ? ? γ α
α
逆变张量场中, 逆变张量场中 由 ? 作用在逆变张量场上 ? γ γ 普通导数向协变导 ???? (? β )α ≡ β δ α + Γγ → βα β ?x 数的过渡可写为: ?x 数的过渡可写为
? α ∑ (? β )α a = ∑ ? ?x β δ + Γ ? a ? α α ?
γ α γ βα
§3. 4. 3 高阶张量场的协变导数 协变导数的运算可以推广到任意的高阶张量场. 协变导数的运算可以推广到任意的高阶张量场 为例， 以一阶协变一阶逆变的张量场 a ( M ) 为例， 它的协变导数是: 它的协变导数是
λ γ
? λ α λ λ α ? a = β aγ ? Γ βγ aα + Γ βα aγ ?x
λ β γ
§3. 4. 4 协变微分 一个函数对自变量的导数乘以自变量的微分就 得到这一函数的微分. 得到这一函数的微分 在曲线坐标中， 在曲线坐标中，一个张量场对坐标的协变导数 乘以坐标的微分. 乘以坐标的微分 ——就称为这一 就称为这一张量场的协变微分 就称为这一张量场的协变微分
§3. 4. 4 协变微分 在曲线坐标中， 在曲线坐标中，一个张量场对坐标的协变导数 乘以坐标的微分. 乘以坐标的微分 ——就称为这一张量场的协变微分 就称为这一张量场的协变微分 就称为这一 例如: 例如 的协变导数: 协变张量场 aα 的协变导数
? ? α α ? ? β aγ = ∑ (? ) a = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα ? α α ? ?x
α β γ α
乘以dx 乘以 β对β作和
Daγ = ∑ (? β )α aα dx β γ
αβ
协变张量场 aα 的协变微分: 的协变微分
=∑
β
?aγ ?x
dx β ? ∑ Γα aα dx β βγ β
αβ
的协变导数: 逆变张量场 a ( M ) 的协变导数
α
? ? γ γ ? α ∑ (? ) a = ∑ ? ?x β δα + Γ βα ? a ? α α ?
γ β α α
乘以dx 乘以 β对β作和
Da = ∑ (? ) a dx
γ α β γ α αβ
β
逆变张量场 a 的协变微分: 的协变微分
α
?a γ β γ α β = ∑ β dx + ∑ Γ βα a dx β ?x αβ
daγ = ∑
β
?aγ ?x
β
dx
β
?a β da = ∑ β dx β ?x
γ
γ
通常的全微分
协变张量场 Daγ = 的协变微分: 的协变微分:
?a γ β 逆变张量场 Da γ = ∑ β dx + ∑ Γγ aα dx β βα 的协变微分: 的协变微分: β ?x αβ ?a γ β ?aγ β γ da = dx daγ = ∑ β dx β β ?x β ?x
∑ ?x β
?aγ
dx β ? ∑ Γα aα dx β βγ β
αβ
∑
通常的全微分 协变微分和全微分的关系: 协变微分和全微分的关系
Daγ = daγ ? ∑ Γ aα dx
α βγ αβ
β
Da γ = da γ + ∑ Γγ aα dx β βα
αβ
矢量平行移动的条件是它的协变微分等于0. 矢量平行移动的条件是它的协变微分等于 协变微分的意义： 协变微分的意义： 在曲线坐标中移动一个矢量，它的分量会发生变化， 在曲线坐标中移动一个矢量，它的分量会发生变化， 但这一变化不能反映矢量的真实改变.这是因为，局部 但这一变化不能反映矢量的真实改变.这是因为， 标架基矢的变化，也会引起矢量分量的变化. 标架基矢的变化，也会引起矢量分量的变化.从矢量分量 的变化中扣除由于标架基矢的变化所引起的部分， 的变化中扣除由于标架基矢的变化所引起的部分，才是 矢量的真实改变，而这就是矢量的协变微分. 矢量的真实改变，而这就是矢量的协变微分.如果协变微 分等于0，就表示移动过程中矢量没有变化，即平行移动. 分等于0 就表示移动过程中矢量没有变化，即平行移动.
§3. 4. 5 矢量场的散度与旋度 计算笛卡尔坐标系中的散度和旋度(分两步): 计算笛卡尔坐标系中的散度和旋度(分两步): (1) 先求这一矢量场的导数 得到一个二阶张量场 先求这一矢量场的导数, 得到一个二阶张量场; (2) 然后通过指标的缩并 得到标量场 (散度 和赝 然后通过指标的缩并, 散度)和赝 散度 矢量场(旋度 旋度) 矢量场 旋度 . 将这一方法推广应用到曲线坐标中. 将这一方法推广应用到曲线坐标中 需要用协变导数代替普通导数 协变导数代替普通导数. 需要用协变导数代替普通导数
α
r ? ? γ γ α γ ? α 的协变导数: ∑ (? β )α a = ∑ ? β δα + Γ βα ? a 矢量场 a 的协变导数 ?x
r ??a
γ (? β )α aα 一阶协变一阶逆变的张量 ∑ α 缩并: 指标β 和γ 缩并 β → γ ? ?a γ γ α γ α? = (?γ )α a = ∑ ? γ + Γγα a ? αγ ? ?x αγ ?
α
?
?
∑
入
r ? ?a γ γ (?γ )α aα= ∑ ? γ ??a = ∑
αγ
αγ
? +Γ a ? ? ?x ?
γ γα α
得
在正交曲线坐标系中, 在正交曲线坐标系中 ?H γ2 1 1 1 ?H γ γ 代 ∑ Γγα = ∑ 2 α = ∑ α 2 γ H γ ?x γ γ H γ ?x
? ?a γ r 1 ?H γ α ? γ α a ? ? ? a = ∑ (? γ )α a = ∑ ? γ + ∑ α αγ αγ ? ?x γ H γ ?x ? ? ?
r r 构成的标架中的分量. 是矢量 a 在基矢 xα 构成的标架中的分量 r r 在正交曲线坐标中计算 ? ? a 时, 习惯于用 a 在归一化 r eα所构成的标架中的分量 a α ： 基矢
讨论 aα
Γα βγ
2 ? ?H γ2 ? ?H β ?H γ2 1 1 = δ γα + γ δ αβ ? α δ γβ ? β 2 ? 2 H α ? ?x ?x ?x ? ? ?
r α r αr a = ∑ a xα = ∑ a eα r α α r r ?x 得 xα = = H α eα ?xα 1 α α a = a (对α不作和 对 不作和) Hα
? ?a γ r 1 ?H γ α ? a ? ??a = ∑ ? γ + ∑ α αγ ? ?x γ H γ ?x ? ? ?
代 入
得
r ? aα 1 ?H γ α a ??a = ∑ α +∑ α α ?x H α αγ H α H γ ?x
r ?? a =
? ?(a1H 2 H3 ) ?(a2 H3 H1 ) ?(a3 H1H 2 ) ? 1 + + ? ? H1H 2 H3 ? ?x1 ?x2 ?x3 ?
(P120 3.1.29)
矢量场的旋度 在曲线坐标中, 不是一个二阶张量, 在曲线坐标中 二阶对称符号δαβ 不是一个二阶张量 注意 r 但是, 如果是正交曲线坐标, 但是 如果是正交曲线坐标 则 r r ?x xα = = H α eα ?xα r r r r r r ?x ?x gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = H α eα ? H β eβ = H α H β δ αβ ?x ?x 二阶 1 1 αβ 张量 g = δαβ = 2 δαβ (对α, β不作和 不作和) 对 Hα H β Hα 在曲线坐标中, 不是一个二阶张量, 在曲线坐标中 二阶对称符号ε αβγ不是一个二阶张量 但是, 如果是正交曲线坐标, 但是 如果是正交曲线坐标 则 三阶 张量
δαβγ = Hα H β Hγ εαβγ
δ
αβγ
1 不作和) 对 = ε αβγ (对α, β ,γ不作和 Hα H β H γ
二阶 张量
r r r r r r ?x ?x gαβ = xα ? xβ ≡ α ? β = H α eα ? H β eβ = H α H β δ αβ ?x ?x
g
αβ
1 1 = δαβ = 2 δαβ Hα H β Hα
(对α, β不作和 对 不作和)
在曲线坐标中, 不是一个二阶张量, 在曲线坐标中 二阶对称符号ε αβγ不是一个二阶张量 但是, 如果是正交曲线坐标, 但是 如果是正交曲线坐标 则 三阶 张量 证:
δαβγ = Hα H β Hγ εαβγ
δ
αβγ
1 对 不作和 = ε αβγ (对α, β ,γ不作和) Hα H β H γ
αα ′
把上两式缩并得: 把上两式缩并得
γγ ′
g
αα ′
g
ββ ′
g δαβγ δα ′β ′γ ′ = δ
δ δ ε αβγ ε α ′β ′γ ′ = ∑ (ε αβγ ) = 6
ββ ′ γγ ′
2
αβγ
三阶协变张量
δ
αβγ
? ? α α ? ? β aγ = ∑ (? ) a = ∑ ? β δ γ ? Γ βγ ?aα ? α α ? ?x 1 αβγ 得 δ = ε αβγ Hα H β H γ ? r αβγ r ? ?aγ λ ? × a = ∑ δ xα ? β ? ∑ Γ βγ aλ ? αβγ λ ? ?x ?
α β γ α
缩并
1 = ε αβγ (对α, β ,γ不作和 不作和) 对 Hα H β H γ
r 1 =∑ ε αβγ xα αβγ H α H β H γ
? ?aγ ? λ ? ?x β ? ∑ Γ βγ aλ ? λ ? ?
βγ
ε αβγ
Γ
λ βγ
对指标βγ反对称 对指标βγ反对称
αβγ
ε αβγ Γ λ = 0 ∑ βγ
r ?×a = ∑
r ? 1 ε αβγ xα β ( gγλ a λ ) Hα H β H γ ?x
代表矢量分量的是逆变分量
r ?×a = ∑
αβγ
得
r ? 1 ε αβγ xα β ( gγλ a λ ) Hα H β H γ ?x r r r ?x xα = = H α eα ?xα
r α r αr a = ∑ a xα = ∑ a eα
α α
H α H β δαβ = gαβ
r ?×a =
∑ ε αβγ αβγ
=1
3
r ? eα ? ? ( aγ H γ ) ? ? ? H β H γ ?xβ ? ? ?
(P120 3.1.30)
应用物理班） 作业（应用物理班） ：
P146 —11, 12
实验班） 作业（实验班） ：
P146~147 —13, 15
课程全部结束. 课程全部结束
感谢课代表的辛勤劳动! 感谢课代表的辛勤劳动!
感谢同学们半年来与我的亲切合作! 感谢同学们半年来与我的亲切合作!
祝同学们期末考试 取得好成绩！ 取得好成绩！
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