這是
Google 對 http://www.docin.com/p-85752491.html
的快取。 這是該網頁於 2012年5月16日 12:43:18 GMT 顯示時的快照。 在此期間，目前網頁可能已經變更。 瞭解更多資訊
這些搜尋字詞已反白標明： wave equation 波 與 粒子 的 二重性 顯示 電子 同時 具有 兩 個 不 相 容 的 圖 像
1 Quantum Physics II 1. Atomic spectrum
原子激發後發出的光，可以使我們了解原子結構的動力性質。但令人驚訝地，原子所發出的光的波長並不是連續的，而是形成離散的譜線，稱之為原子光譜。
這個光譜可以了解為來自分立的能階之間的躍遷所發出： 這些能階可以一個自然數n 來標記，能階的能量是反比於n 平方：
這個公式成功地描寫了氫原子光譜，但顯然從電子的古典粒子圖像，完全沒有辦法解釋這個公式的原因。 2. Wave Equation
波與粒子的二重性，顯示電子同時具有兩個不相容的圖像，我們必須對這兩個圖像稍作修正，兩者才不會發生衝突： 1.
電子是粒子，但此粒子的位置與動量不能同時精確測量。 2.
電子是波，其性質隨時間的演化，以波函數來描述，只是此波函數無法觀察測量，一測量，電子就以粒子的型式出現。
量子力學中的粒子，它的動力行為，也就是它的性質隨時間變化的形式，是由波函數（Wave Function） ) , ( t x
來描述決定的。所有的波函數構成一個如向量空間一般的泛函空間。正如一般向量一樣，一個波函數可以是由兩個性質各自確定而彼此不相容的波函數疊加而成，這和古典的粒子非常不一樣。比如雙狹縫干涉實驗中到達屏幕的電子之波函數，就是由通過狹縫1
及通過狹縫2（從古典粒子的角度來看兩者不互容）的兩個波函數疊加而成。
既然波函數是唯一可以預測計算的量，粒子的性質必須透過波函數隨時間的變化來研究。波函數的動力性質是由波方程式來決定，現在我們無法由波的介質組成結構（如繩子粒子之於繩波）來推導出，而只能用猜的。要猜測物質波的波方程式，唯一的指引就是物質波波長頻率與粒子動量能量的關係（翻譯表）：
hf E k h p 對於一個自由粒子而言，能量與動量是有關係的： E m p 2 2
這個關係也就給出了物質波波長與頻率的色散關係： 2 hf h m 2 2 1
一般來說，波的色散關係是由波方程式給定，所以由此單頻率波的色散關係出發，或許可以猜出普遍的物質波波方程式。比如繩波的波方程式： 2 2 2 2 2 1 t y
v x y ，如果將正弦波 ) cos( t kx y y m 代入，對空間微分兩次就可以製造出兩次波長反比：
2 2 2 2 2 4 k x ，對時間微分兩次製造出兩次頻率： 2 2 2 2 2 4 f t
，因此得到色散關係： 2 2 2 1 1 f v ， v f 。如果你嚐試用同樣的方法來處理物質波的色散 ) ( 2 2 hf m h
，會出現一個大問題，左邊的兩次波長反比比較容易，然而要製造出一次的頻率f，就不容易，因為cosine 函數的微分是sin
函數，所以正弦波波函數對時間的一次微分並不與自己成正比： t
。為了繼續使用上述的翻譯對應，我們需要一個函數，它的微分與函數自己是成正比，而且它隨時間變化又要具有震盪的性質。正如課堂上提過的，虛數的指數函數正是這樣一個函數。它也是一般波方程式的解，只是一般的波實數部與虛數部是分離而不相干的，所以並不需要這樣的解法。現在我們可以嚐試允許物質波的波函數成為複數，然後將單頻率波以虛數的指數函數表示為：
t kx i t kx e t kx i sin cos 0 ) ( 0
如此則波函數的時間一次微分是正比於自己，比例常數即正比於一次的頻率，只是此比例常數是虛數： f i i t 2
波函數對位置的一次微分也是正比於自己，比例常數與波長反比： 2 i ik x
有了這樣的工具，物質波波長與頻率的色散關係，便很容易可以翻譯成波方程式： hf h m 2 2 1 ie m k 2 2 2
就直接了當地翻譯為： t i x m 2 2 2 2 假設同樣的精神，也適用於受位能影響的粒子，那麼能量與動量的關係寫成： E V
m p 2 2 3 物質波波長與頻率的色散關係： hf V h m 2 2 1 or V m k 2 2 2
如此，由色散關係很容易得到一個波方程式： t i x V x m ) ( 2 2 2 2
這就是薛丁格方程式。此方程式不直接寫出頻率與波長，因此我們預期可以適用於任何單頻率波以及他們的線性疊加，因此也就適用於任何的物質波。這個方程式最重要的特徵，在於它的係數是虛數，因此物質波的解也一定是複數。
3. 測量期望值
物質波是複數，因此不可能測量。但波的強度與重複實驗（如雙狹縫干涉）中粒子的分布一致，因此波恩大膽地假設，物質波的強度與機率成正比。複數波的強度是以波函數絕對值得平方來計算：
) ( ) ( ) ( ) ( * 2 x P x x x I ，此處的P 稱為機率密度： dx dx x P 2 ) (
就是在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率。
由以上的假設可以了解，量子力學的世界與古典物理的世界非常不同。在古典物理中，一個粒子或一個系統在任一時刻有一定的狀態，若處於完全相同的狀態，無論作那一種物理測量，得到的結果是確定的，也就是重複測量時得到的結果一定相同。但在量子力學的世界中，即使粒子處於完全相同的狀態，意思是波函數完全相同，但物理測量的結果卻不一定相同，出現哪一個結果是由機率決定，有如擲骰子一般，位置的測量就是最明顯的例子。因此物理學能預測的是重複實驗後，所得結果的平均值，這個平均值術語稱為期望值。
位置的期望值很容易計算： dx x x x dx x x x ) ( ) ( ) ( * 2 。
如此，其他物理量如果是位置的函數，例如位能，它的期望值也很容易算： dx x x f x dx x x f
x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * 2 動量的期望值比較難想像，最直覺的猜想是： dx x p x p )
( ) ( * ，但這只對單一波長也就是單一動量的波函數才是對的，對一般波函數並不適用。我們必須將上式積分中的p 作一點變形。如果波函數是正弦波 ) ( 0 t
kx i e ，那麼上式可以改寫成 dx x x i x p ) ( ) ( *
，而一般的波函數如同傅利葉分析一樣都可以寫成正弦波的疊加，所以以上的定義應該可以適用於一般的波函數： 4 dx x
x i x p ) ( ) ( * 如此動量的函數也可以如法泡製： dx x x i f x p f )
( ) ( ) ( * 例如動能： dx x x m
x dx x x i m x m p ) ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 2 2 2 * 2 * 2
在以上的討論中，可以發現古典物理的物理量（都是位置與動量的函數），在量子物理中，會對應到一個作用於波函數的運算動作： x x ˆ ， x
i p ˆ 在術語中，這些運算動作稱為算子operator，是作用於波函數的一種數學物件，我們用符號上的帽子O ˆ 來區別： ) ( ' ) ( ˆ x x
O 。因此量子物理，是由兩類的物件所組成，一個是波函數 ) (x ，用以描寫系統的狀態；一個是算子O ˆ
，用以描寫實驗的測量，也對應古典物理的物理量。而實際測到的是期望值，期望值正好由以上兩類物件計算出來： ) ( ˆ ) ( * x O x
dx O 但也並不是所有物理量都是不確定，例如對單一波長的正弦波 ) ( 0 t kx i p e
來說，動量測量就是確定的。動量算子作用於正弦波波函數時有一特點： p t kx i p k e x i p 0 ˆ
，此算子作用於有確定結果的波函數時，效果有如一個數： o O ˆ 。對算子O ˆ 來說，這樣的函數稱為本徵函數，而對應的數o稱為本徵值。
以下簡單證明這件事：一個測量的不確定性，通常用統計的標準差來描述，定義為 2 ˆ ˆ O O ，而本徵函數的標準差可以計算如下：
0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 * * 2 2 * 2 * 2 2 2
o o dx o dx o O dx O dx O O O O 所以，測量O ˆ
時，只有當粒子的狀態處於本徵函數時，標準差為零，測量結果才是一確定值 o，而沒有漲落。o有可能是連續，也有可能是離散的。 5 t i ikx t kx i e
e e 0 ) ( 0 4. 穩定態的解 我們通常對於能量為一定值的解最有興趣，這些解具有固定的頻率： h E f /
，因此其解與時間的相關可以解出來。我們以自由電子為例： 波函數與時間的關係很簡單：波函數本身變化率正比於波函數本身，也就是 ) , ( ) , ( ) , (
t x E t x t x t i
。具有這個性質的波函數，有許多很重要的性質，因此以下將以這一類的波函數為研究的對象。這類函數，是能量的本徵態，因此其能量的測量，沒有不確定性！由其所滿足的方程式：
) , ( ) , ( t x E t x t i ，可以立刻得出此波函數與時間的關係（指數函數）： t i t E i e x e x
t x ) ( ) ( ) , ( 。 現在未知而代解就剩下一個位置的函數ψ(x)，將上式代入薛丁格方程式中，可知位置函數 ψ
滿足一常微分方程式： 此常微分方程式有時也稱為與時間無關之薛丁格方程式。這一類固定能量解還有一個重要性質，如果計算這種解的機率密度， 2 2 2 2 2 ) (
) ( ) ( ) ( x e x e x x,t Ψ P t E i t E i
，你會發現它與時間無關，而且我們可以證明其他物理測量的期望值也與時間無關！因此這些解所對應的狀態，也被稱為穩定態。 5. Traveling wave
先從自由電子開始，自由電子受力為零，因此位能V 是一常數， 0 ) ( V x V ，方程式為 2 0 2 2 2 2 k E V m dx
d ，在此 0 2 2 V E m k 。其解很簡單： ikx ikx Be Ae x ) ( 由 2
2 0 2 V E m k 可以得出波長，所以當能量大於位能值時 o V E ，k 為實數，因此波函數可以寫成： ) ( ) ( ) , (
t kx i t kx i Be Ae t x 這個解分別是向+x 方向及向-x
方向傳播的波，只是現在此波函數有實數部也有虛數部。這個解有單一的頻率與波長，因此有確定的能量與動量，對應到古典的沿+x 方向及-x
方向運動的自由粒子（受力為零）。有趣的是，和古典粒子不同，它的機率的位置分布是一個常數： 2 2 ) ( 2 A Ae t kx i
所以它的位置是完全無法確定的。這樣的波（複數波）雖然與古典有些不同（實數波），但在雙狹縫實驗中也會出現一樣的干涉條紋，這是因為波疊加時，實數部分與虛數部分是分開疊加，使實數部出現破壞干涉的條件也會使虛數部成破壞干涉。
電子的物質波在位能值不同的兩個區域（因此波長不同）間傳播時，也會如古典波出現反射與透射的現象。 E x V m dx d ) ( 2 2 2
2 6 如果能量小於位能值時 o V E ，古典的粒子根本不能存在這樣的區域，然而在量子力學中，波函數還是有解： x x Be Ae x
) ( E V m 0 2 2 如果此波是由左邊傳來，如下圖所示，則第二項 x Be
可以忽略。在這區域，粒子波不再是傳播的波，其波函數會隨位置而成指數遞減，因此機率分布也是如此： x t i x e A e Ae 2 2 2 2
。 如果有如下圖之壁壘，古典的粒子會反彈，但電子卻可以有一定機會穿透壁壘到達壁壘的後方，穿透機率與壁壘厚度成指數相關 L e T 2
。 這現象稱為穿隧效應。 6. Bound State
以上的自由粒子解，能量可以是任意值，但如果此電子其位置被一位能束縛於一個範圍之內，如同駐波一樣，其能量通常就不能是任意值，而出現能階的形式。考慮如下一位能井：
因位能在邊界為無限大，因此波函數必須為零， 0 ) ( ) 0 ( L
，稱為邊界條件。在兩邊界之間粒子唯一自由粒子，因此其解就是如上節所示之正弦波： ikx ikx Be Ae x ) (
。此式可以換一個比較方便形式來寫： kx C kx C x cos sin ) ( 2 1 ，代入邊界條件： 0 ) 0 ( 2 C
，因此 kx C x sin ) ( 1 。另一個邊界條件 0 ) ( L ， 0 sin ) ( 1 kL C L ，因此 n
kL ，此波的波長不能任意， n L 2 ，因此它的解以離散的序列形式出現，由自然數n 來排列，一個n 對應一個解，這樣的自然數稱為量子數。
x L n C x n sin ) ( 1 這種情況與弦上的駐波非常類似。由波長可以算出電子的動量與能量： mE h p h 2
， 2 2 2 8 n mL h E n ，你可以清楚看到能量是量子化的！
No comments:
Post a Comment