拉普拉斯潮汐方程 日月引力引起的地球局部变形具有全球分布特征

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第五节  固体潮汐和负荷潮汐

这一节介绍由日月引力引起的地球局部变形。这种局部变形具有全球分布特征。

潮汐，本意指日月引力作用下海潮起伏。因为地球不是刚体，地球固体部分在日月引力作用下也会发生变形。这种变形随时间而变化，叫固体潮汐。只不过固体潮汐的变化量很小，只有通过精密仪器才能觉查罢了。伴随地球变形，重力场也会发生变化；我们正是通过重力场的这种变化，确定反映固体地球弹性的勒夫数（h，k，l）。

地球除直接受日月引力作用而发生形变外，还间接受表面负荷（主要是海潮）的影响，称为负荷潮汐。这个问题越来越受到重视。

日月引力都可以产生固体潮汐。但是月球距地球很近，虽然质量比太阳小，它的影响却比太阳约大一倍。下面以月球为例，推导固体潮汐力位，然后类似地推广到太阳。

一、拉普拉斯潮汐方程和固体潮汐分量

1．潮汐方程

根据静力学的潮汐理论，月球对地面p点的位由两部分组成：由月球对整个地球的引力造成的；由月球对p点的引力造成的。其总力位为（图4-7）：

                                            (4-62)

式中                                                

图4-7  月球对地球的引力位

 

显然，第一项表示对p点的引力位，R′为月球（c）至p点距离，a为地球半径，为p点和月球相对于地心（o）的张角，R为月球到地心（o）距离。第二项表示在月球对整个地球的引力Gm／R²作用下，沿着月球－地心联线方向，p点所获得的位能。其中acos为op在oc方向上的投影。m为月球的质量。

作为近似，取cos2的低次项，通过两项式展开，可写出W的二项阶函数W₂：

                        (4-63)

2．拉普拉斯潮汐方程

从式（4-63）可知，其中的角是∠poc，即是p点的天顶角，测定比较麻烦。可以用地心纬度f、月球相对于赤道面的赤纬δ（偏角）和月球的时角t表示，其关系如图4-8所示。由球面三角可知：

图4-8  月球在p点的坐标

 

将此式代入式（4-63），并用G=ga²／M（M为地球质量，g为地球引力加速度），可得：

      (4-64)

式（4-64）称为拉普拉斯潮汐方程。式中第一项为扇谐项，它是经度函数，第二项是田谐项，它是经度和纬度的函数，第三项是带谐项，它是纬度函数。

3．固体潮汐分量

方程式（4-64）同样适用于太阳。它在描述地球潮汐分量问题中起指导作用。分别令各项为零，可得每项的节线位置。

月球和太阳在地球上各产生三个潮汐分量。但这些分量之间的组合，可得许多潮汐分量。在30个比较重要的分量中，有12个半日波，12个全日波，6个长周期波。在表4-3中仅列出具有最大振幅的潮汐分量。

 

表4-3  固体潮汐分量

代    号	周    期*	解    释
M2	12h25min	月球主半日波
S2	12h00min	太阳主半日波
N2	12h09min	月球扁率主半日波
K2	11h58min	月球－太阳主赤纬半日波
O1	25h49min	月球主全日波
P1	24h04min	太阳主全日波
K1	25h56min	月球－太阳主赤纬半日波
M0	13.66d	月球扁率主半月波
S0	182.5d	太阳扁率主半年波

注：表中d，h，min分别表示天、小时、分。

 

在表4-3中，固体潮的各种谐波均是以英文字母或字母的组合来代表，例如用M表示月亮、S代表太阳。再用0、1、2、3等下标来注明潮汐谐量属于哪一个周期的：0代表常波，1代表周日波，2代表1／2日（半日）波，3代表1／3日波等等。在所有潮汐波中以半日和周日变化为主，而又以月亮的主半日波M₂的幅度最大。

二、引潮力位产生的重力变化

1．刚体地球情况

假定地球是刚体，因引潮力所产生的重力变化可以从引潮力位的偏导数计算出来。引潮力位的公式为式（4-64）。故此重力的垂直分量和水平分量分别为：

                        (4-65)

对月球和太阳，其的大小不同，故Δg_a和Δg_j的公式有差别（单位为：10^-5m/s²）

对于月球

对于太阳

我们知道，重力总幅度为两个分量的向量和。由此不难得出，月球引起的重力总幅度为164.5×10^-8m／s²，太阳引起的重力总幅度为75.8×10^-8m／s²，当日月在地球一侧并呈一条直线时，引力最大，为两者之和，约0.24×10^-5m／s²。

2．地球变形情况

观测到的重力位由于地球变形可以写成以下形式：

                                           (4-66)

式中，W₀是地球不受引潮力作用时，由于自身引力而形成的重力位；W₂是本节特有的引潮力位；kW₂是由于地球受引潮力作用而产生的附加重力位；g₀Δr是地球变形后观测点垂直位移Δr而减少的重力位。上式中后三项均直接或间接与引潮力有关。

为了研究地球的变形性质，常采用重力测量、潮汐高度和垂线偏差确定一组参数：

(1) 重力测量。Δg_r为沿垂直方向的重力变化，即

其中前两项与引潮力位W₂对r的导数有关，第三项与不受引潮力作用的重力位W₀对r的二次导数有关。将所得结果代入后，得：

其中Δr为潮汐高度，可以写成

                            (4-67)

若令

                           (4-68)

和

则最后可以写成

                            (4-69)

(2) 垂线偏差。垂线偏差是描述重力方向的。其垂线在子午面内的偏角为i，在卯酉面内的偏角为j，它们分别与这两个方向上的重力分量Δg_j和Δg_λ有关：

除引潮力位W₂和变形附加位kW₂导致垂线偏差，W₂使地面产生水平位移U_j和U_λ，也会影响垂线偏差。若定义W₂所引起的水平位移分别为：

                                   (4-70)

由此对i、j公式进行修正，不难得出：

                (4-71)

其中

                                                  (4-72)

(3) 潮汐高度。潮高可由三部分组成：一部分是直接由于引潮力位W₂产生的；第二部分是由于地球变形产生附加力位kW₂产生的；第三部分是海底本身的上升量，即-hW₂／g，由于潮高是海面相对于海底而言，故取负号。所以，观测潮汐高度应是这三部分之和，可写成

令

                           (4-73)

则

                         (4-74)

在上述讨论中，引入了三个表示潮汐力位与形变关系的系数。它们的物理意义是明确的：

h——固体潮汐高度与平衡海潮潮高之比；

k——地球变形产生的附加力位与引潮力位之比；

l——地壳水平位移与海潮水平位移之比。

这三个系数目前统称勒夫数（过去曾把和称为勒夫数，称为志田数）。显然，这三个系数有效地反映了地球固体部分变形程度，它们的大小与固体地球的弹性或黏弹性有关。

这三个系数是通过重力测量、垂线偏差测量和海潮潮高测量共同确定的。通过重力Dg_r的测量可确定；通过垂线偏差，测量可确定r；通过海潮潮高测量可确定，从而建立如下三个方程：

                           (4-75)

有一组实测值r=0.64～0.84（平均0.71），=1.13～1.24（平均1.15），=0.04～0.08（平均0.05），由方程组可算出勒夫数为：

=0.59，=0.27，=0.04

这些数值对于研究地球内部的构造和性质，尤其是大尺度的构造和整体性质十分有用。至少，它可以对由地震方法、电磁方法等得到的地球内部结构增加一些约束条件，减少解的多值性。

应指出，上述的勒夫数、、是在地球不受海潮负荷影响的情况下得到的，而且所得结果只能是全球的平均数值。

三、负荷固体潮汐

地球除直接受太阳和月亮所施加的体力（吸引力）之外，还受到表面变化着的负荷的作用，其中海潮负荷的作用尤为显著，它所引起固体地球的变形，我们称为负荷固体潮汐，简称负荷潮汐。

负荷潮汐比太阳和月亮直接引起的固体潮汐更能引起地球物理学界的注意，主要原因是固体潮汐对地球结构不敏感，对于不同模型所计算出来的勒夫数只有微小差别，而负荷潮汐则不然，它对地球结构很敏感，特别是对地壳和上地幔结构更是如此^［6～7］。

1．基本思路

作为近似，取地球为一个径向对称的完全弹性体。由平衡方程和泊松方程，可建立六个一阶齐次线性方程式：

                           (4-76)

式中，Y=（y₁，y₂，y₃，y₄，y₅，y₆）^E，它们是由位移分量、重力扰动位及其导数组成的向量。A为一个六阶方阵，由未形变的密度、未形变的重力加速度、拉姆参数等参量的组合构成。

假设单位质量点负荷垂直作用在地面上，建立地表边界条件（，为地球半径）：

                      (4-77)

这里            ，=0，1，2，…。

有了上述微分方程式（4-76）和边界条件式（4-77），并考虑地球内部各层之间的连续关

系，则可以对不同的地球模型求解出一组负荷潮勒夫数，，。

不同地球模型在不同外力（体力或负荷）作用下所引起的变形，可以用勒夫数描述。如果令边界条件，即式（4-77）中的y₂=0（表面负荷不考虑），则可得直接由日月引力造成的

固体潮勒夫数。负荷潮勒夫数用，，表示，固体潮勒夫数用、、表示。当=0，

其基阶勒夫数，，，则是上面已介绍的内容，在这里，它们可以从=0的一组一阶方程边界条件求出。它们是描述地球整体的而不是个别层次的参数。

2．负荷勒夫数的估计

将要在第六章介绍一些地球分层模型，例如G-D地球模型，它是吉尔伯特（Gilbert）和济旺斯基（Dziewonski）利用地球自振周期（1066个数据）进行反演得到的G-D地球模型，并

对地核部分稍加修改，使其满足亚当斯-威廉逊（Adams-Williamson）条件，同时应用以下参数：

式中，为未形变地球的地心密度；为未形变地球的地心拉姆参数；为未形变地

球的重力加速度；为地球半径；G为万有引力常数。通过对微分方程的数值积分，得到满足边界条件的表面值。表4-4是所得负荷勒夫数^［7］。从0直到10000阶。从中可以看出，负荷潮汐受高阶勒夫数影响，固体潮汐受低阶勒夫数影响。其中越大，负荷勒夫数的值相差越大，因为高阶球函数主要反映浅部构造。因此可以认为，负荷潮汐主要受地壳上地幔结构的控制，它所提供的信息主要是地球上部的信息。

 

表4-4  负荷勒夫数

n				n
0	0.1337	0	0	8	1.324	0.0762	0.0315
1	0.2900	0	0.1130	10	1.4747	0.0686	0.0284
2	1.1511	0.3364	0.0358	18	1.9797	0.0531	0.0242
3	1.1259	0.2029	0.0798	25	2.3073	0.0451	0.0228
4	1.0934	0.1351	0.0621	32	2.5524	0.0388	0.0213
5	1.1111	0.1047	0.0461	56	3.0564	0.0251	0.0162
6	1.1738	0.0902	0.0386	100	3.5703	0.0143	0.0102

续表

n				n
180	4.3439	8.07×10-3	5.47×10-3	750	9.2928	4.27×10-3	2.84×10-3
325	5.7488	5.36×10-3	2.91×10-3	1000	10.436	3.71×10-3	2.80×10-3
425	6.7022	4.86×10-3	2.56×10-3	3000	11.351	1.32×10-3	1.14×10-3
550	7.8181	4.50×10-3	2.60×10-3	10000	11.369	4.00×10-3	3.43×10-4

 

3．负荷效应

在地面负荷作用下，地球发生变形。事实上，我们关心的是可测到的负荷效应，例如形变表面的倾斜、重力变化以及应变等。

有了负荷勒夫数就可利用下式求出相应的重力和倾斜格林函数。格林函数是地球对单位质点负荷的响应。利用格林函数对不规则负荷进行褶积积分，例如沿海域对海潮积分，则可得到重力、倾斜和应变的负荷潮汐值。显然，格林函数是很重要的量。重力、倾斜和应变的相应公式为：

               (4-78)

由于式中的负荷勒夫数，，已经求出，则可由上式算出相应于不同角距离θ（弧度）值的Dg（θ）、t（θ）和（θ），并且已经列出详细表值。

如果知道了表示单位负荷的效应（即格林函数），则可计算任意分布负荷的总效应。若以G表示式（4-78）所示的格林函数，那么某一海域（面积为）对地球表面某一观测点（位置为）的总效应为一褶积积分

式中，为海域内任一点的位置矢量；为该点的潮高；dA为该点相应的质量，它乘以G表示该点相应的效应。

在实际计算中，由于考虑格林函数的特点，其积分不需在全海域进行。其中重力的格林函数随距离衰减较慢——与距离成反比，故重力负荷潮汐受到远洋区的影响；而倾斜和应变的格林函数随距离衰减较快——与距离的平方成反比，故倾斜与应变的负荷潮汐可以不考虑远洋区影响。我们知道，在近洋区，海潮图可较准确地知道，从而由潮高在一定地球模型假定下计算倾斜和应变的负荷潮汐值，利用计算值与观测值的偏离，研究地壳和上地幔的结构。