phymath999: 一個粒子在力場裡怎麼走，即彈來彈去的軌跡；古典力學討論其相對應的譜很小的時候，而量子力學即算子裡譜的問題，對應的譜很大的時候

Sunday, July 22, 2012

一個粒子在力場裡怎麼走，即彈來彈去的軌跡；古典力學討論其相對應的譜很小的時候，而量子力學即算子裡譜的問題，對應的譜很大的時候

一個粒子在力場裡怎麼走，即彈來彈去的軌跡；古典力學討論其相對應的譜很小的時候，而量子力學即算子裡譜的問題，對應的譜很大的時候 $(\lambda_i \rightarrow \infty)$

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．丘成桐先生80年11月4日於中正大學應數所之演講，原載於數學傳播第十五卷第四期

Laplacian 算子對應譜的最近發展
丘成桐先生演講

丘成桐
紀錄：賴玲淑;劉榮彰

(一) Wave mechanical approach

(二) elliptic 問題：即 Heat equation method

此篇文章主要是探討譜與區域的對應關係。首先介紹何謂 Laplacian 算子，所謂 Laplacian 算子在一維空間是定義為 $\frac{d^2}{dt^2}$ ，而在二維空間則定義為 $\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 記做

$\begin{displaymath} \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \; . \end{displaymath}$

一開始，先看簡單的一維空間，通常在一維的 Laplacian 算子的譜的問題可由弦振動來解釋之，固定兩端點不動的均勻弦（密度 $\rho=1$ ）。存在一組數列 $\{\lambda_i\}$ ，

$\begin{displaymath} 0 \leq \lambda_1 \leq \lambda_2 <\cdots\cdots< \lambda_n < \cdots\cdots \rightarrow \infty \end{displaymath}$

而由此

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \frac{d^2 u_i}{dt^2}+ \lambda_{i} u_i =0 \\ & u_{i}(1)=u_{i}(0)=0 \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

方程式，每任意特徵值 $\lambda_{i}$ 可對應一個特徵函數（基本波）u_i，再將 u_i 正規化，即 $\int_{0}^{1} u_{i}^{2}=1$ , $\forall i$ 。則對任意在[0, 1] 之間的函數（波）u，可用此基本波 u_i 表示之。亦即

$\begin{displaymath} u=\sum_{i=1}^{\infty}a_i u_i,\hspace{10pt} u(0)=u(1)=0 \end{displaymath}$

若此弦的密度 ρ 不均勻，那上述的方程要修正為

$\begin{displaymath} \frac{d^{2}u_{i}}{dt^{2}}+\lambda_{i} \rho u_{i} =0 \end{displaymath}$

而在研究一維弦振動中有一重要性質，就是 Sturm-Liouville 性質：

$\begin{displaymath} \char93 \{x \in (0, 1);u_i (x)=0\}=n-1, \quad \mbox{{\font... ...ries{m}\selectfont \char 231}}\; u_i(0)=u_i(1)=0, \; \forall i \end{displaymath}$

圖一

但此性質在二維空間以上就不存在了，所以在研究二維空間的問題比較困難，跟一維空間不同。

綜合上述，給定弦本身的密度 ρ，可以決定一組譜 $\{\lambda_i\}$ , $i=1,2,\cdots\cdots$ （其實 $\sqrt{\lambda_i}$ 就是頻率）。反過來說，就是著名的 inverse 問題，即若給定 $\{\lambda_i\}$ ，如何決定密度 ρ；相對的在二維空間也有 inverse 問題，即 Kac.Bochner 所提的問題

How to hear the shape of a drum?

那就是說，鼓可視為一個二維的有界區域 (domain)，所謂鼓的形狀，就是相對於區域的幾何性質，這個問題就是怎麼樣從打鼓的音調聽出鼓的形狀。同樣的問題在一維空間的問題比較簡單，因為整個 potential 可以寫下來，二維空間以上就比較麻煩，我們考慮的方程式為

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \Delta u_i+\lambda_{i} u_i=0 \\ & u_i \big\vert _{\partial \Omega}=0 \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

其中 $\Omega \subset {\mathbf{CR}^2}$ ，是一個有界區域。
而 $u_i \big\vert _{\partial\Omega=0}$ 即對應於打鼓的時候，邊界不變。從此可提出許多問題，其中有個著名的問題：Ω 的幾何性與譜 $\{\lambda_i(\Omega)\} \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}\times \cdots \times \mathbf{R}$ 的對等性，其中已知 Ω 可決定譜 $\lambda_i$ ，而 $\lambda_i$ 能否決定 Ω 將是主要探討的問題，在物理上而言，即是古典力學與量子力學的對應關係，那就是說一個粒子在力場裡怎麼走，即彈來彈去的軌跡；古典力學討論其相對應的譜很小的時候，而量子力學即算子裡譜的問題，對應的譜很大的時候 $(\lambda_i \rightarrow \infty)$ ，而這只是一個特別情形，實際上，在物理學裡，一般情況都有 potenial V（位能）存在，此時， $v:\Omega\rightarrow \mathbf{R}$ ，即考慮

$\begin{displaymath}(-\Delta+V)u_i+\lambda_i u_i=0\end{displaymath}$

但此問題還未被完全瞭解，例如：

$\begin{displaymath}\Omega(M)=\{X: S^{\prime}\rightarrow M\}\end{displaymath}$

其中 M 是一個流形 (Manifold)

$\begin{eqnarray*} && E=\int_{0}^{2\pi}\parallel\frac{dx}{dt}\parallel^2dt \quad \mbox{ (energy),} \\ && E:\Omega(M)\rightarrow \mathbf{R} \end{eqnarray*}$

在此考慮 $-\Delta+\alpha E$ 這算子，亦即

$\begin{displaymath}(-\Delta+\alpha E)u_i+\lambda_i u_i=0(\mbox{{\fontfamily{cwM3... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 137}})\end{displaymath}$

而加入 $\mbox{energy}\; E$ ，才會有好的譜分射。又一般在幾何上，都把 V 設定為 0，實際上，在微分幾何中並非不討論 $V\neq 0$ 的情況，這要謹記在心。
現在進入主要的問題： $\{\lambda_i\}$ 能否決定 Ω 的幾何性，對此問題可由二種不同的方法逼近，此二方法分別為 Wave mechanical approach 和 elliptic 問題。

(一) Wave mechanical approach

基本上 wave mechanical approach 可用 kernel mechanical 來看，即考慮 $\exp [it\sqrt{-\Delta}]$ ，其中 Δ 為 Laplacian 算子，從這邊其譜對應於 $\exp [\sqrt{-1} t \sqrt{\lambda_i}]$ ，從此著手的好處是 Wave equation（波動方程）可與古典力學聯結起來，因波動方程的傳播 (propagation) 速度是有限的 (finite)，亦即在解波動方程時，如果在 t=0 時有 singularity，則在時間 t>0 時，singularity 仍存在，不會消失，這與連接算子的譜有很大關係，基本上研究的方法是考慮 kernel function（核函數）

$\begin{displaymath}W(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}e^{\sqrt{-1} t \sqrt{\lambda_i}}u_i(x)u_i(y)\end{displaymath}$

的形式，這可解出 wave equation，且滿足 $\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}-\Delta u =0$ 。但實際上， $\sum_{i=1}^{\infty}e^{\sqrt{-1} t \sqrt{\lambda_i}}u_i(x)\cdot u_i(y)$ 並不收歛，因而可發現其 singular support 與 $\lambda_i$ 有關，然後由剛才寫下來的 w(x,y) 跟用不同的方法如微分幾何或其他方程方法計算方程的 approximate kenel，而後我們發現與 geodesic flow（沿直線如何走的問題）有關，如此用這二種不同的方法得到的基本解，令它們相等，就可得到許多訊息 (information) 去探討 Ω，在物理上稱為 WKB method，同樣的方式亦可應用 ellitpic 方法，在下節將再做詳細說明。

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．Laplacian算子

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Laplacian 算子對應譜的最近發展
丘成桐先生演講（第 2 頁）
丘成桐
紀錄：賴玲淑;劉榮彰

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．丘成桐先生80年11月4日於中正大學應數所之演講，原載於數學傳播第十五卷第四期
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(二) elliptic 問題：即 Heat equation method

首先考慮 $\exp (+t\Delta)$ 算子，並考慮 $\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_i(x)u_i(y)$ ，我們可以證明在 t>0 時會收歛。定義 $H(t,x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_i(x)\cdot u_i(y) , t>0$ ，可知 H 不但收歛而且是 $C^{\infty}$ 函數，此時 H(t,x,y) 滿足

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \frac{\partial H}{\partial t}-\Del... ...rrow 0} H(t,x,y)=\delta_x (y) \end{eqalign}\right. \eqno{(*)} \end{displaymath}$

且

$\begin{displaymath} \int_{M} H(t,x,y)dx =\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}\int... ...}(x) =\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}\mbox{,}t>0\eqno{(1)} \end{displaymath}$

由此可知譜 $\{\lambda_i\}$ 與函數 $\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}=:f(t)$ 是等價的，從這個等價的結果，我們就發現一個方法來研究 $\{\lambda_i\}$ 與古典力學的一些關聯性，這兩者的關係是什麼呢？就是說所謂 Heat equation，(*)可以用不同的方法來解，亦即可以用 approximate 方法來算，我們可以硬將其解寫下來。我們令

$\begin{displaymath} H_n(t,x,y)=C_n t^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\vert x-y\vert^2}{2... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \end{displaymath}$

這就是在 n 維空間裡 Heat equation 的解（對應於所謂的 Gaussian Distribution）。而現在我們在二維空間裡，熱方程式的解已經找到了！但我們需要加入一些邊界值的條件，（這有如我們固定一個區域，然後考慮熱從此區域流失的現象），亦即(*)變為

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \frac{\partial H}{\partial t}-\De... ...t,x,y)=0, x\in \partial\Omega \end{eqalign}\right. \eqno{(**)} \end{displaymath}$

此時(**)的解就須加入一些項：

$\begin{displaymath}a_0 (x,y)+a_1 (x,y)\sqrt{t}+a_2 (x,y)t+\cdots\end{displaymath}$

亦即 $H(t,x,y)=C_n t^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\vert x-y\vert^2}{2t}}(a_0 (x,y)+a_1 (x,y)\sqrt{t}+a_2 (x,y)t+\cdots \cdots)$ 然後逐項的去解 a_i, i=0,1,2,…,a_i 可以用區域的幾何（如邊界的長度，曲率以及其微分， $\cdots \cdots$ ）來表示。其實這樣解出來的無窮級數並不收歛，但這沒有造成什麼問題，因為我們只考慮當 t 很小的時候（這對於 $\lambda_i$ 很大的時候）；我們得到

$\begin{displaymath} \int_{M}H(t,x,x)dx =C_{n} t^{-\frac{n}{2}}(\int_{M}a_0 (x,x)dx+\int_{M}a_1 (x,x)dx \sqrt{t}+\cdots)\eqno{(2)} \end{displaymath}$

由(1)(2)， $\Rightarrow$

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t} &=& C_n t^{-\frac{n}{2}... ...a_0 (x,x)dx+\int_{M}a_1(x,x)dx \sqrt{t}+\cdots),t\rightarrow 0 \end{displaymath}$

我們可證明 a₀(x,x)=1，所以得到

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t} = C_n t^{-\frac{n}{2}}(\mbox{Vol}(M)+O(\sqrt{t})) , \; t\rightarrow0 \end{displaymath}$

亦即給定一組 $\{\lambda_i\}$ ，我們可以決定出

$\begin{displaymath}\mbox{Vol}(M)=\frac{1}{C_n}\lim_{t\rightarrow0}t^{\frac{n}{2}}\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}\end{displaymath}$

事實上，也可算出

$\begin{eqnarray*} \mbox{Area}(\partial M) &=& \int_{M}a_1(x,x)dx \\ \int_{M}\mathbf{R} &=& \int_{M} a_2(x,x)dx \; , \end{eqnarray*}$

其中 R 是曲率 (curvature)。
以上的 Heat equation method 也是用二種不同的方法，得到 $\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=0$ 的基本解在 $t\rightarrow 0$ 時，然後讓它們相等，得到一串訊息，如 $\mbox{Vol}(M)$ , $\mbox{Area}(\partial M)$ , $\cdots \cdots$ ，這是在eigenvalue(譜)中很重要的方法，可是此方法還是不夠用的，因為只看 $t\rightarrow 0$ ，就像在 WKB method 中也會遺失了一些訊息，因此，也無法從 wave mechanical approach 和 elliptic 完全決定區域 Ω。

例：在 wave equation 時，考慮 wave kernel，其訊息基本上是沿著 (travel along) characteristics 傳播，即所謂 null curve，在區域裡，相當於 geodesic，而從 geodesic 可以得到一串 eigenvalue $\{\lambda_i\}$ ，如何得到呢？我們在流形上說明比較容易。例如在 torus 上，有一個封閉的 geodesic，如下圖

圖二

我們可以作一管狀鄰域 (tubelar neithborhood) V，然後可以得到一組函數 $\phi_i$ ；這些函數在 V 之外為 0（零），然後在這些 geodesics 附近有值，事實上 closed geodesic 本身就有許多訊息，我們可以定義 Poincaré map（映射），從這個映射，我們可以建構一組近似的 eigenfunction $\phi_i$ 出來，即 $\parallel \phi_i \parallel_2 =1$ , $\parallel \Delta \phi_i - \lambda_i \phi_i \parallel_2 < \epsilon_i$ ，其中 $\epsilon_i \rightarrow 0$ as $i \rightarrow \infty$ ， $\phi_i$ 可以用 Poincaré map 寫下來，而對於這些 eigenvalues 的行為，我們知道的不多，但這一串的 eigenvlues 是無法從以上的方法 (Heat equation) 得到的。

例如：torus $T^2={\bf R^2}/{\bf Z^2}$ 其 metric 為 dx²+dy²，曲率K=0，而在 T² 上，Heat equation 的近似解為 $Ct^{-1}\exp^{-\frac{\vert x-y\vert^2}{2t}}$ as $t\rightarrow 0$ 。亦即

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty}\exp^{-\lambda_i t} \sim Ct^{-1}\exp^{-\f... ...ert^2}{2t}},\hspace{5pt}\mbox{as}\hspace{5pt} t \rightarrow 0, \end{displaymath}$

沒有了 lower terms，即只有 a₀=1，其它都為 0，所以無法得到很好的訊息當 $t\rightarrow 0$ 。但從 wave equation 可以找到所有的 closed geodesic 的長度，叫做 $\{\ell_i\}$ ，而 $\{\ell_i\}$ 可由 $\{\lambda_i\}$ 決定，又在某些特別情形下， $\{\lambda_i\}$ 亦可由 $\{\ell_i\}$ 決定，至少在 tori 的情形可以決定 $\{\lambda_i\}$ 。如在 Mⁿ（M 是 n 維流形），K=-1 時，我們可以證明 $\{\ell_i\} \Leftrightarrow \{\lambda_i\}$ ，這即為著名的 Selberg trace formula。
現在要講幾個做了很多年的問題，其中一個就是如何了解多少個 $\lambda_i$ 即決定 Ω 的幾何性質的問題，譬如 $\{\lambda_i\}$ 可決定 $\mbox{Vol}(M)$ 這個不變量，亦即從頻率決定了面積有多大（討論二維時），這就是前面所寫的公式：

$\begin{displaymath} \lim_{t \rightarrow 0}C_n t^{-\frac{n}{2}}\sum_{i=1}^{\infty}\exp^{-\lambda_i t}=\mbox{Vol}(M) \; . \end{displaymath}$

底下我們想想看事實上能否真正地決定面積的這個問題。考慮打一個鼓，是否可以聽出它的面積 (Area) 有多大？其實這是有點欺騙。因為打鼓的時候，只能聽到有限 (finite) 的 $\lambda_i$ ，不可能將函數 $\sum_{i=1}^{\infty}\exp^{-\lambda_i t}$ 找出來。這邊一個問題就是這樣： $\mbox{Vol}(M)$ 是否可以有效的決定 (determine effectively)？就是能不能真的從有限的 $\lambda_i$ 有效決定 $\mbox{Vol}(M)$ 的問題，這個問題有可能沒辦法做到的。

圖三

現在舉個最簡單的例子，就是考慮一個長方形區域(如上圖)，慢慢拉長的時候，此時長方形的譜從兩邊得到，一邊從 x 方面，另一邊從 y 方向，而 x 方向有 $\phi_i (x)$
$\mbox{(eigenfunction)}$ ， y 方向有 $\psi_j(y)$ (eigenfunction)，而 $\phi_i (x)$ 的相對固有值(eigenvalue) 為 $\lambda_i$ ， $\psi_j(y)$ 相對的固有值為 $\tilde{\lambda_j}$ ，所以整個長方形的譜為 ${\lambda_i + \tilde{\lambda_j}}$ ，那現在有什麼問題呢？就是若此長方形拉的很扁（窄），即固定寬度（y 方向），長度拉長（x 方向），此時 $\tilde{\lambda_j}$ 這邊很大， $\lambda_i$ 很小。而假如 $\tilde{\lambda_j}$ 很大，就看不到 $\tilde{\lambda_j}$ 此時長方形的譜慢慢靠近 $\{\lambda_i\}$ ，就有限步驟來看的時候，只看到 $\lambda_i$ 的部分，看不到 $\tilde{\lambda_j}$ 的部分（ $\lambda_i$ 與 $\tilde{\lambda_j}$ 相較之下），所以從 $\lambda_i$ 這邊看過去的話，無從曉得面積到底有多大？（因只有長度無法決定面積）。所以必須改變這問題，了解有效決定的意思。而不能說： Given $\varepsilon>0$ , determine Vol(M) up to ε 的問題為 $\exists n(\varepsilon)$ , $\lambda_i$ , $\cdots \cdots$ , $\lambda_n$ s.t. $\{\lambda_1$ , $\cdots \cdots$ , $\lambda_n\}$ determine Vol(M) up to ε。剛才的例子就說明了不可能做到。所以，我們要想個辦法知它的意思，這個辦法就是給定 $\varepsilon>0$ ，已知 $\lambda_1$ ，存在 $n(\lambda_1 , \varepsilon) > 0$ 使得 $\{\lambda_1 , \cdots \cdots , \lambda_n\}$ 決定的誤差在 ε 之內。目前已知在 Ω 是凸區域 (convax) 時，能有效地決定 $\mbox{Vol}(M)$ ，即

$\forall \varepsilon>0 ,\exists n(\lambda,\varepsilon) s.t. \{\lambda_1 ,\cdots\cdots,\lambda_n\}$ determine vol $(\Omega)$ up to ε。

在此提出兩個 open question:

: Question 1. Area $(\partial \Omega)$ 是否可被有限 $\lambda_i$ 決定，當 Ω 是凸區域。亦即 Area $(\partial \Omega)$ 是否可用上述同樣的方法所決定？
: Question 2. 若 Ω 不是凸區域（如 star-shape 星形區域） $\mbox{Vol(\Omega)}$ 是否也可被有限 $\lambda_i$ 決定？

最後提二個類似的結果，一個著名的定理是：

$\begin{eqnarray*} \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 74}}& ... ...\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n, \cdots\}\mbox{(Ball)} \end{eqnarray*}$

則可推得Ω=Ball。
最近 Melas 得到下列有趣的定理：

: Melas: 若 $\lambda_i (\Omega) \sim \lambda_i (B)$ , $1\leq i \leq n(\lambda_i)$ 且 Ω 為 convax，則可得到 $\Omega \sim \mbox{Ball}$ ，亦即存在半徑 r₁, r₂ >0，使得 $B(r_1) \subset \Omega \subset B(r_2)$ 且 $r_2 - r_1 \sim 0$ 。