Saturday, April 19, 2014

球坐标系下的积分和微分公式 拉普拉斯算子 •旋度公式, 微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} 、\nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (r,\ \theta,\ \phi) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} 、\nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (r,\ \theta,\ \phi) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

球坐标系下的积分和微分公式[编辑]

假定 \theta 是從原點到 P 點的連線與正 z-軸的夾角
  • 线元素是一个从 (r,\theta,\phi) 到 (r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \phi+\mathrm{d}\phi) 的无穷小位移,表示为公式：
\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \mathrm{d}\phi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \phi}} ；
其中的\boldsymbol{\hat r},\boldsymbol{\hat\theta },\boldsymbol{\hat \phi} 是在 r,\theta,\phi 的各自的增加的方向上的单位矢量。
  • 面积元素1：在球面上，固定半径，天顶角从 \theta 到 \theta+\mathrm{d}\theta ，方位角从 \phi 到 \phi+\mathrm{d}\phi 变化，公式为：
\mathrm{d}S_r=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi 。
  • 面积元素2：固定天顶角 \theta ，其他两个变量变化，則公式为：
\mathrm{d}S_\theta=r\,\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\phi 。
  • 面积元素3：固定方位角 \phi ，其他两个变量变化，則公式为：
\mathrm{d}S_\phi=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta 。
  • 体积元素，徑向坐標从 r 到 r+\mathrm{d}r ，天顶角从\theta到 \theta+\mathrm{d}\theta，并且方位角从 \phi 到 \phi+\mathrm{d}\phi 的公式为：
\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi 。
\nabla f={\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} 。
\nabla\cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\phi \over \partial \phi} 。
\nabla \times \mathbf{A} = \displaystyle{1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right) - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} + \displaystyle{1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + \displaystyle{1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right) - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi} 。
\nabla^2 f={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2} 。
交坐標系[编辑]
维基百科，自由的百科全书
跳转至： 导航、 搜索
在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n)，其坐標曲面都以直角相交。坐標曲面定義為坐標q_i的等值曲面，或等值超曲面。例如，三維直角坐標(x,\ y,\ z)是一種正交坐標，它的x為常數，y為常數，z為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。
正交坐標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交坐標來解析氫離子H_2\,^- 的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角坐標方便的多。這主要是因為恰當的正交坐標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的n維問題變為n個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交坐標來分離。
在數學裏，存在有各種各樣無限多的正交坐標系。應用二維直角坐標系(x,\ y)的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交坐標系。一個複數z=x+iy的任何全純函數w=f(z)，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為w=u+iv，則u與v的等值曲線以直角相交，就好似原本的x與y的等值曲線以直角相交
三維與更高維的正交坐標系可以由一個二維正交坐標系生成，只要將二維正交坐標往一個新的坐標軸投射（形成類似圓柱坐標系的坐標系），或者將二維正交坐標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交坐標系，例如橢球坐標系，則不能夠用上述方法得到。


向量與積分[编辑]

用數學術語，正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方ds^2，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：
ds^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left( h_{i} dq_{i} \right)^{2}；
其中，n是維數，標度因子h_i是度規張量的對角元素g_{ii}的平方根：
h_{i}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{ii}(\mathbf{q})} 。
這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。
從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標q_{i}的無窮小改變dq_{i}，其相伴的長度是ds_{i} = h_{i} dq_{i}。因此，一個位移向量的全微分d\mathbf{r}等於
d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} h_{i} dq_{i} \mathbf{e}_{i}；
其中，\mathbf{e}_{i}是垂直於q_{i}等值曲面的單位向量，指向著q_{i}增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。
在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_{i} B_{i}。
因此，向量\mathbf{F}沿著周線\mathbb{C}的線積分等於
\int_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{C}} F_{i} h_{i} dq_{i}；
其中，F_{i}是向量\mathbf{F}在單位向量\mathbf{e}_{i}方向的分量：
F_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{F} 。
類似地，一個無窮小面積元素是
dA = ds_{i} ds_{j} = h_{i} h_{j} dq_{i} dq_{j},\qquad i\neq j，
一個無窮小體積元素是
dV = ds_{i} ds_{j} ds_{k} = h_{i} h_{j} h_{k} dq_{i} dq_{j} dq_{k},\qquad i \neq j \neq k。
例如，向量\mathbf{F}對於一個曲面\mathbb{S}的曲面積分是
\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_{\mathbb{S}} F_{1} h_{2} h_{3} dq_{2} dq_{3} + \int_{\mathbb{S}} F_{2} h_{3} h_{1} dq_{3} dq_{1} + \int_{\mathbb{S}} F_{3} h_{1} h_{2} dq_{1} dq_{2}。
Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)