黎曼曲面- 维基百科，自由的百科全书
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数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑 ...
在每一点局部看来， 他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。 例如， 他们可以看起来像球或是环， 或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数。 黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择
黎曼1857年引入并发展了代数函数论,从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上,从而引入了所谓黎曼曲面的概念。用现代的语言,紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。运用这个概念,黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量:亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量(即不依赖于代数簇在空间中的嵌入的不变量)。黎曼还首次考虑了亏格g 相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题,并发现这个参量簇的维数应当是3g-3,虽然黎曼未能严格证明它的存在性。
黎曼曲面（一维复流形）_百度百科
baike.baidu.com/view/786971.htm
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在数学中，黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的 ...[PDF]黎曼曲面讲义 - 南京大学数学系
math.nju.edu.cn/~meijq/RiemannSurface.pdf
前言 i. 前言. 本书是近若干年来作者在南京大学等地为数学系高年级本科生和研究生讲授.黎曼曲面理论所逐渐积累起来的一份讲义。黎曼曲面的理论可以回溯 ...[PDF]紧黎曼曲面引论 - 南京大学数学系
math.nju.edu.cn/~meijq/ebook/riemann.pdf
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糙的书仓促付印,以免为了补细节而长期延迟了它的出肚. 本书所黯的预备知识不太多,最主要的是单靠变函数论,初步. 的拓扑、代款、泛函分析和基本的撤分流形的概念.黎曼曲面_互动百科
www.baike.com/wiki/黎曼曲面
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黎曼曲面-黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论 ...黎曼曲面和黎曼几何什么关系？ - 数学- 知乎
https://www.zhihu.com/question/26453725
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Jan 12, 2015 - 黎曼面是可定向二维实流形+复结构，黎曼几何研究流形的曲率。 我想它们之间最直接的关系是如下事实：可定向二维实流形上的复结构与其上的黎 ...[PDF]黎曼面的起源
www.global-sci.org/mc/issues/6/no1/freepdf/53s.pdf
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黎曼面也称黎曼曲面，顾名思义，它是由数学家黎曼（G. F. B. Riemann）构想出. 来的一种抽象曲面。黎曼面这个看上去似乎比较简单的几何基本概念对于近现代数学.緊黎曼曲面引論: - Page 2 - Google Books Result
https://books.google.com.hk/books?isbn=9570802979 - Translate this page
伍鴻熙 - 1990
就稱之爲有虧格等於幫的閉曲面(n>0).從拓樸型的觀點來看,這些曲面就是所有的緊黎曼面了。現在我們簡略地討論一下研究黎曼面的三個主要看法。( 1 )複流形的觀點:黎曼曲面(豆瓣) - 豆瓣读书
黎曼面的起源
陈 跃
黎曼原始论文中的黎曼面图形
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数学文化/第6卷第1期 54
它的极坐标方程为 r2
=2a2
cos2θ，再由曲线弧长公式
L = r 2 +
dr
dθ
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
0
a
∫ dθ,
可得
L = 2a dθ
0 cos2θ
a
∫ = 2a dθ
1− 2sin2
θ 0
a
∫ ,
现在作换 u 元 ＝ tanθ，则有
sin2
θ = u2
1+ u2 和 dθ = du
1+ u2 ,
从而得到
L = 2a du
1− u 0 4
x
∫ , (2)
这里的 x ＝ tanα。这个积分也是积不出来的。
以上的两个积分 (1) 与 (2) 都属于如下形式的所谓的椭圆积分
r(t)
p(t) β
α
∫ dt, (3)
其中的 r(t) 是有理函数，而分母中的 p(t) 是 3 次或 4 次的多项式函数。在历史上，“椭
圆积分”这个名称就是从上述求椭圆曲线的弧长问题而来的。可以证明，椭圆积分中
的 3 次多项式可以经过换元变成 4 次多项式的形式，反过来，4 次多项式也可以变成 3
次多项式的形式。
从 18 世纪初开始，以法尼亚诺（G. F. Fagnano）、欧拉（L. Euler）和勒让德（A.
M. Legendre）为代表，一批数学家对椭圆积分的性质进行了初步的研究，发现了椭圆
积分的“加法公式”。
下面我们对比较简单的椭圆积分 (2) 来逐步推导出这个加法公式。先对这个积分进
行换元变换 v2 ＝ 2u2
/(1 － u4
)，对这个换元式子的两边关于变量 u 进行求导，可得
v dv
du = 2u(1+ u4
)
(1− u4
)
2 .
由于 v = 2u / 1− u4 ，所以有
dv = 2(1+ u4
)
(1− u4
)
3/2 du,
再由 1+ v4 = (1+ u4
)/(1− u4
) ，得到
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数学文化/第6卷第1期 55
dv
1+ v4 = 2du
1− u4 ,
从而得
2du
1− u4 = dv
1+ v4 . 0
2x
1−x4
∫ 0
x
∫ (4)
再对上式右边的积分继续作另一换元变换 t
2 ＝ 2v2
/(1 ＋ v4
) ，经过同样的计算过程可以
得到
dv
1+ v4 = 1
0 2
2x
1−x4
∫ dt
1− t 0 4
2 x 1−x4
1+x4
∫ . (5)
现在合并 (4) 与 (5) 式，就得到了曾经由意大利数学家法尼亚诺在 1718 年发现的双纽
线的弧长加倍公式
2 dt
1− t
4 = dt
1− t
4 . 0
2 x 1−x4
1+x4
∫ 0
x
∫ (6)
这个不寻常的等式不久就引起了欧拉的注意，他在 1753 年证明了以下的加法公式 ：
dt
1− t
4 +
dt
1− t 0 4
y
∫ 0
x
∫ = dt
1− t
4 . 0
x 1−y4 +y 1−x4
1+x2
y2
∫ (7)
这个重要的公式之所以这样称呼，是因为它类似于三角函数中关于反正弦函数的加法
公式
dt
1− t
2 +
dt
1− t 0 2
y
∫ 0
x
∫ = dt
1− t
2 . 0
x 1−y2 +y 1−x2
∫
上式即是我们所熟悉的三角公式
arcsin x + arcsin y = arcsin(x 1− y2 + y 1− x2 )
的积分表达形式。我们看到，双纽线的弧长加倍公式 (6) 正是加法公式 (7) 当 x ＝ y 时
的特殊情形。
欧拉的加法公式 (7) 的证明其实也是运用了换元法，只是此时的换元变换比较复杂
而已。由于受到双纽线弧长加倍公式 (6) 的右边积分上限 2x 1− x4 /(1+ x4
) 的启发，对
于积分 (2)，考虑 u 和 v 之间的换元变换式
u 1− v4 + v 1− u4
1+ u2
v2 = r, (8)
其中的 r 是常数。为了寻找出微元 du 与 dv 之间的关系，引入中间变量U = 1− u4 和
V = 1− v4 ，(8) 式就变成了 (uU ＋ vV)/(1 ＋ u2
v2
) ＝ r，将 v 看成是 u 的函数，对这个
式子的两边关于 u 求导，经过仔细的运算后可以推导出以下的等式 ：
(
du
U
+
dv
V ) UV(1− u2
v2
)− 2uv(u2 + v2 ⎡ ) ⎣ ⎤
⎦ = 0. (9)
从 (8) 知道，当 u ＝ 0 时 v ＝ r，此时上式方括号里的式子变成
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数学文化/第6卷第1期 56
UV(1− u2
v2
)− 2uv(u2 + v2
) = 1− r 4 ,
所以当 r 与 u 充分靠近 0 时，UV(1 － u2
v2
) － 2uv(u2 ＋ v2
) 不为 0 。因此从 (9) 式可知
du
1− u4 +
dv
1− v4 = 0.
设在此换元变换中，积分 (2) 的上限 x 对应于 y，而 0 又对应了 r，所以由上式可得
du
1− u4 = − dv
1− v r 4
y
∫ 0
x
∫ = − dv
1− v4 − dv
1− v4 . 0
y
∫ r
0
∫
最后再由 (8) 式中的等量关系知道，此时有
r = x 1− y4 + y 1− x4
1+ x2
y2 ,
从而就得到了加法公式 (7)。
欧拉不仅像这样证明了加法公式 (7)，还进一步对更一般的椭圆积分推导出了加法
公式
dt
1+ at
2 − t
4 +
dt
1+ at
2 − t 0 4
y
∫ 0
x
∫ = dt
1+ at
2 − t
4 . 0
x 1+ay2−y4 +y 1+ax2−x4
1+x2
y2
∫ (10)
他甚至还想把上式中根号内的多项式次数提高到 5 和 6 次的情形，但他发现此时这样
的等式不会成立。
18 世纪末的数学家勒让得在欧拉研究的基础上，比较系统地研究了椭圆积分。他
在这方面的最大功绩是得到了椭圆积分的三种标准形式，使得其他所有的各种椭圆积
分都可以通过积分的某些变换化成这三种标准的形式，这样，就像其他的一些常见的
特殊函数一样，人们能够制作出专门的椭圆积分用表，供需要实际计算椭圆积分的人
们查阅。
然而，真正的数学家是不会满足于仅仅求出椭圆积分值的，他们希望能够找出隐
藏在这种不寻常的积分性质——加法公式背后的东西。
2 阿贝尔积分、阿贝尔定理和椭圆函数
椭圆积分理论的进一步深入研究，还有赖于复变函数的积分理论的出现。复变函
数论被数学史家 M. 克莱因（M. Kline）称为是 19 世纪最独特的创造，他说 ：“这一最
丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐
的理论之一。”复变函数的微分与积分理论其实是 18 世纪发展起来的微积分理论的自
然延伸。在 19 世纪初，柯西在研究计算二重积分的累次积分方法时，无意中发现了复
变函数论中最著名的柯西积分定理——全纯（解析）函数在单连通区域边界上的复积
分为零，由此得到了关于留数计算等一系列的基本结果。人们发现，只有将实积分变
成复积分，椭圆积分以及更一般的阿贝尔积分的性质才有可能得到比较完整的描述，
所以从 19 世纪起，这些积分基本上都是作为复积分来进行研究的。
阿贝尔（N. H. Abel）是一位生活于 19 世纪初期的挪威数学家。他在欧拉研究椭
圆积分成果的基础上，朝着现代黎曼面理论的方向，向前跨出了一大步。阿贝尔的第
一个思想是所谓的“阿贝尔和”的概念，也就是将前述的椭圆积分加法公式中积分和
的现象提炼出来，考虑能否用到若干个同类阿贝尔积分的和上。所谓阿贝尔积分，是
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