质量的起源 by 卢昌海
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遗憾的是， 这一回答却是一个不尽人意的回答。 为什么这么说呢？ 因为这一回答与其说是在回答问题， 不如说是在转嫁问题， 它只是把我们想要理解的基本粒子的质量值转嫁给了 Higgs 场的真空期待值、 规范耦合常数以及 Yukawa 耦合常数。 这其中 Higgs 场的真空期待值及规范耦合常数与基本粒子 (主要是费米子) 的种类无关， 可以算是普适的， 因此将质量向这些参数约化不失为是一种有效的概念约化。 但 Yukawa 耦合常数则不然， 它对于每一种费米子都有一个独的数值。 由于这些参数的存在， 标准模型的 Lagrangian 虽然不显含质量参数， 但它所包含的与质量直接有关的自由参数数目却一点也不比原先需要解释的质量参数数目来得少 (事实上还略多一点)。 用这种方式来解释质量的起源， 就象 S. Hawking (1942-) 在 《A Brief History of Time》 中引述的一位老妇人的理论。 那位老妇人宣称世界是平面的， 由一只大乌龟托着。 当被问到那只大乌龟本身站在哪里时， 老妇人冷静地回答说： 站在另一只大乌龟的背上。
因此， Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论虽然从许多唯象的方面来衡量是非常成功的， 它们所体现的把质量与真空的对称性破缺性质联系在一起的思路也极为深刻。 但它们作为与对称性破缺有关的特殊机制或模型， 本身却没能实现对质量概念的真正约化， 从而不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答。
因此， Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论虽然从许多唯象的方面来衡量是非常成功的， 它们所体现的把质量与真空的对称性破缺性质联系在一起的思路也极为深刻。 但它们作为与对称性破缺有关的特殊机制或模型， 本身却没能实现对质量概念的真正约化， 从而不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答。
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遗憾的是， 这一回答却是一个不尽人意的回答。 为什么这么说呢？ 因为这一回答与其说是在回答问题， 不如说是在转嫁问题， 它只是把我们想要理解的基本粒子的质量值转嫁给了 Higgs 场的真空期待值、 规范耦合常数以及 Yukawa 耦合常数。 这其中 Higgs 场的真空期待值及规范耦合常数与基本粒子 (主要是费米子) 的种类无关， 可以算是普适的， 因此将质量向这些参数约化不失为是一种有效的概念约化。 但 Yukawa 耦合常数则不然， 它对于每一种费米子都有一个独的数值。 由于这些参数的存在， 标准模型的 Lagrangian 虽然不显含质量参数， 但它所包含的与质量直接有关的自由参数数目却一点也不比原先需要解释的质量参数数目来得少 (事实上还略多一点)。 用这种方式来解释质量的起源， 就象 S. Hawking (1942-) 在 《A Brief History of Time》 中引述的一位老妇人的理论。 那位老妇人宣称世界是平面的， 由一只大乌龟托着。 当被问到那只大乌龟本身站在哪里时， 老妇人冷静地回答说： 站在另一只大乌龟的背上。
因此， Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论虽然从许多唯象的方面来衡量是非常成功的， 它们所体现的把质量与真空的对称性破缺性质联系在一起的思路也极为深刻。 但它们作为与对称性破缺有关的特殊机制或模型， 本身却没能实现对质量概念的真正约化， 从而不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答。
因此， Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论虽然从许多唯象的方面来衡量是非常成功的， 它们所体现的把质量与真空的对称性破缺性质联系在一起的思路也极为深刻。 但它们作为与对称性破缺有关的特殊机制或模型， 本身却没能实现对质量概念的真正约化， 从而不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答。
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25-34楼注释：
1、学过量子力学的读者可能会进一步问： 如果一个量子体系的基态是简并的， 那么体系的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？ 这种量子叠加 - 如我们在量子力学中所见到的 - 往往会破除原有的基态简并性， 并且使真正的基态具有与原先简并基态的集相同的对称性。 在这种情况下， 对称性自发破缺岂不是不存在了？ 对于有限体系来说这是完全正确的 (除非有什么原因 - 比如对称性 - 禁止简并基态间的相互耦合)。 但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷， 这时不同真空态之间的相互耦合趋于零， 严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
1、学过量子力学的读者可能会进一步问： 如果一个量子体系的基态是简并的， 那么体系的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？ 这种量子叠加 - 如我们在量子力学中所见到的 - 往往会破除原有的基态简并性， 并且使真正的基态具有与原先简并基态的集相同的对称性。 在这种情况下， 对称性自发破缺岂不是不存在了？ 对于有限体系来说这是完全正确的 (除非有什么原因 - 比如对称性 - 禁止简并基态间的相互耦合)。 但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷， 这时不同真空态之间的相互耦合趋于零， 严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
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2、Goldstone 定理也可以从几何上来理解。 V=V(φa) (a=1, ..., N) 可以看成是一个 N 维曲面， 真空态对应于该曲面的一个极小值点， 而该点处每一个独的平坦方向 (即二阶导数为零的方向) 对应于一个无质量标量粒子。 另一方面， 每一个这种独的平坦方向对应于一个可以使真空态移到邻近点的连续对称变换。 这种连续对称变换所表示的正是被真空态所破缺的对称性。 这就表明无质量标量粒子与这种自发破缺的对称性一一对应。 另外再补充一点： Nambu 曾在 1960 年提出过类似于 Goldstone 定理的想法， 但未引起足够重视。
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3、这里有一个很有意思的问题， 那就是既然真正的对称性自发破缺是由量子有效势 Veff 而非经典势函数 V 所决定的， 那么在经典势函数 V 不具有简并真空态 (从而不会产生对称性自发破缺) 的情况下是否有可能通过体现在有效势 Veff 中的纯量子效应产生对称性自发破缺呢？ 答案是肯定的。 如果哪位读者独地想到了这个问题， 那么祝贺你了， 这说明你有非常敏锐的物理思维能力。 如果你同时还具有第一流的理论基础， 并且早生三十几年的话， 就有可能作出一个非常重大的理论发现， 那便是 1973 年由 S. Coleman (1937-) 与 E. Weinberg 所发现的现在被称为 Coleman-Weinberg 机制的对称性破缺机制。
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4、用技术性的语言来说， 在 Higgs 机制中对应于 Goldstone 粒子的那些自由度可以被定域规范变换所消去 (必须注意的是： “定域” 二字在这里至关重要， 整体的连续变换是不具有这种能力的)。 从规范理论的角度讲， 这相当于选取了一种被称为幺正规范 (unitary gauge) 的特殊规范。 这种特殊规范的选取造成定域规范对称性的破缺， 从而使原本受定域规范对称性所限必须无质量的规范粒子可以获得质量。 人们有时把这种机制形象地描述为： 规范粒子通过 “吃掉” Goldstone 粒子而获得质量。
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5、电弱统一理论中的规范对称性破缺方式是 SU(2)×U(1) 破缺为 U(1)， 由此产生的三个 Goldstone 粒子通过 Higgs 机制使四个规范粒子中的三个 (即 W± 和 Z) 获得质量， 剩下的一个 (即光子) 则维持零质量。
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6、更确切地讲， 标准模型中的 Yukawa 耦合是形如 -λψLψRφ - h.c. 的项， 其中 ψ 为质量本征态 (不同于弱本征态)， L 与 R 分别代表左右手征部分， h.c. 代表厄密共轭。 Yukawa 耦合是费米子场与标量场之间唯一的可重整耦合。
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九. 量子色动力学
与 Goldstone、 Higgs 等人在对称性自发破缺方面的研究几乎同时， 物理学家们在研究强相互作用上也取得了重大进展。 1961 年， M. Gell-Mann (1929-) 与 Y. Ne'eman (1925-2006) 彼此独地提出了强子分类的 SU(3) 模型[注一]。 这一模型不仅对当时已知的强子给出了很好的分类， 而且还预言了当时尚未发现的粒子， 比如 Ω-[注二]。 但这一模型有一个显著的缺陷， 那就是 SU(3) 的基本表象 (foundamental representation) 似乎不对应于任何已知的粒子。 1964 年， Gell-Mann 与 G. Zweig (1937-) 提出了夸克 (quark) 模型， 将夸克作为 SU(3) 基本表象所对应的粒子， 强子则被视为是由夸克组成的[注三]。 在夸克模型中， 为了给出正确的强子性质， 夸克必须具有实验上从未发现过的量子数， 比如分数电荷， 这在当时很令人感到不安。 对此， Gell-Mann 也深感困惑， 只能用 “夸克存在但不是真实的” (they exist but are not real) 这样诡异的语言来搪塞。 夸克模型的另一个麻烦， 是夸克是费米子， 而某些强子却似乎包含三个处于同一量子态的夸克， 从而违反 Pauli 不相容原理。 关于这一点， 1965 年 O. W. Greenberg、 M. Y. Han (1934- ) 和 Nambu 先后提出引进一个新的三值量子数以保证那些夸克具有不同的量子态， Nambu 甚至粗略地考虑了以这一量子数为基础构造 Yang-Mills 理论， 但这些工作未引起重视。 1972 年， Gell-Mann 等人在实验的引导下重新考虑了这一新量子数， Gell-Mann 将之称为色荷 (color)， 并将以色荷为基础的 Yang-Mills 理论称为量子色动力学 (quantum chromodynamics)。 由于色荷是一个三值量子数， 因此量子色动力学的规范群被选为 SU(3)。
与 Goldstone、 Higgs 等人在对称性自发破缺方面的研究几乎同时， 物理学家们在研究强相互作用上也取得了重大进展。 1961 年， M. Gell-Mann (1929-) 与 Y. Ne'eman (1925-2006) 彼此独地提出了强子分类的 SU(3) 模型[注一]。 这一模型不仅对当时已知的强子给出了很好的分类， 而且还预言了当时尚未发现的粒子， 比如 Ω-[注二]。 但这一模型有一个显著的缺陷， 那就是 SU(3) 的基本表象 (foundamental representation) 似乎不对应于任何已知的粒子。 1964 年， Gell-Mann 与 G. Zweig (1937-) 提出了夸克 (quark) 模型， 将夸克作为 SU(3) 基本表象所对应的粒子， 强子则被视为是由夸克组成的[注三]。 在夸克模型中， 为了给出正确的强子性质， 夸克必须具有实验上从未发现过的量子数， 比如分数电荷， 这在当时很令人感到不安。 对此， Gell-Mann 也深感困惑， 只能用 “夸克存在但不是真实的” (they exist but are not real) 这样诡异的语言来搪塞。 夸克模型的另一个麻烦， 是夸克是费米子， 而某些强子却似乎包含三个处于同一量子态的夸克， 从而违反 Pauli 不相容原理。 关于这一点， 1965 年 O. W. Greenberg、 M. Y. Han (1934- ) 和 Nambu 先后提出引进一个新的三值量子数以保证那些夸克具有不同的量子态， Nambu 甚至粗略地考虑了以这一量子数为基础构造 Yang-Mills 理论， 但这些工作未引起重视。 1972 年， Gell-Mann 等人在实验的引导下重新考虑了这一新量子数， Gell-Mann 将之称为色荷 (color)， 并将以色荷为基础的 Yang-Mills 理论称为量子色动力学 (quantum chromodynamics)。 由于色荷是一个三值量子数， 因此量子色动力学的规范群被选为 SU(3)。
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在量子色动力学的发展过程中， 二十世纪六十年代末的一系列电子-核子深度非弹性散射实验起了很大的作用。 这些实验不仅证实了核子内部存在点状结构， 而且还显示出这些点状结构之间的相互作用在高能 - 即短距离 - 下会变弱。 这些点状结构被 R. Feynman (1918-1988) 称为 “部分子” (parton)， 它们中的一部分后来被证实就是夸克 (另一部分是后面会提到的胶子)。 而部分子之间的相互作用在高能下变弱的行为被称为渐近自由 (asymptotic freedom)， 它为实验上从未观测到孤立夸克这一事实提供了一种很好的说明： 那就是当夸克彼此远离时， 它们之间的相互作用会越来越强， 最终从真空中产生出足以中和它们所带色荷的粒子。 我们在实验上能够分离出的任何粒子 - 比如强子 - 都只能是这种色荷中和后的产物， 而不可能是孤立的夸克[注四]。 由于这一原因， 渐近自由很快被视为描述夸克相互作用的理论必须具备的重要性质。
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1973 年， D. Politzer (1949-)、 F. Wilczek (1951-) 及 D. Gross (1941-) 等人发现 Yang-Mills 理论具有渐近自由性质[注五]。 在当时已知的所有四维可重整场论中， Yang-Mills 理论是唯一具备这一性质的理论， 这对 Gell-Mann 等人提出的量子色动力学是一个很强的支持。 那时侯， 人们对 Yang-Mills 理论本身的研究也已取得了系统性的进展： 1967 年， L. D. Faddeev (1934-) 和 V. N. Popov 完成了 Yang-Mills 理论的量子化； 1971 年， G. 't Hooft (1946-) 证明了 Yang-Mills 理论的可重整性。 在这一系列工作的基础上， 量子色动力学成为了标准模型中描述强相互作用的基本理论。 这一理论中对应于 SU(3) 生成元的八个载力子被称为胶子 (gluon)， 它们都是无质量的。
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看到这里， 有读者可能会问： 我们是不是离题了？ 量子色动力学中总共只有两类粒子： 胶子与夸克。 其中胶子是无质量的， 而夸克虽然有质量， 但其质量 - 与标准模型中其它费米子的质量一样 - 是由电弱统一理论中的规范对称性自发破缺产生的， 与量子色动力学无关， 并且 - 如我们在 上一节 中所说 - 在标准模型之内是不可约化的。 既然如此， 量子色动力学与质量起源这一主题又能有什么关系呢？ 应该说， 这是一个很合理的疑问。 但量子色动力学的奇妙之处就在于， 它形式上异常简洁 - 一个简简单单的规范群， 一个平平常常的耦合常数， 差不多就是其全部的家当 - 但内涵却惊人地丰富。 它宛如一坛绝世的佳酿， 越品就越是回味无穷。 在谈论质量起源问题的时侯， 人们往往把注意力放在 Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论上， 因为 Higgs 机制在登场伊始就打出了质量产生机制的响亮广告。 但事实上我们将会看到， 看似与质量起源问题无关的量子色动力学对这一问题有着非常独特而精彩的回答， 从某种意义上讲， 这一回答才是标准模型范围内的最佳回答。
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我们先来看看量子色动力学的 Lagrangian：
L = -(1/2)Tr(GμνGμν) + ∑q(iγμDμ - mq)q
其中 q 为夸克场； Gμν = ∂μAν - ∂νAμ - ig[Aμ, Aν] 为规范场强； Dμ = ∂μ - igAμ 为协变导数； Aμ 为规范势； mq 为夸克 q 的质量； g 为耦合常数； 式中的求和遍及所有的夸克种类。 自然界已知的夸克种类 - 也称为 “味” (flavor) - 共有六种。 其中 u、 d、 s 被称为轻夸克， 质量分别约为 1.5~3.0 MeV、 3~7 MeV 及 95 MeV； c、 b、 t 被称为重夸克， 质量分别约为 1.25 GeV、 4.2 GeV 及 174 GeV。 这其中轻夸克的质量是在 2 GeV 的能标上定义的， 重夸克的质量则是在其自身质量标度上定义的[注六]。 这些质量参数本身在标准模型范围内是不能约化的， 但由这些夸克所组成的强子的性质， 在很大程度上可以由量子色动力学来描述， 这其中就包括强子的质量。 在接下来的几节中， 我们就来看一下量子色动力学对强子质量的描述， 以及这种描述在何种意义上可以被视为是对质量起源问题的回答。
L = -(1/2)Tr(GμνGμν) + ∑q(iγμDμ - mq)q
其中 q 为夸克场； Gμν = ∂μAν - ∂νAμ - ig[Aμ, Aν] 为规范场强； Dμ = ∂μ - igAμ 为协变导数； Aμ 为规范势； mq 为夸克 q 的质量； g 为耦合常数； 式中的求和遍及所有的夸克种类。 自然界已知的夸克种类 - 也称为 “味” (flavor) - 共有六种。 其中 u、 d、 s 被称为轻夸克， 质量分别约为 1.5~3.0 MeV、 3~7 MeV 及 95 MeV； c、 b、 t 被称为重夸克， 质量分别约为 1.25 GeV、 4.2 GeV 及 174 GeV。 这其中轻夸克的质量是在 2 GeV 的能标上定义的， 重夸克的质量则是在其自身质量标度上定义的[注六]。 这些质量参数本身在标准模型范围内是不能约化的， 但由这些夸克所组成的强子的性质， 在很大程度上可以由量子色动力学来描述， 这其中就包括强子的质量。 在接下来的几节中， 我们就来看一下量子色动力学对强子质量的描述， 以及这种描述在何种意义上可以被视为是对质量起源问题的回答。
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十. 同位旋与手征对称性
我们知道， 可见物质的质量主要来自于质子和中子， 其中质子由两个 u 夸克及一个 d 夸克组成， 而中子由一个 u 夸克及两个 d 夸克组成。 在下面的叙述中， 我们将只考虑这两种夸克。 由于这两种夸克的质量远小于任何强子的质量， 作为近似， 我们先忽略它们的质量。 这时的量子色动力学 Lagrangian 为：
L = -(1/2)Tr(GμνGμν) + iuγμDμu + idγμDμd
显然 (请读者自行验证)， 这一 Lagrangian 在以下两个整体 SU(2) 变换：
ψ → exp(-itaθa)ψ; ψ → exp(-iγ5taθa)ψ
我们知道， 可见物质的质量主要来自于质子和中子， 其中质子由两个 u 夸克及一个 d 夸克组成， 而中子由一个 u 夸克及两个 d 夸克组成。 在下面的叙述中， 我们将只考虑这两种夸克。 由于这两种夸克的质量远小于任何强子的质量， 作为近似， 我们先忽略它们的质量。 这时的量子色动力学 Lagrangian 为：
L = -(1/2)Tr(GμνGμν) + iuγμDμu + idγμDμd
显然 (请读者自行验证)， 这一 Lagrangian 在以下两个整体 SU(2) 变换：
ψ → exp(-itaθa)ψ; ψ → exp(-iγ5taθa)ψ
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下是不变的 - 其中 ψ=(u, d)T， ta 是 SU(2) 的生成元 (即 Pauli 矩阵的 1/2)。 这两个存在于 u 和 d 夸克间的对称性分别被称为同位旋对称性与手征对称性， 记为 SU(2)V 与 SU(2)A。 这其中同位旋对称性 SU(2)V 只要夸克质量彼此相等 (不一定要为零) 就存在， 而手征对称性 SU(2)A 只有在夸克质量全都为零时才具有 (这一情形因此而被称为手征极限)。 这一点与我们在 第六节 中提到的无质量量子电动力学的手征对称性类似。 除此之外， 这一 Lagrangian 还存在一个显而易见的整体 UV(1) 对称性， 它对应于重子数守恒， 与夸克是否有质量， 以及质量是否彼此相等都无关。 综合起来， 上述 Lagrangian 具有整体 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 对称性[注七]。 在这些对称性中， 同位旋对称性 SU(2)V 与手征对称性 SU(2)A 所对应的守恒流分别为：
Vμa = ψγμtaψ; Aμa = ψγμγ5taψ
显然， 在宇称变换下， Vμa 是矢量， Aμa 则是轴矢量 (axial vector)。 他们对应的荷 (QV)a=∫V0ad3x 与 (QA)a=∫A0ad3x 分别为标量及赝标量[注八]。
Vμa = ψγμtaψ; Aμa = ψγμγ5taψ
显然， 在宇称变换下， Vμa 是矢量， Aμa 则是轴矢量 (axial vector)。 他们对应的荷 (QV)a=∫V0ad3x 与 (QA)a=∫A0ad3x 分别为标量及赝标量[注八]。
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如果同位旋与手征对称性都是严格的对称性， 那么 (QV)a 将生成强子谱中自二十世纪六十年代起逐步引导人们发现量子色动力学的同位旋对称性； 而 (QA)a 则将生成所谓的手征对称性， 它要求每一个强子都伴随有自旋、 重子数及质量与之相同， 而宇称却相反的粒子。 这样的对称性在强子谱中从未被发现过。
对此， 最容易想到的解释是： 由于 u 和 d 夸克实际上并不是无质量的， 因此手征对称性本就不可能严格成立。 事实上， 不仅手征对称性不可能严格成立， 由于 u 夸克和 d 夸克的质量彼此不同， 连同位旋对称性也不可能严格成立。 但是， 考虑到 u 夸克和 d 夸克的质量相对于强子质量是如此之小， 相应的对称性在强子谱中似乎起码应该近似地存在。 对于同位旋对称性来说， 情况的确如此 (否则就不会有早年那些强子分类模型了)[注九]。 但手征对称性却哪怕在近似意义上也根本不存在。 举个例子来说， 手征对称性要求介子三重态 ρ(770) 与 a1(1260) 互为对称伙伴 (请读者自行查验这两组介子的量子数)， 但实际上这两者的质量分别为 775 MeV 和 1230 MeV[注十]， 相差悬殊 (作为对比， 同位旋伙伴的质量差通常都在几个 MeV 以下)， 连近似的对称性也不存在。
初看起来， 事情似乎出了麻烦， 但物理学家们却从这一麻烦中找到了一条探究低能量子色动力学的捷径。 正所谓 “山重水复疑无路， 柳暗花明又一村”。
对此， 最容易想到的解释是： 由于 u 和 d 夸克实际上并不是无质量的， 因此手征对称性本就不可能严格成立。 事实上， 不仅手征对称性不可能严格成立， 由于 u 夸克和 d 夸克的质量彼此不同， 连同位旋对称性也不可能严格成立。 但是， 考虑到 u 夸克和 d 夸克的质量相对于强子质量是如此之小， 相应的对称性在强子谱中似乎起码应该近似地存在。 对于同位旋对称性来说， 情况的确如此 (否则就不会有早年那些强子分类模型了)[注九]。 但手征对称性却哪怕在近似意义上也根本不存在。 举个例子来说， 手征对称性要求介子三重态 ρ(770) 与 a1(1260) 互为对称伙伴 (请读者自行查验这两组介子的量子数)， 但实际上这两者的质量分别为 775 MeV 和 1230 MeV[注十]， 相差悬殊 (作为对比， 同位旋伙伴的质量差通常都在几个 MeV 以下)， 连近似的对称性也不存在。
初看起来， 事情似乎出了麻烦， 但物理学家们却从这一麻烦中找到了一条探究低能量子色动力学的捷径。 正所谓 “山重水复疑无路， 柳暗花明又一村”。
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42-49楼注释：
1、Gell-Mann 将这一模型称为八正道 (eightfold way)， 这一名称取意于佛教术语， 它所代表的是 SU(3) 分类模型中的八维表象。
2、Ω- 于 1964 年被发现， 它不仅量子数与理论预言完全一致， 质量也非常接近理论的预期。
3、当时 Gell-Mann 是加州理工大学 (California Institute of Technology) 的教授， Zweig 则是该校的研究生， 他们虽在同一学校， 但提出夸克模型是彼此独的。 夸克这一名称是 Gell-Mann 所取， 来自于爱尔兰作家 J. Joyce 的一部晦涩的小说《Finnegans Wake》； Zweig 提议的名字也很幽默， 是 "Aces" - 即扑克牌中的 “爱斯”。 对 Zweig 来说， 十分苦涩的经历是： 同样标新立异的理论， Gell-Mann 的文章应杂志编辑的亲自邀请发表在了欧洲核子中心 (CERN) 的新杂志《Physics Letters》上， 而人微言轻的 Zweig 投向同一杂志的文章却未能发表。 Zweig 后来转行离开了物理。
1、Gell-Mann 将这一模型称为八正道 (eightfold way)， 这一名称取意于佛教术语， 它所代表的是 SU(3) 分类模型中的八维表象。
2、Ω- 于 1964 年被发现， 它不仅量子数与理论预言完全一致， 质量也非常接近理论的预期。
3、当时 Gell-Mann 是加州理工大学 (California Institute of Technology) 的教授， Zweig 则是该校的研究生， 他们虽在同一学校， 但提出夸克模型是彼此独的。 夸克这一名称是 Gell-Mann 所取， 来自于爱尔兰作家 J. Joyce 的一部晦涩的小说《Finnegans Wake》； Zweig 提议的名字也很幽默， 是 "Aces" - 即扑克牌中的 “爱斯”。 对 Zweig 来说， 十分苦涩的经历是： 同样标新立异的理论， Gell-Mann 的文章应杂志编辑的亲自邀请发表在了欧洲核子中心 (CERN) 的新杂志《Physics Letters》上， 而人微言轻的 Zweig 投向同一杂志的文章却未能发表。 Zweig 后来转行离开了物理。
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8、感兴趣的读者请利用场量的宇称变换性质 P: ψ(t, x) → γ0ψ(t, -x) 自行证明 Vμa 与 Aμa 的变换性质 P: Vμa(t, x) → Vμa(t, -x) 与 P: Aμa(t, x) → -Aμa(t, -x)。 另外要注意的是， 这里所说的矢量、 轴矢量、 标量、 赝标量都是依据时空变换性质区分的， 与那些量在 SU(2) 内禀空间内的变换性质无关。
9、由于 s 夸克也是轻夸克， 因此我们的讨论可以扩展至包括 s 夸克， 这是强子分类中存在 SU(3) 近似对称性的原因 [请注意这个 SU(3) 是 “味” 对称性而不是 “色” 对称性]。 不过由于 s 夸克的质量较大， SU(3) 对称性的近似程度远不如 SU(2) 对称性来得高。
10、在强子的命名中， 有些带有质量参数， ρ(770) 与 a1(1260) 就是两个例子。 细心的读者可能要问： 既然如此， 这两个介子的质量怎么会是 775 MeV 和 1230 MeV， 而非 770 MeV 和 1260 MeV 呢？ 我把这个问题留给读者自己去思考。
9、由于 s 夸克也是轻夸克， 因此我们的讨论可以扩展至包括 s 夸克， 这是强子分类中存在 SU(3) 近似对称性的原因 [请注意这个 SU(3) 是 “味” 对称性而不是 “色” 对称性]。 不过由于 s 夸克的质量较大， SU(3) 对称性的近似程度远不如 SU(2) 对称性来得高。
10、在强子的命名中， 有些带有质量参数， ρ(770) 与 a1(1260) 就是两个例子。 细心的读者可能要问： 既然如此， 这两个介子的质量怎么会是 775 MeV 和 1230 MeV， 而非 770 MeV 和 1260 MeV 呢？ 我把这个问题留给读者自己去思考。
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十一. 手征对称性自发破缺
手征 SU(2) 是量子色动力学 Lagrangian 中的 (近似) 对称性， 却在现实世界中完全找不到对应， 这究竟是什么原因呢？ 应该说， 要猜测一下是不困难的， 因为当时物理学家们已经知道对称性可以自发破缺。 如果量子色动力学中的手征对称性是自发破缺的， 显然就会出现这种 Lagrangian 具有 (近似) 手征对称性， 现实世界却不并不买账的现象。 但是， 猜测归猜测， 要想在理论上严格论证这一点 - 哪怕只是物理学意义上的严格论证 - 却是极其困难的。
有读者可能会问： 对称性自发破缺在电弱统一理论中用得好好的， 为什么在量子色动力学中却变得 “极其困难” 了呢？ 这是因为在电弱统一理论中对称性自发破缺是由人为引进的 Higgs 场产生的， 我们有一定的自由度来选择对称性破缺的方式。 但量子色动力学并不包含这种人为引进的 Higgs 场， 因此， 在量子色动力学中， 整体 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 对称性是否自发破缺？ 如果破缺， 是否恰好是手征部分破缺， 即破缺到 SU(2)V×U(1)V？ 都只能由理论本身来决定， 而不是我们可以擅自假设的， 正是这一特点使问题变得困难[注一]。 更麻烦的是， 手征对称性的破缺 (如果存在的话) 出现在量子色动力学的强相互作用区 - 即低能区。 对于理论研究来说， 这无疑是雪上加霜。
手征 SU(2) 是量子色动力学 Lagrangian 中的 (近似) 对称性， 却在现实世界中完全找不到对应， 这究竟是什么原因呢？ 应该说， 要猜测一下是不困难的， 因为当时物理学家们已经知道对称性可以自发破缺。 如果量子色动力学中的手征对称性是自发破缺的， 显然就会出现这种 Lagrangian 具有 (近似) 手征对称性， 现实世界却不并不买账的现象。 但是， 猜测归猜测， 要想在理论上严格论证这一点 - 哪怕只是物理学意义上的严格论证 - 却是极其困难的。
有读者可能会问： 对称性自发破缺在电弱统一理论中用得好好的， 为什么在量子色动力学中却变得 “极其困难” 了呢？ 这是因为在电弱统一理论中对称性自发破缺是由人为引进的 Higgs 场产生的， 我们有一定的自由度来选择对称性破缺的方式。 但量子色动力学并不包含这种人为引进的 Higgs 场， 因此， 在量子色动力学中， 整体 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 对称性是否自发破缺？ 如果破缺， 是否恰好是手征部分破缺， 即破缺到 SU(2)V×U(1)V？ 都只能由理论本身来决定， 而不是我们可以擅自假设的， 正是这一特点使问题变得困难[注一]。 更麻烦的是， 手征对称性的破缺 (如果存在的话) 出现在量子色动力学的强相互作用区 - 即低能区。 对于理论研究来说， 这无疑是雪上加霜。
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另一方面， 对称性破缺方式由理论本身所决定虽然为量子色动力学带来了一个艰深的理论问题， 同时却也是它的一个极大的理论优势。 因为电弱统一理论之所以不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答， 一个很重要的原因就是 Higgs 场以及它与费米场之间的相互作用 (Yukawa 耦合) 是人为引进的， 从而带有许多自由参数。 而量子色动力学没有那种类型的自由参数， 因此它与观测之间的对比更为严酷： 如果成功， 将是极具预言能力的成功， 因为自由参数越少， 预言能力就越强； 但如果失败， 也将是无力回天的失败， 因为自由参数越少， 回旋余地也就越小。
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那么量子色动力学究竟能不能实现从 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 到 SU(2)V×U(1)V 的对称性自发破缺呢？ 目前在理论上还是一个待解之谜。 1979 年， 't Hooft 通过对规范理论中的反常 (anomaly) 进行分析， 得到了一个结果： 即如果所考虑的整体对称性是 SU(3)V×SU(3)A×U(1)V， 那它就必须自发破缺。 可惜的是， 一来量子色动力学中的 SU(3) 对称性远比 SU(2) 对称性粗糙， 二来这一结果也无法告诉我们具体哪一部分对称性会自发破缺。 1980 年， S. Coleman 与 E. Witten 提出在某些合理的物理条件下， 当色的数目 Nc 趋于无穷时， 手征对称性必须自发破缺。 这一结果虽然抓准了手征对称性， 但可惜量子色动力学中的 Nc 不仅不是无穷， 而且还很小 (Nc=3)。 1984 年， C. Vafa 与 E. Witten 证明了未被非零夸克质量项所破缺的同位旋对称性 (请读者想一想， 在现实世界里这一对称性由什么群来表示？) 不会自发破缺。 可惜这一证明虽然表明特定的同位旋对称性不会自发破缺， 却未对手征对称性是否一定会自发破缺提供说明。
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虽然上述理论研究没有一个能够证明 SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 必定会破缺到 SU(2)V×U(1)V， 但它们都与这一对称性破缺方式相容， 无疑还是大大增强了人们的信心。 在物理学上， 数学证明是一种美妙的东西， 但有时却可望不可及， 物理学家们的工作往往并不总是依赖于它。 迄今为止， 虽然尚未有人能够给出手征对称性自发破缺的数学证明， 但从这一破缺方式已经得到的大量间接证据来看， 它的证明应该只是时间问题。 物理学家们更感兴趣的是： 如果手征对称性自发破缺， 我们可以从中得到什么推论？ 有关这一点， 人们做了细致的研究。 那些研究获得了极大的成功， 不仅给出了被称为手征微扰理论 (chiral perturbation theory) 的描述低能量子色动力学的有效场论， 而且得到了一系列与实验相吻合的漂亮结果。 这一切也反过来为手征对称性的自发破缺提供了进一步的间接证据。
下面我们就来看看由手征对称性自发破缺导致的推论中与质量起源问题关系最密切的部分。
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十二. 赝 Goldstone 粒子的质量
在 第七节 中， 我们介绍过对称性自发破缺。 对称性自发破缺最重要的推论之一是存在无质量的标量粒子， 即 Goldstone 粒子， 它们与破缺对称性所对应的荷具有相同的宇称及内禀量子数。 对于手征对称性来说， 荷是 (QA)a， 它在时空中是赝标量， 在内禀空间中则是矢量。 因此相应的 Goldstone 粒子的宇称为负， 同位旋则为 1。 自然界满足上述特征的强子中质量最轻的是 π 介子 (π-、 π0 和 π+)。 如果手征对称性是自发破缺的， π 介子就应该是这一破缺所对应的 Goldstone 粒子[注二]。 但是， Goldstone 粒子是无质量的， π 介子却是有质量的， 这一矛盾该如何解决呢？
我们知道， 在理想的对称性自发破缺情形下， 体系的实际真空态可以是一系列简并真空态中的任何一个。 但是， 量子色动力学中的手征对称性破缺却不是理想情形， 因为量子色动力学的 Lagrangian 含有手征对称性的明显破缺项， 即夸克质量项。 由于这种明显破缺项的存在， 实际真空态的选取就不再是任意的了， 明显破缺项的存在将会对实际真空态起到一个选择作用。 这就好比一根立在桌上的筷子， 如果桌子是严格水平的， 它向任何一个方向倒下都是同等可能的， 但如果桌子是倾斜的， 它就会往倾斜度最大 (梯度最大) 的方向倒。 用数学的语言来说 (符号的含义参看 第七节)， 如果 V1(φa) (a=1, ..., N) 表示对称性的明显破缺项， 那么， 它所选出的真空态将满足
Δa(φ) (∂V1/∂φa) = 0
在 第七节 中， 我们介绍过对称性自发破缺。 对称性自发破缺最重要的推论之一是存在无质量的标量粒子， 即 Goldstone 粒子， 它们与破缺对称性所对应的荷具有相同的宇称及内禀量子数。 对于手征对称性来说， 荷是 (QA)a， 它在时空中是赝标量， 在内禀空间中则是矢量。 因此相应的 Goldstone 粒子的宇称为负， 同位旋则为 1。 自然界满足上述特征的强子中质量最轻的是 π 介子 (π-、 π0 和 π+)。 如果手征对称性是自发破缺的， π 介子就应该是这一破缺所对应的 Goldstone 粒子[注二]。 但是， Goldstone 粒子是无质量的， π 介子却是有质量的， 这一矛盾该如何解决呢？
我们知道， 在理想的对称性自发破缺情形下， 体系的实际真空态可以是一系列简并真空态中的任何一个。 但是， 量子色动力学中的手征对称性破缺却不是理想情形， 因为量子色动力学的 Lagrangian 含有手征对称性的明显破缺项， 即夸克质量项。 由于这种明显破缺项的存在， 实际真空态的选取就不再是任意的了， 明显破缺项的存在将会对实际真空态起到一个选择作用。 这就好比一根立在桌上的筷子， 如果桌子是严格水平的， 它向任何一个方向倒下都是同等可能的， 但如果桌子是倾斜的， 它就会往倾斜度最大 (梯度最大) 的方向倒。 用数学的语言来说 (符号的含义参看 第七节)， 如果 V1(φa) (a=1, ..., N) 表示对称性的明显破缺项， 那么， 它所选出的真空态将满足
Δa(φ) (∂V1/∂φa) = 0
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这一条件被称为真空取向条件 (vacuum alignment condition)。 另一方面， 明显破缺项的存在也破坏了 Goldstone 定理成立的条件， 由此导致的结果是 Goldstone 粒子有可能具有非零质量， 这样的粒子被称为赝 Goldstone 粒子 (pseudo-Goldstone particle)。 真空取向条件是确定赝 Goldstone 粒子质量的重要条件。 赝 Goldstone 粒子的出现消除了 π 介子的非零质量与 Goldstone 粒子的零质量之间的定性矛盾。 但在定量上 π 介子与赝 Goldstone 粒子的质量是否吻合呢？ 我们现在就来看一看。
对于量子色动力学中的手征对称性来说， 对称性的明显破缺项为质量项， 它可以改写成 (请读者自行验证)：
V1 = (1/2)(mu+md)ΨΨ + (1/2)(mu-md)(uu-dd)
对于量子色动力学中的手征对称性来说， 对称性的明显破缺项为质量项， 它可以改写成 (请读者自行验证)：
V1 = (1/2)(mu+md)ΨΨ + (1/2)(mu-md)(uu-dd)
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其中 ΨΨ = uu+dd。 这其中第一项只破坏手征对称性， 第二项则破坏同位旋对称性。 在此基础上， 考虑到不存在同位旋对称性自发破缺这一限制， 可以得到赝 Goldstone 粒子的质量为 (这一结果也可以从手征微扰理论得到)：
Mπ2 = (1/2)(mu+md)<0|ΨΨ|0>/Fπ2
其中 Fπ 是一个量纲为能量的常数， 由
<0|Aμa(x)|πb(p)> = ipμFπδabe-ipx
定义。 Fπ 被称为 π 衰变常数 (pion decay constant)， 可以由 π 介子的衰变来确定， 原则上也可以从理论上计算出， 其数值约为 92.4 MeV[注三]。 <0|ΨΨ|0> 是一个量纲为能量三次方的参数， 被称为手征凝聚 (chiral condensation)， 目前人们对它的计算还较粗略， 结果大致为 <0|ΨΨ|0>~(270 MeV)3nf[注四]， 其中 nf 为参与凝聚的夸克种类， 对于我们所考虑的情形 nf=2 (u 和 d 夸克)。 mu+md 通常取为 8-9 MeV。 由此可以得到 (请读者自己计算一下)： Mπ ~ 140 MeV。 这几乎正好就是 π 介子的质量 (π± 的质量约为 140 MeV； π0 的质量约为 135 MeV)。 当然， 上述估算是相当粗略的， 不能因为数值上的吻合而高估它的精度。 但结合了格点量子色动力学 (lattice QCD) 计算的大量更为细致的研究表明， 这种吻合并非偶然[注五]。
Mπ2 = (1/2)(mu+md)<0|ΨΨ|0>/Fπ2
其中 Fπ 是一个量纲为能量的常数， 由
<0|Aμa(x)|πb(p)> = ipμFπδabe-ipx
定义。 Fπ 被称为 π 衰变常数 (pion decay constant)， 可以由 π 介子的衰变来确定， 原则上也可以从理论上计算出， 其数值约为 92.4 MeV[注三]。 <0|ΨΨ|0> 是一个量纲为能量三次方的参数， 被称为手征凝聚 (chiral condensation)， 目前人们对它的计算还较粗略， 结果大致为 <0|ΨΨ|0>~(270 MeV)3nf[注四]， 其中 nf 为参与凝聚的夸克种类， 对于我们所考虑的情形 nf=2 (u 和 d 夸克)。 mu+md 通常取为 8-9 MeV。 由此可以得到 (请读者自己计算一下)： Mπ ~ 140 MeV。 这几乎正好就是 π 介子的质量 (π± 的质量约为 140 MeV； π0 的质量约为 135 MeV)。 当然， 上述估算是相当粗略的， 不能因为数值上的吻合而高估它的精度。 但结合了格点量子色动力学 (lattice QCD) 计算的大量更为细致的研究表明， 这种吻合并非偶然[注五]。
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现在让我们再次回到主题 - 质量的起源 - 上来。 我们看到， 量子色动力学计算出了作为赝 Goldstone 粒子的 π 介子的质量。 如果我们想知道 π 介子的质量起源， 这可以算是一种回答。 可惜的是， 这种回答与我们在 第六节 中介绍的电磁自能具有相同的缺陷， 那就是它正比于在理论中无法约化的外来参数： 夸克质量。 一旦外来参数不存在， 这一回答就会失效。 因此量子色动力学对 π 介子及其它赝 Goldstone 粒子质量的计算虽然很漂亮， 但从回答本原问题的角度看却仍不足以令人满意。
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十三. 一个 93 分的答案
但是， 当我们把目光转到更复杂， 同时也更具现实意义的强子 - 质子和中子 (以下合称核子) - 的质量时， 却会看到量子色动力学的确为质量起源问题提供了一个非常精彩的回答。
计算核子或其它重子的质量是一个相当困难的低能量子色动力学的问题， 通常的做法是利用巨型计算机进行格点量子色动力学计算。 但是， 由于技术上的限制， 迄今为止， 人们在这类格点量子色动力学计算中采用的 u 夸克和 d 夸克的质量都在它们实际质量的五倍以上， 由此得到的核子质量通常也要比实际值高出百分之三十以上。
另一方面， 与格点量子色动力学计算中夸克质量的 “不可承受之重” 截然相反， 在我们前面提到的手征微扰理论中， 夸克的质量却是越轻越好， 甚至最好是零。 显然， 如果我们能在这两种极端之间作某种调和， 借助手征微扰理论对格点量子色动力学的计算进行适当的外推， 就有可能得到更接近现实世界的结果。 这正是物理学家们在计算核子质量时采用的手段。 这种借助手征微扰理论对格点量子色动力学计算进行外推的方法被称为手征外推 (chiral extrapolation)。 利用手征外推得到的核子质量为：
mN = m0 - 4c1Mπ2 + O(Mπ3)
其中 m0 ≈ 880 MeV， c1 ≈ -1 GeV-1， Mπ2 是 π 介子的质量平方， 如 上节 所述， 正比于夸克质量。 若干更高阶的项也已被计算出， 这里就不细述了。 将有关数据代入这一公式， 我们可以得到 (请读者自己计算一下)： mN≈954 MeV， 它与实际的核子质量 (质子约为 938 MeV； 中子约为 940 MeV) 相当接近。 不仅如此， 系统的计算 (包括来自部分高阶项的贡献) 还给出了许多其它重子的质量， 比如： m∑≈1192 MeV (实验值约为 ∑+ 1189 MeV； ∑0 1193 MeV； ∑- 1197 MeV)； m∧≈1113 MeV (实验值约为 1116 MeV)； mΞ≈1319 MeV (实验值约为 Ξ0 1315 MeV； Ξ- 1321 MeV)， 都与实验有不错的吻合。 这些结果表明， 量子色动力学的确可以用来计算重子质量。
但是， 当我们把目光转到更复杂， 同时也更具现实意义的强子 - 质子和中子 (以下合称核子) - 的质量时， 却会看到量子色动力学的确为质量起源问题提供了一个非常精彩的回答。
计算核子或其它重子的质量是一个相当困难的低能量子色动力学的问题， 通常的做法是利用巨型计算机进行格点量子色动力学计算。 但是， 由于技术上的限制， 迄今为止， 人们在这类格点量子色动力学计算中采用的 u 夸克和 d 夸克的质量都在它们实际质量的五倍以上， 由此得到的核子质量通常也要比实际值高出百分之三十以上。
另一方面， 与格点量子色动力学计算中夸克质量的 “不可承受之重” 截然相反， 在我们前面提到的手征微扰理论中， 夸克的质量却是越轻越好， 甚至最好是零。 显然， 如果我们能在这两种极端之间作某种调和， 借助手征微扰理论对格点量子色动力学的计算进行适当的外推， 就有可能得到更接近现实世界的结果。 这正是物理学家们在计算核子质量时采用的手段。 这种借助手征微扰理论对格点量子色动力学计算进行外推的方法被称为手征外推 (chiral extrapolation)。 利用手征外推得到的核子质量为：
mN = m0 - 4c1Mπ2 + O(Mπ3)
其中 m0 ≈ 880 MeV， c1 ≈ -1 GeV-1， Mπ2 是 π 介子的质量平方， 如 上节 所述， 正比于夸克质量。 若干更高阶的项也已被计算出， 这里就不细述了。 将有关数据代入这一公式， 我们可以得到 (请读者自己计算一下)： mN≈954 MeV， 它与实际的核子质量 (质子约为 938 MeV； 中子约为 940 MeV) 相当接近。 不仅如此， 系统的计算 (包括来自部分高阶项的贡献) 还给出了许多其它重子的质量， 比如： m∑≈1192 MeV (实验值约为 ∑+ 1189 MeV； ∑0 1193 MeV； ∑- 1197 MeV)； m∧≈1113 MeV (实验值约为 1116 MeV)； mΞ≈1319 MeV (实验值约为 Ξ0 1315 MeV； Ξ- 1321 MeV)， 都与实验有不错的吻合。 这些结果表明， 量子色动力学的确可以用来计算重子质量。
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那么， 从回答本原问题的角度看， 这些计算是否令人满意呢？
从上面所引的核子质量公式中我们可以看到， 上述核子质量有一个不同于赝 Goldstone 粒子质量的至关重要的特点， 那就是它在手征极限 - 即夸克质量为零 - 时不为零， 而等于 m0≈880 MeV。 这个数值约为核子质量的 93%， 它完全由量子色动力学所描述的相互作用所确定[注六]。 这表明， 即便不引进任何外来的夸克质量， 量子色动力学仍能给出核子质量的绝大部分。 由于宇宙中可见物质的质量主要来自核子质量， 因此宇宙中可见物质质量的绝大部分都可以在不引进夸克质量的情况下， 由纯粹的量子色动力学加以说明。 从这个意义上讲， 量子色动力学为质量起源问题提供了一个独特而精彩的回答。 这一回答不象电弱统一理论那样带有比所要解释的质量参数还要多的可调参数， 因而非常符合回答本原问题的需要。 不过， 由于它只能给出核子质量的 93%， 因此我们粗略地给它打 93 分。 在标准模型的范围内， 这是迄今所知的最佳回答。
93 分虽然是一个高分， 但终究不是满分。 为了寻找更接近满分的答案， 我们不得不重新回到标准模型中不能约化的那些质量 - 包括使量子色动力学丢掉 7 分的夸克质量 - 上来。 那些质量究竟来自何方？ 究竟还能不能约化？ 这些问题的答案 - 如果有的话 - 就只能到标准模型之外去寻找了。
从上面所引的核子质量公式中我们可以看到， 上述核子质量有一个不同于赝 Goldstone 粒子质量的至关重要的特点， 那就是它在手征极限 - 即夸克质量为零 - 时不为零， 而等于 m0≈880 MeV。 这个数值约为核子质量的 93%， 它完全由量子色动力学所描述的相互作用所确定[注六]。 这表明， 即便不引进任何外来的夸克质量， 量子色动力学仍能给出核子质量的绝大部分。 由于宇宙中可见物质的质量主要来自核子质量， 因此宇宙中可见物质质量的绝大部分都可以在不引进夸克质量的情况下， 由纯粹的量子色动力学加以说明。 从这个意义上讲， 量子色动力学为质量起源问题提供了一个独特而精彩的回答。 这一回答不象电弱统一理论那样带有比所要解释的质量参数还要多的可调参数， 因而非常符合回答本原问题的需要。 不过， 由于它只能给出核子质量的 93%， 因此我们粗略地给它打 93 分。 在标准模型的范围内， 这是迄今所知的最佳回答。
93 分虽然是一个高分， 但终究不是满分。 为了寻找更接近满分的答案， 我们不得不重新回到标准模型中不能约化的那些质量 - 包括使量子色动力学丢掉 7 分的夸克质量 - 上来。 那些质量究竟来自何方？ 究竟还能不能约化？ 这些问题的答案 - 如果有的话 - 就只能到标准模型之外去寻找了。
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53-62楼注释：
1、虽然从实验上观测到的强子谱来看， SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 几乎肯定是破缺到了 SU(2)V×U(1)V (即手征对称性自发破缺)， 但这并不表明量子色动力学真空一定会实现这一破缺方式。 相反， 能否实现这一破缺方式在很大程度上可以被视为是对量子色动力学的检验。
2、π 介子的质量远小于其它强子的质量， 这一点很早就引起了人们的注意。 为了解释这一现象， 早在量子色动力学出现之前的 1960 年， Nambu 就提出可能存在一种极限情形 (相当于后来的手征极限)， 在其中 π 介子是对称性自发破缺所产生的无质量粒子。 中国物理学家周光召也于 1961 年提出过类似的想法。
3、不同的文献对 Fπ 有不同的定义， 彼此相差一个常数因子 2 或 √2。
4、这一结果是可以预期的， 因为它大致等于量子色动力学中除夸克质量外的唯一能标 ∧QCD 的三次方。 感兴趣的读者可以 (定性地) 思考这样一个问题： 在不考虑夸克质量的情况下， 量子色动力学 Lagrangian 中唯一的参数是无量纲的耦合常数， 那么象 ∧QCD 这样的能标是从何而来的？
1、虽然从实验上观测到的强子谱来看， SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 几乎肯定是破缺到了 SU(2)V×U(1)V (即手征对称性自发破缺)， 但这并不表明量子色动力学真空一定会实现这一破缺方式。 相反， 能否实现这一破缺方式在很大程度上可以被视为是对量子色动力学的检验。
2、π 介子的质量远小于其它强子的质量， 这一点很早就引起了人们的注意。 为了解释这一现象， 早在量子色动力学出现之前的 1960 年， Nambu 就提出可能存在一种极限情形 (相当于后来的手征极限)， 在其中 π 介子是对称性自发破缺所产生的无质量粒子。 中国物理学家周光召也于 1961 年提出过类似的想法。
3、不同的文献对 Fπ 有不同的定义， 彼此相差一个常数因子 2 或 √2。
4、这一结果是可以预期的， 因为它大致等于量子色动力学中除夸克质量外的唯一能标 ∧QCD 的三次方。 感兴趣的读者可以 (定性地) 思考这样一个问题： 在不考虑夸克质量的情况下， 量子色动力学 Lagrangian 中唯一的参数是无量纲的耦合常数， 那么象 ∧QCD 这样的能标是从何而来的？
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