取极限的方法，求出某一片密度分布不均匀（密度分布的函数为 ）的曲面质量

论大学数学的思想内涵

张圣勤

（上海电机学院 上海 200240）

[摘要] 从哲学角度论述了什么是大学数学思想、数学方法及其相互关系，并进一步探讨了数学思想内涵所涉及的范畴，提出了大学数学应重视数学思想教育的观点。

[关键词]大学数学，思想内涵，思想方法

随着数学各分支及与数学相关的各边缘学科和交叉学科的发展，目前大学的各个专业都比较重视数学课程的开设。甚至一些传统的人文学科，在教学改革中也把开设数学课作为改革内容之一。数学在各个领域的广泛应用使越来越多的人认识到，数学不仅是一种很有用的工具，是学习相关专业所必须具备的基础,更重要的是数学蕴含着一种思想,这是一种系统的、严密的、应用广泛的思维方式，掌握了它就等于掌握了一种有效的思想武器。因此，数学教育除了传授必要的数学知识，为专业学习打下良好的基础以外，还要教会学生掌握数学思想方法，用数学的方式思维。这样使学生不但在从事创造性的工作时，而且在日常生活中，形成使用数学方式思维的习惯，完善学生的思想品格。但遗憾的是，由于种种原因，在教学实践中教师和学生往往只重视数学教育的传授知识的功能，而对用数学的方式思维这一重要的功能重视不够。究其原因是教与学的双方特别是教师对于什么是大学的数学思想，什么是数学方法所知甚少，对于数学思想方法在人们工作和生活中的作用了解不多，以及在数学教育中如何教会学生用数学的方式思维方法不够等原因所造成。为了改变这种状况，适应数学教育改革的形势，在数学教育中实施素质教育，本文就大学的数学思想及其内涵作一个大概的论述，以期得到教和学的双方重视。

一、数学思想及其方法

所谓数学思想，即数学的哲学思想，是指现实世界空间形式和数量关系（即数学）方面的世界观和方法论，是指具有共性的数学问题中的数学思想方法，即在数学学科范围内的一些数学基本概念、基本理论产生和发展过程中所蕴含的一些基本思想，以及所涉及的相关重要问题得以解决的途径和方法论。数学思想是思维科学的一个重要分支，也是思维科学的一个重要组成部分。例如解析几何的基本思想就是用代数方法(坐标法和矢算法)通过计算来研究几何问题，而不是几何学中从定理到定理的一系列推理论证。解析几何思想的产生标志着人类在数学思维上形象思维与抽象思维的全面融合，是数学学科发展由初等数学迈向高等数学的一个里程碑。又如，恩格斯认为，在一定条件下，把曲线近似地看成直线是微积分的重要思想之一，即通常说的“以直代曲”的数学思想。它是微积分的中心思想，也是微积分产生的思想基础。它涉及形象与抽象、运动与静止、精确与近似、已知与未知、必要与充分、归纳与演绎等一系列辩证关系。一般数学教材限于篇幅，只介绍相关的数学知识，不可能更多地涉猎数学思想的问题。但读者了解一些数学思想，既对数学概念和理论产生和发展的过程及来龙去脉有所了解，便于更深入地理解这些概念和理论；又可以从中接受一些数学思想和方法论的熏陶和启迪，便于创新研究。

数学方法是指解决数学问题或用数学思想解决某些实际问题所采用的一般方法，它具有一定的共性，是数学思想的衍生物,也是数学思想的重要体现。数学方法多种多样，难以一一分类介绍。在数学中常用数理逻辑学的一些方法进行推理论证与演算，例如分析法与综合法，三段论演绎法，不完全归纳法与完全归纳法(数学归纳法)，联想法与类比法，分割法与组合法，转换法与化归法(换元法)等等，这些逻辑思维方法在数学中经常用到，既是数学思想的体现，也是数学中常用的方法。例如高等数学中的极限方法，微分法、积分法、算子法等等；针对具体问题还有ε—N，ε—δ方法，各种求导法，换元积分法，分部积分法、元素法等等。这里必须指出的是数学技巧也是一种数学方法，它是在解决具体数学问题中所用的比较特殊、巧妙的解法和技术，它是具体的、针对性较强的数学方法。

数学思想与数学方法的关系是“源”与“流”的关系，是密不可分的。数学思想是其相应数学方法的精神实质和理论基础，而数学方法则是实施其数学思想的技术手段和表现形式。只有牢固掌握了数学的思想及其思维模式，经过实际数学问题的不断磨练，才能学会更多的数学方法并不断创造出新的数学方法。在数学教学中，我们提倡一题多解，目的是通过对同一个数学问题的多种方法求解，体会并掌握数学思想，从中比较，寻找简单巧妙的思维方式。如果仅仅一味追求数学技巧，数学问题千奇百怪，解决这些数学问题的技巧也成千上万，是讲不完也学不完的，那就陷入了舍本逐末、弃源求流的错误境地，走到数学学习的反面。因此，学习数学要把注意力更多地放在通过数学方法的练习进一步掌握数学思想，这样才有利于数学新知识的学习和新方法的积累，为以后的创新打下坚实的基础。

二、数学思想的内涵范畴

数学思想有非常丰富的内涵，博大精深，很难全面界定。这里仅就其基本方面加以介绍。

1、形象与抽象

形象与抽象是数学认识论中最一般的范畴。形象是能引起人们思想或感情活动的具体形状或姿态。抽象，如果作为动词是指从许多具体的事物中舍弃个别的、非本质的属性，抽出的共同的本质属性；如果作为名词则是指不能具体经验到的或不能具体描述的，笼统的，空洞的意象。作为后者，在数学中形象与抽象是相对的，并在一定条件下相互转化。例如由实数集X到实数集Y的映射是一种抽象的概念，而从中引出的某一函数的图象是一种具体的形象。作为前者，在数学中是指从某一具体的事物中抽出一般的本质概念的方法。例如采用分割、求和、取极限的方法，求出某一片密度分布不均匀（密度分布的函数为 ）的曲面质量为 ，从中抽象出对面积的曲面积分概念为对一光滑的曲面∑，如果函数 在曲面∑上有界，当把曲面∑任意分成n个小曲面 （i=1,2,…n）,并在小曲面上任意取点 ，当 中最大的面积 时 的极限存在，即为函数 对曲面∑的曲面积分 。这是从质量计算到对面积的曲面积分一般方法的抽象。在人的思维活动当中，形象思维和抽象思维各具特色，相辅相成，缺一不可，是人们认识世界、改造世界的重要思维方式。

2、已知与未知

分析已知和寻求未知永远是数学研究和学习的永恒主题。如何找出事物已被人们认识、知道的条件，根据这些条件去寻求未知的东西，是数学活动的两个重要方面。在某种特定的条件下，已知和未知又不是绝对的，经过一定思考和运算，已知和未知可以相互转化。例如物体质量与加速度的乘积等于该物体所受外力的总和，这似乎是已知的，但将这个问题放在宇宙空间去考虑，它又是未知的，爱因斯坦通过对这一未知的探求创建了举世闻名的相对论。又如在数理统计方法中，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式去收集、整理和分析受到随机性影响的指标(搜集已知数据)，以对所考察的问题作出推断、预测（探求未知），直至为采取决策及行动提供依据和建议。它已被现代生产、管理、科学研究、经济及日常生活等领域普遍采用，成为提高效益的有效手段。在这里，受到随机性影响的指标是一个随机变量，它服从某种概率分布。由于某些原因，我们不能就研究对象本身进行指标观测(例如当它由无限个个体构成时)，就必须建立样本（将未知转化为已知）。但要特别注意，样本中的随机变量必须相互独立，而且与原对象服从相同的概率分布（转化的条件）。只有这样，由样本得到的统计数据才能反映原对象的统计特征。

3、运动与静止

大学所讲授的主要数学知识，大都属于高等数学的范畴。高等数学区别于初等数学的一个根本和显著的特点在于就中引入了变量和运动。由基本哲学知识我们知道运动是绝对的，静止是相对的。在高等数学中，变量的运动是绝对的，当它取某一定值时是静止的，这里静止是运动的一种特殊情况，是运动的一种特殊表现形式。变量的运动的结果是由“极限”这个概念来衡量的，而“无穷小量”这个概念在这里又起了关键的作用。无穷小量是一个变量(“零”是唯一的例外)，它总伴随着某一过程不断地向零趋近。高等数学中大量的数学概念就是通过这样的运动建立起来的。这一过程往往被称其为“逼近”。人们熟知的圆周率n，是一个无理数，无限不循环，杂乱无章，但它可以被一个极富韵律的交错级数逼近。一个函数，可以被分段(块)的线性函数逼近，也可以整体地被三角函数逼近等等。这种用相对简单的事物去逼近相对复杂的事物的思想，是极有应用价值的。

4、精确与近似

精确与近似是一对数学领域中最一般的矛盾，在一定条件下相互转化。定积分中对一个曲边梯形分割求和后求出的仅是该曲边梯形面积的近似值，但当无限细分后（取极限）该近似值转化为精确值。对于一个数学模型，比如一个偏微分方程的定解问题，人们总是希望求得它的精确解。但是，这里存在两个重要问题：一是这个问题的解是否存在，如何知道？二是即使这个问题的解存在，能否求出，如何求出。在一般情形下，要求得精确解也是十分困难甚至是不可能的。因此，寻找求其近似解(数值解)的方法——被称为数值方法，就显得十分有意义。但这里必须注意两个问题，第一是近似解必须按照某种确定的方式收敛到精确解；第二是其误差能够按照某种确定的度量进行估计。这样的近似解，既收敛到精确解，又能控制其精度，要它多精确就可多精确，在此意义下就可视为“精确解”。反观数学模型的精确解，由于数学模型只是实际问题的某种近似，故它只是实际问题的近似解。人们往往看重精确解而轻视近似解，这是很片面的。

5、必要与充分

命题成立的必要条件和充分条件也是数学研究的重要方面，是数学中辩证思维的重要体现。对某一命题而言，某条件是必要条件或是充分条件，必须予以证明。如果经检查必要条件不满足，则可断言命题不成立；如果必要条件满足，但并不能断言命题成立。经检查充分条件满足，则可断言命题成立；但充分条件不满足，并不能断言命题不成立。微积分中介绍的三个中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)，所给条件都是充分条件。教学中，一些教师为了强调这些条件的重要性，常常举出一些条件不满足而使命题不成立的例子，这很容易使学生误会定理中的条件是必要条件，值得引起注意。这在日常工作和生活当中也很有指导意义，如企业赢利是政府评选优秀企业的必要条件，企业亏损当然是无缘被评为优秀企业的，但是企业赢利了，却不能凭此认定该企业为优秀企业。

6、公理与定理

所谓公理是无须加以证明可以直接采用的命题或前提条件。将若干公理纳为一体，使之满足相容性、独立性和完备性，就形成一个公理体系。从公理体系出发来建立理论体系的方法称为公理化方法。从古代到现代，欧几里德几何、黎曼几何、线性代数理论、度量空间理论、赋范空间理论、内积空间理论、测度理论等等，无不是采用这种方法建立的。这种方法所体现的思想，在不囿于公理体系的相容性、独立性和完备性的情况下，已被数学及其它学科广泛采用，这就是公理化思想。例如，在经济学中，假设人都是“理性人”，即人都追求效用最大化；在金融学的MM理论中，总假设市场是无套利均衡的，环境是无摩擦的，企业负债是无风险的。虽然这些假设在实际生活中未必总是成立，仍在相关理论中被作为前提条件。这样建立起来的理论虽与现实有一定差异，却对现实具有重要的指导意义。

定理是必须加以证明才能应用的命题或前提条件。定理的证明一般从已知条件出发，根据相关理论体系中的已有结论，进行严格的逻辑推理，最后推导到命题的结论。也可以用反证法，即假设命题不成立，推出与已知条件的矛盾。在命题所涉的可能情形是有限个时，可以使用穷举法来证明，当所涉及到的情况为无限时，则不能用穷举法证明。例如大家熟知的哥德巴赫猜想，人们可以举出无数个例子来验证它的正确性，但至今仍无人能证明它。至于要判定一个命题是错误的，只需举出一个反例即可断定该命题的错误。比如要想判定哥德巴赫猜想是错误的，只需举出一个偶数，它不能表为两个素数之和即可，但遗憾的是至今没人能找到这样的偶数。

7、归纳与演绎

归纳与演绎是数学中提出概念或命题的重要思想方法，也是十分有效的命题证明方法。归纳是由特殊推及一般的思想方法，而演绎是由一般到特殊的思想方法。往往归纳用来提出概念或命题，而演绎则用来证明或推导命题或结论，当然数学归纳法也是十分重要的命题证明方法。人们可以从大量的特殊事例当中归纳出概念或命题，也可以从已知的概念当中演绎出新的概念或命题。概念是一切理论的基础。在提出概念时，要注意给予它确切的定义，要能反映概念的本质，避免产生歧义。例如在高等数学中，连续函数是被广泛研究的对象，连续函数这个概念用 被很形象的描述成图象是连绵不断的函数。但为了避免产生歧义，数学上还是不厌其烦的用 语言给出了确切的定义。至于使用归纳和演绎的方法证明命题的实例就更多了，这里不再赘述。

以上所述，绝非数学思想内涵的全部，其余如常量与变量、有限与无限、离散与连续、线性与非线性、随机性与确定性、偶然性与必然性等等，不再一一详述。数学思想的内涵如此广泛，要将数学思想的教育贯穿于数学教学的全过程，才能逐步掌握。这对于培养学生科学的、创造性的思维方式，是很有意义的。

[参考文献]

1、周述歧《数学思想和数学哲学》 北京 中国人民大学出版社 1993

2、（美）拉卡托斯. 数学、科学和认识论，北京：商务印书馆，1993年.

3、张奠宙 过伯祥 数学方法论稿[M]，上海：上海教育出版，1996，49~97