由變換{w = eiθz+a, θ ∈ R, a ∈ C} 所組成的群, 即由旋轉w = eiθ 及平移w = z+a 的複合所組成的群稱為歐氏運動群, 或剛體運動群

由

變換{w = eiθz+a, θ ∈ R, a ∈ C} 所組成的群, 即由旋轉w = eiθ 及平移w = z+a 的複

合

所組成的群稱為歐氏運動群, 或剛體運動群(Group of rigid motions), 這是Aut(C) 中的

一個子群, 顯然, 歐氏度量是在歐氏運動群下的不變度量。

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d352/35207.pdf

數

學傳播35卷2期, pp. 66-90

複

分析五講第五講

微

分幾何與Picard 定理

龔

昇· 張德健

5.1.

度量與曲率(metric and curvature)

在

這一講中, 我們將介紹一些複幾何的基礎知識並用之來處理複分析中的一些定理, 例如

Picard

定理。Picard 定理也許是複變函數論尤其是值分佈理論中最經典的定理之一, 原來的

證

明非常的繁複, 但如果用微分幾何的角度來討論, 就顯得簡單得多了。

若

為C 中的一個區域, 在 上定義一個非負的C2 函數ρ, 稱之為度量(metric), 即

ds

2

ρ

= ρ2|dz|2。由此得到距離函數d, 在兩點z1, z2 ∈ 之的距離定義為

d

(z1, z2) = inf

Z

γ

ρ

(z)|dz|, (5.1)

這

裡inf 是所連接z1, z2 兩點且各點全在 中的曲線γ 上取的。

對

度量ρ, 可以定義曲率(curvature) 如下:

K

(z, ρ) = − log ρ(z)

ρ

2(z)

,

(5.2)

這

裡 為Laplace 算子, 即

=

∂

2

∂x

2 +

∂

2

∂y

2 = 4

∂

∂z

∂

∂z

= 4

∂

∂z

∂

∂z

=

∂

2

∂r

2 +

1

r

∂

∂r

+

1

r

2

∂

2

∂θ

2 ,

其中

z = x+iy = reiθ。我們可以證明這樣定義的曲率與一般在微分幾何中定義的Gauss 曲

率

是一致的。

在

複幾何中常用的度量有如下三種。

(1)

歐氏度量(Euclidean metric)

若

= C, 在C 中取度量ρ(z) ≡ 1, 對所有z ∈ C, 即ds2 = |dz|2, 這個度量稱為歐

氏度

量(Euclidean metric) 或拋物度量(parabolic metric), 兩點z1, z2 之間的距離稱為歐

66

複

分析五講第五講67

氏

距離, 而

d

(z1, z2) = inf

Z

γ

|dz| = |z1 −z2| = 連接z1, z2兩點的直線段之長度,

由

變換{w = eiθz+a, θ ∈ R, a ∈ C} 所組成的群, 即由旋轉w = eiθ 及平移w = z+a 的複

合

所組成的群稱為歐氏運動群, 或剛體運動群(Group of rigid motions), 這是Aut(C) 中的

一

個子群, 顯然, 歐氏度量是在歐氏運動群下的不變度量。而由定義(5.2), 這時候K(z, ρ) = 0

對任

意的z ∈ C 都成立, 所以稱這個度量為拋物度量。

(2) Poincar´e

度量

若

為單位圓盤D(0; 1) = {z ∈ C; |z| < 1}, 在D(0; 1) 上取度量

λ

(z) =

2

1

−|z|2 ,

即

ds2

λ

=

4

|dz|2

(1

−|z|2)2

。

這

個度量稱為Poincar´e 度量(Poincar´e metric) 或雙曲度量(hyperbolic metric)。在

第二講

中我們已證明: D(0; 1) 的全純自同構群Aut(D(0; 1)) 由變換

(

w

= eiθ z −a

1

−az

, θ

∈ R, a ∈ D(0; 1)

)

所

組成,即群由旋轉及M¨obius 變換所組成。在第二講中也證明: Poincar´e度量是在Aut(D(0;

1))

下的不變量。

現

在我們來計算D(0; 1) 中兩點z1, z2 的Poincar´e 距離。先考慮D(0; 1) 中兩點z1 = 0

及

z2 = R + i0 (R < 1) 之間的Poincar´e 距離。這時候連接這兩個點的曲線γ 可以寫成

z

(t) = u(t) + iv(t), 0 ≤ t ≤ 1,

v

(0) = u(0) = v(1) = 0, u(1) = R,

而

u2(t) + v2(t) < 1, u, v 為t 的C1 實值函數, 於是

Z

γ

ds

=

Z

γ

2

|dz|

1

−|z|2 = 2

Z

1

0

(

u′(t)2 + v′(t)2)

1

2

dt

1

−u2(t) −v2(t)

≥

Z

1

0

2

|u′(t)|dt

1

−u2(t) ≥

Z

R

0

2

du

1

−u2

= log

1 +

R

1

−R

,

而等號

成立若且唯若v(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1。所以得到

d

(0,R + i0) = inf

γ

Z

γ

2

|dz|

1

−|z|2 = log

1 +

R

1

−R

,

68

數學傳播35卷2期民100年6月

而

對積分取inf 的γ 為連接0 及R + i0 的直線段。

由於

w = eiθz 是Aut(D(0; 1)) 中的一個元素, 故D(0; 1) 中任意兩點的Poincar´e 距

離經

w = eiθz 作用後是不變的。因此, 我們得到

D

(0; eiθR) = log

1 +

R

1

−R

對任

意θ ∈ R 都成立。

若

z1, z2 為D(0; 1) 中任意兩點, 則

φ

(z) =

z

−z1

1

−z1z

為

Aut(D(0; 1)) 中的一個元素, 將z1 映為0, z2 映為

z

2 −z1

1

−z1z2

.

於是

d

(z1, z2) = d

0

,

z

2 −z1

1

−z1z2

= log

1 +

z

2 −z1

1

−z1z2

1

−

z

2 −z1

1

−z1z2

.

(5.3)

這

就是D(0; 1) 中任意兩點z1, z2 之間的Poincar´e 距離或雙曲距離。在這個時候

d

(z1, z2) = inf

γ

Z

γ

|

dz|

1

−|z|2

其中取

inf 的γ 為曲線

z

=

z

1 +

z

2 −z1

1

−z1z2

t

1 +

z1

z

2 −z1

1

−z1z2

t

,

0 ≤ t ≤ 1,

即

z

=

(1

−t)z1 + (t −z1z1)z2

1

−tz1z1 −(1 −t)z1z2

,

0 ≤ t ≤ 1.

從

(5.3) 式中可以看出, 當z2 → z1 時, d(z1, z2) = 0; 當z1 或z2 趨於D(0; 1) 的界點時,

d

(z1, z2) → +∞。

在

第二講中我們證明了Schwarz-Pick 引理: 若w = f(z) 為D(0; 1) 中的全純函數, 將

D

(0; 1) 映入到D(0; 1), 且w1 = f(z1), w2 = f(z2), 則有

w

1 −w2

1

−w1w2

≦

z

1 −z2

1

−z1z2

,

(

5.4)

複

分析五講第五講69

而等號

成立的充要條件為f ∈ Aut(D(0; 1))。

由

(5.3), 可將(5.4) 改寫成

d

(w1,w2) ≤ d(z1, z2).

於是

Schwarz-Pick 引理有明確的幾何意義: 若w = f(z) 為D(0; 1) 中的全純函數, 將

D

(0; 1) 映入到D(0; 1), 則D(0; 1) 中任意兩點之間的Poincar´e 距離經過映射後是不會增

加

的, 距離相等的充要條件為f ∈ Aut(D(0; 1))。

由於

= 4

∂

2

∂z∂z

,

故

−

log λ(z) = 2 log(1 −|z|2) = −4

(1

−|z|2)2 ,

故

雙曲度量λ(z) 的曲率K(z, λ) = −1 對所z ∈ D(0; 1) 都成立, 所以稱這個度量為雙曲度

量

。

(3)

球度量

若

= C∗= C ∪ {∞}, 在C∗上取度量σ(z) =

2

1 +

|z|2 , 即

ds

2

σ

=

4

|dz|2

(1 +

|z|2)2 ,

稱這

個度量為球度量(spherical metric) 或橢圓度量(elliptic metric)。在第一講中我們曾介

紹

過球面投影(stereographic projections), 這個投影建立了Riemann 球面S2 上的點與

C

∗中的點之間的一一對應。若z ∈ C∗, 則在S2 上對應的點的座標為

(

x1, x2, x3) =

z

+ z

1 +

|z|2 ,

z

−z

i

(1 + |z|2)

,

|z|2 −1

|

z|2 + 1

!

.

(5.5)

若

p = (x1, x2, x3) 及p′ = (x′

1

, x′

2

, x′

3

) 為S2 上的兩點, 則這兩點之間在S2 上的最短距離

為

過p 及p′ 的大圓上的弧

⌢pp

′ 的弧長。這個弧長等於

2 tan

−1

s

1

−x1x′

1

−x2x′

2

−x3x′

3

1 +

x1x′

1

+ x2x′

2

+ x3x′

3

.

由

(5.5), 這等於2 tan−1

z

−z′

1 +

zz′

。將

這個距離作為C∗中的一種度量, 得到z, z′ 之間的距

離

為

d

(z, z′) = 2 tan−1

z

−z′

1 +

zz′

.

70

數學傳播35卷2期民100年6月

顯

然, 相對應的度量為

ds

2 =

4

|dz|2

(1 +

|z|2)2 .

這

只要對d 求微分即可得到, 也就是

ds

2 = σ(z)2|dz|2, σ(z) =

2

1 +

|z|2 .

於是度

量σ(z) 有十分明確的幾何意義。用度量σ(z) 來計算C∗中兩點的距離等於在S2 上對

應的

兩點之間的最短距離, 即球面距離。也就是說, 用S2 上對應兩點的球面距離為C∗中兩點

之

間的距離, 於是有

d

(z1, z2) = inf

γ

Z

γ

σ

(z)|dz|,

這

裡γ 為連接z1, z2 的任意曲線。

若

z1, z2 在S2 上的對應的點為p1, p2, 連接p1p2 的大圓上的弧⌢p1p2, 將⌢p1p2 經過球

面

投影到C∗中連接z1 與z2 的曲線γ0, 這γ0 就是使上式積分取inf 的曲線。這是為什麼稱

度

量σ(z) 為球度量的原因。

不

難計算得到球度量σ(z) 的曲率在每一點z ∈ C∗為+1, 所以稱這個度量為橢圓度量。

在

第三講中已經敘述過單值化定理: 任意單連通的Riemann 曲面一定一對一地全純等價

於

下列三個區域之一: C; D(0; 1) 以及C∗。這就是為什麼要在這三個區域上來定義並討論幾

何

性質的原因。

若

1 及2 為C 中的兩個區域, f 為1 上的全純函數, 將1 映為2。若ρ 為2

上

的一個度量, 且f′ 6≡ 0, 則

f

∗ρ = (ρ ◦f)|f′| (5.6)

定

義了在1 上的一個度量。這個度量稱之為由度量ρ 通過f(z) 拉回來(pull back) 到1

上

的度量。要證明的是:

K

(z, f∗ρ) = K(f(z), ρ).

由於

log

|f′(z)| = 0

以及

log(

ρ0f(z)) = 4

∂

2

∂z∂z

log(

ρ ◦f(z))

= 4

∂f

∂z

∂f

∂z

∂

∂f

∂

∂f

log(

ρ ◦f)

複

分析五講第五講71

=

|f′(z)|2( f log ρ) ◦f(z),

所

以

K

(z, f∗ρ) = −f′(z)|2( f log ρ) ◦f(z)

(

ρ ◦f(z))2|f′(z)|2

=

−( f log ρ) ◦f(z)

(

ρ ◦f(z))2 = K(f(z), ρ).

5.2. Ahlfors - Schwarz

引理

第二講

中的定理2.17給出了經典的Schwarz 引理的解析形式。而第二講中的定理2.19

給

出了Schwarz-Pick 引理, 這是經典的Schwarz 引理的推廣。在上一節中, 我們給出了

Schwarz-Pick

引理的微分幾何的意義, 這是用Poincar´e 度量來刻劃的。在這一節中, 我們

將

討論Schwarz 引理的另一種形式之推廣, 即Ahlfors-Schwarz 引理, 這是用曲率來刻劃的,

而

且是Schwarz-Pick 引理的推廣。這個引理是在1938年由Ahlfors 所證明的(見[1, 2, 3]),

這

個結果可以說是微分幾何進入複變函數論的開始, 也是用微分幾何的觀點來處理複分析問題

的

開始。

定

理5.1: (Ahlfors-Schwarz 引理) 設f(z) 為D(0; 1) 上的全純函數, f 將D(0; 1) 映為,

如

果在 可以引進一個度量ρ, 即ds2

ρ

= ρ2(z)|dz|2, 使得曲率在 上任一點都≤ −1, 則

f

∗ρ(z) ≦ λ(z), (5.7)

其中

λ(z) =

2

1

−|z|2 , 即ds2

ρ

≤ ds2

λ

。

換

句話說, 經過映射之後, 度量不增加。

證

明: 任意固定r ∈ (0, 1), 在以原點為中心, r 為半徑的圓盤D(0; r) 上定義度量

λ

r(z) =

2

r

r

2 −z2 ,

顯

然, 在D(0; r) 中任一點z 上, 其曲率均為−1。定義函數

v

(z) =

f

∗ρ(z)

λ

r(z)

,

則在

D(0; r) 上, v 是非負的連續函數。由(5.6) 知, f∗ρ(z) = ρ(f(z))|f′(z)| 在D(0; r) 上

是有界的

, 且當|z| → r 時,

1

λ

r → 0。所以當|z| → 0 時, v(z) → 0。因此v 只能在D(0; r)

72

數學傳播35卷2期民100年6月

中

的某點r 處取到極大值M, 如能證明: M ≤ 1, 則在D(0; r) 上, v ≤ 1 成立。令r → 1−,

即

得(5.7)。

若

f∗ρ(r) = 0, 則v ≡ 0, 己無需再證。所以不妨假設f∗ρ(r) > 0, 這時K(r, f∗ρ) 是

有意

義的。因此, 由假設我們得到K(r, f∗ρ) ≤ −1。由於log v 在r 點處取極大值, 故有

0

≥ log v(r) = log f∗ρ(r) − log λr(r)

=

−K(r, f∗ρ) · (f∗ρ(r))2 + K(r, λr)(λr(r))2

≥

(f∗ρ(r))2 −(λr(r))2,

即

得

f

∗ρ(r)

λ

r(r) ≤ 1,

故

M ≤ 1, 引理因而證畢。

若

在Ahlfors-Schwarz 引理中, ⊆ D(0; 1), 則可取ρ = λ, 這樣就得到Schwarz-Pick

引

理。所以Ahlfors-Schwarz 引理為Schwarz-Pick 引理的推廣。

我

們還可以將Ahlfors-Schwarz 引理寫成為更一般的形式。

在

D(0; 1) 上定義度量(R > 0)

λ

α

R

(z) =

2

R

√

α(R2 −|z|2)

,

(5.8)

這

裡α > 0, 則這個度量在D(0;R) 中任一點, 其曲率均為−α。

定

理5.2: (一般形式的Ahlfors-Schwarz 引理) 假設f(z) 為D(0;R) 上的全純函數, 將

D

(0;R) 映為, 如在 上可以引入一個度量ρ, 即ds2

ρ

= ρ2(z)|dz|2, 使其曲率在 上任

一點都

小於等於−β, 則

f

∗ρ(z) ≦

√

α

√

β

λ

α

R

(z),

對

每個z ∈ D(0;R) 都成立, 這裡β 為一正的常數。

定

理5.2 的證明與定理5.1 的證明幾乎相同, 讀者可自行證明。Ahlfors-Schwarz 引理

也

是微分幾何中比較定理的開始之一。應用這個引理可以得到很多重要的結果, 例如: 推廣的

Liouville

定理。

5.3. Liouville

定理的推廣及值分布

第二講

的定理2.8為重要的Liouville 定理: 任意有界整函數必為常數。現在應用Ahlforz-

Schwarz

引理, 可以用曲率來刻劃與推廣Liouville 定理。

複

分析五講第五講73

定

理5.3: (推廣的Liouville 定理) 若整函數f(z) 將C 映到, 如在 上可以引進一個度

量

ρ(z), 使得對任意z ∈ , 其曲率K(z, ρ) 滿足

K

(z, ρ) ≤ −β < 0,

這

裡β 為一正的常數, 則f(z) 為必常數。

證

明: 對任意R > 0, f(z) 將D(0;R) 映到 之內, 由假設, 可在其上定義度量ρ, 使得其曲

率

K(z, ρ) ≤ −β < 0。故由定理5.2

f

∗ρ(z) ≤

√

α

√

β

λ

α

R

(z).

由

(5.8) 知, 當R → ∞, λα

R

(z) → 0, 故得f∗ρ(z) ≤ 0。所以f∗ρ(z) = 0。由於f(z) 為全

純

函數, 因此, f 必為常數, 定理因而證畢。

由

定理5.3 可以導出古典的Liouville 定理。

若

f(z) 為有界的整函數, 所以存在一個正常數M, 使得|f(z)| ≤ M 對所有z ∈ C 都

成

立。於是全純函數

1

M

f

(z) 將C 映射到D(0; 1) 之內。而在D(0; 1) 上, 顯然可以取度量

λ

, 其曲率為−1, 故在定理5.3 中取β = 1, 即得

1

M

f

(z) 必為常數, 因而f(z) 必為常數, 這

便

證明Liouville 定理。由此可見, 定理5.3 是Liouville 定理的微分幾何形式之推廣。

由

Liouville 定理知道: 若整函數w = f(z) 將C 映到有界區域, 則f(z) 必為常數。若

整

函數w = f(z) 將C 映到無界的區域, 如果C \ 的面積> 0, 那麼我們仍可證明f(z)

必為常數

。這可以證明如下: 若w0 ∈ C \ , 且為內點。作變換w1 = w −w0, 則w1 = 0 位

於

f(C)−w0 的餘集合之中。作變換w2 =

1

w

−w0

,

則w2 將C 映到有界區域, 於是w2 為

常數

c。由c =

1

w

−w0

,

即得w 也是一個常數。

現

在我們可以進一步的問, 若整函數w = f(z) 將C 映到無界區域, 而C \ 的面積

為

零, 即C \ 是由一個曲線組成, 這時候f(z) 是否仍為常數呢?

我

們來看一看下面的例子。

若

整函數w = u + iv = f(z) 將C 映為C \ {u + i0 | 0 ≤ u ≤ 1}。作變換

w

1 = u1 + iv1 = φ(w) =

w

w

−1

,

將

C 映為C \ {u1 + i0 : u1 ≤ 0}。作變換w2 = r(w1) = √w1, 這裡開方取主要分支

(principal branch),

則w2 將C 映為右半平面。再作Cayley 變換

w

3 =

w

2 −1

w

2 + 1

=

s(w2),

74

數學傳播35卷2期民100年6月

將右半

平面映為單位圓盤D(0; 1), 於是由Liouville 定理知道, w3 是常數, 這便導出w2, w1

及

w 均為常數。

由此

可見, 整函數w = f(z) 將C 映到無界區域, 即使C \ 是一個線段, 這個整函

數

仍可能為常數, 不但如此, 顯然可見, 我們可以取這個線段的長度為任意小的正數, 這時f(z)

仍

為常數。

接

下來的問題便是: C \ 是多小時, f(z) 才不是常數呢? 我們先考慮另一個極端的例

子。

整函數f(z) = ez 將C 映到 = C \ {0}, 所以如果C \ 為一點的話, 就有例子存

在

, 使得f(z) 不是常數。那麼如果C \ 為兩個點的話, f(z) 是不是常數呢? 其答案便是

Picard

小定理了!

5.4. Picard

小定理(Picard Little Theorem)

定

理5.4: (Picard 小定理) 若整函數w = f(z) 將C 映為, 而C \ 至少包含兩點, 則

f

(z) 必為常數。換句話說: 非常數的整函數取到C 中所有的值除了一個可能的例外點。

為

了證Picard 小定理, 我們先證明下面的定理。

定

理5.5: 若 為C 中的開集合, C\ 至少包含有兩點, 則在 上可以引進一個度量μ, 使

得

曲率K(z, μ) 在 的每一點都滿足

K

(z, μ) ≤ −β < 0,

這

裡β 為正的常數。

由

定理5.5 我們立即推出定理5.4。這是因為: 若C\ 至少包含有兩個點, 則由定理5.5

知

道存在一個度量μ, 使得其曲率在 上每一個點都滿足K(z, μ) ≤ −β < 0, 而β 為正的

常數

, 再由推廣的Liouville 定理知, f(z) 必為一常數函數。

定

理5.5 的證明:

在

C \ 中取兩點, 並用線性變換將這兩點變為0 與1。記C0,1 = C \ {0, 1}, 在C0,1

上作

度量

μ

(z) =

(1 +

|z|1/3)1/2

|

z|5/6 ·

(1 +

|z −1|1/3)1/2

|

z −1|5/6 ,

則

μ(z) 在C0,1 上為正的, 光滑的函數。現在來計算μ 的曲率, 且證明其值為負的。

首

先看到

(log

|z|5/6) =

5

12

(log

|z|2) = 0,

複

分析五講第五講75

所

以

log

(1 +

|z|1/3)1/2

|

z|5/6 =

1

2

log(1 +

|z|1/3)

= 2

∂

∂z

∂

∂z

"

log

1 + (

z · z)1/6

#

=

1

18

|z|5/3(1 + |z|1/3)2 ,

同

樣可以得到

log

"

(1 +

|z −1|1/3)1/2

|

z −1|5/6

#

=

1

18

|z −1|5/3(1 + |z −1|1/3)2 .

於是

曲率

K

(z, μ) = −1

18

"

|

z −1|5/3

(1 +

|z|1/3)3(1 + |z −1|1/3)

+

|z|5/3

(1 +

|z|1/3)(1 + |z −1|1/3)3

#

,

可以

看出

(a)

K(z, μ) < 0, ∀ z ∈ C0,1;

(b) lim

z

→0

K

(z, μ) = −1

36

;

(c) lim

z

→1

K

(z, μ) = −1

36

;

(d) lim

z

→∞

K

(z, μ) = −∞;

故

K(z, μ) 在C0,1 上有一個負常數−β 作為其上界, 這就證明了定理5.5。

以下

我們還要證明更為深刻的Picard 大定理(Picard Large Theorem), 這就是Picard

小定

理的深化。為了證明Picard 大定理, 我們先要推廣正規族的概念。

5.5.

正規族的推廣

在

第四講中我們曾提到了正規族的概念, 並用此來證明Riemann 映射定理。現在來推廣

這

個概念。

定

義5.1. 若{gn} 為區域 上的複值函數序列(函數未必全純), 若對任給的ε > 0 及 中

任一緊緻集