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一张量的定义 1
百度百科张量（tensor):是几何与代数中的基本概念之一。从代数角度讲，它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”
（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。从几何角度讲，它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。二张量的由来引言--自然界变化和运动是有规律的，认识这些规律是自然科学的任务，而用数量来描述规律时，往往需要引入坐标系，才能把数学带到自然科学中去。然而，本来与坐标系选择无关的自然规律，它的数学表达形式不得不与坐标系的选择夹杂在一起，使人对其物理实质不易辨认。张量的引入，则正是力图既采用坐标系又摆脱具体坐标系影响的一种尝试。十九世纪后半叶,
几何学这种用来表征自然的语言正在发生着质的变化,
产生这种变化的原因有三点其一：非欧几何思想的产生打破了空间平直的僵硬观念；其二：向量分析建立起来,几何方法暨解析几何之后,有了新的实质突破；其三:
黎曼发表划时代的演说。高维、弯曲空间概念在格拉兹曼Grassmann、凯莱Cayley的代数层面研究之后，有了几何学的意义；在这样的背景下，新的几何学，也就是后来被称为黎曼几何的数学分支开始了从概念阶段到可计算阶段发展的历程，而真正实现这个转变的是张量分析方法的建立。
§1.非欧几何思想 1826年喀山大学的罗巴切夫斯基 (H.N.Lobachevsky,1792-
1856)演讲的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》,被视为非欧几何诞生的标志。罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,
提出一个和欧氏平行公理相矛盾的命题, 假如用它与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统, 然后展开一系列的推理, 那么在此过程中,
将得出一个个在直觉上很难理解, 但在逻辑上毫无矛盾的命题。罗巴切夫斯基由此提出了新的几何理论, 后来被称为罗巴切夫斯基几何,
这是第一个被提出的改变空间观念的非欧几何学。罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学
§2.打破空间平直的观念高斯(K. F. Gauss, 1777- 1855) 很早就注意到了非平直空间的原理,但他害怕陷入无休止的争论( “the
chatter of the Boetians”“蠢人的叫喊”)
,没有公开发表他的有关论文。但是在他的一些文章中,提到了他对欧几里得平行公设的观点:“在平行理论中我们不得不超越欧几里得,这是数学中有争议的部分,也是或迟或早一定会采取的非常不同的形式”(1813年)。另外高斯在1816年写给格林的信中指出了拉格朗日的有关欧几里得平行公设的“证明”的错误。说明“高斯已经开始接受新几何学的可能性。高斯在1828
年给出了一个独立于欧几里得平行公设的证明, 他的结论包含三角形内角和小于180 度的定理。高斯关于非平直空间的设想,
建立了基于曲面本身即为一个弯曲空间的几何学, 从而在根本上改变微分几何的发展方向, 创造出引导几何学向现代形式转变的新模式, 做了思想上的准备。
§3.通向弯曲空间欧几里得空间中的微分几何经历了150年之后,
高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容,建立了曲面的内蕴几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质,例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。高斯的内蕴几何理论发展了古典微分几何的空间观念,为黎曼革命性地构架弯曲空间的几何理论开了先河。
“19 世纪哥廷根大学的C.F.高斯是惟一重要的德国数学家。高斯作为灯塔式的数学家,他的工作是19世纪的核心,尽管他是一个孤独的研究者。”——M. Jonye.
The Cambridge history of science [ J] . The modern physical and mathematical
science, 2003 §4.从Cayley的“协变”量到向量的代数定义 1841年，Cayley在论文《On a Theorem in the
Geometry of
Position》中引进了矩阵的基本概念和运算。在此之后，Cayley系统研究了矩阵理论。他定义了零矩阵、单位矩阵；两个矩阵的和与积；给出了转置矩阵、对称矩阵、斜对称矩阵的定义与性质。
Cayley一生的主要工作之一是对不变量理论的研究。他与前人工作的分别在于他是通过不变量理论来研究、解决几何问题，他对射影几何的突出贡献就是在这样的思想指导下完成的。在Cayley时代之前，向量分析已经很成熟了。向量分析作为一种使用坐标系对空间性质进行计算的工具，是一种几何方法。向量分析这种相对具体的方法，引导数学家转向更加抽象的空间表达方式
(也就是后来发展出的张量)。Cayley在这样的背景下，引进矩阵代数方法，扫清了数学进化的道路。 •
运用矩阵代数方法，Cayley对线性变换进行了研究，从而得出了向量的代数定义。在1845 年论文中，Cayley 研究了下面的问题：如果函数U = ΣΣ( r
s , x r , y s ),通过替换变换为: U = ΣΣ( r’ s’ , x r’ , y s’ ) 那么系数函数a,b满足关系: x r = a r
1 x 1 ′ +a r 2 x 2 ′ +⋯ ⋯+a r m x m ′ y s = b s 1 x 1 ′ +b s 2 x 2 ′ +⋯ ⋯+b s m
x m ′ 针对这个问题,Cayley在这篇14页的论文中, 详细地研究了系数函数的各种取值。这个工作为1846
年论文作了基础工作。在1846年论文中，Cayley明确了向量的代数意义，他在文章的开头清楚地表达了：延续我目前课题的研究，我已经得出了新的考虑问题的方法,同时也是更一般的方法。这种方法对任意阶的两变量函数的处理有很大的优势。事实上我们可以解决这样的问题:“发现一种方法:
对任意多函数的所有导数，使这些导数具有这样的性质: 在变量的任意线性变换之后保持它们的形式不变。”
Cayley的新思想导向了线性变换不变形式的研究，这篇论文的重要意义在于引进“协变”量，而且通向了向量的代数定义。 Cayley
在这篇文章(1846年的论文)中的核心内容:
到目前为止，Cayley完成了“协变”量的定义和运算,在论文剩余的26页篇幅的讨论中，他进行了相关不变量的详细计算。 5.
从Riemann的曲率张量计算到Christoffel符号
Christoffel符号是对曲线坐标系中向量进行求导运算的符号。最早尝试寻找这种求导运算方法的是Riemann，在1861年的论文中，Riemann
计算了给定度量Σg ij dx i dx j 的空间中曲率的计算方法，为此Riemann引进了一类特殊的量P ijk
，也就是类似于后来的Christoffel符号的表达方式。 Riemann的深刻的思想打开了曲线微分运算的大门，他的思想脉络大致是这样的： •
1、提出一般空间的度量形式： • 2、提出“流形”概念:
一个简单流形的本质特征是从其上任何一点出发的连续运动只有两个可能的方向，向前或者向后。我们想象一个简单流形的每个点变换到另一个流形确定的点，如此得到的所有规定方式构成一个广义二维流形。相似地，我们想象一个二维流形通过一种确定的方式运动到另一个完全不同的二维流形时，我们得到一个三维流形，而且如何把这样的过程进行下去是非常明了的。
• 3、对流形的度量形式进行微分运算，以得到给定空间的曲率。 •
Riemann开创的几何学的新思想在多大程度上影响了数学的面貌。Riemann的分析技术包括度量和曲率张量，他在几何领域创造了富有意义的变革，并且改变了几何问题的前景。Riemann的观点主导了微分几何。
ds 2 = g ij n i,j=1 dx i dx j •
Christoffel在1869年发表的论文这篇论文的主要内容是：考虑两个n变量实二次微分形式在什么条件下可以互相变换。
Christoffel的结论是：需要满足下列微分方程这说明等价变换是由一个点的初始值决定的。论文中 Christoffel引进了曲率张量的分量 ,R abcd
, 并且建立了曲率张量(这里借用当时还未出现的名辞)方程 g = g ab x c dx a dx b g = g αβ x γ dx α dx
β x α a = X α a X α,β a a = Γ αβ Υ −Γ bc a X α b X β c R bcd a R abcd ;e 1 ⋯e k
X α a ⋯X ϵ k e k = R αβγδ ;ϵ 1 ⋯ϵ k Christoffel直接继承了Riemann的思想,
所不同的是，Christoffel虽然和Riemann一样是从二次微分形式开始的，但是他不是计算流形的曲率，而是考虑局部等价问题(the local
equivalence problem)导出了协变微分公式。
Christoffel在1869年发表的论文中,开始研究的Christoffel符号，这篇论文考察了两个n变量实二次微分形式的变换，证明等价变换是由一个点的初始值决定的。论文中Christoffel引进了曲率张量的分量,
并且建立了曲率张量方程。这些结果为Ricci建立绝对微分法准备了必要的前提。非欧几何的可计算阶段已经成为现实。 Riemann几何也已经成形了。 6.
Ricci的“协变系统”概念
Ricci从1884年到1898年共发表了9篇论文，奠基了张量分析的基本概念。综合这几篇论文的内容Ricci在1898年以前所掌握的计算工具和思考方法包括这样几个方面：
1) 变量变换的不变量 Ricci 得到如下定理：如果f 1 , ⋯, f n 是关于x 1 , ⋯, x n 的函数f的导数, 则有:
在现代教科书中，这个定理作为曲线坐标系基向量的变换规则出现。 f i ′ = f j ∂x j ∂x i 2)
发展一般协变思想这个思想是张量分析的主要代数特征。 Ricci 考察这样的函数：或系数是具有独立变量的二次微分形式的函数: f=a ij dx i dx j
它们的变换： 及b ij dy i dy j 的系数满足: ， Ricci的结果是一般坐标系坐标变换分量表达的正确形式。 f = A i ∂f ∂x i B i
∂f ∂y i B i = A j ∂y i ∂x j b ij = a kl ∂x k ∂y i ∂x l ∂y j 3) 定义协变系统(即现在的协变张量)
Ricci给出了协变系统的定义：给定函数集 ，则协变系统的变换规则具有形式： X i 1 ⋯i m 1 ≤ i 1 , ⋯, i m ≤ n x → T x
= y Y i 1 ⋯i m = X j 1 ⋯j m ∂x j 1 ∂y i 1 ⋯ ∂x j m ∂y i m 4) 建立协变微分方法
Ricci发展了Christoffel的方法。设基本度量张量：φ=f ij dx i dx j 置： ，再设：则一阶张量的协变导数是：二阶张量的协变导数是：
j ik = g jl 1 2 ∂g il ∂x k + ∂g lk ∂x i − ∂g ik ∂x l X i = ∂X ∂x i X i,j =
∂X i ∂x j − k ij X k X ij ,k = ∂X i ∂x k − l ik X lj − l jk X il 5)
计算Riemann曲率张量设基本度量张量：φ=f ij dx i dx j 则：这个混合张量就是Riemann曲率张量。 •
1901年,Ricci和他的学生Levi-Civita合写了《M†thodes de calcul diff† rentiel absoluset leur
applications》,总结了Ricci在这个领域的成果, 成为张量分析的经典著作。 R ijk l = ∂ ∂x j l ik − ∂ ∂x k
l ij + m ik l mj − m ij l mk §7.
“tensor”出现,“张量”概念形成在Ricci和Levi-Civita建立绝对微分学之后，直到
Einstein的引力理论，没有人将之应用于物理学。由于绝对微分学研究协变的关系，即从一个坐标系变到另一个坐标系后仍然保持不变的关系，这一特征使绝对微分学成为爱因斯坦广义相对论的有效的数学工具。在H.Minkowski,
H.A.Lorentz和A.Sommerfeld对狭义相对论所作的进一步研究中，从物理学的角度发展了传统的向量分析。Minkowski的论文《Space and
time》中，提出“第二类矢量”(vector of the second kind)的概念，以区别于四元矢量，他所指的实际上是张量。
Sommerfeld为这篇论文写了一篇注释文章，认为“第二类矢量”应称为“六元矢量”(six vector)，这些努力都是通向“tensor”的阶梯。 8.
张量 1913年，Albert Einstein和Marcel Grossmann
（格莱斯曼）在《广义相对论纲要和引力论》一文中首次使用“张量”一词，并为广义相对论提供数学基础。至此，“张量”这个数学概念完成了从构造内容到最终通用的全过程。三“张量”的两个错误猜测
• 第一, 认为tensor来源于tension • 第二,
认为tensor是由爱因斯坦命名的事实上，tensor源自H.Grassmann的名著《Extension
theory》的书名，代表一种扩张的理论，而与力学无关。“张量”就是 “向量”在元素扩张之后形成的。也就是说，“张量”中的“张”表示“扩张”，并非“张力”。 •
另一方面，这个词是由M.Grossmann引进的，而不是爱因斯坦的理由如下： 1.
Grossmann在1913年论文的“数学部分”(由他执笔)，同时使用“协变张量”和“协变扩张”两种术语，虽然“协变扩张”实际上是指“协变导数”，但从定义概念的方式看，有着内在的关联性。
2. Grossmann在同篇论文中还把张量称为“广义矢量”，这与Grassmann在《Extension theory》中提出的“广义n
维向量”存在数学意义上的关联. 3.
Grossmann在论文数学部分的首段简述了“广义矢量分析”(即张量分析)的历史，而Einstein在同篇论文物理学部分第一次提到“二秩协变张量”这个术语的时候，与前文的论述没有直接的关联。而且，Einstein本人对这个术语加了注：“参看本文数学部分”，即Grossmann执笔的那一部分。
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