newton6d 求出Ｕ和Ｔ这两个函数。Ｕ只取决于实验得到的参数Ｐ，而Ｔ也同样要取决于该参数对时间的导数，并且这两个函数对上述导数的关系是齐次的（对二阶导数是齐次的）。为了使以这样的函数组成普遍的拉格朗日微分方程

第六章、近作用原理

(四)

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彭加勒是第一个觉察出或者说是以另外的方式模模糊糊地感觉到力学模型的非单义性的人。他曾这样写过：麦克斯韦的《专题论文》虽然排除了依赖于具体力学模型的全部结论，但是却仍然包含这样一点：即无论如何总得保持一个模型。因此，力学模型就只具有形式和约定的特征了。而这一特征就会在那些只习惯于单一的力学模型并认为只有这一模型才会对现象做出物理的，唯一可能的解释的读者中间引起一片抗议之声。

彭加勒继续写道：“全篇文章都贯穿着同一个精神，它仔细研究的只是那些重要的，也就是对所有可行的理论来说是共有的东西，对于和各别理论相符合的一切内容差不多处处保持缄默。因此，读者在他自己面前所看到的几乎就是一些失去内容的公式。这样，在他们刚刚接触这一论文时就会感觉这些公式有如匆匆掠过的影子，难于捉摸。这一情况也会激起读者的努力和重新思考，并且最终会信服在过去激起他如此赞叹的那些理论体系是具有人为和约定的性质。”[45]

在论及麦克斯韦没有力学解释的电现象时彭加勤这样写道：“……他仅仅限于做到证实有这种解释的可能性而已。”[46]由于这种情况， 彭加勤对物理现象的力学解释的单义性问题进行了专门的分析。所谓力学解释就是要运用某个系统（可以假定包括“隐蔽运动”系统）的坐标，要建立把这些坐标与时间联系在一起的微分方程；要把已经得出的方程和被观察到的物理现象彼此联系在一起的方程。正如彭加勤所指出的那样，由于还可以存在着无穷个有另外坐标的力学系统，它同样也能够提供和实验完全符合一致的结果，因此，由于计算所得到的这些参量的变化和经观察所得到的这些参量的变化即使完全符合一致也还不能为力学解释的单义性提供证据。

为了得到代表物理现象的力学模式的方程，按照彭加勤的见解最好是利用哈米顿原理。把力学系统的坐标和时间联系在一起的方程包括坐标的函数Ｕ和属于此系统质点速度的函数Ｔ。这样就要求把Ｕ相应地当作被观察的参数的函数，而Ｔ就被当作是这些参数对时间导数的函数。借助于哈米顿原理就 能得到把上述函数包括进去的拉格朗日方程。

“为了对某些现象作出力学解释成为可能，就必须设法求出Ｕ和Ｔ这两个函数。Ｕ只取决于实验得到的参数Ｐ，而Ｔ也同样要取决于该参数对时间的导数，并且这两个函数对上述导数的关系是齐次的（对二阶导数是齐次的）。为了使以这样的函数组成普遍的拉格朗日微分方程和根据实验得出的方程相同，上述作法是完全必要的。”[47]

在彭加勒的箸作中，按传统的推证来看是利用了力学解释的非单义性。而对于彭加勤来说，所谓力学解释就是科学的，客观的总解释的同意语。因此，力学解释的非单义性也就被当成是全部科学解释的约定性和主观性的证据了。实际上，使那些受到拉普拉斯和拉格朗日的传统所教育出来的学者惊讶的，力学解释的非单义性，都证实了这正是在向着一种从因果关系上研究世界的新方式过渡，向着对实在性更加准确的表象过渡。

对彭卡勒所分析的，力学解释的非单义性问题在米海尔逊发表在1891年的《俄国理化通迅杂志》上的论文《论物理现象之力学理论的多样性》中以略有不同的精神继续下去。

继彭加勤之后，米海尔逊确定的数学理论就象用k个坐标q1，q2，…，qk对某个质点系进行描述一样，系统的这一运动方程使得推演出实验中所显示的现象成为可能。物理现象则表现为某些量p1，p2，…，pn的变化。在不同的时间，不同的条件下，测量这些量就能够利用包含着上述参量p1，p2，…，pn时间的方程来表现的实验规律。由量p1，p2，…，pn的变化所形成的现象，其力学理论包含着全体p和全体q（q是上述系统坐标）之间的，已经被确定下来的关系。借助于这些关系可以得到与实验规律相符合的方程。

在此问题上，米海尔逊对彭加勒的论断进行了重要的修正。彭加勒曾这样假定：由p的变化所形成的现象其力学理论包含着k个方程，也就是每一个坐标q都可以由被观察的参量ｐ的函数来表示。但是十九世纪的物理理论根本不适应这种要求。哈米顿的循环坐标和热力学中个别分子的坐标和被观察到的ｐ的改变毫无关系。

米海尔逊深刻地认识到在十九世纪的物理理论中对现象所做的力学解释的本质。 在前一个世纪中，力学的理论以唯一的形式把被观察的量和质点的坐标彼此联系在一起。这也就是在所有的情况下科学解释的根本任务。热力学本身就带来新的思维形式，它允许忽略个别分子的坐标，甚至热力学要求这种忽略；热力学循环的不可逆性只有在对分子运动采取统计的方法加以处理才能够得到合理的解释。统计学从被研究的坐标q1，q2，…，qk的数目中排除了单值地和p1，p2，…，pn联系在一起的各个分子的坐标。

因此，米海尔逊提出了更进一步的要求：力学理论应当把全部被观察到的参量p1，p2，…，pn表示为某个力学系统坐标的n个函数。相应地要求不是k个而只是n个方程。即：

继彭加勒之后，米海尔逊又引进了所论力学系统的全体坐标q1，q2，…，qn的函数。这个函数通过U（q1，q2，…，qn）和坐标及其对时间导数的某个函数T（q1，q2，…，qn，  …，  ）来表示。（U是势能，T是系统的动能），相应地可以写出k个拉格朗日运动方程：

这里ψi是沿坐标qi方向的广义外力的分量。外力可以是任意的，因而ψ就是坐标q及其对时间的导数  的任意函数。对上述拉格朗日方程积分就可以得到q和  的全部数值，将此数值代入到p1，p2，…，pn中并把理论计算得到的参数p1，p2，…，pn和坐标与时间的关系同在实验上所求得的关系进行比较。但是，由于外力是任意的，并且与其相应的分量也是任意的，那么对于任意一个函数Ｕ，Ｔ都能够对p1，p2，…，pn得到同实验中建立起来的规律相符合的表示式。这样一来，方程

 

同实验事实相一致，但还不能被认为是该力学理论（即作为该力学系统的理论）正确性的证据。完全可以换成另一个系统，以另外一些q，  得到被经验所证实的方程。

米海尔逊指出：既使是对孤立的保守系统，参数p1，p2，…，pn的行为的力学解释仍然是非单义的。米海尔逊基本上同意彭加勒的结论：若一组物理现象可以用某个力学系统的运动满意地加以解释，那么这一组物理现象也就能够用另外的，与所给出的力学系统等价的力学系统加以解释。然而，米海尔逊更明确地指出了所谓等价的力学系统究竟是用什么方法加以区分。

如上所述，彭卡勒在其对麦克斯韦理论的阐述中是把力学模型之单义性看成是任何一种科学解释的命中注定的特点。对彭卡勒而言麦克斯韦模式的非单义性的思想作为日益明确的世界图景的历史阶段完全是异己的。（米海尔逊对麦克斯韦的方法更接近于这样一种评价）。后来，米海尔逊开始这样评价麦克斯韦的方法，不面援引米海尔逊《论物理现象的力学理论之多样性》一文中，谈到麦克斯韦时的一段话：

“一方面借助于普遍的动力学理论，另一方面借助于电学和磁学的经验规律，麦克斯韦建立了一系列定理。这些定理应当是真实的，并且和将会为我们提供这些现象的具体图解的样式无关。要完全明确地理解这些定理中的某些定理的困难之处，正是由于它的普遍性。也就是说，虽然这些定理本身具有纯粹动力学的特性，但是包含在它里面的参量还没有得到具体的力学定义……”

米海尔逊指出：力学解释的不确定性使得作为这种解释的对象的现象的范围得以扩展。热力学就是由于力学解释的非单义性，从而回避了全部物理的和电学的过程。米海尔逊还提起了原来被赫姆霍茨引入的一个情况，即把物理过程区分为“齐整的”（gerognete）和“不齐整的”（ungerognete）。当运动时，系统各质点速度可以认为是坐标和时间的连续函数(流体力学， 弹性理论和波动光学）这种运动属于第一类。而在运动时相邻的粒子可以具有有限速度差（气体运动论）这种运动属于第二类。米海尔逊看出这种“齐整的”运动的图景可以认为是“不齐整”运动微观图景的统计近似。米海尔逊在对麦克斯韦的电动力学作出具体的，单一意义的力学解释上将容许应用“不齐整”的运动。

从历史观点上看，这种思想很使人感兴趣。由统计力学和热力学所引起的这种类比竟然使得谈论带有假说性的统计电动力学成为可能。此外“不齐整”速度的统计平均值是坐标和时间的连续函数。而“不齐整”的速度却不能认为是时间和坐标的函数。

从本质上来说，对于统计连续化而言，我们并不怀疑那种受非统计的力学规律性所支配的基元的，可逆运动的存在。至于某种连续的介质，在它里面是否存在可以解释做被观察过程的力学的经验却十分可疑。当然，米海尔逊对于有可能找到用这种或那种具体形式对电动力学作出力学解释这一点并不怀疑。米海尔逊认为麦克斯韦的功绩是在他与上述那种解释无关的情况下描绘出在任何一种力学解释的情况下都会是正确的方程。因此，电动力学从方法论上看与热力学差别甚小。在热力学中，个别分子的运动是被忽略了，任何人也不会去解包括每一个分子在内的，有无数多个运动方程及初始条件的问题。在电动力学里还有一个关系重大的限制尚且无人知晓，这就是单义地解释电磁现象的力学系统在本质上究竟是什么样的。在十九世纪九十年代，在电动力学背后本来就没有任何一种力学系统，所以要猜测它那就更难了。麦克斯韦的天才不仅在于他给出了与从非单义的力学解释中选择同这种或那种解释无关的方程，主要是这些方程同力学解释的存在与否无关。

在这个关系上，电动力学从原则上把整个物理学提高到一个新的水平。分立物体的力学不能为提出对被观察的现象作出解释的，非单义性问题提供根据。比如，对太阳和星球所做的地心说解释，最后证明同日心说的解释不等价。而对于发生在地球上现象之参考物的问题却永远可以单值地解决。研究（最终是应用）分子过程指出了对宏观的热力学规律而言微观的力学模型的非单义性。电动力学指出隐蔽在电磁现象幕后的力学系统自身的存在不能由联系被观察的参量改变的方程推出。这样一来，承认在电动力学中力学解释的非单义性（不同于热力学)就是为从根本上摆脱力学解释的直接准备。

以后，力学过程就要开始用非力学的模型来解释。然而这种情况是电动力学起过重要作用的观点发生进化的结果。麦克斯韦的力学类比方法的实际历史意义是从世界的图景中排除电磁现象的力学的根基，同时伴随着确认另一种非力学的物理实体电磁场自身的实在性。

这种思想是属于法拉第的，然而在麦克斯韦那里，这种思想采用了新的形式，并且成为能够从实验上证实场的实在性的理论基础。在这种理论中，电磁场用微分方程描述，这些方程概括了奥斯特、安培和法拉第的发现，即线圈相对于磁场运动时要在它里面激起电流。在麦克斯韦的理论中，这个线圈缩小为一点。这样我们就得到了把在给定点的电场和磁场的变化联系在一起的真正的规律。把电场的力线缩小为一点就使得用偏微分方程描述场的结构成为可能。相应的，把由奥斯特所发现的磁力线也缩小为一点，这个概念也使得用同样形式的微分方程描述磁场和电场的依存关系成为可能。

麦克斯韦方程决非就是把法拉第的思想翻译成数学语言的结果，这些方程中还包含某种新的东西，这就是在给出初始条件和边界条件之后，借助于数学分析的方法，在实际上就可以得到只从单纯的，具有纵向张力和侧向压力的力管模型所不可能得到的那些结论。这些结论允许实验审查，因而也就可以从实验上去解决场的实在性问题。

法拉弟的物理思想和麦克斯韦理论在历史上的区别，在很大程度上是构思和执行的区别。这种区别没有减弱法拉弟伟大的科学功绩。相反，愈是放在更大的历史的逻辑范围上对构思和执行进行区分，就会愈加明显地看出这种构思该是何等的勇敢和富于独创性。试图证实用近作用观念和远作用观念对静止的，稳定的和似稳场诸现象作出解释的不等价性这一工作，已为能够预见一些实验的，严格的理论所取代。在对这些实验的解释中，近作用和远作用实际上就是不等价的。在麦克斯韦的理论中，电场和磁场强度是最基本的变量。这两个变量是四个独立变量，即三个空间坐标和一个时间坐标的函数。

麦克斯韦怎样得到这些方程呢？我们先要使读者注意到这一点，现在的麦克斯韦方程是由于赫兹的工作而获得的。

毕奥、萨瓦尔和安培定律被概括为以下方程：  

这里  是磁场强度，而  是电流密度。

电磁感应定律用以下方程表示：

这里  是电场强度而  是磁感应强度。

麦克斯韦在把电流的概念加以推广并且引入用电场的感应对时间的导数进行量度的位移电流的概念以后，麦克斯韦的方法（即力图把物理意义赋予抽象的数学场论）给他带来巨大的胜利。位移电流具有和传导电流相同的物理实在性。麦克斯韦假定位移电流也可以建立磁场。相应地在第一个麦克斯韦方程中，这一电流添加在传导电流的后面。于是我们得到

（这里，  是电感应强度矢量）要是对方程两端取div，这样，在左方为0，于是推出电流的闭合性。

这里要着重指出，法拉第的实验，以及麦克斯韦所知晓的全部实验并没有给他提供写出上面这个方程的准则。[48]他所以写出来正是由于这种天才的推测而这种推测也正是光的电磁理论，波动方程（因而也就是近作用的主要证据）的基本出发点，同时也是没有电荷出现时电磁场的图景。

在把电流的概念作了上述推广之后，第二个麦克斯韦方程依旧保持以下形式：

然而现在情况的意义是：磁场总的变化激起电场，并且在电介质中激起位移电流，在导体中激起传导电流。

当我们重温这些著名的公式（即以现在的形式写出的，麦克斯韦创造性思维天才发扬的总汇）之后，下面将要回溯一下他所经过的历程。在发表于1846年的《电磁场动力学理论》中，第三部分集中阐述了普遍的电磁场方程。[49]麦克斯韦是从定义电流和它的分量开始的，并用p，q和r与别表示电流在x，y，z轴上的分量，然后，他又提出电位移的分量f，g和h，而这些分量的导数应添加在电流分量之后，以便得到“电荷的一般运动”。

麦克斯韦写出以下方程:  

                     

                     

                     

现在这些公式应该当作总电流密度矢量的定义。

以后麦克斯韦又引入电场强度矢量的分量。他把这些量叫做“在已知点的电动力”。这些分量用P，Q，R表示，P，Q，R分别等于位于已知点处的导体x，y，z方向上单位长度的势函数之差。接着，麦克斯韦又提出穿过某个回路的磁通量的概念。这个量被他称为“回路的电磁动量”。这个量是从“在某一点的电磁动量”推导出来的，其分量是F，G，H。即电动力P，Q，R在x，y，z方向上的冲量                                           

                   ，  ， 

由依赖于磁通量变化的电动力得出等式

                   ，  ， 

要是沿回路s的积分表示为

                   

那么就可以得到“回路总的电磁动量”。麦克斯韦指出，这个量，即贯穿回路的磁通量和被法拉弟称之为介质的电气紧张状态是同一个东西。麦克斯韦讨论的下一个环节是具有分量为α，β，γ和磁导率μ（“磁感应系数”）的磁场强度（“磁力”）的概念。磁场强度的分量和这一系数的乘积等于穿过分别垂直x，y，z轴的单位面积的磁力线数。麦克斯韦把这些量（磁感应矢量分量） 引入方程之中。

 

在现代矢量公式中，这些关系是用磁感应强度矢量通过矢量势A所确定的方程所表示：

                            B＝rotA

麦克斯韦还提出了在现代的矢量公式中叫做麦克斯韦第一方程的三个数量方程的推论。麦克斯韦自称为流方程，如果磁极的路径不环绕电流，此时在电磁场中磁极的运动并不做功。因之和

                         αdx＋βdy＋γdz＝dφ

就是磁势φ中的全微分。量φ是单值函数。其数值取决于绕行电流的次数。并且这个数值不等于相应于绕行一次的量4πc。此时ｃ是电流强度。倘若没有电流那么就有

  

当我们取电流  。那么在这个条件下就得到三个未知量的方程。  

左方是rotH的分量，右方是  矢量分量。这样一来，所谓“流方程”就是现在叫做第一麦克斯韦方程的传导电流和位移电流的方程。

为确定电场强度（“在回路上的电动力”）麦克斯韦研究了在磁场中运动的回路，并且计算了被回路的变形和运动所造成的磁通量的改变。用不着再写出这些结论，我们就可以看出这一问题和近代的提法基本上是一致的。[50]

在《电与磁性的专题论文》中，麦克斯韦以另一种较为系统的方式提出了电磁场的基本方程。这里，我们更感兴趣的不是结论的本身。（以后我们将以麦克斯韦方程的现代形式出发来研究问题）而是麦克斯韦方法论原则的例证。在《专题论文》中，麦克斯韦是从量纲理论和矢量计算的原理出发讨论问题的。以后又分四个部分：静电学，电运动学（直流）。磁学，电磁学。在每一部分的第一章中都描述了作为出发点的实验事实并引入了基本概念。他的研究方法也同他以前的著作一样其特点是以对每一个物理量的数学特点进行综合，并对数学符号作出物理解释。我们从《专题论文》中摘录一段。从中很明显地显示出这一方法的两方面情况。在“专题论文”第四部分的第六章中，麦克斯韦谈到了磁感应强度矢量的问题：“由于表现为数学研究结果的这个矢量和从磁学实验认识到其属性的磁感应强度相同，所以我们就不必超越实验方法的范围，因而在理论中也不必再引入新的因素。我们只要给数学量命名就可以了。至于这种做法的正确性应当根据数学量的性质和已被命名的物理量的符合程度来评价。”[51]就在做出从字面上对数学符号进行物理解释之后，在一下行我们又看到问题的另一方面。麦克斯韦一方面继续论述磁感应强度矢量，同时还把磁感应强度矢量列入《专题论文》第一卷里给出矢量分类的各个章节的首位。这样，就有可能把某些普遍的数学规律推广到物理量上去。

现在我们来研究一下麦克斯韦的物理解释的一个较为重要的典型事例也就是从物理上解释联系电荷的电磁单位和静电单位的系数问题。换言之，也就是研究一下电磁学的形成过程。

在《专题论文》中，麦克斯韦指出，电荷的电磁单位和静电单位之比具有速度的量纲。

“从628节中所得到的量纲表中推出，在一个电磁单位中的电荷的静电单位数与我们所采用的长度单位成反比，与时间的单位成正比。

因而要是我们用这个数定义速度，即使是采用新的时间和长度单位，按照新的测量系统表示该速度的数也仍旧是一个电磁单位中电荷的静电单位数。

这个显示出静电现象和电磁现象之比的速度是个有确定数值的量，这个数值的测量是电学中很重要的研究课题之一。”[52]

如上所述，如果不事先提出由历史条件所形成的麦克斯韦的科学方法和宇宙观的特点的话，这时麦克斯韦方程的系数同光速的倒数一致还不足以引出光的电磁理论。

麦克斯韦电动力学的基本思想是根据两个古典物理原理产生的，这就是能量守恒原理和近作用原理。对一定的现象范围（静电的，稳定的，似稳的场）能量守恒原理也满足远作用电动力学的方程体系。在远作用电动力学中是把能量理解为电荷以及电流的相互作用能。这个能量被每一对相互作用着的电荷或电流的瞬间状态所确定。总能量就是由这些相互作用能所组成。相反，在近作用理论中（麦克斯韦的理论也是如此）能量是定域于场中，并且在每一部分以确定的体密度为其特征的。即:

在高速变化的场中这个公式并不等价于[53]

  

                                       

全部问题就是如此。应当把麦克斯韦的电动力学认为是一种最早的，严谨的，并且是彻底的近作用理论。因为麦克斯韦的电动力学是根据近作用原理得到的并和远作用原理完全不同的另外一种数量关系。与此相应的场的实在性也是能够从实验上加以证明，其依据乃是近作用的“四维”特征。这里近作用的意思是场对质点（点电荷）的作用不是由这些电荷的瞬时分布所决定（当电磁扰动达到给定电荷的那一瞬时，电荷的分布已经和扰动开始发生时不同）而是由这个点电荷处于空间某一点的那一时刻该点处场的状态所决定。近作用同时也意味着，电荷并不是用另外的电荷来决定其能量和冲量，而是由场来决定。相应地，能量和冲量也是场的属性。

在笛卡派思想中的近作用意思是位于把质点Ａ和另一质点Ｂ连在一起的，刚性杆之终端的质点Ａ所得到的冲量和能量是由质点Ｂ把动量，能量传递给刚性杆的同一时刻传来的。我们不可能指明那样一段时间间隔，在这一段间隔之中，能量和动量并不属于Ａ或Ｂ，而是恰好属于起着中间介质作用的那个刚性杆。相应地，存在那样一种刚性杆的前提也就无法以单一的形式和场方程联系在一起了。

这样，在物理学中，近作用的观念胜利了。但不是笛卡尔派的形式，完全是另一种形式。所谓通过绝对刚性杆的近作用，要是按场方程来说这是和远作用等价的三维近作用。在古典电动力学中的近作用是和远作用不等价的四维近作用。因为它是同以有限速度传播的场的形变联系在一起的。

虽然对电磁波的研究是从宏观上进行的，但是近作用仍以那种单纯的，绝对的形式被保持下来，微观的电动力学不能只局限于这种单纯的形式。在相对论把相互作用的有限速度的观念和近作用原理推广到全部物理学的时候，近作用原理的历史并没有终结。世界的相对论表象和量子表象之间的冲突又开始了。由于这种冲突又促成了连续性和离散性这一古老的对立的解决。这件事也就完成了十九世纪末甚至延续到二十世纪初古典电动力学的发展进程。