Lagrange 力学几何化 决定动力学流测地性质的联络未必是由动力

约束力学系统的联络及其运动

方程的测地性质

X

罗绍凯

①　郭永新②　梅凤翔②

(

林宗池推荐,1997 年2 月17 日收到)

摘　　要

用现代整体微分几何方法研究非定常约束力学系统运动方程的测地性质

,得到非定常力学系

统的动力学流关于

1-射丛上的联络具有测地性质的充分必要条件·　非定常情形下的动力学流关

于无挠率的联络总具有测地性质

,因此任何非定常约束力学系统在外力作用下的运动总可以表示

为关于

1-射丛上无挠率的动力学联络的测地运动,这与定常力学的情形有所区别·　

关键词

　1-射丛　动力学流　竖直自同态　联络　测地线

中图分类号

　O316 　O186

§

11 引　　言

自

Einstein 于本世纪初创立广义相对论以来,微分几何学、尤其是现代微分几何学被广泛

应用于物理学的诸多领域·　用现代微分几何学研究完整正则力学系统已有三十余年的历史

,

这方面的研究工作日渐完善

[1～3 ]·　进入八十年代,约束力学系统和奇异力学系统的几何化受

到广泛重视

,并取得一些有价值的结果[4 ,5 ]·　通常,Lagrange 力学及Hamilton 力学的几何化为

辛几何化

,力学系统的内蕴表示借助于这种辛结构·　Cartan[6 ,7 ]曾提出另外一种关于经典力学

的几何理论

,该理论侧重于力学系统的联络表述,而且这一联络是非度规联络·　这一颇具启发

性的联络理论后来被广泛应用于规范场论

,遗憾的是他的理论并未在力学领域里受到重视·　

近些年来

, 人们在力学系统及其演化空间的几何化研究中开始注重联络理论的重要作

用

[8～11 ] ,但是联络的意义不甚明确·　有鉴于此,我们将在辛几何化的基础上,确定非定常约束

力学系统的联络

,并以此研究该系统的运动方程的测地性质·　结果表明,对于约束力学系统,

总存在一个约束流形上的动力学联络

,使得力学系统在外力作用下的运动表现为约束流形上

的测地运动

,这个测地运动曲线为联络的自平行线;仅当约束是可积的且动力学流是二阶齐次

的

,由联络确定的自平行线亦是由度规确定的短程线·　

文中采用了

Einstein 求和约定,所涉及的流形和映射皆为光滑的·　

779

　应用数学和力学

,第19 卷第9 期(1998 年9 月)

　　

Applied Mathematics and Mechanics 　　　　　　　　　　　应用数学和力学编委会编

重庆出版社出版

　

X

①

②

北京理工大学应用力学系,北京100081

河南商丘师专

,商丘476000

国家自然科学基金资助课题

,高等学校博士点专项基金资助课题

© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

§

21 1-射丛J 1M 上的联络

非定常力学系统的演化空间为接触流形

R ×TQ 或1- 射丛τ: J1M →M , M 为n + 1 维光

滑流形

,它对应于事件空间·　用1- 射丛J1M 表示非定常力学系统的演化空间更具一般性,但

有时可赋予它接触结构

[2 ]·　

J

1M 上的动力学流定义为截面Z : J1M → TJ1M ,且满足τ3 Z ( u) = u , u ∈J1M·　若J1M

的局部坐标表示为

t , qi , vi ( i = 1 ,2 , ⋯, n) ,则现代

Z =

5/ 5 t + vi5/ 5 qi + Zi ( t , q , v) 5/ 5 vi (211)

借助

Cartan 1-形式θi = dqi - vidt , J1M 上的竖直同态s 可表示为

s =

5/ 5 vi ªθi (212)

假定存在下述矢量丛同态的正合序列

0

→VJ1M → TJ1M →J1M ×MTM →0 (213)

VJ

1M 表示TJ1M 关于投影τ的竖直子空间,这样就确定了映射H: J1M ×MTM → TJ1M ,使得

τ

3 H = IdJ

1

M

·　在局部坐标下

H(

5/ 5 qi) = 5/ 5 qi - Γj

i

5

/ 5 vj = Hi , H(5/ 5 t) = 5/ 5 t - Γi0

5

/ 5 vi (214)

相应地

,对于T = 5/ 5 t + vi5/ 5 qi ,我们有

H( T) = T

H =

5/ 5 t + vi5/ 5 qi - (Γi0

+ v

iΓi

j

)

5/ 5 vi (215)

通常称

H 为关于投影τ的水平提升,与之相应的水平投影算符与竖直投影算符可表示为

P

n = dt

ª TH +θi ª Hi , Pv = ηi ª Vi (216)

其中

, Vi = 5/ 5 vi ,ηi = dvi +Γi

k

dqk +Γi

0

dt ; T

H

1 λ , Hi , Vi 为J1M 的切空间的基, dt ,θi 0 ,ηi

为其

对偶基·　由

PH , PV 可得到J1M 上的水平分布h 和竖直分布v ,且

TJ

1M = h © v (217)

借助下述关系

P

H =

1

2

( Id

J

1

M

+ Г+ dt

ª TH)

P

V =

1

2

( Id

J

1

M

- Г- dt

ª TH) -

(

218)

可将联络表示为另一个

J1M 上的(1 ,1) 型张量场Γ

Γ

= θi

ª Hi - ηi ª Vi (219)

§

31 动力学流的测地性质

类似于对切丛的讨论

,我们同样可根据联络来定义M 上的曲线的水平提升, M 上矢量场

沿某曲线的平行移动

,从而定义协变微分¨,最后可得到联络Γ的测地线方程

¨

T = 0 或q··+ Γi0

+

ÛqjΓi

j

=

0 (311)

它的解即水平矢量的积分曲线·　

定义

1 　如果动力学流Z 对于联络Γ是水平的,则称Z 具有测地性质·　

引理

1 　设Λ(τ) 为沿τ: J1M →M 的标量形式的分次代数, V (τ) 为沿τ的矢值形式的

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罗　　绍　　凯　　　郭　　永　　新　　　梅　　凤　　翔

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模

, dH、dV 分别为τ上的水平和竖直外微分,则dH 、dV 的反对易子[ dH , dV ] 在Λ(τ) 上为算子

d

V

3

,即存在一矢值2- 形式t ∈.V2 (τ) ,使得在Λ(τ) 上有

[ d

H , dV ] = dVt

(

312)

t

称为联络Γ的挠率,其坐标表示为

t =

1

2

5

Γi

k

5

vj -

5

Γi

j

5

vk

θ

k

∧θj ª

5

5

qi + vj

5

Γi

j

5

vk - Γi

k

+

5

Γi0

5

vk t dt ∧θk ª

5

5

qi (313)

命题

1 　J1M 上的动力学流Z 的积分曲线是联络Γ的测地线的充分必要条件为

Γ

( Z) =

0 (314)

证

　如果

J1M 上的动力学流的积分曲线是联络Γ的测地线,则

Z = T

H , Zi = - Γi

0

- v

jΓi

j

(

315)

由

(219) 式得: Γ( Z) = - ( Zi + Γi0

+ v

jΓi

j

) Vi =

0·　反之,如果Γ( Z) = 0 ,则有Zi + Γi0

+ v

jΓi

j

=

0·　从而Z = TH 即为水平的,其积分曲线为Γ的测地线·　

条件

(314) 并未唯一确定联络Γ·　为使动力学流对动力学联络具有测地性,有下述命题:

命题

2 　J1M 上的动力学流Z 关于动力学联络Γ = - L zS 为水平的充分必要条件是Γ的

挠率为零·　

证

　如果

Z 关于联络Γ = - L ZS 是水平的,则

Z

i = - Γi

0

- v

jΓi

j

,Γi

j

= -

1

2

5

Zi

5

vj (316)

由此可得

5

Γi

k

5

vj =

5

Γi

j

5

vk , vj

5

Γi

j

5

vk - Γi

k

+

5

Γi0

5

vk = 0 (317)

由

(313) 式知t = 0·　

如果

t = 0 ,即有(317) 式成立,则一定存在某函数f i ∈C∞( J1M) ,使得Γi

k

= -

1

2

5

f i

5

vk ,由

(

317) 式第二式知,存在某一函数Fi ∈ C ∞( M) ,使得vjFi

j

+ f i + Γi

0

= F

i ,

令f i - Fi = Zi ,则

Γ

i

0

= - Z

i +

1

2

vj

5

Zi

5

vj ,由(315) 式可知Γ = - L zs ,它显然满足(316) 式,因此Z = ZH = TH ,即

Z

关于Γ = - L Zs 是水平的·　证毕·　

由命题

1 和命题2 可看出,任意一动力学流Z 为联络Γ的测地线的切矢量的充分必要条

件为关系式

(313) ·　联络Γ = - L zs 只是Z = ZH 的充分条件,而非必要条件·　另外,任意动

力学流对所谓的强水平分布

.H = θi ª Hi 不表现测地性质·　

§

41 非定常约束力学系统运动方程的测地性质

前面已指出

,非定常力学系统的演化空间为射流形J1M , M = R ×Q 为n + 1 维事件空间

·　设

L : J1M →R 为J1M 上的动力学函数,且是正则的·　系统受到的外力表示为J1M 上关于

τ

: J

1M →M 的半基1- 形式·　由L 确定了J1M 上微分2- 形式

ω

L = d (

.S

3

dL) + dL

∧ dt (411)

由

ωL 及J1M 上的接触结构可确定VJ1M 上的纤维度规g[8 ] ·　

设该非定常力学系统受到的约束为

J1M 上的余分布

约束力学系统的联络及其运动方程的测地性质

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C =

Lin Cα = Tαdt + Qαi

dq

i + Aαi

d

Ûqi

(

α =

1 ,2 , ⋯, g < n ; i = 1 ,2 , ⋯, n) (412)

T

α, Qαi

, A

αi

分别为

t , q , Ûq 的函数,且rank ( S

3

C) = g ,

即约束具有最大秩·　由这个约束可以确

定

J1M 上的竖直空间的直和分解

VJ

1M = R © Δ (413)

其中

R 是.R = Lin Rα = S

3

( C

α) ,α =

1 ,2 , ⋯, g < n Γ的i对偶·　

定义

2 　如果约束(412) 式确定的约束力r ∈R ,则称约束是理想的·　如果分布C 是动力

学流

Z 的零化子,则称约束与动力学流相容·　

命题

3 　如果约束力学系统M , L ,ωL , F , C

满足下述条件

,即Rank ( S

3

C) = g , det ( g)

>

0 ,约束C 是理想的并与动力学流相容, 则下面D′Alembert 方程

i

zωL = F +

.R , izdt = 1 (414)

关于动力学联络

Γ = - L zs 具有测地性质

证

　由命题的条件可确定唯一的满足

(414) 动力学流

Z =

5/ 5 t + vi5/ 5 qi + Zi5/ 5 vi , Zi = ZiL

+ F

- gαβCβ( ZL + F) Aαi

g

ij

5/ 5 vj (415)

应该指出

,尽管约束力学系统的动力学流仍表示为J1M 上的二阶微分方程矢量场, 但是

约束力学系统的运动限制在

J1M 的子流形上·　

由命题

2 可知,在约束子流形上存在唯一的动力学联络Γ = - L zs ,使得Z 的积分曲线为

Γ

的测地线·　由于在命题的条件下, D’Alembert 方程等价于动力学流(415) 式,故D’Alembert

方程关于动力学联络亦具有测地性质·　证毕·　

§

51 结　　论

在一阶经典场论的现代微分几何表述中运用了射丛

J1 E → E →N 的几何结构, N 为四维

时空流形

, E为N 上位形纤维丛·　某些动力学量(如Lagrange 能量密度) 依赖于构形丛π: E →

N

上的联络,即时空流形N 上的水平分布·　若N = R , E = R ×Q ,则将场论情况过渡到非定

常力学情况

[10]·　但是,由于底流形约化成一维的R ,且E = R ×Q 是平凡的,所以在R 上的联

络自然是平凡的

[12 ]·　

本文所定义的联络是平凡的

,它是位形流形的1-射丛上的水平分布·　动力学流总可以表

示为某联络的测地线方程·　对于定常力学情况

,决定动力学流测地性质的联络未必是由动力

学矢量场唯一确定的

,除非动力学流是二阶齐次的·　而对于非定常情况,对应任何动力学流,

总可以确定唯一的联络

,使得动力学方程具有测地性质·　

值得指出的是

,约束力学系统的测地线并非由度规确定的短程线·　即使约束是线性齐次

的

,如果约束不可积,联络也非Levi-civita 型·　只有在约束是可积的,并且动力学流是二次齐次

情况下

,由联络确定的测地线亦是由度规确定的短程线·　

本文的结论表明

,力学系统所受的主动力、约束力、甚至惯性力皆可用演化空间上的联络

系数来表示

,从而将力学系统在外力作用下的运动表示为1-射丛上的测地运动·　这是联络理

论对

Lagrange 力学几何化的重要意义之一·　

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罗　　绍　　凯　　　郭　　永　　新　　　梅　　凤　　翔

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参　考　文　献

1

　G. Godbillion , Geomet rie Differentielle et Meca nique Analytique , Hermann , Paris (1969) .

2

　V. I. Arnold , Mathematical Method of Class ical Mecha nics , Springer-Verlag , New York (1978) .

3

　R. Abraham and J . E. Marsden , Foundations of Mecha nics , 2nd ed. , The Benjamin/ Cumming Pub2

lishing Company (

1978) .

4

　梅凤翔、刘端、罗勇《, 高等分析力学》,北京理工大学出版社,北京(1991) .

5

　D. Chinea , M. de leon and J . C. Marrero , The constraint algorithm for time- dependent Lagrangians ,

J . Math. Phys . ,

35 (7) (1994) ,3410 —3438.

6

　E. Cartan , Sur les Varietes a connexion affine at la theorie de la relativite generalistee , Annales de L’

Ecole Nomale Superieure ,

40 (1923) ,325 —412.

7

　E. Cartan , Sur les Varietes a connexion affine at la theorie de la relativite generalistee , Annales de L’

Ecole Nomale Superieure ,

41 (1924) ,1 —25.

8

　M. de leon and P. R. Rodrigues , Methods of Diferenti al Geomet ry i n Analytical Mecha nics , North

Holland , Amsterdam (

1989) .

9

　W. Sarlet , A. Vandecasteele and F. Cantrijn , Derivations of forms along a map : the f ramework for

time- dependent second- order equations , Diff . Geom. Appl . ,

5 (1995) ,171 —203.

10

　Echeverria- Enriquez , M. C. Munoz-Lecanda and N. Roman- Roy , Non- standard connections in classi2

cal mechanics , J . Phys . A : Math Gen. ,

28 (1995) ,5553 —5567.

11

　G. S. Hall and B. M. Haddow , Geometrical aspects and generalizations of Newton- Cartan mechanics ,

Int . J . Theor . Phys . ,

34 (7) (1995) ,1093 —1112.

12

　S. Kobayashi and K. Nomizu , Foundations of Differenti al Geomet ry , J . Willey and Sons , New York

(

1963) .

Con nect i ons a nd Ge odesic Cha r act e ris t ic of Equa t i ons

of Mot i on f or Cons t r ai ne d Mec ha nical Sys t ems

Luo Shaokai

( Sha ngqi u Teachers College , Sha ngqi u , Hena n

476000 , P. R. Chi na)

Guo Yongxin

　　Mei Fengxiang

( Depa rtment of Applied Mecha nics , Beiji ng Instit ute of Technology , Beiji ng

100081 , P. R. Chi na)

Abs t ract

The geodesic characteristic of equations of motion for nonautonomous constrained mechanical

systems is studied in the modern setting of global differential geometry. A necessary and sufficient

condition for the dynamical flow of nonautonomous mechanical system with geodesic characteristic

was obtained with respect to a connection on

1- jet bundle . The dynamical flow concerning the nonautonomous

case was always of geocesic characteristic with regard to torsionf ree connections . Thus

the motion of any nonautonomous mechanical system with constraints can be always represented by

the motion along the geodesic line of torsion- connection on

1- jet bundle , which is different f rom the

case in an autonomous mechaincal system.

Key words

　1- jet bundle , dynamical flow , vertical endomorphism , connection , geodesic

约束力学系统的联络及其运动方程的测地性质

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