2-3-1 曲面的第二基本形式.ppt
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§3 曲面的第二基本形式. 3.1 曲面的第二基本形式. 前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式. 无关，本节研究外在形式---曲面的弯曲性. 曲面在一点的弯曲性， ...
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§3 曲面的第二基本形式
3.1 曲面的第二基本形式
前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式
无关，本节研究外在形式---曲面的弯曲性
曲面在一点的弯曲性，自然地用曲面偏离此点的切平面来描述
给出曲面S ： 上的曲线C：
P为C上一点对应参数为s，Q为其邻近点（s+△s）
p
n
Q
C
M
定义：称 为曲面的第二基本形式，其中L，M，N为曲面的弯曲系数。
几何意义：曲面的第二基本形式近似地等于P的邻近点Q到P的切平面中距离的两倍
计算公式1
计算公式2：因为
所以 可得
例1 求球面
的第二基本形式
解：
所以第二基本形式
对于曲面 有
其中：
注1 第二基本形式不是正定型：
2、参数变换下最多差有一个符号：
3.2 曲面上曲线的曲率
只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面
在P点沿C方向的法曲率
给出曲面S ： 及 S上曲线C：
P是C上一点对应参数为s，则对C有
定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是C在点p的曲率,. 则称 为C在点p的曲率向量, 称 为在曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为
n
曲面法曲率是曲面上点P和方向 的函数
同一点只要方向相同，则法曲率相同
对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就是法曲率呢？只要 即可，这就是法截线
S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线就是P点处沿切方向的法截线
n
梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中心C就是与曲线具有相同切线的法截线 在同一点p的曲线中心 在曲线C的密切平面上的投影。
例 在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大圆. 则梅尼埃定理显然成立.
3.3 杜邦指标线
曲面在一点处的杜邦指标线方程为
法曲率是曲面上点P和方向 的函数
在P点沿方向dr取线段PN使得
的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线
两边平方得
N
曲面上点的分类
平点
由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中心的有心二次曲线
椭圆点
双曲点
抛物点
例:求证曲线的切线曲面上的点都是抛物点。
证：设曲线
其切线曲面的方程为
由于
，所以曲面上的点都是抛物点。
4. 曲面的渐进线和共轭方向
曲线上的曲线,如果它上面每一点的切方向都是渐近
方向,则称为渐近曲线.渐近曲线的方程是
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
定义:如果P点是曲面的双曲点,则它的杜邦指标线有一对渐近线,我们把沿渐近线的方向 称为曲面在P点的渐近方向.由解析几何中二次曲线的理论可知,这两个渐近方向满足方程
分别表示 在P点的值.
命题1 如果曲面上有直线，则它一定是曲面上的渐进曲线。
证明:因为直线的曲率 ,所以沿直线方向的法曲率 ,即
因而直线是曲面的渐近曲线.
命题2 曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲线的密切平面
当 时, 渐近曲线是直线,这时曲面的切平面
过它,因此切平面又是密切平面.
当 曲面的法向量垂直于渐近曲线的
主法向量,因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外
还通过主法向量,所以它又是渐近曲线的密切平面.
证明:沿渐近曲线有 得到
如果曲面上的点都是双曲点,则曲面上存在两族渐近曲线,这两族渐近曲线、称为曲面上的渐近网.
命题3 曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是
证明:渐近网的方程是
曲纹坐标网的方程是
即 若 代入渐近网方程可得
即
反之,若 代入渐近网方程可知
设曲面上P点处的两个方向为
和 如果包含这两个方向的直线是P点
的杜邦指标线的共轭直径,则方向 称为曲
面的共轭方向.
由解析几何二次曲线理论杜邦指标线
两个共轭方向满足
给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点,此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向,则这两族曲线称为曲面上的共轭网
由方程组有非零解得共轭的方向为（δ）满足
设与曲线族
共轭的方向为（δ）
即有Adu+Bdv=0
（Lδu+Mδv）du+（Mδu+Nδv）=0
命题4 曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是M=0
所以u线（A=0）的共轭方向δ满足Lδu+Mδv=0
若u线（A=0）的共轭方向δ是v线方向则有M=0
反之也对。有下命题
证明：必要性已证
充分性：M=0，取du:dv=1:0； δu:δv=0:1代入共轭条件成立.
3.1 曲面的第二基本形式
前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式
无关，本节研究外在形式---曲面的弯曲性
曲面在一点的弯曲性，自然地用曲面偏离此点的切平面来描述
给出曲面S ： 上的曲线C：
P为C上一点对应参数为s，Q为其邻近点（s+△s）
p
n
Q
C
M
定义：称 为曲面的第二基本形式，其中L，M，N为曲面的弯曲系数。
几何意义：曲面的第二基本形式近似地等于P的邻近点Q到P的切平面中距离的两倍
计算公式1
计算公式2：因为
所以 可得
例1 求球面
的第二基本形式
解：
所以第二基本形式
对于曲面 有
其中：
注1 第二基本形式不是正定型：
2、参数变换下最多差有一个符号：
3.2 曲面上曲线的曲率
只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面
在P点沿C方向的法曲率
给出曲面S ： 及 S上曲线C：
P是C上一点对应参数为s，则对C有
定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是C在点p的曲率,. 则称 为C在点p的曲率向量, 称 为在曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为
n
曲面法曲率是曲面上点P和方向 的函数
同一点只要方向相同，则法曲率相同
对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就是法曲率呢？只要 即可，这就是法截线
S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线就是P点处沿切方向的法截线
n
梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中心C就是与曲线具有相同切线的法截线 在同一点p的曲线中心 在曲线C的密切平面上的投影。
例 在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大圆. 则梅尼埃定理显然成立.
3.3 杜邦指标线
曲面在一点处的杜邦指标线方程为
法曲率是曲面上点P和方向 的函数
在P点沿方向dr取线段PN使得
的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线
两边平方得
N
曲面上点的分类
平点
由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中心的有心二次曲线
椭圆点
双曲点
抛物点
例:求证曲线的切线曲面上的点都是抛物点。
证：设曲线
其切线曲面的方程为
由于
，所以曲面上的点都是抛物点。
4. 曲面的渐进线和共轭方向
- (1) 主要概念
曲线上的曲线,如果它上面每一点的切方向都是渐近
方向,则称为渐近曲线.渐近曲线的方程是
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
定义:如果P点是曲面的双曲点,则它的杜邦指标线有一对渐近线,我们把沿渐近线的方向 称为曲面在P点的渐近方向.由解析几何中二次曲线的理论可知,这两个渐近方向满足方程
分别表示 在P点的值.
命题1 如果曲面上有直线，则它一定是曲面上的渐进曲线。
证明:因为直线的曲率 ,所以沿直线方向的法曲率 ,即
因而直线是曲面的渐近曲线.
命题2 曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲线的密切平面
当 时, 渐近曲线是直线,这时曲面的切平面
过它,因此切平面又是密切平面.
当 曲面的法向量垂直于渐近曲线的
主法向量,因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外
还通过主法向量,所以它又是渐近曲线的密切平面.
证明:沿渐近曲线有 得到
如果曲面上的点都是双曲点,则曲面上存在两族渐近曲线,这两族渐近曲线、称为曲面上的渐近网.
命题3 曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是
证明:渐近网的方程是
曲纹坐标网的方程是
即 若 代入渐近网方程可得
即
反之,若 代入渐近网方程可知
设曲面上P点处的两个方向为
和 如果包含这两个方向的直线是P点
的杜邦指标线的共轭直径,则方向 称为曲
面的共轭方向.
由解析几何二次曲线理论杜邦指标线
两个共轭方向满足
给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点,此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向,则这两族曲线称为曲面上的共轭网
由方程组有非零解得共轭的方向为（δ）满足
设与曲线族
共轭的方向为（δ）
即有Adu+Bdv=0
（Lδu+Mδv）du+（Mδu+Nδv）=0
命题4 曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是M=0
所以u线（A=0）的共轭方向δ满足Lδu+Mδv=0
若u线（A=0）的共轭方向δ是v线方向则有M=0
反之也对。有下命题
证明：必要性已证
充分性：M=0，取du:dv=1:0； δu:δv=0:1代入共轭条件成立.
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