半导体中的电子态在动量空间中讨论要比坐标空间中来得方便（这里又是一个等效！），因为跟能量直接相关是动量而不是坐标

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Jun 16, 2013 - 二、半导体物理中的一个等效概念——空穴 ... 半导体中的电子态在动量空间中讨论要比坐标空间中来得方便（这里又是一个等效！），因为跟能量直接 .

什么是Dirac之海

01/08/2009 Physics Dirac Sea

近代物理学中的新概念经常会被科幻或奇幻作品引用，Dirac之海（Dirac Sea）便是其中之一，在EVA中出现了这个概念。本文旨在从物理科学的角度解释Dirac之海这个概念的由来，以及它究竟意味着什么。阅读本文只需要高中物理的基础和一些近代物理的概念，以及足够的耐心。

一、先从物理学中的“等效”处理方法说起

高中物理力学中的一类典型问题是两个物体的碰撞，通常课程会给出一个限制条件并要求求出碰撞后的状态。而竞赛课程首先提出的便是一维弹性碰撞，亦即碰撞前后能量和动量都守恒。假设两物体的质量分别为[tex]m_1[/tex]和[tex]m_2[/tex]，初速度为[tex]v_1[/tex]和[tex]v_2[/tex]，碰撞后速度为[tex]v_1′[/tex]和[tex]v_2′[/tex]，则可以列出方程组：

[tex]\{ \begin{array}{ll}
m_1v_1’+m_2v_2’=m_1v_1+m_2v_2 \\
\frac{1}{2}m_1v_1’^2+\frac{1}{2}m_2v_2’^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2
\end{array}
[/tex]

把第一式平方后减去第二式，再稍作处理可以得到[tex]v_2′-v_1’=v_1-v_2[/tex]，再联立第一式得到二元一次方程组，即可解出末态的[tex]v_1′[/tex]和[tex]v_2′[/tex]。这是一个简单直接的解法，计算也不算难。

现在我们换个角度来看这个问题，把两个物体看成一个整体，考虑其总质量[tex]M=m_1+m_2[/tex]和质心速度[tex]V=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}[/tex]，然后看看总动能和质心动能之间有什么差别。经过计算可以得知：

[tex]\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}{\mu}v^2[/tex]

式中[tex]v=v_1-v_2[/tex]为两物体的相对速度，[tex]\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}[/tex]称为两物体的约化质量（reduced mass）。这个表达式有着明显的物理意义，它意味着两物体的总动能不仅可以写成自由物体动能的简单相加，也可以写成质心动能和相对运动动能之和的形式。后者在处理无外力的二体问题上要更为方便。由于无外力，质心无加速度，所以质心动能不变。再看相对运动动能的第二项，我们立即可以发现能量守恒要求相对速度大小不变。对一维情况来说，只可能是相对速度在碰撞前后互为相反数[tex]v_2′-v_1’=v_1-v_2[/tex]。于是用这种方法我们几乎没有作额外运算，就把弹性碰撞的特征找了出来。

这个例子过于简单，尚不能显出质心系的威力，我们来看复杂一点的例子。在双星系统中两颗星球在各自引力下互相绕转，当然这里两颗星球质量可以相比，不能像地球绕太阳公转那样把太阳近似成不动。但是在上面的运算中我们可以知道，只要没有外力作用，就可以把其中一个物体看成静止，研究另一个物体在内力作用下相对于前者的运动。只是质量以约化质量[tex]\mu[/tex]代替。于是立即可以得知星球1相对于星球2的运动还是圆锥曲线。当然我们最后关心的除了相对运动还有绝对运动（在牛顿的经典绝对时空观下），由于质心的位置在两物体连线上某个固定比例处，换算是十分容易的。所以它们相对于质心还是作圆锥曲线运动。这里我们不妨用圆周运动的特例检验一下，在相对运动表象下，星球质量用约化质量[tex]\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}[/tex]，环绕半径为两星球的距离[tex]r[/tex]，运动方程为[tex]\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}r\omega^2=G\frac{m_1m_2}{r^2}[/tex]。在绝对运动表象下看星球1，则质量为[tex]m_1[/tex]，绕转半径为星球1到质心的距离[tex]\frac{m_2}{m_1+m_2}r[/tex]，运动方程仍为[tex]m_1\frac{m_2}{m_1+m_2}r\omega^2=G\frac{m_1m_2}{r^2}[/tex]。可见两者解出的角速度是一致的。对其它圆锥曲线轨道，就更能显出相对运动表象的简洁了。

无外力作用下两物体的动力学，可以等效成质量[tex]\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}[/tex]的物体相对于静止参照物的运动，并且常常能使数学处理简单很多。“约化”“等效”的处理方法在物理学中用得很广。不仅有唯理的精确的等效，也有唯象的或近似的等效。等效的处理手法在物理学摆脱形而上的哲学，去处理很多复杂的实际问题的过程中起着重要的作用。

二、半导体物理中的一个等效概念——空穴

空穴（hole）是半导体学的一个重要概念。中学物理在讲到导电材料和相应的导电机制时可能会说，金属靠自由电子导电，而纯净的半导体靠电子和空穴导电。空穴为正电性，在电场力作用下产生的位移方向与电子位移方向相反，因此两者电流方向一致。空穴往往被想象成缺少了一个电子的原子，因而它整体带电荷[tex]+e[/tex]。其实这个是不够准确的，无法定量地解释空穴的有效质量问题。

半导体中的电子态在动量空间中讨论要比坐标空间中来得方便（这里又是一个等效！），因为跟能量直接相关是动量而不是坐标。我们知道电子是Fermi子，遵守Pauli不相容原理。在零温时自由电子自下而上填满低能级的各个态，被填和不被填的态间有一条明显的能量分界线[tex]\varepsilon_F[/tex]，称为Fermi能。Fermi能下电子填满的状态被形象地称为Fermi海（！）。常温时Fermi海面部分电子会被激发到较高能级的态上，这是自由电子在动量空间的基本图像。在晶体中，由于晶格势场的影响，原来连续的电子能级被分割成许多的能带（band）。每个能带中所有动量的矢量和为零，满带电子由于无法发生动量空间的定向偏移而不导电。粗略地说，如果晶体在自下而上的填充中最后有一个半满半空的带，带中电子动量在电场作用下发生偏移，则它是导体。如果晶体的Fermi海面正好不在能带中，导致下面全是满带而上面全是空带，那它就不易导电。

纯净半导体的情况介于两者之间，它的能带也处于全满和全空的状态。最高能量的满带称为价带（valence band），最低能量的空带称为导带（conduction band）。导带顶与价带底的能量差称为半导体的能隙（band gap）。能隙的大小决定了电子被热激发到价带的难易度，从而也决定了半导体的导电性。下图是从Wiki拿过来的图示。

如果现在有电子从价带通过热激发跃过能隙到达导带，半导体就具有了导电性。导带上的电子成为了载流子（carrier）。同时缺少了部分电子的价带分布也会在外加电场作用下发生偏移，亦表现出了导电性。我们当然可以考虑这时的价带中所有动量的矢量和，以此表征价带的导电性。但是不要忘了，我们在小学数学里就应该领悟过排除法的奥妙了。在这种情况下我们完全可以只考虑价带中哪些态没有电子，从满带的零矢量和中减去缺失电子的态对应的动量，就是价带中电子的总动量。或者我们可以换个说法，将满价带看成一个净值为零的背景，从中去掉一个带负电的电子被看成产生一个带正电的空穴。有了这个等效概念后，处理问题就变得方便很多了。

这里还有个需要补充说明的问题，在采用了近似后的动力学方程中，电子的质量并不总是等于自由电子质量[tex]m[/tex]。经过周期势场微扰的推导后，在简化的动力学方程里取代自由电子质量的是所谓的有效质量（effective mass）[tex]m^*[/tex]。在带边（也就是价带顶和导带底），它与能带的曲率有关，其值为[tex]\frac{1}{m^*}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\textrm{d}^2\varepsilon}{\textrm{d}k^2}[/tex]。从图像可以看出，导带底的电子有效质量是正值，而价带顶处的却是负值！由于等效概念只是保证方程形式上成立，所以参数取值范围可以超出原物理量的定义范围。如果等效机制中有负反馈的存在，有效质量取负值也是有可能的。然而有趣的是，为了保证空穴的运动能完全代表“缺失电子”的运动，我们发现除了定义空穴电荷为正，还必须把它的有效质量也定义成相应价带顶处电子有效质量的相反数。这样一来空穴的质量就是正的了，反而比满带背景中的电子“更像”一个正常粒子了！

三、什么是Dirac之海

量子场论认为粒子和场是对应的。每种粒子对应于不同的场，没有粒子的状态对应于场的基态，而场的激发意味着有粒子产生。通过求解相应的量子场方程便可以推知粒子的性质。描写电子的场是一种旋量场（本概念在这里并不重要），它的经典运动方程是所谓的Dirac方程。场论中方程所用的数学语言很难懂，这里我们只用文字讲述其结果。

自由Dirac方程共有四个线性无关解，其中两个正能解，两个负能解。正能解对应于我们熟悉的电子。但为什么线性无关解有两个？这点无法用经典的办法来解释，因为它标志着经典物理中所没有的新自由度——自旋（spin）。分立的两个解意味着电子的自旋沿任何方向的投影只有两个可能取值，而不像经典的角动量一样可以连续取值。自旋不是本文这里讨论的重点，但我们知道了在非相对论量子力学里为了计算方便唯象地引入的“自旋”概念，如今居然在相对论量子力学的方程求解过程中自动跳了出来！那后面还会跳出什么呢？

现在来看看负能解又意味着什么。当我们尝试用对易关系去量子化Dirac场，或者换句话说，把电子看成不满足Pauli不相容原理的Bose子时，系统的Hamilton量（可以理解成能量）对静止的粒子可以写成：

[tex]H=\sum_{s=1,2}(E_0n_a^{(s)}-E_0n_b^{(s)})[/tex]

式中[tex]E_0[/tex]表示电子的静质能，[tex]s[/tex]标记电子的自旋，[tex]n_a^{(s)}[/tex]和[tex]n_b^{(s)}[/tex]分别表示（各自旋态）正能和负能粒子的数量。但这样一来就出现了严重的问题：如果我们从真空（也就是场的基态）中产生足够多的负能粒子，形成所谓的Dirac负能海，系统的Hamilton量就是没有下界的！这对一个量子理论来说是致命的。

解决问题的办法是用反对易关系，而不是对易关系去量子化Dirac场。等价地说，这相当于认定电子是满足Pauli不相容原理的Fermi子，而不是Bose子。经过类似的演算，用反对易关系量子化的Dirac场的Hamilton量可以写成：

[tex]H=\sum_{s=1,2}(E_0n_a^{(s)}+E_0n_b^{(s)})[/tex]

这个式子只比前面的在第二项相差一个符号，却解决了负能海带来的疑难。这种观点认为我们所在的真空本身已经是充满了负能粒子的Dirac之海，不能再产生新的负能粒子了。然而充满了真空的负能粒子却可以被湮灭。这样一来我们可以仿照半导体物理，把Dirac负能海作为真空零背景，作一次粒子-空穴变换。湮灭一个负能的电子被诠释为产生一个正能的正电子（positron，电子的反粒子）。由于相对论的质能关系，正电子的正能性自动地保证了正质量。于是一场虚惊过后，我们很高兴地摆脱了被负能吞噬的阴影，并迎来了基本粒子家族的新成员——正质量的正电子。

这个有趣的例子可以引申出很多东西，其中一点是数学推演威力之强大。这些令人困惑的问题和更加令人惊异的解决方法都不是人们随便拍脑袋瞎想出来的，而是在一些大家普遍认可的基本假设下严格推导出来的。如果负能海出现在Bose子相关的部分会有什么后果？因为Bose子不满足Pauli不相容原理，所以负能海会成为吞噬的“无底洞”，这时候再重新认定真空就要出现问题。然而事实上是关于Bose子的理论并未出现过类似问题，Bose子的真空态跟我们通常理解的真空区别不大。在一定条件下宏观数量的Bose子会同时出在一个基态上，这个称为Bose-Einstein凝聚（Bose-Einstein Condensation）的现象已在近年的实验中观测到。在Fermi子的Dirac负能海中，我们可以想象虽然能量无下界，但负能粒子仍然遵循Pauli不相容原理一一对应地填满所有负能态，每个态的占据数只有0和1之分。这正是采用粒子-空穴变换的重要前提。而Bose子在相同的情景下，除了重新取无限负能为零点，恐怕还要面对单个负能态的无限占据数导致另一种无限负能的困难。而正因为这个困难是不可能解决的，所以造物主事实上在Bose子部分并没有跟我们开这个玩笑。

另一个问题是空穴之于电子，和正电子之于电子的地位。我们知道空穴的概念是在半导体背景下的一种等效，它不是一种实物粒子。一旦半导体的晶体结构被破坏，能带将不复存在，相应地空穴概念也变得毫无意义。而正电子好像比空穴要实在得多，现在大量的实验都证实正电子是一个很好的“实物粒子”。唯一区别只在于它是反物质，所以很容易跟电子发生湮灭。这时可能有人产生这样的疑问：前面提到正电子也是某种等效变换的概念产物，一旦我们有能力解开Dirac之海的内部结构，“找出”Dirac方程中令人困惑的负能电子，是不是能说明正电子比起电子，还是缺少那一份“实在性”呢？虽然量子场论主张真空就是Dirac之海，Dirac之海即是真空，但是要知道“真空”这个概念也确实随着认识的进化在改变啊。这个问题其实不应该由物理学，而应该由哲学来回答。物理学只回答自己的理论在什么范围（能量尺度、时空尺度等等）内能准确描写客观世界，但物理学本身不回答什么是绝对的“物理实在”（physical reality）。我们运用合适的表象建立模型来描写这个世界，但模型是我们关于现实的观念的近似，而不是现实的客观的描述的近似。同样地，描写Dirac之海的严格数学语言难以为人们所理解，所以我们借助“海”这个表象来打比方。而正是这个表象导致了原来的排除法数学处理被想象成了会吞噬物质的奇异空间。如果这个问题一开始以Dirac佯谬（Dirac Paradox）的名称传出去的话，就不容易被误解。

一方面，文艺上的想象可以而且应当存在。另一方面，它不可替代科学的解释。越是能读懂接近本质的表象，就越能明白其中的道理。然而我们谁也不会认为自己看到的就是终极的本源，这是只有神才能做到的事。