Tuesday, July 31, 2012

歐拉示性數 圖中的多面體有個穿過其身的?洞",這是造成它不同於 "簡單" 多面體的關鍵

中央研究院週報 第 1197 期

知識天地

拓樸學簡介
從歐拉示性數談起

鄭日新研究員(數學研究所)

大家可能聽過簡單多面體的歐拉公式:
V-E+F=2,其中V表頂點的個數,E表邊的個數,F表面的個數。這多面體的面可以是任意的多邊形。要點是簡單多面體的?簡單"是什麼意思? 圖一給個?非簡單"的多面體,大家再算一下它的點線面交錯和得到0,就不是2了。關鍵在哪呢?我們後來知道所附圖中的多面體有個穿過其身的?洞",這是造成它不同於 "簡單" 多面體的關鍵。用較嚴格的話說,簡單多面體就是可以連續變形(不能拉斷)為球面的多面體,所附圖中的多面體可以連續變形為輪胎面,輪胎面並不能連續變形為球面,拓樸學上說輪胎面與球面拓樸不同所以點線面交錯和V-E+F不同,一般拓樸相同(即可以相互連續變形)的多面體便會有相同的點線面交錯和V-E+F,我們叫此拓樸不變量為歐拉示性數。

大家可能聽過空間中有五種正多面體:正
4681220面體。為什麼沒聽過其他的正多面體,如正1016面體。因為其他的不能存在,證明就要用到簡單多面體的歐拉公式:V-E+F=2,這公式加上正多面體的頂邊個數,面邊個數關係給了正多面體的頂,邊,面數很大限制。

給一閉曲面(黏土),我們把它捏成(不能拉斷)一個任意的多面體,其歐拉示性數總是相同,事實上,對(可定向)閉曲面而言,歐拉示性數是唯一的拓樸不變量,就是說,兩個此種曲面拓樸相同(即可以相互連續變形)若且唯若其歐拉示性數相同。

閉曲面上若考慮切向量場,其為
0之點叫奇點。(孤立)奇點個數之(某種代數)和,可證明即曲面的歐拉示性數,這是著名的Hopf標數定理,我們常說頭髮最多只有兩個"",因為有Hopf標數定理且頭表面的歐拉示性數為2。中央研究院週報 第 1197 期

閉曲面的歐拉示性數另有一積分表達式,把曲面上每一點的曲率(測度曲面彎曲程度的量)疊加起來取平均。這就是出名的
Gauss-Bonnet 定理。這是微分幾何中第一個漂亮的大域定理。西元1944 年陳省身院士運用對聯絡巧妙的纖維叢理解給出一個內蘊的證明,他的方法同時重證了Hopf 標數定理及Gauss-Bonnet 定理。

歐拉示性數的進一步發展是理解成某個幾何型橢圓算子的指標,
Atiyah-Singer 指標定理以橢圓算子理論併入Gauss-BonnetRiemann-Roch 等有名的定理為其特例。Atiyah-Singer 指標定理將我們對大域微分幾何的了解推進到一個新的境界。不過,故事還沒完。隨著尖端量子物理的發展,場量子化已是理論的必需,其用來表達的語言是費因曼的路徑積分,同時,為了理論的圓滿,物理學家也引入了超對稱,超空間等的觀念。

歐拉示性數再度理解為重力場中運動自旋粒子量子化後基態─基態期望值(
vacuum-vacuum expectation value)。這值可用超空間上的路徑積分表達。透過超空間上路徑積分的操作,我們事實上重證了Gauss-Bonnet 定理。場量子化後基態─基態期望值的概念透過Witten 的工作涵蓋了許多精細的拓樸不變量,發展出所謂的?拓樸場論"。另一方面,為了回答四維時空上(nonabelian)規範場(當然是量子化後)的質量(mass gap)是什麼等基本問題,建立嚴格的費因曼積分理論乃是不能逃避的數學工作,時間好像回到Laurent Schwartz 為了嚴格化δ函數發 展廣義函數理論之前的年代,誰會是下一個Laurent Schwartz 呢?

?超對稱與指標定理"參考資料:
1. L. Alvarez-Gaume,
Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem, Commun. Math. Phys. 90 (1983) 161-173.(物理式的證明)
2. A. Rogers,
A superspace path integral proof of the Gauss-Bonnet-Chern theorem, JGP, Vol.4, no. 4, 1987(嚴格的證明, 須超空間費因曼-Kac 公式)

?規範場的質量是什麼"參考資料
1. E. Witten,
Physical law and the quest for mathematical understanding, Bulletin of the A.M.S., Vol. 40, No.1, pp. 21-29, electronically published on Oct. 9, 2002.
2.
高涌泉,Bμ場的質量是什麼?數學傳播100,第25 卷,第四期,頁21-25

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