Functional-theoretic algebra

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Contents

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• 1 Introduction
• 2 Definition
• 3 Example
• 4 FTA of Curves in the Complex Plane
• 5 Example of f-Product of Curves
• 6 See also
• 7 References

Introduction[edit]

Any vector space can be made into a unital associative algebra, called functional theoretic algebra, by defining products in terms of two linear functionals. In general, it is a non-commutative algebra. It becomes commutative when the two functionals are the same.

Definition[edit]

Let A_F be a vector space over a field F, and let L₁ and L₂ be two linear functionals on A_F with the property L₁(e) = L₂(e) = 1_F for some e in A_F. We define multiplication of two elements x, y in A_F by

It can be verified that the above multiplication is associative and that e is the identity of this multiplication.
So, A_F forms an associative algebra with unit e and is called a functional theoretic algebra(FTA).
Suppose the two linear functionals L₁ and L₂ are the same, say L. Then A_F becomes a commutative algebra with multiplication defined by

Example[edit]

[转] 量子力学活学活用（转）


 


根据量子把妹学的思想，妹子的状态由态矢|Ψ>决定。一般情况下妹子的状态是相当复杂的，但在粗略的讨论下我们可以认为妹子是一个双态系统，见下述讨论。

妹子量子化的关键是对经典的恋爱值Love进行量子化，具体而言就是把经典把妹学中的Love代以量子把妹学中的Love算符，或简称L算符。我们知道，近似来讲，L算符有两个本征值，爱与不爱。这两个本征值对应的本征矢我们记为|爱>与|不爱>。

由态叠加原理，L算符是完备的，对于任意的|Ψ>，总可以以L的本征矢为基来展开，写为|Ψ>＝a|爱>+b|不爱>，其中a，b为复数。这就是我们把妹子近似为一个双态系统的原因。用矩阵(a,b)来描述妹子，即所谓的GAL表象。

好了，假设你对某妹子有好感，试图表白之。表白是一个能激烈改变妹子状态的过程，称为“测量”。测量的过程会引起波函数的坍缩，使波函数“突然地”变到L算符的某个本征态。按表白原理，对处于|Ψ>＝a|爱>+b|不爱>态的妹子，你对其表白，使妹子坍缩到|爱>态（也就是接受你）的概率为|a|^2，使妹子坍缩到|不爱>态（也就是拒绝你）的概率为|b|^2。

我们自然希望妹子处于a的模比较大的状态，当然妹子在一开始就处于|Ψ>＝|爱>状态最好。但现实当然总是不尽如人意的，一般在未表白之前妹子处于爱与不爱的叠加态，表白既有一定的成功概率，又有一定的失败概率。表白之前妹子到底处于什么态，与表白者的自身条件是有关的。如果是高帅富那当然|a|~1，如果是搬砖男那|a|~0。

但这并不是意味着搬砖男就没有希望了！事实上，写本文正是为了告诉诸位搬砖男，乃们是有机会翻盘的！

原来，在不受表白干扰时，妹子的态是受动力学方程制约而变化的。动力学方程由把妹大师薛定谔最初提出，是这样：ih(d|Ψ>/dt)=H|Ψ>
其中h是约化的普朗克常量，H是妹子的哈密顿算符。

问题的关键在于对易。这一事实最初被另一位把妹大师狄拉克所察觉。他敏锐地意识到，恋爱的关键在于，恋爱算符L与哈密顿算符H是不对易的，[L,H]≠0。这意味着什么呢，意味着妹子不会一直停留在L算符的本征态！

具体来说，就算妹子拒绝了你的表白，她坍缩到了L算符的本征矢|不爱>（这意味着她根本丧失了爱你的成分，你一点机会也没有了）。但是，只要你在一段时间内不去再表白，她的态矢|Ψ>就会在薛定谔方程的作用下，又继续演化成a(t)|爱>+b(t)|不爱>的形式，因为，[L,H]≠0！

也就是说，就算你表白失败，那么，隔一段时间再去表白，你又获得了|a(t)|^2的成功率！第一次不行，第二次总能再试试的嘛。

就算第二次失败了，你再隔一段时间，等妹子的|a(t)|^2>0了，再表白，还是有成功率的。

俗话说，精诚所至，金石为开。由于每次表白都会有一定的成功率，只要你坚持，妹子总会在某次表白中“噗”的一声坍缩到|爱>的态矢，爱上你的！

那么，当这一事件发生的时候，搬砖男们别被喜悦冲晕了头脑，忘记了守卫自己胜利的果实。因为，正如前言，[L,H]≠0意味着妹子不会一直停留在L的本征矢，也就是说就算妹子已经爱上你，她还是会不爱你的；她仍会按薛定谔方程演化成a(t)|爱>+b(t)|不爱>的形式。

这个时候，我们就要回到标题，芝诺效应了。芝诺，相信学过高中政治的同学们都不会陌生。他有个著名的飞矢悖论：飞着的箭在每一瞬间都静止于空间的某一点，所以飞矢是静止的。（差不多就是个这个意思，我的政治老师还是比较长寿的）对于他的论点我们在此不做讨论，我们只讨论在量子把妹学中的一个重要效应：芝诺效应，或称水壶效应。

我们知道，对处于叠加态|Ψ>＝a|爱>+b|不爱>的妹子进行测量，得到她爱你的概率是|a|^2。假设妹子的初态是L的一个本征矢|爱>，那么随着时间的推移，她会变成a(t)|爱>+b(t)|不爱>。但是！！如果a(0)=1，b(0)=0，那么在t不太大时，a(t)还是相当接近于1的；这个时候，如果你再问妹子“你爱我吗？”那妹子几乎一定会说“爱！”然后她又坍缩到|爱>的状态，因为你已经进行了一次测量！

所以明白了吗？如果妹子处于某个本征态，而你又持续不断地进行测量，那么妹子会来不及演化便又坍缩回到原先的本征态。这类似于芝诺说的“飞着的箭在每一瞬间是不动的”。从量子把妹学的角度看来，如果你一直看着箭（持续观测它），那它真的就一直停在那儿！这就是芝诺效应，又称水壶效应，因为我们常常会觉得，如果你烧水的时候盯着水壶等水开，那它总是永远不开的样子。

嗯，总的来说就是，当妹子终于接受搬砖男的表白之后，乃们一定不能懈怠，要常常问妹子：“你还爱我吗？”以便妹子一直持续在|爱>的态矢。测量的频繁程度看个人的自身条件。例如数据显示，准高帅富一般一月问一次就可以使妹子持续在|爱>的状态，而某些过于猥琐的筒子则不得不几小时就问一次，以保证妹子不变心。

当然芝诺效应也有另一面，例如，如果妹子拒绝了你的表白，坍缩至|不爱>，而你却不识趣地各种持续表白的话，那只会让她持续处于|不爱>的状态，真是适得其反。

好啦，暂时就写到这里。希望能对物理众有所帮助。←陆老板，看到了么？