激光冷却效应 是自发辐射的话，原子的动量就 会减少，因为自发辐射的光子的平均动量为零。因此，总的效应会使系统的动 能减少，由此降低系统的温度

http://users.physik.fu-berlin.de/~pelster/Theses/wang.pdf


6 Difference of the chemical potential and on-site repulsive potential between subsystem A and B

激光冷却效应的基本原理是利用多普勒效应使得热运动的原子中沿着激光 光源方向运动的比背向激光光源方向运动的吸收更多的光子，要获得这种效 应，人们必须使激光的频率比原子中电子的跃迁频率小一点。这样，由于多普 勒效应，朝着光源的方向运动的原子“看到”激光的实际频率正好为原子的跃 迁频率。这时，原子会吸收光子，同时由于动量守恒，它也会吸收光子的动量， 然后它就要开始辐射原子。如果是受激辐射的话，原子的动量不减少，因为辐 射的光子和原光子的运动方向相同，但是如果是自发辐射的话，原子的动量就 会减少，因为自发辐射的光子的平均动量为零。因此，总的效应会使系统的动 能减少，由此降低系统的温度。在真实的实验中，一般首先让原子通过一个磁 场来改变原子的能级差，以便让原子的固有频率和激光的频率匹配，这个过程 被称为塞曼减速[3]。然后原子通过沿着各方向传播的激光光场中，原子可以在 几个微秒之内被降低到毫开尔文量级。图 1-1给出了激光冷却和蒸发冷却的原 理示意图。

根据布洛赫原理，任何周期性势场中的原子的能级都具有能带结构，即能 带之间存在能隙的结构。

光晶格中的BEC现象比磁势阱中的BEC展现出了更为丰富的物理，这是因 为毫开级别的冷原子系统的密度通常是1010cm3，而纳开级别的冷原子系统密度 通常是1014cm3或更高。这种极低的温度可以保证系统的光晶格势场逐渐被从零 加大时，系统的粒子仍然占据在基态。这种更高的密度会使系统的粒子占据 数远远大于在磁势阱中的10−3，而这会显著的增加BEC原子之间的相互作用力， 而在磁势阱中这种作用力经常被忽略掉。

当BEC被载入浅的晶格系统中，系统是一种弱耦合作用的状态，但是随着 光晶格的深度逐渐加深，系统进入了一种强耦合状态。这种增强的势能会导致 系统的能带之间的能隙加大，从而使高能带的粒子数量显著的压缩，因此，在 这种情况下，我们只需要考虑系统的最低能带。在这种情况下，我们可以用玻 色-哈伯德模型来很好的描述系统

强耦合作用最为显著的作用是使系统发生了从超流态到莫特绝缘态的相 变。该相变最早由Fisher[9]对玻色-哈伯德模型的分析预言而由Greiner在实验上 证实[10]。在玻色-哈伯德模型中，存在着两种相互竞争的能量：一种是跃迁动 能，它表示从一个格点跃迁到相邻格点的跃迁概率大小；另一种是格点上的势 能，它表明的是相同格点上的原子的两体相互作用的大小。当跃迁动能远远大 于系统的势能时，粒子可以在系统中自由的跃迁，这时，系统处在超流态；而 当系统的势能远远大于跃迁动能时，系统的粒子被局域在各个格点上，此时系 统处于莫特绝缘态。这些不同的态可以通过飞行时间实验来证明，图1-4从左到 右，光晶格的深度为(a)8ER, (b)14ER, (c)18ER, (d)30ER，ER是系统的反冲能量，在 后面我们会给出它的定义。

光晶格中玻色子系统的量子相变 一个热力学系统的状态通常取决于某些宏观的物理量，比如温度，压强， 体积等。当这些宏观物理量取某个特定值时，系统处在某一个特定的相。如果 调节这些参数，使得系统从一个相变化到另一相，那么就称系统发生了相变。 系统发生相变的时候，宏观性质往往会产生剧烈的变化。典型的相变有固体， 液体，气体之间的相变。人们还发现，各种不同的物质的临界行为具有普遍 性。这种普遍性通常可以用一种代数方程来描述[4]，即X ∝ (T − Tc) σ，这里的σ - 18 - 第 2 章 广义朗道有效势理论及其在超光晶格中玻色子系统的应用 就叫做临界指数，通常临界指数具有普遍性，而临界指数相同的相变通常归结 为一类。

一个热力学系统的状态通常取决于某些宏观的物理量，比如温度，压强， 体积等。当这些宏观物理量取某个特定值时，系统处在某一个特定的相。如果 调节这些参数，使得系统从一个相变化到另一相，那么就称系统发生了相变。 系统发生相变的时候，宏观性质往往会产生剧烈的变化。典型的相变有固体， 液体，气体之间的相变。人们还发现，各种不同的物质的临界行为具有普遍 性。这种普遍性通常可以用一种代数方程来描述[4]，即X ∝ (T − Tc) σ，这里的σ - 18 - 第 2 章 广义朗道有效势理论及其在超光晶格中玻色子系统的应用 就叫做临界指数，通常临界指数具有普遍性，而临界指数相同的相变通常归结 为一类。与普通的系统所发生的由温度驱动的相变不同，对于光晶格中的玻色 子来说，可以由于量子涨落而发生量子相变。量子相变是指在绝对零度下，通 过改变系统的物理参数来实现的相变，它表明系统的基态发生了突变

另一种可能的思路为用高斯函数近似的代替系统的瓦尼尔函数，比如在 考虑子系统A 时，暂且忽略子系统B的差异的影响，这样也可以分别求得子系 统A，B的瓦尼尔函数，这就是所谓的紧束缚近似。在这种近似下，将每个格点 当做是一个二次项的简谐势，并且用它们的基态波函数来近似的代替系统的瓦 尼尔函数。这种近似在求系统的势能和化学势的时候符合的很好

上面的式子只有在格点的深度比较深的时候才近似的成立，因此我们假设格点 的深度为V ′ 0 = 15，于是可以得到如图 2-6所示的A子系统和B子系统的化学势之 差和格点上的排斥势能之差。从图中我们可以看到，化学势之差比格点上的排 斥势能之差要大得多，因此可以忽略格点上的排斥势能之差。

6 Difference of the chemical potential and on-site repulsive potential between subsystem A and


朗道对称破缺理论 朗道最先指出，相变通常伴随着系统的对称性的改变。比如液体具有连续 的旋转对称和平移对称，而固体态没有，通常称这种现象为对称破缺。因此， 人们往往用一个序参量来描述系统的相变，在系统的无序相，序参量为零，而 在有序相，系统的序参量不为零，如图 2-7所示。 而描述系统的哈密顿量通常 在很多不同的操作下具有对称性，在无序相，系统的哈密顿量的基态通常和哈 密顿量具有相同的对称性，而在有序态，基态的对称性通常低于系统的哈密顿 量。 如果定义系统的自由能为F，则可以将系统的相变根据F的导数的阶数进 行分类。大体来说，可以将系统的相变分为两类，如果自由能的一阶导数在相

变点处连续，则称之为连续相变，一阶导数不连续的，称之为不连续相变（一 级相变）。如图 2-8所示，无论是对于一级相变还是对于二级相变来说，系统的 自由能都是连续的，但是对于自由能的一阶导数S = −∂F/∂T就只有连续相变的 时候才是连续的

必须指出，相变发生在系统出现非解析的奇异点的时候，而这只会出现在 热力学极限的情况下。所谓的热力学极限是指系统的粒子数N和V都趋于无穷， 但是N/V趋于一个有限值。前面说过朗道通过引入一个序参量来描述相变。通 常序参量的形式为Ψ = (ψ1(x), ...ψN x)，每一个分量ψi(x)都是一个标量。由于序参 量在相变点附近是一个小量，即|Ψ|远小于一，因此可以将自由能对序参量进行 展开。由于系统是自发的对称破缺，因此在不引入外场的情况下任何有限值 的|Ψ| 都不能使自由能最小，这种情况下，给Ψ任何一个角度的转动，都不会影 响系统的自由能，因此自由能的展开项中只包含|Ψ|的偶次项。如果忽略系统的 序参量的空间涨落，则可以得到 F(Ψ) = a0 + a2Ψ 2 + a4Ψ 4 + a6Ψ 6 − ηΨ (2-54) 上式中的η表示外场的大小。为了方便起见，取外场η和a0都为零。然后我们来 分析系统的自由能在不同的参数情况下的最小值。如果所有的系数都是正的， 那么只有在Ψ = 0的时候系统取最小值。

如果解|Ψ+ |对应着系统的自由能的最小值的话，那么就表明系统发生了相变。 图 2-9中，我们可以清楚的看到两种相变的自由能和序参量变化的区别，在连 续相变的时候，序参量是连续变化的，而在非连续相变的时候，序参量有一个 跳跃，在连续相变时，发生相变的时候，|Ψ| = 0对应的点不再是极小值，而在 非连续相变的时候，自由能在相变时在|Ψ| = 0时仍然是极小值，但是不是最小 值，因此系统的序参量会产生跳跃。