phymath999: 拓扑空间的定义要求，只要这个集含有拓扑，那么它自身既是开的，也是闭的。一般度量拓扑下实数轴都是闭集，因为它上面的点列的极限点还在它上面，而这里闭集的定义是极限点都在自己身体里面的集合称为闭集，因此实数轴就是闭集

http://wenku.baidu.com/view/189f93de3186bceb19e8bb67.html
从有限维空间走向无穷维空间

把微积分中的开集，极限的概念推广就得到拓扑的概念，把黎曼积分的概念推广就得到
测度和勒杯葛积分，
把测度论加上灵魂，就得到现代的概率论理论，再加上时间就得到随机过程。

把线性代数和微积分结合，推广到无穷维（其实有限的理解好了才是正路）就得到了
反韩分析和非线性泛函，
拓扑向量空间，Mores 理论，矩阵和微积分结合就给出了李群的实现。你学实验高能没
学过李代数及表示轮吗？

实数集R为什么既是开集又是闭集？

重点在于为什么是闭集？

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8 个回答

王小龙，每一本没读完的好书，总有一天要重头再来

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知乎用户、汪怀因、吴煌坚等人赞同

一般度量拓扑下实数轴都是闭集，因为它上面的点列的极限点还在它上面，而这里闭集的定义是极限点都在自己身体里面的集合称为闭集，因此实数轴就是闭集。

===============来谈谈拓扑===============

根据定义，每一个拓扑，首先需要确定研究的集合（全集）是什么，然后确定哪些子集合是开集，保证全集和空集是开集，开集的有限交和和任意并是开集。最后定义开集的补集也就是全集减去一个开集得到集合叫闭集。

从上面的定义立即可以断定全集一定是开集。因为空集是开集，全集减去空集等于全集，因此它也是闭集。

下面来看三个例子：

实数轴既开又闭：如果我们只研究实直线，全集就是实数轴，它就一定又开又闭。

实数轴是闭集，但不是开集：如果研究的全集是二维平面，开集选择咱们通常意义上的开集，那x轴作为实数轴，就是闭集而不是开集，因为它是上下两个开集半平面的并的补集，不是闭集的补集。

实数轴是开集，但不是闭集：（硬想出来的）考虑全集是平面上xy=0的集合，也就是x轴和y轴并起来。定义初始开集为四个带0半轴，因为这四个半轴两两相交交集都是原点，因此原点作为单点集也是开集，这五个开集（称为最终拓扑的一个基）的任意并集就是这个拓扑的全部开集了。它们的补集就是全部闭集。因为y轴正半轴和负半轴是闭集，其并集是闭集，而且怎么也不是开集，它的补集，x轴就是开集而不是闭集。

所以说，实数轴可以只开不闭，只闭不开，也可以既开又闭。因此避开讨论具体拓扑的范围和定义，空谈开闭都是耍流氓。

编辑于 2014-06-30 9 条评论感谢
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知乎用户，谎言有三种：谎言、该死的谎言、统计数字。

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知乎用户、陈浩南、蔫toofee 等人赞同

考虑一个由 $\mathbb{R}$ 构成的拓扑空间：

在 $\mathbb{R}$ 上任意取一点 $x$ ，你都可以找到一个 $\epsilon >0$ ，使得 $(x - \epsilon , x + \epsilon) \subset \mathbb{R}$ ，因此根据定义 $\mathbb{R}$ 是开集。

而空集 $\varnothing$ 同样有这个性质。为什么？因为空集里根本就不存在点。在一个假的前提条件下，任何实质条件都是真的（vacuously true）。因此 $\varnothing$ 是开集。

而根据定义，空集 $\varnothing$ 作为 $\mathbb{R}$ 的补集： $\varnothing$ 是开集就意味着 $\mathbb{R}$ 是闭集， $\mathbb{R}$ 是开集就意味着 $\varnothing$ 是闭集。

因此， $\mathbb{R}$ 既是开集又是闭集， $\varnothing$ 也既是开集又是闭集。

编辑于 2014-09-06 1 条评论感谢
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余翔

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口木口丁大王、知乎用户赞同

首先我们需要知道开集，闭集的定义
开集、闭集、内部、外部、边界和附着点这些概念属于点集拓扑
下面说一下度量空间的点集拓扑
我们首先需要度量球或简称球的概念

定义1 (球) 设 $(X,d)$ 是度量空间， $x_0$ 是 $X$ 的点，并设 $r>0$ ，定义 $X$ 依度量 $d$ 以 $x_0$ 为中心、 $r$ 半径的球 $B_{(X,d)}(x_0,r)$ 为集合
$B_{(X,d)}(x_0,r):=$ { $x\in X:d(x,x_0)<r$ }
当度量空间 $(X,d)$ 是明确的，把 $B_{(X,d)}(x_0,r)$ 简写为 $B(x_0,r)$ 。

比如在 $\mathbb{R}^2$ 中，依欧几里得度量 $d_{l^2}$ ，球 $B_{(\mathbb{R}^2,d_{l^2})}((0,0),1)$ 是开的圆盘
$B_{(\mathrm{R^2},d_{l^2})}((0,0),1)=$ { $(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2<1$ }
使用度量球，在度量空间 $X$ 中取一个集合 $E$ ，可以把 $X$ 的点分为三种类型： $E$ 的内点， $E$ 的外点， $E$ 的边界点

定义2(内点，外点，边界点) 设 $(X,d)$ 是度量空间，设 $E$ 是 $X$ 的子集，并设 $x_0$ 是 $X$ 的点。说 $x_0$ 是 $X$ 的内点，如果存在半径 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)\subseteq E$ ，说 $x_0$ 是 $E$ 的外点，如果存在半径 $r>0$ ，使得 $B(x,r)\cap E=\emptyset$ 。说 $x_0$ 是 $E$ 的边界点，如果它既不是 $E$ 的内点，也不是 $E$ 的外点。

$E$ 的全体内点所构成的集合叫做 $E$ 的内部，有时记作 $\mathrm{int}(E)$ ， $E$ 的外点的集合叫做 $E$ 的外部，有时记作 $\mathrm{ext}(E)$ ， $E$ 的边界点的集合叫作的边界，有时记作 $\partial E$ 。
比如在具有标准度量 $d$ (见下面的定义)的实直线 $\mathbb{R}$ 上，设 $E$ 是半开区间， $E=[1,2)$ ，点 $1.5$ 是 $E$ 的内点， $3$ 是 $E$ 的外点， $1,2$ 即不是外点也不是内点，它们是 $E$ 的边界点，还有 $\mathrm{int}(E)=(1,2),\mathrm{ext}(E)=(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ ，而 $\partial E=$ { $1,2$ }

定义3(开集和闭集) ) 设 $(X,d)$ 是度量空间，并设 $E$ 是 $X$ 的子集合，说 $E$ 是闭的，如果它含有它的一切边界点，即 $\partial E\subseteq E$ 。说 $E$ 是开的，如果它不含边界点，即 $\partial E\cap E=\emptyset$ 。如果 $E$ 含有它的一些边界点而有不含另一些边界点，那么它既不是开的也不是闭的。

注意如果一个集合没有边界点，即 $\partial E=\emptyset$ ，那么它既是开的，也是闭的，这是可能的，在度量空间 $(X,d)$ 中，全空间 $X$ 没有边界( $X$ 的每个点都是内点)，所以 $X$ 是既开且闭的。空集也没有边界( $X$ 的每个点都是它的外点)，从而也是即开又闭的。在很多情况，这是仅有的即开又闭的结合，但也有例外，例如，采用离散度量 $d_{disc}$ ，每个集合都是既开且闭的。
从上面我们看到，作为开集和作为闭集，这两个概念并不是互相否定；存在既开且闭的集合，也存在既不开且不闭的集合。于是，如果知道 $E$ 是不是开集，而由此断言 $E$ 是闭集，那就错了，同样，从 $E$ 是闭集也不肯断言 $E$ 就是开集。开集和闭集的正确关系由下面命题给出

命题1 设 $E$ 是 $X$ 的子集， $E$ 是开的当且仅当补集 $X\backslash E:=$ { $x\in E:x\notin E$ }是闭的

顺便说一下，度量空间的概念可推广到拓扑空间，这个推广的思想是不把度量 $d$ 看作是基础对象，代替度量的是开集族，这是拓扑空间的基础概念。每个度量空间 $(X,d)$ 自动地是一个拓扑空间(只要令 $X$ 的子集族 $\mathcal{T}$ 是 $(X,d)$ 中的全体开集的族)，但的确存在拓扑空间，它不由度量空间产生。根据拓扑空间的定义，在拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$ 中，全空间 $X$ 和空集 $\emptyset$ 自动地既开且闭。

注：设 $\mathbb{R}$ 是实数集，并设 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)$ 是度量 $d(x,y):=|x-y|$ ，那么 $(\mathbb{R},d)$ 是度量空间，我们把 $d$ 叫做 $\mathbb{R}$ 上的标准度量，由标准度量产生的拓扑叫作标准拓扑。设 $X$ 是任意的集合(有限的或无限的)，定义离散度量(discrete metric) $d_{disc}$ 如下
$d_{disc}(x,y):=0,\text{若}x=y$
$d_{disc}(x,y):=1,\text{若}x\neq y$
于是，空间 $(X,d_{disc})$ 是度量空间

最后来回答题主的问题
我们说实数集 $\mathbb{R}$ 既是开集又是闭集指的是在度量空间 $(\mathbb{R},d)$ 或拓扑空间 $(\mathbb{R},\mathcal{T})$ 中， $\mathbb{R}$ 既是开集又是闭集(因为 $\mathbb{R}$ 是全空间)

ps:注意开区间闭区间与开集闭集的区别，实数集是开区间 $(-\infty,+\infty)$ ，而广义实数集是闭区间 $[-\infty,+\infty]$ ，一个区间不会既是开区间又是闭区间。

编辑于 2014-07-06 2 条评论感谢
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算子

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郭玮、冷月、知乎用户等人赞同

习惯上似乎很少有说是闭区间的，但R的确是闭集，也是区间，所以按定义应该是闭区间。

要详细地说的话，涉及拓扑空间的概念，空集和全集为了方便起见，同时被规定为既是开集也是闭集。
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为什么拓扑要这么定义呢？

拓扑的定义在于刻画接近，从而定义极限。

开集不包含自己的边界，可以粗略地认为是每个点，其充分接近的点（邻域，可以粗略地理解成小圆）都在这个集合里。
闭集定义为开集的补集，闭集外面的点，其充分接近的点都不在这个集合里。

开集最基本的性质有：
任意多个开集的并集还是开集。
两个开集的交集还是开集。
常用的开集还有豪斯道夫等性质，但我们一般不把这个纳入拓扑空间的定义，而是额外列出。

为了方便起见，我们直接把空集和全集都规定成开集。
这也是和通常的虚假前件蕴含任何后件一致。（空集没有点，所以空集里的每个元素的邻域都在空集里）

如果不这么做的话，就是说把空集和全集从开集、闭集里拿掉，其实也可以，但很多陈述都要做适当的修改，反而不方便。
比如上面两句话就要改为：
超过0个开集的并集若不是全集则是开集。
两个开集的交集若不是空集则是开集。