phymath999

请阅读量子力学中关于表象的章节, 进入和退出表象. 是动量在坐标表象中的波函数. 转动不变是不变. exp(ipx)不是角动量算符的本征函数. 比如卢瑟福散射, alpha粒子相对于原子核是平面波, 它没有角动量? 请阅读原子物理.

除自旋外, 动量, 角动量都有经典对应. 请楼主将经典的动量, 角动量与量子力学中动量, 角动量比较一下.
楼主的概念有点混乱, 找本好的量子力学教材, 最好是英文的. 看下角动量, SO(3)群等概念.

2楼: Originally posted by huow005 at 2012-12-30 15:29:56
请阅读量子力学中关于表象的章节, 进入和退出表象. <x|p>是动量在坐标表象中的波函数. 转动不变是<x|x'>不变. exp(ipx)不是角动量算符的本征函数. 比如卢瑟福散射, alpha粒子相对于原子核是平面波, 它没 ...

呵呵，我有些混淆了。现在有些清楚了，当时糊涂了。多谢！:)

这个对的解释不太符合Dirac的精神吧
可以看成是矩阵元也可以看成是矩阵(x,p变的话) 也可以看成是x或者p表象下"波函数"的系数这样的矩阵元是转动不变的系数也是转动不变的变的是态差一个幺正变换平面波的形式写完整了应该是|p>=A*Integrate 或者直接动量算符的本征态直接把exp(ipx)看成是平面波又采用Dirac符号一套得出平面波在转动下不变比较搞怪 (转动下动量算符也是要变的 exp(ipx)是转动不变但是不是转动后的新动量算符的本征值不变的本征态除非转动相应的幺正算符和动量算符对易)

5楼: Originally posted by walk1997 at 2012-12-30 17:02:04
这个对<x|p>的解释不太符合Dirac的精神吧
<x|p>可以看成是矩阵元也可以看成是矩阵(x,p变的话) 也可以看成是x或者p表象下"波函数"的系数这样的矩阵元是转动不变的系数也是转动不变的变的 ...

其实，对于平面波exp(ipx),在坐标系转动下，有两种解释，如果把它表示成，那么第一种就是通常的波函数的变换，即=，其中R是转动，而R^{-1}转动的逆，由此可得到平面波的变换，在无穷小的情形是坐标x叉乘动量p。第二种是整个体系的变换，即=，这体现了转动的幺正性。
可以看出，我是混淆了这两种解释。混淆的原因在于，第一种解释其实可以推广到场或一般的波函数φ，即=。可是下面这个例子我就不理解了，将转动换成平移T，则应有=，假如T^{-1}x=x-a，但动量在平移作用下是不变的，即Tp=p，这就导致=，同理对于第二种解释，有=，明显是矛盾的。
对于第一种解释，补救的方法可以找到，那就利用场的概念，其中|p>=a^{\dag}|0>，平移算符为T=exp(iaP)，其中P=\int dp p a^{\dag}a，这样|Tp>可定义为T|p>=exp(iap)|p>，而=成立。遗憾的是，这种补救对于第二种解释仍然无济于事，=沦为形式。
实际上，用经典的概念可以说明一些情况。对于平面波exp(ipx)，坐标系的转动不改变标记px，因此平面波在转动下保持不变。可是，坐标系的平移，却使得坐标x平移，而动量p不变，因此平面波在平移下不是不变的。

前次回复中有个疑惑，即=本不应该成立的，因为平移并不保持标积不变，也不是体系的物理不变性。可是形式上==，体现了T的幺正性，这又是怎么回事呢？

之前的推导有些错误，下面我将准确的推导过程列下来，目的是满足以下两式，=和=。运用非相对论量子场论，|p>=a^{\dag}|0>，定义平移算符为T=exp(-iaP)，其中P=\int dp p a^{\dag}a，|x>=φ^{\dag}(x)|0>，则有|Tx>=T|x>=|x+a>，而|Tp>=T|p>=exp(-ipa)|p>，如此==，体现平移的幺正性；而=exp(-ipa)=。
可以看出，我的错误在于将|Tp>中的Tp误认为是经典的作用Tp=p，尽管对于转动操作，=和=，其中的作用Rp可以用经典的作用表示。
实际上，上面的推导可以不用产生、湮灭算符的形式，之所以利用，目的是为了强调|x>=φ^{\dag}(x)|0>，这对于相对论情形也成立。

"(转动下动量算符也是要变的 exp(ipx)是转动不变但是不是转动后的新动量算符的本征值不变的本征态除非转动相应的幺正算符和动量算符对易)"
这句话有点拗口也不恰当修正一下
采用被动观点（坐标系不变态变）exp(ipx)是转动不变因为是的矩阵元(中间算符是1) 但是|p>是要变的U(R)|p> 这一态不再是动量算符本征值为p的本征态不知道平面波代表什么代表|p>么还是说exp(ipx)就代表平面波若是后者的话引入Dirac符号做什么？而且如果用这样坐标表象下波函数的话任何时空变换下本来就是有：exp=exp 这里不能理解成坐标平移下p'=p,x'=x+a就完了后面还有基的变化|x> -> |x+a>
同样不能理解成转动下p.x不变所以平面波(动量本征态)在转动下不变

8楼: Originally posted by fyl7 at 2012-12-31 14:48:21
之前的推导有些错误，下面我将准确的推导过程列下来，目的是满足以下两式，<T^{-1}x|p>=<x|Tp>和<Tx|Tp>=<x|p>。运用非相对论量子场论，|p>=a^{\dag}|0>，定义平移算符为T=exp ...

平常有这样的表述么？到底是变换本征值还是变换态
印象当中都是U(a)|p>之类的吧你这些符号感觉都是自己想着乱用
另外不管什么变换下只要其无穷小变换(生成元)是相应厄密算符
这样的矩阵元都是不变的这不用证明的吧厄密算符的定义
平移变的矩阵元是。。。。为什么用生产算符湮灭算符或其他T的稀奇古怪的定义？

内积是在空间矢量及其对偶空间矢量间进行的, 只有,

之类的才叫内积, 而x|p>是动量p在坐标表象x中的投影, Integrate是投影算符.
=没这样写的, R是厄米自共轭, 作用在矢量空间及其对偶空间上.

10楼: Originally posted by walk1997 at 2012-12-31 16:56:25
平常有 <Tx|Tp>这样的表述么？到底是变换本征值还是变换态
印象当中都是U(a)|p>之类的吧你这些符号感觉都是自己想着乱用
另外不管什么变换下只要其无穷小变换(生成元)是相应厄密算符
这样的矩阵元都 ...

呵呵，是有些乱用了，所以才会犯错误，或者这样来理解，中的T是抽象的操作，当看作是作用到态上时，就化作。
其实，我不太喜欢这种矩阵元，因为它只是对单粒子有效。我希望的是，找到既对单粒子有效，同时兼顾多粒子的表达式，此时产生、湮灭算符就派上用场了，就像我所定义的，而这种定义正是量子场论的。
另外，平面波就是exp(ipx)，|p>代表动量本征态，它们不是一回事。之所以用狄拉克符号，是因为exp(ipx)=是数学上的定义。问题在于，怎样看待这个等式在时空变换下的不变性，因为exp(ipx)也可以看作是一个波函数用φ强调其波函数性质，这样在时空变换下，波函数势必要变，采用=这种解释；另一方面，如果看作，即两个态的内积，那么就采用=，其在任何时空变换下都不变。
这样看来，量子力学的表达式本身就有比较容易混淆的地方，主要体现在波函数的表达式=φ(x)。

11楼: Originally posted by huow005 at 2013-01-01 01:12:08
内积是在空间矢量及其对偶空间矢量间进行的, 只有<x|x'>, <p|p'>之类的才叫内积, 而x|p>是动量p在坐标表象x中的投影, Integrate是投影算符.
< R^{-1}x|p>=<x|Rp>没这样写的, R是厄米自 ...

之类的也可以叫内积吧
后面这个投影算符不太对投影算符不是单位矩阵不用对x积分
你写的是投影算符的Tr

12楼: Originally posted by fyl7 at 2013-01-01 09:41:45
呵呵，是有些乱用了，所以才会犯错误，或者这样来理解，<Tx|Tp>中的T是抽象的操作，当看作是作用到态上时，就化作<x|T^{\dag}T|p>。
其实，我不太喜欢<x0‘|x|x0'>这种矩阵元，因为它只是对单粒 ...

按照这个说法和理解不相互矛盾了? 你的平面波exp(ipx)到底变不变?

13楼: Originally posted by walk1997 at 2013-01-01 20:10:37
< x|p>之类的也可以叫内积吧
后面这个投影算符不太对投影算符不是单位矩阵不用对x积分
你写的是投影算符的Tr...

racoon01 (站内联系TA)

当然不是内积，理解为动量本征态|p>在位置坐标本征态|x>上的投影是正确的观点，只是不符合量子力学术语。标准术语是：是坐标表象中的动量本征函数，即：\psi_p(x)=.

14楼: Originally posted by walk1997 at 2013-01-01 21:07:22
按照这个说法和理解不相互矛盾了? 你的平面波exp(ipx)到底变不变?...

这不就更说明了量子力学体系不是很完善吗？我更倾向于认为表示内积，其在任何空间变换下不变；而平面波exp(ipx)是另外一个东西，二者的相等只是数学意义上的。这可以从下面的量子场论术语中得到解释，正如我上面的定义，|x>=φ^{\dag}(x)|0>，|p>=a^{\dag}_{p}|0>，那么=<0|φ(x)a^{\dag}_{p}|0>=exp(ipx)，这里利用了场的展开φ(x)=\int dp exp(ipx) a_{p}。从这些推导中可以看出，exp(ipx)是作为场的一部分出现的，进一步Hilbert空间中的态矢量并不都有物理意义，比如所谓的态|φ>，虽然数学上可以这么定义，但是物理意义不明确。量子场论实现了Hilbert空间，相当于一种表示，而这种表示就是利用产生、湮灭算符的。简单说就是，Hilbert空间是个相当大的数学空间，而量子物理仅仅占据了其中的一小部分。

racoon01 (站内联系TA)

17楼: Originally posted by fyl7 at 2013-01-02 10:21:35
这不就更说明了量子力学体系不是很完善吗？我更倾向于认为<x|p>表示内积，其在任何空间变换下不变；而平面波exp(ipx)是另外一个东西，二者的相等只是数学意义上的。这可以从下面的量子场论术语中得到解释，正 ...

不要死撑着了，错了就是错了，知错能改，就是好同志嘛。一条死路走到头，何其蠢也。