麦克斯韦把拉普拦斯算符。
叫做受此算符作用之量的浓度，然后以引入“陡度”(Slope) 这一术语，用以表示哈米顿算符作用于数量函数的结果。“量 
是矢量，它所指出的方向是p减少最快的方向，其数值量度出p减少的程度
第六章、近作用原理
(三)
1879年。麦克斯韦提出借助于木星卫星蚀来判明整个太阳系相对于以太运动的思想。太阳和整个太阳系一起在某个方向上运动。在此路径上当木星处于太阳之前的时候由于木星绕太阳旋转需时为地面上的二十年，这样在地面一年期间其位置变化较小。在一年中木星移动了三十度。总之，在其宇宙的运动中是处于太阳的前面。同时，在一年期间地球转了整整一圈，这样，在此一年期间内就像辽密尔所做的那样，能够求得为使光线通过达到地球的距离恰好是地球轨道半径所必须的时间间隔之差。六年之后，木星在其宇宙的轨道中已处于地球的后面，这时就可以确定其卫星蚀的提前或落后。如果太阳系在其宇宙的运动中不拖带以太，那么就可以通过比较第一种情况和第二种情况的量来确定其相对于以太的运动。在第一次观察时，木星和它的卫星是位于太阳之前，这样，光就迎着其宇宙运动传播，并且其速度应是以太的光速加上太阳系相对于以太的速度。在第二次情况下，相对于太阳系的光速应等于上述速度之差。但是，只有当经过六年的天文观测查明木星卫星蚀的推迟有周期性差值时，这些计算才可证明太阳系的绝对运动。事实是天文观测仍未发现这种周期性的变化。这样，观测木星卫星蚀的推迟也没有提供太阳系的绝对运动的任何一种证据。
费涅尔理论曾断言：以太部分地被运动物体所拖曳。费涅尔本人这时就是以被确定的以太结构的概念为出发点的。以太在宇宙空间的密度等于某个恒定的数值。处于物体中以太的密度则是另一种数值。当物体运动时，分布于物体前面的以太进入此物体。并且在它里面获得新的，更高的密度，这种被浓集的以太以另外的速度相对于物体运动。在物体中以太的密度和它的速度之间存在着某个确定的关系。费涅尔把这个关系算出来了。这就是折射系数。换言之，就是真空中的光速和它在物质中的传播速度之比永远等于在物体中以太浓集度的平方根，也就是等于在物体中以太的密度和宇宙中自由以太密度之比的平方根。这样，费涅尔就给出了拖曳系数的力学解释。即此系数相当于以太在物体中的浓集度。
企图发现物体相对于以太运动的牛顿促进了另一种假说，即完全拖曳以太的假说。1845年，斯托克斯假定以太完全参与物体的运动，其结果就是光学现象的相对原理。在运动的介质中，比如，在地球表面上，光学现象就象在静止的介质中一样以相同的形式发生。为了解释宇宙空间中以太的静止性和在物体中以太的运动，这就使得斯托克斯详细制定了以太的复杂的假说。正如日后证实的那样，这个概念是同力学的基本规律相抵触。与此同时， 以太只是部分被运动物体所拖曳的实验也做出来了。
1851年，菲索设计了一个干涉仪，一对光线通过有水流的管子，一束光迎着水流进行，另一束顺着水流。若是水自已拖曳以太，其结果将是干涉条纹有确定的移动。事实上观察到了某些移动，然而它并没有同完全拖曳的假说相对应。在算出了相应于被观察到的条纹的拖曳系数之后，菲索得到相应于费涅尔拖曳公式的数值。
这样，以太就从世界的机械图景中脱落出来，它不能用来做为其他物体的绝对参照系，与此同时实验也反驳了完全拖曳的假说。对在十九世纪物理学中占统制地位的以太论来说，没有以太风那就不可能有绝对运动的光学证据。换言之，光学的相对原理也就不再是一个基本原理。相反，由于没有以太风，这时所观察到的现象只是在相反方向运动时光速变化中和的结果。这样其偏差将正比于物体速度和光速之比的平方。换言之。以太论把看不到的以太风解释成那样一种状况，这时光速的偏差只在二级效应中才显示出来。菲涅尔的部分拖曳理论得到以下结论，在一级效应中不可能观察到以太风。此时运动介质中光速的变化还未达到一级量。尽管根据部分拖曳理论在这里的偏差能够达到一级量，不过观察不到以太风却是个既成事实。至于麦克斯韦提出的木星卫星蚀，这是个孤立的事件。从历史上看还不能构成反对菲涅尔理论的依据。这样，其结果对世界的力学图景来说，不只是牛顿的远作用概念。而且对全部力学观念来说都是很不利的。以太所展示的特性和古典力学完全不同。
从机械论的观点来说可以把以太看成是有惯性的物质。这样，在某个以太不动的惯性系中它必将没有加速度。假如对此以太施力，那么该以太将有与此力成正比之加速度。加速度对于坐标变换来说是不变的。在对加速度关系这方面来说，所有惯性系是等同的，因此以太服从牛顿力学的相对性原理。由此推知，以太服从速度相加的古典规则。如果从一个惯性系变到另一个惯性系时力和加速度不变，那么速度就要变。这样，光线的传播就同物体的运动一样将因彼此相对运动的惯性系不同而取不同的速度。可是实验结果却显示另一种情况，在从一个惯性系过渡到另一个惯例系时光速不变。从这种不变性可知光现象不可能显示系统相对以太的运动，以太也不能当作绝对参照物。这就是光学的相对性原理。它同古典力学的根本区别是，后者所指的是加速度的不变性，而光学相对性原理则建立了光速不变性。也就是说，光速与包括光源和观察者（发光体和吸收光体）在内的系统运动无关。
这样就构成了力学和光学相对性的冲突。后来这一冲突虽已解决，但是转换成力学同电动力学的冲突。我们在韦伯的理论中就已看到他的电动力学侵犯了力对运动的独立性。现在由于测量运动介质中的光速，光学也介入同古典运动规律的对立。这一冲突在麦克斯韦把光学和电动力学用一个理论统一之后采取了新的形式。
现在我们来谈一下新理论出现和传播的历史根源。这个根源就是近作用理论。它是从各种数量关系得出并被日后许多实验所证实。
法拉第提出的实在的力线的观念对当时所有熟知的事实做出了合理的解释。正如我们前面说过的那样，这并非唯一可能的解释。远作用观念也可以对一些事实做出了无矛盾的解释(22)。法拉弟并不这样想，他认为感应现象沿着曲线从一点传播到另一点正是反对远作用之无可争议的论据。不过，那些触及远作用矛盾的判定性实验是很晚才做出来的。在十九世纪中期，当麦克斯韦正面临电动力学发展的十字路口时，此时并没有指明唯一正确道路的Experimentum rucis（拉丁语：判定实验）。当然，选择还是做出来了。如前所述，决定麦克斯韦选择的原因同决定法拉弟做出选择的原因一样，不能归结为对实验事实的逻辑分析而是由于物理学毗邻领域对电动力学的强烈影响。牛顿力学无可动摇的权威已无力支持远作用了。电动力学的近作用观念除去作为法拉弟世界观基础的一般原理之外尚有许多充足的论据。随着时日的推移，当时已建立的热学理论，某些新的类比和数学例证已进入物理学家的意识之中了。
这一倾向虽然还不具有牛顿力学曾拥有过的权威，但是对电动力学的毗邻领域却显示出影响，其范围也不限于热学理论。在电动力学创始者的一些著作中，尤其是黎曼和麦克斯韦的著作中，我们将会看到对热传导方程之极富特色的引用。从历史的角度来看，最重要的事情是在弹性理论和传热理论中近作用观念同新的科技动向（在使用蒸汽机时出现的工业技术）紧密地联系在一起。未来属于这些观念，但不限于显示这些观念的地方，也包括物理学的其它领域。从麦克斯韦工作的极其宽广的历史影响来看。他已然用法拉弟的观念向远作用宣战了，并且恰好是在那样一个战场，即远作用取得辉煌成就之处，即对物理问题采用数学方法处理的领域。对麦克斯韦来说，和当年傅里叶的处境类似，必须把物理的数学方法向前推进。
下面我们研究麦克斯韦工作的历史根源。在麦克斯韦电动力学之前的一系列发现和总结并未解释在哪种实际历史动力影响下，科学从一种观念过渡到另一种观念，当然更不用说解释科学从前述那些概念如何过渡到与麦克斯韦的名字联系在一起的概念了。麦克斯韦电动力学的思想前提解释不了其形成过程。新理论自身的历史根源可以部分地从它的创始者的传记中发现。
对麦克斯韦早年科学志趣来说其特征是明确追求几何方法和运动学问题。麦克斯韦早年的一个老师说过。这个少年人“看上去对物理问题肯定不会不正确地思考，但是就数学分析的能力来说就要弱得多了。”麦克斯韦的一个叫劳森的中学同学在寄给麦克斯韦传记作者坎贝尔的信中这样写道：“我现在还记得，有一天，我们老师在立体几何课上解一个复杂问题，把黑板写满三次。他刚刚成功地结束演算，麦克斯韦就提出这样一个问题，不能用几何的方法解释这个问题吗？接着用一个图和几条线立即得到答案。”[23]
看来追求运动学和几何学的处理方法对麦克斯韦来说有时代特征，并且在很大程度上可推测出麦克斯韦的科学志趣是由所谓结构技术的影响所激起的。在这种意义上说，麦克斯韦确实是那样一种时代的骄子，这就是运动结构模型已成为工程师和学者们的注意中心而且一种结构很快地就过渡另一种结构的时代。
1850年，麦克斯韦进入剑桥大学进行为期四年的学习，大学后两年进行了研究工作。这是他创造性工作成长的第二个重要时期。这时，他已然从爱丁堡那个狭小的圈子中挣脱出来，如饥似渴地汲取技术，科学，哲学和多种领域的知识。按照同时代人的看法和当时保存下来的文章，他力求找到某些普遍的原理和方法，有时，这些方法会用到彼此相隔甚远的现象和问题。在这里，在日后麦克斯韦电磁理论中得到重要运用的类比方法这时已显露出雏形。
麦克斯韦第一个独立的研究课题是致力于颜色理论。他研究的基础是根据大量的实验，并且也包括一种很接近于赫姆霍茨三基色理论的观念。在1855－1856年，麦克斯韦完成了他有关电的第一篇著作《论法拉弟力线》。在这篇著作中，他不只使用计算，同样也使用涉及不可压缩流体运动学的直观类比，这一倾向表现极其明显。
在1860－1865年，麦克斯韦在伦敦主持一个讲座。在这里他结识了法拉弟。在伦敦他参与组织定义电阻单位的实验工作和参加研究定义静电与静磁单位间关系的常设委员会。除此以外还撰写了电磁场理论的第二，第三篇论文《论物理力线》（1861－1862）[25]和《电磁场的动力学理论》[26]。1863年他迁回祖居并在那里完成了不朽名箸《电与磁的专题论文》。 [27]
麦克斯韦的创造性活动，他的志趣及方法的特点以很复杂很隐晦的方式，甚至有时是以十分间接的形式和十九世纪中期生产技术发展的重要特征发生联系。传记中的情况只能为确定其整个科学活动的历史根源提供些最一般的乃至不很确定的根据。可以推测，甚至可以断定，麦克斯韦著作中的几何直观性，物理内容的丰富充实以及物理上的建设性都可以发现同蒸汽世纪科技气氛的某种联系；然而对于麦克斯韦的创造活动历史根源的更为明确的特征不只要从其科学活动的风格特点去探索，还要从麦克斯韦根本物理观念的内容上去寻求。
不能认为麦克斯韦的电动力学就是电工学发展的总结。麦克斯韦的科学思想和电工学的联系相当复杂的。电磁场学说的原理在强电技术中得到广泛的应用，特别是在他去世十年之后开始高速发展的交流电工程中获得更为广泛的应用。归根结蒂，麦克斯韦电动力学的主要论据是电磁波。只有波波夫的发明（译者按：在五十、六十年代之前，当时苏联大国沙文主义泛滥，不惜歪曲历史，作者理应深明底里，所以才有这种违心之论。那时苏联不承认意大利人马可尼发明无线电，而认为是由波波夫发明；飞机是由莫扎尔斯基发明，不是美国人莱特弟兄；蒸汽机车是由波尔祖诺夫发明而不是英国人史惕文森，等等。对此甚至拍摄成故事片广为宣传，这些故事片也在中国上映过。在中国那时的中学物理教学中也应和这种说法。）出来以后，电磁波才有工程技术上的价值并且也才成为电器技术的一个基本部门。麦克斯韦当时所说的电器技术是所谓弱电技术（电振）和最早的磁电机械。在《电与磁性的专题论文》中他讲到了电报对电学的意义。
“由于单纯的电学测量带来了商业利益，并且利用仪表研究电学也远远超出了实验室的规模，因此电磁学在电报上的应用也就会对纯科学产生影响。对电学知识的需求和实验上取得有益成果的可能性一方面强烈地激起工作于电学领域中先进学者的热情，另一方面又使一定程度的纯知识在从事实际工作的人们中间得到迅速地传播。而这种知识令全体工程技术界得到普遍的科学上的进步和提高。”[28]
电报和近半个世纪之后出现的电力照明，这种技术领域是同继使用蒸汽之后而出现的下一个技术变革联系在一起的。这时电还没有成为工业的能源。从物理上来看，电报是以能量沿导线传输为依据的。然而电报的意义不在于能量而是信号的传输。此时，在电子领域中一些单纯的测量具有重要意义，然而能量转化数量的规律尚未成为电器和电磁设备设计师们所关注的中心。用于电铸和照明的第一台直流电机的设计创造就说明了这种情况。
就电机的理论而言，从历史上看最重要的箸作是属于麦克斯韦的。这种理论是从楞茨和雅戈毕时代开始发展起来的。雅戈毕是实用派的先锋。他把物理原理图就看成是机器的草图。而对楞茨来说恰恰相反，机器似乎就是演示物理原理的模型。在麦克斯韦的一篇文章《不用永磁铁而用机械方法控制电流的理论》表现出类似于楞茨的倾向。正好在西门子和惠斯通发明自激电机的消息传来一个月之后，1876年4月，麦克斯韦把这篇文章作为报告提交给皇家学会。[29]
在这篇报告里，麦克斯韦最先把电机回路中定时的概念引入电机理论。从历史上，从麦克斯韦科学活动的特征，从麦克斯韦电动力学的根源来看，自激电机报告中使人感兴趣的不只是它里面所肯定的内容，而是当时就已显示出来的麦克斯韦电动力学观念的广度和可以使用新的电磁场理论的较为狭窄的技术问题的范围之间本质上的差别。电磁场能量和能量的定域及运动这些新的概念，在十九世纪五十七十年代的电子技术中尚未得到广泛的应用和支持。在当时把能源问题提到首位的历史根源是因为使用蒸汽带来的总的变革。特别是由于这一变革在生产技术，经济，文化方面总的影响结果。（其中也包括电学在动力工程以外的应用）至于提出后来为人们所公认的详尽的电机理论，涡旋场原理，特别是电磁波的出现和实际应用以及电工学成为推动古典电动学向前发展的力量源泉等等，这都是麦克斯韦著作发表之后很久的事了。
在《论法拉弟的力线》这篇文章中讲到过他自己研究电磁学的方法。在这个领域中需要的是“那样一种研究方法， 也就是这种研究方法的每一步都尽可能根据一些明确的物理表象。”[30]这里已经显示出麦克斯韦方法的两个基本特征：首先，数学的分析和物理的分析融合在一起，因为此时数学的抽象一直保持着物理内容。其次，被数学所抽象的物理内容不在于把被研究的物理过程和力学模型视为同一，而是把它们进行比拟，也就是指出此物理过程和力学过程相似之处以及其区别。麦克斯韦一经采用这种方法，电动力学在物理上之非力学的特征立即变得极其显著。他建立了用于指明由电力和磁力方向的几何模型，但是还需要对这些力在每一点的强度作出描述。“这一点可以做到。倘若不用数学上的线来代表所研究的曲线，而是用流动着的，不可压缩的液体之具有变化横截面的管道来表示就可以了。”[31]
这种不可压缩的液体究竟是什么东西呢？当时麦克斯韦一再强调这决不是某种理想化的电流体，这里仅仅是把电力比做流体。凡是麦克斯韦讲的他的研究方法的地方都可以清楚看出这种类比方法的非力学的特征。就在《论法拉弟力线》这篇文章中他这样写道：
“这里所谓的实体，除运动和压缩阻力以外不应附加任何一种实际液体的属性。也不应把它当成只用于解释现象而又为旧的理论所容许的，某种假想的液体。这些实体仅仅是一些虚构的性质的总体。构成这种总体的目的是要用它更为直观地表示以公式所反映的纯数学的原理，并且在应用于物理问题时比用纯粹代数符号的公式有更强的逻辑性”。[32]
为明了类比的意思只要想一想作为模型出现的流体就足够了。当这种流体在“介质”中运动，而在“介质”阻力很大时，麦克斯韦却使这种流体不具有惯性。这时已不再是几何模型而是力学模型了。但是在力学中，运动的物体不表现惯性只是流体密度减小同时介质阻力增加的极限情况。在笛卡尔派纯正的力学模型中，进行比较的这些过程按其本质来说是同一的。麦克斯韦进行比拟时所具有的假定的特征反映出对物质介质存在着非力学的，而且不能归结为力学属性的信念。
麦克斯韦的方法在一定意义上同拉格朗日的方法是相对立的。在《电与磁性的专题论文》中麦克斯韦这样写道：
“拉格朗日的目的就是要把动力学引导到数学分析的的支配之下。他从表示最根本的动力学关系入手，通过与之相对应的纯代数量之间的关系，由已得到的方程再用纯数学分析的方法推出其最终的方程。一些特殊的量（表示由其物理约束所引起的系统各部分之间的反作用）是作为组成系统的各个部分的运动方程出现的。从数学观点来看，拉格朗日所研究的正是从最终的方程中排除这些量的方法。
按照上述过程，那么思维也就只限于计算了，而思维也就应该保持不受任何动力学观念干扰的自由。从另一方面说，完善动力学观念恰好也是我们的目的。因此，当开始从事数学要做的工作的时候，我们先要把它的结果从数学分析语言翻译成动力学的语言，以便使我们的词汇所激起的思维形象是某种运动物体的属性而不是代数过程”。[33]
拉格朗日把物理数学化了，而麦克斯韦把数学物理化了，这是科学思想上相向而行的潮流。它们是同一个过程的两种表现形式。拉格朗日以其根据变分原理所做的工作对力学从数学上进行了概括，并且能够运用于非力学的过程。麦克斯韦则借助于假定性的类比找出了拉格朗日方程的非力学的物理上对等物，从而解释了拉格朗日方程。
由于涉及到数学和物理学的关系问题，麦克斯韦以极其清晰的方式阐述了自己的方法。这也是他屡次思索并且经常提出的课题。在《物理量的数学分类》这篇论文中，麦克斯韦讲到了用同一种数学方法研究本质不同的量之可能性的问题。[34]从反面来说：同一种形式不意味着电磁过程和力学过程是同一的。而这种提法，也就是正面提法的另一方面，即物理上非同一的现象也能够借助于普遍的数学手段进行研究。
麦克斯韦发展了用同一种数学工具研究不同的物理过程的思想。他援引了大量的事例。从历史方面来看这些事例很耐人寻味。因为从中可以发现十九世纪物理学中麦克斯韦观念的源流，特别是麦克斯韦常常援引的热学理论。麦克斯韦强调指出在数学自身的发展中物理分析的重要性。对数学来说最重要的是指出其抽象化的物理实质。对科学进化来说是不正常的有害的形式化概念也将因为形式化概念所取得成功而一同成长。使几何算术化取得巨大成就以后“所有的量都以同一种形式进行研究并借助于数或表示这些数的符号来代表它。这样一来，任何一门科学只要全部被归结成数学公式，立刻就会使人们（至少在非专业人员中间）做出这种推测；解决这一科学问题有如某种智力过程，它不必借助于任何一种物理观念就能够完成。”
麦克斯韦接着写道：“我没有必要去说这是不正确的，也没有必要去说在解决物理问题对发现这些问题的科学知识给予数学的巨大的动力。这时我只是在想，要是把注意力直接集中到物理量的分类上，就科学的成果而言无论是对科学发现还是对知识的推广都会是极其有益的。”[35]
麦克斯韦还讲到了把数学量分成矢量和标量并且对由哈米顿建立的四元数的计算和笛卡尔提出的坐标系进行了比较。他描绘出为分析新的物理概念所必须的数学发展远景。
“正如用哈米顿数学的几何观念取代笛卡尔数学的纯数量的观念使我们对物理科学的表象变得更加生动鲜明一样，如果能找到一种对应于动力学的语言(达到哈米顿的语言和几何学相对应的程度)来表现科学，这时更高一级的科学观念或许可以得到更大的发展。”[36]
麦克斯韦所依据的是能量的概念。从十九世纪中开始能量就是物理学的核心概念，同时也是麦克斯韦在电动力学和气体理论箸作中的核心概念，对他来说，能量的概念不仅仅是发展物理学的根本出发点，而且也是深入和推广矢量的出发点。他已然预见到数学在此方向上的下一步发展。他把属于单位长度的矢量叫做“广义力”，而属于单位面积的矢量叫“广义通量”，接着他这样写到：“对每一面元上垂直该面的通量的分量施行积分运算一定具有物理意义。在某些情况下，在封闭面上积分的结果，根据某些限制可以同该封闭面的位置无关。这时积分结果或是表示存在于此封闭面内的某一类物质的数量，或是表示相应于通量物理本质的，从这一封闭面流出的某一类物质的数量。”[37]
麦克斯韦指出：发现在不同方向上有不同物理特性的物质就可以根据不同的应用场合划分出“力”和“通量”间的区别从而使上述情况成为提出这一重要数学结果的依据。接着，麦克斯韦把拉普拦斯算符。 叫做受此算符作用之量的浓度，然后以引入“陡度”(Slope) 这一术语，用以表示哈米顿算符作用于数量函数的结果。“量 是矢量，它所指出的方向是p减少最快的方向，其数值量度出p减少的程度。我极为慎重地决定把它叫做“陡度”。拉密把 
表示的量叫做一阶微分参数。然而他对矢量的方向不感兴趣。我们需要具有矢量特征的专门术语，以便同时指明其量值和方向。在另外的数学意义上，这一专门的术语此时或许还不适用。我冒昧地把从地形学中借来的‘陡度’这个词的词意推广了，在地形学中按三维空间的关系来说上有两个独立变量在起作用。”[38]
叫做受此算符作用之量的浓度，然后以引入“陡度”(Slope) 这一术语，用以表示哈米顿算符作用于数量函数的结果。“量 是矢量，它所指出的方向是p减少最快的方向，其数值量度出p减少的程度。我极为慎重地决定把它叫做“陡度”。拉密把 表示的量叫做一阶微分参数。然而他对矢量的方向不感兴趣。我们需要具有矢量特征的专门术语，以便同时指明其量值和方向。在另外的数学意义上，这一专门的术语此时或许还不适用。我冒昧地把从地形学中借来的‘陡度’这个词的词意推广了，在地形学中按三维空间的关系来说上有两个独立变量在起作用。”[38]
把哈米顿算符施加于矢量出现的结果可以是数量，麦克斯韦建议叫做“聚集度”（现在叫散度）。如果结果是矢量就叫做“Curl”。后来在《关于电与磁性的专题论文》的引言部分又以更为系统的形式对矢量计算和矢量解析的思想再次做了简单的阐述和局部的发展。当年麦克斯韦提出的专门术语中只有表示涡旋（rot）的“curl”还一直保持下来。
现在我们可以弄清楚为什么当麦克斯韦宣称他的方法和法拉弟的方法完全一样时要讲思想家法拉弟的“数学方法”，虽然在法拉弟的著作中连一个数学分析的公式也没有。麦克斯韦认为某些数学上的新方法是从法拉弟的物理思想所引出的。在关于法拉弟的论文中，麦克斯韦指出：在法拉弟的箸作中我们找不到微分或积分方程，而这些方程在大多数人看来似乎就是精密科学的真正的本质。[39]在法拉弟之前发表的泊松和安培的著作中以及在其后发表的伟伯和涅曼的著作中可以找到许许多多或许法拉弟还看不懂的公式，因为被上述这些学者所使用的只是公式而决不是整个数学。
“位置的几何学就是不使用微积分计算而建立起来的数学科学的范例。法拉弟的力线在电磁科学中所处的地位和位置几何学中的曲线族的地位是一样的。有了这些力线才容许我们再现出所研究对象的精确的形象。法拉弟为了能够和电磁感应现象协调一致在运用其力线观念时所采取的方式证明了他是那样一类优秀的数学家之一。从这样一类的数学家那里未来的数学可以汲取许多有价值的和富有成效的方法。”[40]
现在我们知道了从物理学发展的新时期生长出来的数学思想的名称和内容以及与法拉弟麦克斯韦近作用物理相适合的数学思想的名称和内容，这一问题最明显的方向是矢量解析和以后的张量解析。但是归根结蒂，数学总的发展方向是同近作用物理学联系在一起的。在十九世纪下半期变量关系的数学的发展其根源就包括物理学。在其中有重大意义的要属近作用电动力学。正是近作用电动力学使提出空间的几何属性和在此空间中发生的物理过程之间有依存关系成为可能。
非欧几何和发现实空间的属性有可能脱离欧氏几何的是科学中的伟大转折。这里面包含着解决宏观世界和微观世界几何属性问题之物性理论的最早的启示。黎曼的思想很明显是以新的物理思想作为出发点的。他的著作不但在逻辑上，而且从历史上看也是直接同电动力学联系在一起的。关于这个问题斯特罗依克在《微分几何史纲》中说得很好。他把黎曼的科学思想和在《自然辩证法》中得到深刻总结的，十九世纪自然科学辩证的发展联系在一起了。
“黎曼不但指出如何把刚体引入空间之中，而且还讨论了如何作用于空间。对于蒙日而言，空间是不必加以研究讨论的；可是对黎曼来说，空间就象刚体那样是进行科学研究的对象。从黎曼开始，在几何学的基本问题上辩证唯物主义就是逐渐地把形而上学的唯物主义排挤出去。空间作用于物体，而物体也作用于空间。在最早的，直观的表象里，只由经验赋与空间一些使之成为我们几何学中和物理学中的空间的特性即投影的特性，物质的特性甚至是Analysis situs（解析性态）的特性。
从蒙日抽象的，并且假定刚体在其中彼此处于有很限距离的空间出发，我们可以得到当作‘场’的空间理论。这一工作是由黎曼进行的。在电磁场方面（就如魏尔所指出的那样）同样的一步工作是由法拉弟和麦克斯韦作出的。 在其他知识领域中，在从十八世纪就已出现的形而上学的科学分类法向着近代概念的转变方面，类似的工作也同时完成了。这种辩证的方法在地质学中以赖尔为代表，在生物学中以达尔文为代表，但是辩证法只是到马克思才自觉地运用于社会科学，并使其发展为《辩证唯物主义》的科学的世界观。”[41]
斯特罗依克把各方面情况汇集起来的思想和把罗巴切夫斯基，黎曼的观念的解释与发展同近作用物理联系在一起的思想曾经多次被提出过。魏尔曾这样写道：“在几何学中所完成的正是法拉弟，麦克斯韦在物理学中，特别是在电磁学中所迈出的那一步。这是由于摆脱了隔着一定距离就可以发生作用的原理，或者说在研究世界时我们只须从无限小的相互关系出发……”[42]
对罗巴切夫斯基和黎曼的思想真正从物理上作出解释还是在麦克斯韦理论发表之后又过了半个世纪才得到的。作出这种解释的历史依据则是古典电动力学的发展和推广。至于说到十九世纪六十七十年代的情况，这仅仅是指某些刚刚开始表现出来的，建立物理的几何学的倾向。所谓物理的几何学是指全部的数学抽象都是有物理内涵的理论。在这种理论中，数学计算的每一个阶段都有物理意义，每一个数学符号都表示出某个物理概念。
在麦克斯韦之前的电磁学的数学理论的创作者如安培、涅曼、韦伯等确实是把物理意义赋予了计算结果，但是都没有用到中间过渡概念。这种做法看来似乎是足够有效了，可是麦克斯韦展示了把数学分析和物理模型不可分割地联系在一起的新理论体系的重要性。麦克斯韦著作的这一特点，按照彭加勒的话来说很使一些习惯于用纯数学分析的精神撰写著作的学者们感到苦恼。麦克斯韦的方法特别激怒了那些受奠定分析力学原理著作魅力支配的法兰西学者，以致使他们对麦克斯韦著作的某些攻击不惜从根本上否定科学抽象的实在性和使内涵更为丰富的特性。丢埃姆在评论麦克斯韦《电与磁性的专题论文》时这样说道：“我们原来以为我们所进入的正是一个宁静的，有秩序的，演绎式的理性的庭园，可是代替它出现的却是一个类似工厂作坊之类的东西。”[43]同时丢埃姆还宣称麦克斯韦毫无必要地给他的《专题论文》披上数学公式的外套，这篇论文毫无逻辑系统可言。实际上照克来因的说法，麦克斯韦的《专题论文》是以其与众不同的“笨重的现实性”[44]而同形式主义的传统相对抗。
麦克斯韦曾说对每一个物理学家在他写出“质量”这个词或用相名的符号表示这个意思之前。他完全可以亲手把珐码吊在绳上并且推动它，而且能做得很好。这个半开玩笑的，反映出麦克斯韦物理思维的具体性的见解是最能反映他的特征了。然而必须着重指出：这个表征具体性的“具体对象”与其说是在空间中移动着的物体，不如说是具有非力学特征的物质的客体。依照用力学解释物理现象的传统所教育出来的物理学家们，当阅读《电与磁性的专题论文》时，很快就会证实：属于作者书中“笨重的现实性”这个条件的事物，即为描述电磁场究竟选取那一种力学模型这件事其实并不使人发生兴趣。因而这种模型的非单义性就会使人从总体上对所谓力学解释这一前提发生怀疑。
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