引力场是“规范场局域变换”，广义相对论甚至还导致时空点只有通过引力场才能个体化，时空点不再是自存的

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第6讲
量子场论的哲学


量子力学与场论

• 法拉第-麦克斯韦的电磁场论，特别是爱因斯坦的广义相对论，导致了连续的实体场是世界基本本体的场论信条，场通过其连续性而与个体的离散性形成对照。广义相对论甚至还导致时空点只有通过引力场才能个体化，时空点不再是自存的。
• 量子力学似乎削弱了场论的基础。因为：
• （1）量子论给能量在空间上的连续分布一个极限，这是与场本体论相冲突的；
• （2）它违背了可分性原理，根据这个原理，具有零相互作用能量的远距离系统应当是物理上互相独立的；
• （3）量子论不允许粒子在量子跃迁时，或在它们的产生和湮灭之间有连续的时空路径，这和场纲领中传递相互作用的方式相冲突。

量子力学几率解释与多体问题

• 量子力学的几率解释假设了粒子本体论。在多体问题两种量子化程序（二次量子化和场量子化）中，分别预设了粒子本体和场本体，是粒子和场两种本体的共存。
• 二次量子化实际上与场本体无关，只是粒子的量子系统的一种表象变换：其中粒子是永恒的，而几率场只是计算工具。
• 与此相反，场量子化程序是从由场谐振子集合体的实在场出发，通过产生与湮灭算符来显示场的粒子性质，相当于对电磁场作傅立叶分解（类似三棱镜光谱分析）。

量子场论

• 1928年，约旦和维格纳把描述单个费米子的波函数看作费米场，并实现量子化，于是场本体取代了粒子本体，物质粒子（费米子）不再是永恒的独立存在，成了场量子的瞬息激发态。量子力学演变为量子场论。
• 量子场论实质上是无限维自由度系统的量子力学。它给出的物理图象是在空间充满着各种不同物质的场，它们互相渗透并相互作用着。真空就是基态的量子场，场的激发态即为粒子的出现。不同激发态，则表现为粒子的数目与状态的不同。场的相互作用引起激发态的改变，体现为粒子的各种反应过程。
• 量子场论成功解释了波粒二象性，光的自发辐射，康普顿效应，光电效应，轫致辐射，电子对的产生湮灭等现象。

彭罗斯论量子电动力学

• 在20世纪40年代，量子电动力学在原子的能级，电子磁矩等问题的计算中给出了10^-11的高精确度，原则上它能更精确地理解和计算所有量子论已经解决的问题，适用面包括大部分物理分支和整个化学，生物学。
• 彭罗斯认为这是与欧几里德几何，牛顿力学，相对论和量子力学等平列的超等理论。

重整化破坏理论的一致性

• 但是，量子电动力学不是一个精巧一致的理论，即不够相对论化，人们迫切需要建立起重整化的形式理论。
• 狄拉克认为重整化是一套蠢笨的计算方法，彻底破坏量子电动力学的逻辑一致性。“唯一的方法是在理论的基础上作某种剧烈的改变，很可能这种改变的剧烈程度将不亚于从玻尔轨道理论转变到现在的量子力学。”

量子电动力学中的无限大

• 量子场论的新本体论具体体现在狄拉克真空概念中。作为根植于量子激发与重整化的概念框架的本体论背景，狄拉克真空对于韦斯科夫的电子自能计算与丹科夫对散射的相对论修正之类的计算是重要的。
• 真空涨落意味着真空不是空虚的，但根据狭义相对论，真空必定是零能量与零动量的洛仑兹不变态。
• 在量子场论中，相互作用不再是由一种连续的场来传递，而由这种场的激发（离散的虚粒子）来传递。由于不确定关系，局域激发要求任意大的动量。于是，相互作用不是由单个虚动量量子来传递，而是由无穷多个合适的虚量子的叠加来传递。这无穷多个具有任意高动量的虚量子就带来著名的发散困难。而这是通过重整化来解决的。

重整化

• 狄拉克与海森伯证明：空穴理论中的某些无限大可以一致地加以消除，以产生一个形式上洛伦兹不变的理论。
• 海森伯的方法是对电子的电荷“重新定义”，但是在这种修正的空穴理论中，电子自能仍为无穷大。
• 重整化的本质是把无穷大量纳入质量、电荷等理论参量中，这等于模糊了作为局域激发概念基础的严格的点模型。

真空极化必须是有限的

• 在狄拉克的电子偶素空穴理论中，可以有无数个电子偶对，致使“真空”就象一个可极化的介质一样。可是，在未改造的空穴理论中，可以有无数个电子偶对产生出来。所以，即使一个任意弱的电场都会对进入这样场中的电子电荷作出无限大的修正。
• 狄拉克与海森伯构造了自恰的重整化方法，给出了有限真空极化的结果。但是，无限大自能问题还在。

自能无限大的经典根源

• 在经典理论中，一个粒子的能量不仅依赖于外场的存在，而且还依赖于它的自身场的存在。
• 由带电粒子自身场的能量形成了粒子的纵质量；而在量子论中，电子还出现了横自身能量与横自身质量。
• 这种横能量与横质量，是由于电子和虚光子的相互作用的存在而产生的：虚光子通过借贷真空能量在符合不确定关系的时间内方生方灭。
• 虚光子的概念导致点状电子具有无限大的横质量。

贝特：质量重整化

• 韦斯科夫指出，空穴理论的自能是对数发散，这种发散存在于精细结构常数（2πe²/hc≈1/137）的一切级别中，进入更高项不会产生新的发散。
• 贝特提出了质量重整化程序：束缚电子的电磁质量可能是无穷大，因为当电子没有广延时，它所发射与吸收的虚光子云可以有无限大的频率；但是光子能量越大，它的辐射与吸收对外场的依赖就越小，所以当它在外场影响下被改变的那部分电磁质量却是有限的，总体上表现为有限的电子质量。

费曼对电子自能问题的思考

• 电子与电磁场的自相互作用引发了困难。因为如果这个电子是点电荷的话，那么自相互作用预言了无限大的自能量；若电子占有一定体积，经典的自能量虽然有限，却导致了与相对论的其他矛盾。因为这种自相互作用的一部分给出了“辐射反应”的正确表达式，即当电子作加速运动时会因为辐射而受到拖曳，所以这个问题就变得更加复杂。
• 费曼倾向于取消场，因为如果把场当作振子的集合，它就有无限多个自由度，也就有无限多个零点能。而若摒弃场，就能避开无限大自能以及无限多零点能这两个问题。

场论：场传递作用

• 场论对相互作用的描述：
• 电子A对电子B有作用，是因为A建立起场，当A运动时，场发生变化。开始时，紧靠A的场变化，然后远一点的场变化，这种因果作用以光速向外散开，直到遇到B并影响B的运动。

吸收体理论

• 费曼的思想是直接描述A和B的相互作用，而无需引入场。为此，他需要A对B有直接的作用（尽管有延迟），B同样对A有反作用。
• 这些延迟解就是大家熟悉的延迟效应，即如果A运动，扰动就会以光速扩展到B；B在稍后时刻运动。但是，麦克斯韦方程还有时间对称的超前解，它描述B在A运动之前所发射的波，这个波在A刚开始运动时会聚到A。

超前解

• 大部分物理学家都略去了超前解，就象中学生舍去二次方程的负根，认为它没有意义一样。狄拉克，费曼与惠勒觉得超前解可能包含通向正确的量子场论的线索。吸收体理论认为：
• A通过超前和延迟效应直接作用于B，B也以同样的方式作用于A。此外，A，B也与其他电荷以相同的机理相互作用。但是，A和B都不与它们自身相互作用。
• 令人惊奇的是这种方法重现了经典电磁学的所有结论，它的数学表述也完全等价于麦克斯韦方程组。

吸收体模型

• 假设A处在10光秒的球的中心处，B在右侧1光秒处。球体表示带电粒子均匀分布的宇宙的其余部分，它也与A，B有相互作用。
• 假设A被推动一下，它将通过延迟波与超前波在t=1s和t=-1s时刻两次影响B。周围的电荷（即吸收体）在t=1s和t=-1s时刻通过超前效应从球的两边作用于B。

吸收体球
B
A


辐射阻力

• 费曼证明了发自A的超前效应和发自吸收体的超前效应在t=-1s时刻相互抵消了（相消干涉）。而它们在t=1s时刻对B的作用相加（相长干涉）。所得到的结果与单独从A发出延迟波的作用完全相同。进而，吸收体发出的超前波对A的反作用力就是辐射阻力的原因。

量子作用量

• 费曼的学位论文《量子力学中的最小作用量原理（1942），是非相对论量子力学之新处理的第一种变态；这篇论文奠定了1949年的论文的基础。
• 费曼研究了哈密顿原理的量子力学类比。他考虑了拉格朗日函数沿某一轨线的对时间的积分，并得到了这样定义的经典作用量的推广。

叠加原理

• 对于量子力学来说，几率幅的叠加原理是一个出发点。
• 根据这一原理，可以用多种方式来实现的某一事件，其几率等于若干复数项之和的绝对值平方，其中每一复数项分别与实现该事件的一种方式相对应。
• 设该事件不是粒子在某一世界点的存在，而是粒子穿越某一时空域的运动。在所给区域内发现轨线的几率，等于若干复数项之和的绝对值的平方，其中每一项分别与穿过该区域的一条轨线相对应。

路径积分表象

• 费曼进一步假设，每一条轨线的贡献决定于一个指数函数，其指数等于以作用量子为单位来表示的适用于该轨线的经典作用量乘上虚数的单位：
• 轨线x（t）的几率幅是ψ[x(t)]=a·exp{2πi·S[x（t）]/h}。
• 从过去通向某一世界点的那些轨线，其贡献之和就等于满足薛定谔方程的一个波函数。

费曼路径积分的三个原理

• 1.体系由状态A演变到状态B的几率由被称为几率幅的复数的绝对值的平方表示。比如，从A到B的几率幅为<B|A>，从A到B的几率为|<B|A>|² 。
• 2.如果体系有两个或两个以上的途径从A演变为B，那么这个过程的总几率幅等于所有可能途径的几率幅的总和。
• <B|A>_总 =<B|A>₁ +<B|A>₂
• 3.如果体系从A经过一个中间态I过渡到B，则A到B的几率幅等于A到I和从I到B的几率幅的乘积<B|I><I|A>。

量子波不是经典波，也不是几率波

• 经典

• 量子
  
  
   

隧道效应


量子波是几率幅叠加，不是几率叠加

• 如果子弹在孔1开放，孔2关闭的穿过孔1的几率是P₁；单独穿过孔2的几率为P₂；那么两个孔都开放时，子弹穿过的几率
• P=P₁ +P₂
• 但是，电子穿越两个孔的几率是│ψ₁ +ψ₂│²，其中是两个几率幅相加后求平方。

量子波是具有相位的几率幅波

• 几率是不存在相位的，但几率幅却具有相位；
• 相位的存在，导致电子穿过两个孔发生干涉时，在某些区域几率大于P₁ +P₂ ，在某些区域小于P₁ +P₂ ，而在非常狭小的区域中等于P₁ +P₂ 。
• 相位如同一个轮子滚动时转过的角度，干涉相当于两个轮子相遇时表示相位的箭头指向不同方向而出现相长或相消。

反粒子等价于时间倒流的粒子

• 如果在路径积分中要考虑相对论效应，就要把作用量改写为相对论的形式，并把时空图由欧氏时空改为闵可夫斯基时空就可。这种相对论化的转变，导致了对反粒子的新理解。
• 费曼的初始概念，就是过去和未来之间的对称性的保持。从过去向未来运动着的粒子，是和从未来向过去运动着的一个反粒子相对应的。

正电子：返老还童的电子

• 向时间增长的方向运动着的一个电子，可以和向时间的反方向运动着的一个正电子一起产生；也就是说，该正电子将按照相反的顺序通过电子在所该场中通过的那些点。
• 如果留心粒子的电荷而将该电荷的绝对值看成保证粒子自同性的宾语，那么就可以将一个正电子和一个电子等同起来，并将电子世界线和正电子的世界线看成同一条世界线。

空穴模型不适用于玻色子

• 这种看待正电子的观点，曾由史特于克尔格在1942年提出，并且由费曼本人在1948年提出；这种观点在关于正电子的论文和后来的关于量子电动力学的时空处理的论文中得到彻底的发展。
• 反粒子的新理解，还适用于不能采用“空穴”理论描述的玻色子的反粒子。

• 电子e^-      正电子e⁺

反物质是返回现在的未来客人吗？

• 反粒子的逆时解释提出了一个与狄拉克反物质的空穴模型不同的说法：或许所有的反物质只不过是逆时序运动的普通物质？
• 如果是，我们就应当预期涉及正物质的所有粒子的作用都有其对应的反物质粒子的作用，可以通过把粒子换成反粒子来实现这种作用。这种操作叫做“正反共轭”，用字母C来表示。

三种基本的对称性

• 事实上，正反共轭对称原来只是粒子相互作用中三种基本对称性的一种：
• C  正反共轭（物质与反物质交换）；
• P  宇称（所有坐标相对于原点所做的镜像变换）（即空间反射或镜象对称）；
• T   时间反演
• 德国女数学家诺特证明了：动力学体系的每一种对称性都对应一个物理守恒量。时间平移不变性对于能量守恒定律，空间的平移不变性对应于动量守恒定律。
• 爱因斯坦认为，这个纯数学定理是“一种逻辑理念的诗篇。”

宇称守恒：自旋的左右对称

• 通过把电磁场的各个分量做空间反射变换，可以证明电磁学定律满足宇称守恒。
• 在对量子波函数进行空间反射变换时，宇称就与变换前后波函数的自旋性质联系起来。宇称守恒意味着粒子自旋在空间反射变换中保持左右对称。

CP守恒

• 中微子的自旋永远是左手的，叫做左手中微子。假如我们在镜子里面看中微子，就会看见作为镜像的右手中微子。
• 但是，自然界不存在右手中微子，但是反中微子是右手的。
• 把粒子变成反粒子（C变换），中微子变成反中微子，然后左手变成右手（P变换），CP联合对称就满足了。

CPT守恒

• 费曼与盖尔曼曾指出，尽管单独的C和P对称性可能都有破坏的情况，但是CP联合对称（如物质和反物质交换，同时进行镜像变换）在所有情况下都是可以实现的作用。这种看法结果也是不对的。
• 但是人们认为，所有这三种对称操作的联合（物质与反物质交换+空间反射+时间反演）——CPT——总是能够导致可实现的作用，目前我们没有发现反例。

中性K介子衰变违背CP对称

• 在理论上建议宇称不守恒的论文是李政道与杨振宁在1956年12月写的，发表于1957年。
• 他们还预言了CP也是不守恒的，这个预言在1964年由克里斯坦森，克罗宁，菲奇和特利在布鲁克海文实验室的中性K介子衰变中得到了证实。

宇称不守恒

• K_L⁰是一个自旋为零的电中性粒子，不仅它的总电荷为零，而且它里面没有电磁作用。
• 它可以衰变到e^- +π⁺ +γ，也可以衰变到e⁺ +π^- +γˉ。
• 实验证实这两个衰变率有微小的差别，这是很稀奇的事情，意味着T对称的破缺。

李政道与杨振宁获得诺贝尔奖


费曼图

• “费曼找到了一个完美的图景去理解动力学系统，在一个时刻的只指定图形到下一时刻的指定图形的几率幅。他的处理建立在每一个可接受的历史的绝对等价性上，这里可接受的历史是指他能从初始态引向终了态，而不管其中的运动是如何地疯狂。这些历史的贡献完全不因相位而互相区别。而相位不是别的，就是古典的作用量积分。这个描述重新生成了全部标准量子理论。在这里实现了以比较简单方式去理解量子力学本质的愿望。”
• ——惠勒致爱因斯坦

费曼图不是相互作用的直接图示

• 在量子电动力学中，虚态是带有补充的虚粒子的态。同费曼图的内线相对应的虚粒子不服从能量和动量守恒定律，并且在实验中观察不到。
• 因此，人们常常强调，费曼图及其中所描述的虚粒子只是方便的辅助手段，而不是数学运算的唯一工具。
• 不过，虚粒子仍然牢固地进入到现代物理学的微观图景中，人们常把它们与实在粒子同等看待。

同一费曼图代表不同过程

• γ光子演变为电子-正电子对：
•         ↑光子走向未来
•     ┊电子对湮灭
• 电子          正电子         电子

•                      ↑电子对产生
   
•                     ┊光子

• 电子被来自未来的光子散射回到过去：
•           ┊光子来自未来
•         ↓
•   电子     电子    电子

•          ↑ 
•          ┊光子

同一过程可以构造不同费曼图

• 按照微扰级数不同，以及引入的虚粒子的不同，同一个粒子反应过程也可以采用不同的费曼图表示。
• 费曼图与粒子实际的相互作用过程决不是一一对应的。

量子电动力学的三类作用

• “这样，我给你们提供三个基本作用，光和电子的全部现象都由此产生。
• 作用1：一个光子从一处到一处运动。
• 作用2：一个电子从一处到一处运动。
• 作用3：一个电子发射或者吸收一个光子。
• 上述每种作用都有振幅……可以按某些规则计算得到。”
• ——R.Feymann.QED.  Princeton  University  Press,1985.

四种相互作用
把原子核结合起来
1
强力
把原子结合起来
10^-2
电磁力
作用于所有基本粒子
10^-12
弱力
把行星，恒星，星系结合起来
10^-38
引力
主要宇宙作用
强度比
基本类型


关于核力的研究

• 1932年海森伯发表了一篇关于核力的论文，提出了“交换力”的理论：
• 中子和质子，中子和中子，质子和质子由于其交换诸如电荷和位置那样的性质而互相约束在一起。中子和质子是同一粒子——核子——的不同态（顺时针同位旋对应于“开”电荷——质子，逆时针同位旋对应于“关”电荷——中子），强核力与电荷无关。
• 核子间的诸力决定于自旋。

汤川秀树的介子理论

• 最早的弱相互作用理论，是费米为了解释中子衰变现象在1934年提出来的。 1935年，汤川秀树提出了中间玻色子理论。他认为，如果电磁力由交换光子产生，强力与弱力也是由于交换粒子产生的。
• 与长程的电磁力不一样，强力力程短，这就意味着交换的粒子必有质量。他认为这个交换粒子的质量介于电子与质子之间。同时，他还预言弱力也是交换粒子的结果。

介子的发现

• 1937年在宇宙线中突然发现一种粒子，其质量也被精确地测定了。后来证明它是一种完全不同的粒子——“重电子”，现在叫做μ介子。
• 汤川最初的思想由另外两个日本物理学家——坂田与井上——进一步加以研究，他们提出核力的交换粒子是π介子。
• 1947年，英国的鲍威尔首次观察到π介子的两步衰变。
• 1949年，汤川荣获诺贝尔奖；1950年，鲍威尔也获得诺贝尔奖。

W粒子

• 1939年，克莱因追随汤川秀树的思想，写了一篇关于弱相互作用的论文，认为弱力的交换粒子是W粒子。
• 他第一次指出衰变n→p+e+ν^- 应分成两步进行
• n→p+W^- ，W^-→e+ν^-。
• 他甚至假定这个过程的耦合常数是精细结构常数e² /ħc。他还计算出W粒子的质量大约为100GeV。

中间玻色子

• 1957年，施温格又把克莱因的理论加以深化。他认为，弱相互作用是通过两个带电的中间玻色子W⁺ 与W^- 传递的。
• 中间玻色子的弱力理论包容了原有的费密理论，只要使中间玻色子足够重，在低能下，这个理论就回到了费密的理论形式。
• 可惜的是，中间玻色子理论仍然不可重整化。

弱电统一理论

• 温伯格（Steven  Weinberg，1933~）的主要研究领域是基本粒子与量子场论。1956年，与宇称不守恒有关的对称性自发破缺的概念引起了温伯格的兴趣，他推测弱力以外的相互作用也可能对称破缺，认为这也许是把电磁作用与弱作用融合在一起的关键。
• 在把电磁作用与弱作用融合在一起的过程中，令温伯格头痛的是W粒子的质量问题，因为根据他的计算，W应为一种无质量粒子。

希格斯机制

• 1964年，英国物理学家希格斯（P.W.Higgs)将真空对称性自发破缺引入到粒子物理学中来，提示了用一种标量场实现对称性自发破缺的机制，希格斯和金布尔（Kimble）证明，如果破缺的是一种定域规范对称性，某些交换粒子就会获得一个质量。

希格斯粒子

• 此时，与真空相对应的场称为希格斯场，所对应的场粒子就是希格斯粒子（X粒子）。
• 尽管希格斯场尚未从观察中确认，温伯格却从他们的结果中受到了鼓舞。他认为作为交换粒子的W⁺，W^-，Z⁰ 粒子是在吸收了希格斯粒子之后，获得了质量；在这一过程中，希格斯粒子变成了幽子，而光子不吸收希格斯粒子，始终保持无质量，那些剩余的未被吸收的希格斯粒子将被观察到。

规范场论

• 独立提出弱电统一理论的还有在英格兰工作的巴基斯坦物理学家萨拉姆（1926~），美国物理学家格拉肖（1932~）。
• 格拉肖根据杨振宁与米尔斯在1954年提出的非阿贝尔规范场理论，提出电磁作用与弱作用具有一种特殊的SU（2）U（1）对称性，其中U（1）对称性是电磁作用所具有的；SU（2）是弱作用所具有的，与角动量守恒有关。

电磁规范

• 最早的规范理论思想是从研究电磁理论提出的。在应用电磁理论时，人们发现，若引入电磁势，则对它加任何一个规范函数的梯度，场方程仍保持不变，人们称这一特征为麦克斯韦方程在规范变换下的不变性，最早的规范理论就是电磁理论。电磁场强F_μν在规范变换
• A_μ (x) →A_μ (x)-∂_μα(x)  /e下不变。

定域规范变换

• 1918年，德国的韦尔（E.Weyl）提出了规范变换概念。他试图通过物理规律不因时空中每一时空点量度尺度的变化而改变来推导出电磁理论。在时空中每一点上，量度时空尺度的改变称为定域规范变换。1927年，福克和伦敦发现，只要在韦尔理论的尺度因子前加一个虚数因子(-i)，则韦尔的理论就不再是“规范变换（尺度变换）”理论，而变成了“相因子变换”理论，并正确地描述了电磁场。
• 规范场论以一些对称性原理为基础，其中最重要的一条叫做定域规范不变性原理，第一次运用这一原理的人正是韦尔，他证明：如果在拉格朗日量中用协变导数取代普通常数，
• 即    ∂_μ→D_μ=∂_μ-ieA_μ ，
• 那么，相对于波函数的相位定域变换群来说，狄拉克理论是不变的。
• 物质波的初始相位变化，相当于把波的计时起点移动，正好体现了相对论的时间与位置变换。

规范变换就是相位变换

• 1925年，量子力学建立后，规范变换理论又有了新的进展。在量子力学中，波函数整体的相位选择是任意的。当波函数的相因子改变时，力学量的观测值不受任何影响，与这种不变性相关联的守恒量就是电荷。
• 与重子数，轻子数相关的相位变换也用U(1)群表示，对应着重子数和轻子数的守恒。
• 从这一点出发，再要求量子力学规律在规范变换下具有不变性，所推导出来的结果，恰好就是描述电磁作用的电磁理论，这恰好完成了韦尔在一开始试图从定域规范不变性导出的电磁理论的工作。

规范场

• 现代规范场论的基本思想是杨振宁和米尔斯（R.L.Mills）于1954年提出来的，他们将规范变换与规范场的思想又作了进一步的扩展，首次建立了普遍化的规范对称的数学理论。
• 他们把物理学中的对称性分为整体对称（空间各点做相同变换下的对称性）与局域对称（空间各点独立变换下的对称性）。局域对称性理论的条件更严格，它是空间各点独立变换下的对称性，它揭示了自然界更深刻的统一。

规范粒子：场的局部形变

• 根据杨-米尔斯理论，如果一组物理规律原来满足整体对称变换下不变，若将它推广到局部变换下不变，就必须引入新的场。规范场量子就是一种新粒子，该粒子的交换就会引起新力。就这样，杨-米尔斯理论就给出了描述各种力的起源。任何一种新的场，新的粒子与所相应的新力的作用，都可以从一个统一的规范场理论中推导出来。
• 在规范理论中，规范势扮演的角色，类似于广义相对论中的引力势。引力势是与切丛中的线性联络相关，规范势是与主纤维丛的联络相关。

规范场与引力场

• 规范场相位的局部变换，等效于出现一个附加的电磁场。这和爱因斯坦引力理论中的弱等效原理完全类似，在那里，坐标系的变化出现附加的引力场。相对性原理意味着，不是一组场，而是整个一类规范等效的场位形对应于真实的物理情形；在内禀电荷空间中，没有将物质的物理场表示为分量的特殊的固定基底；这样的基底能够在时空的每个点局域的引进，然而没有物理的原因将它固定下来；基底的局域变化被解释为规范场的改变，这里的规范场起着与引力场和电磁场类似的作用。
• 这可以有精确的几何解释，其中Yang-Mills场起着引力理论中克里斯托菲符号的作用，Yang-Mills场类似于张量场，描述电荷空间中的平行位移，并决定了这一空间的曲率。

局域变换与规范场强的曲率

• 局域规范变换能够改变场量的拉格朗日量，这意味着与局域规范变换的有关的内禀空间的转动扭曲了粒子或场所在的坐标系的时空变量——位置变量与时钟变量，形成了一个弯曲的纤维丛镶嵌在平直或弯曲的时空坐标的底流形上；或者说内禀空间的转动产生了力的效应，就像轮胎各点之间独立运动导致轮胎表面伸缩出现弹性力；这种新产生的内禀空间扭转力是用规范场产生的规范势来表示的，类似于引力场或者非惯性运动扭曲时空坐标产生引力效应或惯性力效应。
• 因此，规范场也具有引力场的曲率特征，在阿贝尔群U(1)的情况下，电荷空间的曲率张量与电磁场强度张量一致，这就成功地把电磁场几何化了。从微分几何的观点看，Yang-Mills场表示主纤维丛的联络，它的基底是时空流形，而它的典型纤维是内禀对称群。一般说来，沿闭合回路平行位移会改变规范场，且场强张量为该空间的曲率。场强张量是协变导数的对易子，而Jacobi恒等式与引力理论中的Bianchi恒等式类似。

自由粒子物质波的局域变换

• 根据E=mc² =hν，自由粒子运动时的质量增加，转化为物质波频率﹑相位的变化，这意味着物质波的整体规范与运动粒子引力势的全空间增加，有着内在的联系。
• 当自由粒子物质波由整体规范变换向局域规范变换过渡时，建在粒子上的坐标系也由匀速运动过渡到加速运动。通过协变导数引进规范场，可以恢复粒子的自由运动状态。
• 由于物质波的初始相位是速度的函数，只要对自由粒子物质波做局域规范变换，粒子就已置于力场之中。规范场的引进，尽管体现了粒子与场的作用，但那是让粒子恢复自由状态，实现规范不变性引进的抵消作用。这类似于广义相对论中引进自由下落系来抵消引力场，实现局域平直时空的思维模式。

电磁场是规范场

• 从这个角度看，量子电动力学就是最成功的规范场理论。在这一理论中，带电粒子是由时空中的波场（由振幅与相位决定）来描述。当场中各点相位改变同样的数值时，粒子的总能量等这些可观察的量都不改变，所以这个场在相位的变换下，是整体对称的。
• 若要使之满足局部对称变换下保持不变性，也就是相位在空间各点做独立变化时，使可观测量仍然不变，就必须引入电磁场作为规范场。U（1）群表示将相位在0度到360度之间对于薛定谔方程进行变换，只有一种与电磁场有关的性质发生了变化。U表示“幺正性”，在量子力学中，表示几率守恒，粒子不能凭空创造与消失。

同位旋

• 杨振宁和米尔斯还把规范场理论用到了同位旋的对称性。质子与中子都是核子，它们除电荷外，其余性质完全相同，说明这两种核子态也具有不变性。在核物理中，把这种不变性叫做同位旋空间转动下的不变性。
• 在规范场理论中，杨振宁与米尔斯把同位旋对称性从核物理中的整体对称性推广到局部对称性。他们发现，必须引入三种规范场，它们形成同位旋转动群SU（2）的伴随表示，每种场都对应一个无质量、自旋为1、电荷分别为e，-e和0的粒子，但尚无法判别这三种粒子的质量有多大。

中间玻色子与夸克的预言与发现

• 1967~1968年，在SU（2）U（1）定域对称性自发破缺的基础上，温伯格与萨拉姆阐明了规范场粒子W⁺ ，W^-与Z⁰ 粒子静止质量的来源，并计算出这一质量的大小以及弱力的耦合系数及电磁耦合系数的关系，进一步预言了中性流的存在。
• 1971年，欧洲核子中心首次发现中性流；1981年，温伯格等获诺贝尔奖。
• 1982年，欧洲核子中心的意大利物理学家鲁比亚（1934~）等发现了W粒子；1983年4~7月，发现了Z粒子。
• １９６４年，美国物理学家盖尔曼和茨威格各自独立地提出了三夸克模型，认为重子和介子都是由夸克组成的。１９６９年，美国斯坦福直线加速器中心验证了夸克的存在，并在普通物质或宇宙线中发现了能够证明上夸克、下夸克和奇异夸克存在的证据。1974-1994年，又发现了粲夸克，底夸克与顶夸克。

量子色动力学

• 1973年，规范原理被用到了夸克间的强核力，也发现了与那种力相应的规范场——胶子场，与SU（3）群有关，代表色荷守恒，形成了量子色动力学。SU(3)群是8个独立的3×3 的矩阵，作为一种非阿贝尔群，成功地反映了强子内对称性的数学群，即所有强子在数学上都可以看作是由3种叫做夸克的基本场所构成。
• 大统一理论不仅要把把弱力，电磁力与强力统一起来，还要寻找一种对称性将夸克转化为轻子，从而统一两种基本粒子，最后只留下一种粒子和一个规范场。最简单的大统一候选者是SU(5)对称性(1974年由格拉肖提出)，是指3种颜色的夸克和两种轻子（电子和中微子）通过对称性重新组合。它的新预言是夸克衰变为电子和中微子，从而导致质子衰变（10²⁷-10³¹ 年）。
• 35年过去了，实验发现几乎没有质子衰变（10³² 年以上），还发现大统一理论的三个耦合常数不能收敛于一点，并有规范等级问题，所以SU(5)是错误的。

弦论

• 1968年，意大利物理学家Gabriele Veneziano提出一个公式，表示两个粒子相互散射时在不同角度出现的概率。南部阳一郎，尼尔森和苏斯金对这个公式的解释要求把粒子看做是振动的一维弦，而不是点。弦论作为一个基础理论，只有在满足几个条件时才能与狭义相对论和量子论一致：
• 1.世界必须有25个空间维；
• 2.应当存在比光还快的粒子——快子；
• 3.应当存在不能静止的无质量粒子。
• 还出现第四个问题，弦论不包含费米子——也就没有夸克。
• 1970年，Pierre Ramond改写了描述弦的方程，使它有了费米子。他还发现引入超对称才能使弦论和谐，这不仅消除了快子，而且使空间维数缩减为9，得到10维的超弦理论。纳维与施瓦兹的新方法得到类似的结果，他们让超弦发生相互作用，从而得到与量子力学和狭义相对论一致的公式。其中力用弦的分离与结合的几率来描述。弦的传播和相互作用使其在时空中的表面积最小。
• 弦论自动统一了所有基本粒子与作用力，自动产生了规范场，自动产生了引力；超弦还统一了费米子与玻色子，是万有理论的候选者。

超对称物理

• 1971年，苏联物理学家Evgeny Likhtman, Yuri Goldfand讨论了超对称；1972年，Vladimir Akulov, Dmitri Volkov发现可以写出一个超对称的和谐理论。1973年，欧洲物理学家Julius Wess, Bruno Zuminuo首次将超对称用于量子场论，推广了电磁力，统一了光子与一种很像中微子的粒子。
• 超对称能把费米子变换为玻色子，或把玻色子变换为费米子，两个超对称变换相当于一个彭加勒变换中的空间平移，它假定每个已知的粒子都有一个我们尚未看见的超对称伙伴。
• 超对称能使耦合常数更加趋近于一点，而且能解决规范等级问题，从而使大统一能够发生。超对称伙伴粒子被看作是宇宙中暗物质的候选者。

超空间

• 相应于超对称变换，从几何学观点来看可以引入超空间。在这种超空间中，除了通常的四维时空坐标x^μ（称为玻色坐标）以外，还有表示内部自由度的四个坐标θ_α（称为费米坐标），总共八个坐标（x^μ，θ_α）。费米子坐标θ_α是一种特殊的数，其中乘法具有反对易性{θ_α，θ_β}=0  .
• 尽管格拉肖与费曼认为超对称不过是“抽象的优美”，但是温伯格很欣赏超对称，哈沃德·乔吉有诗为证：
• 史蒂芬·温伯格，从德克萨斯归来
• 他带来的丰富维数，让我们迷茫
• 但是所有额外维数
• 都被卷进球中
• 它们如此微小，无法影响我们。

超引力，超弦与超膜

• 令超对称性是一个局域对称性时，人们就自动得到广义相对论，而局域超对称理论就是超引力。N=8的超引力理论不仅能统一电弱作用与强作用，还能包括引力，并消除量子引力中的一些无限大。
• 但是，超引力很难引伸出大统一的规范场，其中没有适当的轻子，不是一个手征理论，并且最终不是可重正化的理论。考虑弦论与额外维，就得到超弦与超膜理论。
• 最大的问题是没有发现超对称粒子，不描述现实世界的数学解太多，并且不符合广义相对论的背景独立性。

物理学艰难的统一之路

• 电，磁，光→电磁学
• 电磁学+量子力学→量子电动力学
• 量子电动力学+弱力→弱电统一理论
• 强力+夸克模型→量子色动力学
• 弱电统一理论+量子色动力学→大统一理论
• 引力+量子论→量子引力

• 大统一+量子引力→万有理论？