内容提示： 复变函数泛谈 姓名 :xx 学号: xxxxxx 班级: xxxxx 学校: xxxxxx 摘要： 1. 复变函数的概况 2. 复变函数的应用 关键词: 1. 复变函数 2. 应用、 发展 正文: 复数的概念起源于求方程的根， 在二次、 三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。 在很长时间里， 人们对这类数不能理解。 但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。 复数的一般形式是： a+bi ， 其中 i 是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数， 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数， 复变函数论主要就是研究...
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复变函数泛谈 姓名 :xx 学号: xxxxxx 班级: xxxxx 学校: xxxxxx 摘要： 1. 复变函数的概况 2. 复变函数的应用 关键词: 1. 复变函数 2. 应用、 发展 正文: 复数的概念起源于求方程的根， 在二次、 三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。 在很长时间里， 人们对这类数不能理解。 但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。 复数的一般形式是： a+bi ， 其中 i 是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数， 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数， 复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数， 因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论的全面发展是在十九世纪， 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样， 复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支， 并且称为这个世纪的数学享受， 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 首先， 复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析， 而复数的独特之处在于它的虚部， 也就是虚数部分； 之前对虚数域的认识， 完全在于一个虚字。 而对于复变产生的意义， 书中是这样给出的： 由于解代数方程的需要， 人们引出了复数。 复数的出现， 使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况， n 此多项式也不再存在增根， 这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。 “虚数” 是人类在发展数学上的解题技术时， 以人为定义方式发明的一种虚拟的数， 在现实生活中不存在， 在实务的商用数学中也用不着。 “复数” 可以解决一些物理数学上的问题， 解题到最后经过转化所得到的实数解， 才有物理上的意义， 带有虚数的复数届时没有意义的。 虚数是的确不存在于三维世界中的， 但却被定义为第四维的时间。 虚数时间只是用数学呈现的方法， 是一种处理方式。 就像 RCL 电路我们也用虚数去处理相角关系， 但电感本身并不是虚的。 这是人为的定义， 但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。 物理学中有关快子的概念： 快子是理论上预言的粒子。 它具有超过光速的局部速度（瞬时速度） 。 它的质量是虚数， 但能量和动量是实数。 有人认为这种粒子无法检测， 但实际未必如此。 影子和光斑的例子就说明超过光速的东西也是可以观测到的。 目前尚无快子存在的实验证据， 绝大多数人怀疑它们的存在。 有人声称在测氚的贝塔衰变放出的中微子质量的实验中有证据表明这些中微子是快子。 这很让人怀疑， 但不能完全排除这种可能。 快子虽未被科学界认可， 但至少 已经人类已将虚数应用到物理学中。 其一旦被证明， 虚数不存在物理意义的观点即被打破。 数学上， 特别是在复分析中， 一个黎曼曲面是一个一维复流形。 黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本: 在每一点局部看来， 他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。 例如， 他们可以看起来像球或是环， 或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数。 黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择， 特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。 于是乎， 黎曼曲面理论成了复变函数域和几何间的一座桥梁， 能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容， 一般叫做几何函数论， 几何函数论将复变函数应用到了 GI S的空间数据中， 从而实现了对其定位， 定性和定量的描述。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充， 以满足实际研究工作的需要， 这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。 广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。 解析函数的一些基本性质， 只要稍加改变后， 同样适用于广义解析函数。 复数的集合——复平面是一个二维平面， 但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。 可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应， 是一个纯粹缔造出来的二维平面。 复变函数的理论和方法在数学、 自然科学和工程技术中有着广泛的应用， 是解决诸如流体力学、 电磁学、 热学、 弹性理论中的平面问题的有力工具。 而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展， 丰富了它的内容。 我们在学习的过程中， 要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法， 逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。 复变函数在很多领域都有重要的应用， 其涵盖面极广， 甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。 作为最丰饶的数学学科的分支， 复变函数在数学领域的应用尤为可见。 特别是在解析函数的微分理论（Cauchy-Ri emann 方程）， 积分理论（Cauchy 积分定理雨积分公式）， Wei erstrass 的级数理论（Tayl or 级数和Laurent 级数） 等方面的应用。 除此之外， 在别的领域内的应用也是显而易见的，诸如流体力学、 电磁学、 热学等领域。 比如说， 物理学上有很多不同的稳定平面场， 所谓场就是每点对应有物理量的一个区域， 对它们的计算就是通过复变函数 来解决的。 俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候， 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题， 他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复数可以应用的现实中的数学建模， 其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。 复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径， 打开了很多原本无法畅通的道路， 无论是神奇的留数， 还是保角映射， 都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。 参考文献： [1]复变函数与积分变换[M] 高等教育出版社， 2006 [2]多变函数理论基础[M] 高等教育出版社,1996 [3]复变函数及应用[M],机械工业出版社， 2006
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