Matrices: Determinant - Second Order, 当非对 角线 元素等 于 0时 ，就表示 正交方 向上 的位移没有 相关 性

https://people.rit.edu/pnveme/pigf/Matrices/mat_det_1.html
Matrices: Determinant - Second Order
A determinant is a special set of mathematical operations associated with a square array. The result of the operation is a scalar value for a numerical array. This array may be part of a matrix.  The determinantis usually enclosed between a pair vertical bars. The simplest determinant is defined for a 2 x 2 array.  It is called a determinant of second order. There is difference between a determinant  and a matrix.  Thedeterminant is associated with a defined set of arithmetic operations.

» A=[1 2; 3 4]    % define A
A =
     1     2
     3     4
» det(A)    % calculate determinant of A
ans =
    -2
» syms b11 b12 b21 b22  % define symbolic variables
» B=[b11 b12; b21 b22]    % define symbolic matrix B
B =
[ b11, b12]
[ b21, b22]
» det(B)        % calculate determinant - check definition
ans =
b11*b22-b12*b21

脑功能成像: 脑白质各向异性的弥散是通过张量来说明的

 (2016-04-10 09:10:59)

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磁共振弥散张量成像 的原理 、参数及影响因素 袁 蕾 蕾 综述 ，赵 斌 审校 (1．泰 山医学院 山东 泰安 271000；2 山东省 医学影像学研究所 山东 济南 250021) 【摘 要】 弥散张量成像是磁共振成像的一项技术。本文主要介绍弥散张量成像的原理 、量化参数及其影响因素。 【关键词】 弥散张量成像；迹，平均弥散系数；表观弥散系数；部分各向异性 中图分类号 ：R445．2 文献标识码 ：A 文章编 号 ：1006—9011(20(0)05—0517—04 Theprincipleofdi埔 0ntensorimaginganditsparameterandinfluencefactors YUAN lei·lei， ZHAO Bin TaishanMedicalCollege，ShandongMedical^ ResearchInstitute，J／nan250012，P．R．Ch／na 【Abstract】 Thearticleistohatroducetheprincipleofdifusionten~ormagneticresonarl~ iITl ng(卟 MIu)，explainhowquantitative parameterscanbederived anddiscusshow itafectimageq~ Uty， 【Keywords】 Difusiontensoril／lag~ ；Traceineandifusivity；Apparemdifusioncoeficient；Fractionalanisotropy 弥散张量成像是一种脑功能成像 方法 ，以一种特殊形 式 揭 示病变的特点 ，并可 用于显示 脑 白质 内神经传导束 的走 行 方向 ，是 目前用于评 价 脑 白质 发育 ，诊 断脑 白质疾 病 的重 要 方法 。 1 弥散张量成像 的基 本原理 水分子 以随机 方式运 动称为 布朗运 动，在 MR领 域称弥 散，它为研究组织细微结构提供可能。在体内充满液体的腔 隙内，如脑液腔系统内，水分子在各方向自由弥散。这种弥 散称 为各 向同性 ，即弥散程度在 各方 向上都是 相等 的。在 体 素容积 内 若 没 有 显 著 的 方 向性 ，如 体 素 容 积 为 2．5mm× 2，5mm×2．5mm内的灰质 ，弥散也 同样各 向同性 。然 而 ，细胞 膜 、大分子及 其他物 质的存 在妨 碍 了水分 子的运 动 ，从而导 致水分子单位 时间 内位 移沿 特定方 向减 小或表 现 为弥散 系 数 的变化 ，因此灰质 的表观 弥散 系数 (^J)C)要 比正 常脑脊 液 低L1j。通 过在传统 磁共 振成 像序列 加入 两个 大 的脉 冲磁 场 梯度(弥 散编码梯 度 )，就 可 以提高 检测 弥散信 号的灵 敏性 ， 从而得到弥散加权 图像 。若 取得 两个 以上弥 散权 重值 的图 像 ，就可 以估计 每个体 素的 AI)C值从而产生 AI)C图 。 在体素容积 内若液体有显著方 向性的差异 ，则液 体沿长 轴方 向的表观弥散系数高于垂直 于长轴方 向的，称为 各向异 性。Moseley等 J提出脑白质的弥散也是各 向异性 。显然 ，单 一 的 ADC值是 不能 充分 表达 这种 组织 的弥 散特 点 的 ，需 要 更加精确 的描述 。有 关各 向异性 的弥 散是 通过 张量 来说 明 的。张量是一个 3×3对称矩阵 ，即仅包括 9个独立元素 。 对角线元素标志着沿正交坐标轴的位移，而非对角线元 作 者简介 ：袁 蕾蕾(1979一)，女 ，山东省泰安 市人 ，毕业 于山东大 学医学院 ，学士 ，在读硕士研究生 ，主要从 事医学影像诊 断学 IDII D21 D3lI D = ID12 D筮 D32I 1D,3 D 1)331 素标志着与正交位移 的相关 性。如 D12就是 沿轴 1和轴 2之 间位移 的相关性 。当非对 角线 元素等 于 0时 ，就表示 正交方 向上 的位移没有 相关 性。这种 现象 可 以发生 在纤 维张 量 与 参照框架一致 时 L2]。此 时 ，对角 线元 素与 张量 的本 征值 (即 沿基本轴 的扩散系数 )相符合 。 Basser等 I3]研究发现弥 散张量通过使用不 同的弥散编码 梯 度一 系列 不同弥散权重值来得到 的要解 一个 未知 数 X，至 少 需要 一个 关于 X的方程 式 。那 么 弥散 张量有 9个 独立 元 素 ，所 以至少需要 9个与弥散张量有 关 的方程来 解 9个未 知 数。Basser发现 了如何通过应用 至少 9个非 共线 性梯度来 建 立一 系列方 程式 ，从而计算 每个 体素 的弥散张量 值。应用 这 种由数值形成的图像被称为弥散张 量磁 共振成像 。 2 量化指标 2．1 DTI的参数 IYI7有三个主要参数：平均弥散系数或迹 ；各 向异性；张 量方向 ，以下进行介 绍。 2．1．1 迹 迹是临床最有用 的 171"I参数 ，它是 弥散张量的对 角线三个元素的弥散 系数 值的和 (Dl1+D +D33)，而 Trace／3 与弥散系数 的均 方相等 。在 弥 散成 像应 用早 期很 多术语 用 于表述这个测量值 ，包 括迹 ADC和平均迹 ADC。因为迹是描 述弥散的特性 ，而 ADC是 一个计 量值 ，所 以这些 术语并 不准 确 ，应尽量避 免使 用H]。迹最显著 的特性是在 一定 的弥散权 重范围 内(b<1000sm／nI2)，实 质 内平 均 弥 散系数 是 一致 的 (0．7×10I3n s )。尽 管它不 能 区分 解剖结 构 ，但可 以 区 517 维普资讯 http://www.cqvip.com 医学影像学杂志 2OO7年第 l7卷第 5期 JMedlma—~ng— Vo— 1．17 No— ． 52007 分弥散的正常与异常，如急性脑梗塞与正常脑组织。 2．1．2 各 向异性 在张 量模 型引 入磁共 振 成像之 前 ，就 已 经有几个 参数 用于计算弥散 系数 ，如从两个正 交方 向得到的 ADc比。这种参数是有局限性的。试想一束纤维的方向与 x 轴和 Y轴均成 45。，则 ADC~／ADQ =1，若纤维方 向沿 Y轴 ，则 比值 达到最大 ，纤维 方 向沿 x轴 ，则 比值达 到最小 J。这 种 测量方法依赖于纤维束的方向，被称为旋转变量。 来 自于张量的本征值的各向异性指数被称为旋转不变 量 。最简单的各项 异性指 数就 是最 大本征 值与 最小本 征值 的比(即 l／ )。然 而 ，研 究显 示根据 本征 值大 小进行 分类 会在低信 噪比的情 况下造成偏倚。为避免这 一问题 ，开始应 用一 些不需要分类的参数 ，但 这些参数 对低信噪 比的敏感性 低一 些。两个 常用 参数 即部分 各 向异性 (FA)和 相对各 向异 性 (RA)。 FA(。，= 和 RA(。)= 其 中 =1／，3(1+ + ) 这两个参数 的计算公式分子相 同 ，而且 均与三个本征 值 有关 。既然张量值可 以从每个元素 的平方和得到 ，那么 张量 值 也可以从本 征值的平方 和得到。所 以 FA测量的是评 估各 向异性 弥散 的张量 的一部分 。FA值从 O(各 向同性 )到 1(各 向异性 )。RA的分母 是平 均 弥散 系数 。这 个指 数恒 等 于变 异 系数 ，即平均值的标准差。为保证 它的值在 0和 1之 间可 引用 ，另一个参数 。即 =RA／-,／2。 2．1．3 张 量方 向 可以根据 在每一个 体素 的弥散分子 最不 受 限的方 向得 出纤维 束的 长轴方 向。Cran在 1997年发 现方 便并且比较容易的从弥散张量所含信息中显示出纤维方向 的图【6J。主要 是按 纤 维方 向 的不 同用 不 同 的颜 色来 表示 。 最常用的是用红色代表左右走行，绿色代表前后走行，蓝色 代表上下走行。 通过对 每一体素中的主要 纤维 方 向的观察与跟踪 ，可 以 得到非 常醒 目的主要 白质纤维束 的走行 。在 纤维束跟 踪中 ， 数学计 算非 常重 要 ，必须 自动重建纤维束通路 。 2．2 影响参数 的因素 DTI所得 到的量化指标 的准确与 否取 决于很 多因 素 ，这 些 因素 可能会 影 响不 同中心 的 DTI结 果的 比较[ 。因此在 临床应用中要考虑到这些因素的影响。 2．2．1 梯 度调整 要想得到质量较高的 DTI数据 ，就要确保 系统校准 良好 ，对 于弥 散编 码梯 度 更是 如 此。如果 没 有调 整 ，与弥散有关的信号减低或多或少会受到影响，从而导致 各 向异性 的偏倚 以及 纤维 方 向图整体 色调 的改变 。若 梯度 的振幅成 阶梯样 变化 ，梯度 的直线性也非 常重要 。 2．2．2 患者 的活动 DTI的大 多数数 据都 是 用 EPI序 列获 得 的 ，目的就是通过快速扫描 防止 因患者活动 而造成数据不 准确。但是有两种形式 的活动 一直 困扰 DTIIs]：自主和不 自 518 主运动 。前者包括不配合 的患者出现 的头部活 动 ，因此得到 的信号可能不是来 自于 同一 组织 ，后 者包 括心 跳等 因 素 ，那 么张量的值也不很 准确 。 2．2．3 心脏搏动 早在 九 十年代 初 Chien等l-9J就提 出心 脏 搏动在单方 向弥散加权 成像 中的影 响。然而 ，对 于张量 的影 响近几年才开始研究 。心脏搏动首先就是组织结构的局部位 移(导致弥散加权成像无法对准局部靶点)是在心室周围，由 于从信号强度得来的张量对应的不是同一部位，所 以该部位 张量 的值并不 准确 。心脏搏动的另 一影响 相对微 小 ，由于体 素 内的旋 进运 动导致信 号减低 ，体素 内组织 的任 何运 动都 会 造成相关的额外 的弥 散 ，导致 高或 低估 弥 散各 向异性 ，纤 维 方 向出现偏倚 。可以通过掌握心动周 期 ，确保 每个周 期 内尤 其在舒张期每一 幅 图像定 位都 与组 织结 构 相一致 。掌 握心 动周期 ，最常用的方法 【10]就是从 心 电图连 续 4 7个 R波测 得 ，平均心动周期大约 250ms，而从体积描记 波到 无效 收缩 的 最佳延迟应 >220ms。 2．2．4 部 分容积 应用 目前 MRI技术 得到 的所 有 DTI信息 是在 体素 的基础上量化的 。因此 ，每一 个体素 的参数 都受到 其 内部 弥 散 特 性 的 的 影 响，体 素 越 大 ，被 平 均 的 介 质 越 多u ，其复杂性越大 。那么 ，DTI主 要 的三 个指 数是 怎 样表 述 自己的呢? 迹 ：在早期 的论述 中，由于迹 在整个实质 中是均一 的 。所 以体素内由两种类型的组织造成的部分容积伪影是表现不 出来的。但 是在脑脊 液 中的弥 散张 量的 轨迹 要 比组织 内高 出 4倍。所 以在 脑 脊液 的边 缘 ，尤 其 在 灰质 和脑 脊 液交 界 处 ，脑脊 液 造 成 的部 分 容 积伪 影 会 导 致 过 高 估 计 组 织 的 迹u 。相对体 素越大 ，高估 的 可能 性越 大 。所 以在 进 行组 与组之间 比较时 ，要特别注意体素 的不 同。 各 向异性 ：体素平均弥散张量 的各 向异性 代表 了沿特定 轴弥散的受限程度。所以体素内所含纤维方向越多，体素平 均张量各 向异性 越 复杂。要增 加 的容积 各 向异性 取 决于基 本的微组织结构u引。在某些 区域 内纤维方 向只有一 个较 突 出，增大 容积仅仅使更 多 同方 向纤维 加入 ，对 各 向异性 的影 响较少 。而在某些 区域 ，内含很多不 同方 向的纤维 或者 同一 束纤维有弯 曲、缠结 、倾斜等 等 ，此 时增加 容积会使 不同方 向 的纤维加入 ，各向异性会更复杂 。无论 取样 容积在 三维上有 任何改变 ，这种影响都可 以发生 。因为取样 容积是 一个立方 体 ，这种部分容积改变而导致 的各 向异性 的变化在 脑 白质 中 比较 明显 。各 向异 性减 低的另 外一 个 原因 就是 包含 在取样 容积 内部分 结 构 或成 份 是 一 种 各 向异 性 较 低 的 组 织。 Ma 等 uJ提出 白质和灰质 的各 向异性在 脑脊 液部分 容积 干扰下 分别减低 (脑脊液各 向异 性近 于 0E“J，结论 是脑 脊液 的影 响 会导致低估各向异性。相对取样容积越大，低估的可能性越 大 。另外 ，在纤维方 向复杂 的 区域 。取样 容积 越大 纤 维方 向 越复杂 (powderaveraging)。所 以在进 行 组与 组之 间 比较 时 。 要特 别注意取 样容积的不同 。 以上对于各 向异性 的讨 论均 适用 于纤 维方 向。如 pow． deraveraging主要原 因是张 量模 型建立在 设计好 的 特定纤 维 维普资讯 http://www.cqvip.com 医学影像学杂志 2007年第 17卷第 5期 J ! 竖 !：! !： 方 向基础上的。 2．2．5 部分容积问题的解决 解决脑 脊液 干扰问题 就是应 用反转脉冲抑制来 自于脑 脊液的信号 ，如 FLAIR。Nine等 应用 FLAIR抑制脑脊液信号后 ，白质和 灰质的各 向异性都有 所提高 。Paievic等 I16】提 出了如何 提高某 些区域如穹隆(贴 近 脑室 走形 )的 纤维 束 成 像 质 量 ，但是 心 电门控 的应 用 影 响 FLAIR，因为 rm 是不断 变化 的 ，它 取决 于患 者 的心 率 。另一 解决办法就是建立脑脊液 成像 模型 ，增 加 图像 分辨率有 助于 改善 由纤维方 向平均 化带来 的很多问题 。 2．2．6 射频 噪声 射频噪声对 于张量 测量的影 响主要 是使 本征值产生偏 倚。在一 些单一的介质 内 (如 脑脊液 和灰 质 )， 射频 噪声导致 三个本 征值 相 同。噪声 在这些 区域 造成 的影 响要 比在一 些各 向异性的 区域严重 的多 (这些 区域在 本征值 上有本质 区别)。主要影 响就 是各 向异 性 的明 显偏 倚 ，在 各 向异性 低的区域更明显。另外 ，在 一些分 类偏倚上 也有争论 即有些 各向异性参数过分 简单化 ，如 l／ (按 大小将本 征值 分类 )会放大噪声 对本 征 值造 成 的影 响 ¨ 。本 征值 受影 响 也会导致其 他参数 (不 需将 本征 值大小 分类 的 )的 变化 。而 迹 是三个本征值 的和 ，对噪声的影响不如 其它各 向异性 指数 敏感。噪声对于纤维方 向的影 响多 种多样 ，从 而影 响纤 维追 踪 。 2．2．7 涡流 用于弥散编码 的磁场梯 度的大 幅度切换 会在 磁共振传导 中产生 涡流 ，导致或多或少作 用于读 出的梯度场 强 。在相位编码方 向上 因为低带 宽 ，用 EPI探 测更 容易 出现 伪影 。X、Y、Z轴上的 涡流 ，会使相位编码 方向上 的图像产生 切变 、伸 展、位移[18．19]。一个 典型 的迹 象就 是在 相位 编码方 向上各向异性 区有 明显 的边 。Alexander建议 用双 极弥 散编 码梯 ，而、Nine等提议使用预加权弥散编码梯度来改 善数据获 得过程 中的 问题 ，后处理的办法就是就将 每幅弥散 图像调整 成标准 图像 。另一个 后处 理 的办法就 是用 涡流影 响形 成的 模型来调整 相位 图 ，并且画 出场强形成 的涡流图。 2．2．8 探 测方 向的数 目 尽 管 只需要 九个弥 散方 向就可 以 评估张量 ，但是研究发 现如 果使 用更 多的探 测方 向 ，得 到 的 数据会更多 ，张量的测量会更精确[2o．21j。有人提 出至少需要 20个探 测方向用来评估张量 ，但 是对疾病 的过程及 治疗效果 进行监测 、应 结合 临床应 用 。这 样 ，扫描时 间及患 者 的耐受 力都要考虑在 内 ，因此 20个方 向是 不切 实际的。 2．3 分析方法 有两种方法用 于 DTI数据的分析 ，以感兴 趣 区为基 础 的 方法和以体素为基础的方法。前者倾向于操作过程中形成 的偏倚及部分容积效应 j。后者可以通过监测所有体素 数据来避免操作形成的偏倚。但是直接应用存在很多问题。 特 别是 在脑部较大 区域 内以参 数为基 础的 统计分 析是 不准 确 的。另外 ，由于参数 的选择 变化 很大 ，所 以有可 能会 出现 一 系列不同的统计结果 。 总之 ，DTI提供了研究组 织微结构的量化参数 ，但是 这些 参 数可能会受到 很多 因素影 响。所 以在不 同研 究或不 同 中 心之 间进行 比较 时要特别注意